專題21全等與相似模型之半角模型全等三角形與相似三角形在中考數學幾何模塊中占據著重要地位。全等三角形、相似三角形與其它知識點結合以綜合題的形式呈現，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就半角模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.半角模型（全等模型） 1模型2.半角模型（相似模型） 13 15大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每一個題型，做到活學活用！模型1.半角模型（全等模型）半角模型概念：半角模型是指是指有公共頂點，較小角等于較大角的一半，較大的角的兩邊相等，通過旋轉，可將角進行等量轉化，構造全等三角形的幾何模型。1）正方形半角模型條件：四邊形ABCD是正方形，∠ECF=45°；結論：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周長=2AB；⑤CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。證明：將△CBE繞點C逆時針旋轉90°至△CDG，即△CBE≌△CDG，∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG；∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共線?！摺螮CF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°，∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF，∴AEF的周長=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，過點C作CH⊥EF，則∠CHE=90°，∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形對應邊上的高相等），再利用HL證得：△CBE≌△CHE，∴∠HEC=∠CBE，同理可證：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。2）等腰直角三角形半角模型條件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；結論：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；證明：將△ABD繞點A逆時針旋轉90°至△ACG，即△BAD≌△CAG，∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG；∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°，∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2；3）等邊三角形半角模型（120°-60°型）條件：ABC是等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；結論：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周長=2AB；⑤DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。證明：將△DBE繞點D順時針旋轉120°至△DCG，即△BDE≌△CDG，∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG；∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF，∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF，∴AEF的周長=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB，過點D作DH⊥EF，DM⊥GF，則∠DHF=∠DMF=90°，∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形對應邊上的高相等），再利用HL證得：△DHF≌△DMF，∴∠HFD=∠MFD，同理可證：∠BFD=∠FED，即DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。4）等邊三角形半角模型（60°-30°型）條件：ABC是等邊三角形，∠EAD=30°；結論：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+；證明：將△ABD繞點A逆時針旋轉60°至△ACF，即△BAD≌△CAF，∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF；∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°，∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°，過點F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，FH=CF=BD，∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2；5）任意角度的半角模型（-型）條件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；結論：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。證明：將△ABD繞點A逆時針°至△ACF，即△BAD≌△CAF，∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-?！摺螧AC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=，∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。例1．（2023·廣東廣州·二模）在正方形中，點E、F分別在邊上，且，連接．(1)如圖1，若，，求的長度；(2)如圖2，連接，與、分別相交于點M、N，若正方形的邊長為6，，求的長；(3)判斷線段三者之間的數量關系并證明你的結論﹒

例2．（23-24八年級下·四川達州·階段練習）倡導研究性學習方式，著力教材研究，習題研究，是學生跳出題海，提高學習能力和創新能力的有效途徑．(1)【問題背景】已知：如圖1，點E、F分別在正方形的邊上，，連接，則之間存在怎樣的數量關系呢？（分析：我們把繞點A順時針旋轉至，點G、B、C在一條直線上．）于是易證得：和，所以．直接應用：正方形的邊長為6，，則的值為．(2)【變式練習】已知：如圖2，在中，，D、E是斜邊上兩點，且，請寫出之間的數量關系，并說明理由．(3)【拓展延伸】在（2）的條件下，當繞著點A逆時針一定角度后，點D落在線段BC上，點E落在線段BC的延長線上，如圖3，此時（2）的結論是否仍然成立，并證明你的結論．

例3．（23-24九年級上·浙江臺州·期中）如圖，在中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點D、E都在邊BC上，∠BAD＝15°，∠DAE＝60°．若DE=3，則AB的長為．例4．（23-24九年級上·江西南昌·期中）（1）如圖①，在直角中，，，點D為邊上一動點（與點B不重合），連接，將繞點A逆時針旋轉，得到，那么之間的位置關系為__________，數量關系為__________；（2）如圖②，在中，，，D，E（點D，E不與點B，C重合）為上兩動點，且．求證：．（3）如圖③，在中，，，，，D，E（點D，E不與點B，C重合）為上兩動點，若以為邊長的三角形是以為斜邊的直角三角形時，求的長．例5．（2024·江西·九年級期中）（1）【特例探究】如圖1，在四邊形中，，，，，猜想并寫出線段，，之間的數量關系，證明你的猜想；（2）【遷移推廣】如圖2，在四邊形中，，，．請寫出線段，，之間的數量關系，并證明；（3）【拓展應用】如圖3，在海上軍事演習時，艦艇在指揮中心（處）北偏東20°的處．艦艇乙在指揮中心南偏西50°的處，并且兩艦艇在指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正西方向以80海里/時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/時的速度前進，半小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達，處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為75°．請直接寫出此時兩艦艇之間的距離．例6．（2022·湖北十堰·中考真題）【閱讀材料】如圖①，四邊形中，，，點，分別在，上，若，則．【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形．已知，，，，道路，上分別有景點，，且，，若在，之間修一條直路，則路線的長比路線的長少_________（結果取整數，參考數據：）．模型2.半角模型（相似模型）半角模型特征：①共端點的等線段；②共頂點的倍半角；半角模型輔助線的作法：由旋轉（或翻折）構造兩對全等，從而將邊轉化，找到邊與邊的關系（將分散的條件集中，隱蔽的關系顯現）。常見的考法包括：90°與45°（正方形、直角三角形）；120°與60°（等邊三角形）等。1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型）條件：已知，如圖，在正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點，且∠EAF＝45°結論：如圖1，△MDA∽△MAN∽△ABN；圖1圖2證明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF，∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN；結論：如圖2，△BME∽△AMN∽△DFN.證明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF，∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN；結論：如圖3，連接AC，則△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；圖3圖4證明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。同理：△AND∽△AEC，；即。結論：如圖4，△AMN∽△AFE且．證明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN；又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由圖3證明知：，∴。2）半角模型（含120-60°半角模型）圖5條件：如圖5，已知∠BAC＝120°，；結論：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③（）。證明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC，∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：，同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；，∴，∵AD=AE=DE，∴例1．（23-24九年級上·廣東深圳·期中）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=45°，AE、AF分別交BD于M、N，連按EN、EF，有以下結論：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③當AE=AF時，；④BE+DF=EF；⑤若點F是DC的中點，則CECB．其中正確的個數是()A．2 B．3 C．4 D．5例2．（23-24九年級上·河北唐山·階段練習）在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形擺放在一起，如圖1所示，點A為公共頂點，點D在的延長線上，，．若將固定不動，把繞點A逆時針旋轉a（），此時線段，射線分別與射線交于點M，N．(1)當旋轉到如圖2所示的位置時，①求證：；②在圖2中除外還有哪些相似三角形，直接寫出；③如圖2，若，求的長；(2)在旋轉過程中，若，請直接寫出的長_________（用含d的式子表示）．

例3．（2024·遼寧·模擬預測）（1）如圖，等腰中，，，、在線段上，且，，，求的長．（2）如圖，在中，，如果，在直線上，在上，在的右側，，若，，求的長．（3）如圖，在中，若，、是線段上的兩點，，若，，探究與的數量關系．例4．（2023·遼寧沈陽·統考二模）在菱形中，．點，分別在邊，上，且．連接，．（1）如圖1，連接，求證：是等邊三角形；（2）平分交于點．①如圖2，交于點，點是的中點，當時，求的長．②如圖3，是的中點，點是線段上一動點（點與點，點不重合）．當，時，是否存在直線將分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1∶3．若存在，請直接寫出的值；若不存在，請說明理由．例5．（2024·山東煙臺·一模）如圖①，在正方形中，點N、M分別在邊、上，連結、、．，將繞點A順時針旋轉90°，點D與點B重合，得到．易證：，從而得．

【實踐探究】（1）在圖①條件下，若，，則正方形的邊長是_________．（2）如圖②，點M、N分別在邊、上，且．點E、F分別在、上，，連接，猜想三條線段、、之間滿足的數量關系，并說明理由．【拓展應用】（3）如圖③，在矩形中，，，點M、N分別在邊、上，連結，，已知，，求的長．

1．（2024·福建南平·二模）已知正方形的邊長為6，E，F分別是，邊上的點，且，將繞點D逆時針旋轉，得到．若，則的長為（

）A．4 B．5 C．6 D．6.52．（2024·重慶·一模）如圖，正方形中，是上一點，是延長線上一點，，連接為中點，連接．若，則（

）

A． B． C． D．3．（2023·江蘇宿遷·三模）如圖，平面直角坐標系中，長方形，點A，C分別在y軸，x軸的正半軸上，，，，、分別交，于點D、E，且，則的長為（

）

A．1 B． C．2 D．4．（23-24九年級下·湖北襄陽·期中）如圖所示，邊長為4的正方形中，對角線，交于點O，E在線段上，連接，作交于點F，連接交于點H，則下列結論：①；②；③；④若，則，正確的是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④5．（2024·山東淄博·二模）如圖，正方形的邊長為4，點M在CB延長線上，作交延長線于點N，則的長為．6．（2024·吉林·二模）已知：正方形中，，它的兩邊分別交CB，于點，，于點，連結，則下列結論①；②；③；④當時，，其中結論一定正確的序號是．7．（2023·山西晉城·校聯考模擬預測）如圖，在矩形中，，，，分別為，邊上的點．若，，則的長為．

8．（2023·上海寶山·校考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E在邊BC上，∠DAE=∠B=30°，且，那么的值是．9．（23-24九年級上·黑龍江綏化·期中）已知四邊形中，，，，，，繞B點旋轉，它的兩邊分別交，（或它們的延長線）于E，F．當繞B點旋轉到時，如圖1，易證．（不用證明）(1)當繞B點旋轉到時，如圖2，（1）中結論是否成立？若成立，請給予證明；(2)當繞B點旋轉到時，如圖3，（1）中結論是否成立？若不成立，線段，，又有怎樣的數量關系？請給予證明．10．（2024·廣西·模擬預測）實踐與探究：小明在課后研究正方形與等腰直角三角形疊放后各個線段間的數量關系．已知正方形的邊長為6，等腰的銳角頂點A與正方形的頂點A重合，將此三角形繞A點旋轉，，兩邊分別交直線，于M，N，旋轉過程中，等腰的邊與正方形沒有交點．(1)如圖1，當M，N分別在邊，上時，小明通過測量發現，他給出了如下的證明：過A作交延長線于G，連接，如圖2，易證，則有．請你幫助小明后續證明；(2)如圖3，當M，N分別在，的延長線上時，請直接寫出，，之間的數量關系；(3)在旋轉過程中，等腰直角三角形的一邊正好經過正方形邊上的中點P，求出此時的長．11．（2024·重慶市育才中學二模）回答問題（1）【初步探索】如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數量關系．小王同學探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是_______________；（2）【靈活運用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點，且EF=BE+FD，上述結論是否仍然成立，并說明理由；（3）【拓展延伸】知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點E在CB的延長線上，點F在CD的延長線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD，請直接寫出∠EAF與∠DAB的數量關系．12．（2024·山西呂梁·九年級?？计谥校┰诰毩曊n上，慧慧同學遇到了這樣一道數學題：如圖，把兩個全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個四邊形ACBD，∠ACD＝30°，以D為頂點作∠MDN，交邊AC，BC于點M，N，∠MDN＝60°，連接MN．探究AM，MN，BN三條線段之間的數量關系．慧慧分析：可先利用旋轉，把其中的兩條線段“接起來”，再通過證明兩三角形全等，從而探究出AM，MN，BN三條線段之間的數量關系．慧慧編題：在編題演練環節，慧慧編題如下：如圖（1），把兩個全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個四邊形ACBD，∠ACD＝45°，以D為頂點作∠MDN，交邊AC，BC于點M，N，，連接MN．（1）先猜想AM，MN，BN三條線段之間的數量關系，再證明．（2）∠MDN繞點D旋轉，當M，N分別在CA，BC的延長線上，完成圖（2），其余條件不變，直接寫出AM，MN，BN三條線段之間的數量關系．請你解答：請對慧慧同學所編制的問題進行解答．13．（2024·貴州·模擬預測）如圖，在正方形中，，E、F分別是上的點，且，分別交于點M，N，連接．(1)如圖①，試探究和的數量關系和位置關系；(2)如圖②，若點G是的中點，連接，求證：；(3)在（2）的條件下，若，求的面積．14．（2024·江西南昌·模擬預測）【模型建立】(1)如圖1，在正方形中，，分別是邊，上的點，且，探究圖中線段，，之間的數量關系．小明的探究思路如下：延長到點，使，連接，先證明，再證明．①，，之間的數量關系為________；②小亮發現這里可以由經過一種圖形變換得到，請你寫出這種圖形變換的過程________．像上面這樣有公共頂點，銳角等于較大角的一半，且組成這個較大角的兩邊相等的幾何模型稱為半角模型．【類比探究】(2)如圖2，在四邊形中，，與互補，，分別是邊，上的點，且，試問線段，，之間具有怎樣的數量關系？判斷并說明理由．【模型應用】(3)如圖3，在矩形中，點在邊上，，，，求的長．15．（2024·四川樂山·中考真題）在一堂平面幾何專題復習課上，劉老師先引導學生解決了以下問題：【問題情境】如圖1，在中，，，點