專題10圓中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（定理）模型圓在中考數學幾何模塊中占據著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內容，本專題就圓形中的重要模型（阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.阿基米德折弦模型 1模型2.圓中的“婆羅摩笈多”模型 10 16模型1.阿基米德折弦模型【模型解讀】折弦:從圓周上任一點出發的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點。條件：如圖1所示，AB和BC是⊙O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，M是的中點，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點，結論：CD=AB+BD。圖1圖2圖3圖4證明：法1（垂線法）：如圖2，過點M作射線AB，垂足為點H，連接，AC；∵M是的中點，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴，．∵，，∴．∴．∴．法2（截長法）：如圖3，在CD上截取DG=BD，連接BM，MC，MA，AC；∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M是的中點，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC，∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB，∵MB=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD．法3（補短法）：如圖4，如圖，延長DB至F，使BF=BA；連接MA、MB、MC、MF、AC，∵M是的中點，∴MA=MC，∠MAC=∠MCA，∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC=180°-∠MCA，，∴∠MBA=∠MBF，在△MBF和△MBA中，，∴△MBF≌△MBA（SAS），∴MF=MA=MC，又∵MD⊥BC，∴FD=CD，∴DC=BF+BD=BA+BD；例1．（2024·廣東·校考一模）定義：圓中有公共端點的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC組成圓的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中點，MF⊥AB于F，則AF＝FB+BC．如圖2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圓于E，連接EA，則∠EAC＝°．例2．（2023·廣東九年級期中）如圖，AB和BC是的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），，M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，若，，則CD的長為（

）．A． B． C． D．例3．（2024·山西呂梁·模擬預測）請閱讀下面材料，并完成相應的任務．阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數學家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數學王子．

阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），．M是的中點，則從點M向所作垂線的垂足D是折弦的中點，即．

這個定理有很多證明方法，下面是運用“垂線法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，過點M作射線AB，垂足為點H，連接．∵M是的中點，∴．任務：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)如圖3，已知等邊三角形內接于，D為上一點，．于點E，，連接，求的周長．例4．（23-24九年級上·江蘇連云港·期末）【問題呈現】阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD＝DB+BA．下面是運用“截長法”證明CD＝DB+BA的部分證明過程．證明：如圖2，在CD上截取CG＝AB，連接MA、MB、MC和MG．∵M是的中點，∴MA＝MC①又∵∠A＝∠C②∴△MAB≌△MCG③∴MB＝MG又∵MD⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA根據證明過程，分別寫出下列步驟的理由：①，②，③；【理解運用】如圖1，AB、BC是⊙O的兩條弦，AB＝4，BC＝6，點M是的中點，MD⊥BC于點D，則BD＝；【變式探究】如圖3，若點M是的中點，【問題呈現】中的其他條件不變，判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數量關系？并加以證明．【實踐應用】根據你對阿基米德折弦定理的理解完成下列問題：如圖4，BC是⊙O的直徑，點A圓上一定點，點D圓上一動點，且滿足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半徑為5，求AD長．例5．（24-25九年級上·北京·期中）在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數學家阿基米德提出的有關圓的一個引理．如圖，已知，C是弦AB上一點(1)尺規作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）；①作線段的垂直平分線DE，交于點D，垂足為E；②以點D為圓心，長為半徑作弧，交于點F（F，A兩點不重合），連接．(2)引理的結論為：．證明：連接∵DE為的垂直平分線∴∴又∵四邊形內接于圓∴（______）①（填推理的依據）又∵∴____________…②又∵∴____________…③∴∴∴．例6．（2024·河南商丘校考一模）閱讀下面材料，完成相應的任務：阿基米德是有史以來最偉大的數學家之一、《阿基米德全集》收集了已發現的阿基米德著作，它對于了解古希臘數學，研究古希臘數學思想以及整個科技史都是十分寶貴的．其中論述了阿基米德折弦定理：從圓周上任一點出發的兩條弦，所組成的折線，稱之為該圓的一條折弦．一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點．如圖1，AB和BC是的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），．M是弧的中點，則從M向所作垂線之垂足D是折弦的中點，即．小明認為可以利用“截長法”，如圖2：在線段上從C點截取一段線段，連接．小麗認為可以利用“垂線法”，如圖3：過點M作于點H，連接任務：(1)請你從小明和小麗的方法中任選一種證明思路，繼續書寫出證明過程，(2)就圖3證明：．模型2.圓中的“婆羅摩笈多”模型婆羅摩笈多定理：如果一個圓內接四邊形（即對角互補的四邊形）的對角線互相垂直且相交，那么從交點向某一邊所引垂線的反向延長線必經過這條邊對邊的中點（反之亦能成立）。1）婆羅摩笈多定理（古拉美古塔定理）條件：如圖，四邊形ABCD內接于，對角線，垂足為點M，直線，垂足為點E，并且交直線AD于點F．結論：．證明：∵，，∴，∴，，∴，∵，∴．又∵，∴，∴．在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD，又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD2）婆羅摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理條件：如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，對角線AC⊥BD，垂足為M，F為AD上一點，直線FM交BC于點E，FA=FD．結論：FE⊥BC．證明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM，∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°，∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC．例1．（2024·河南·校考一模）閱讀下列相關材料，并完成相應的任務．婆羅摩笈多是古印度著名的數學家、天文學家，他編著了《婆羅摩修正體系》，曾經提出了“婆羅摩笈多定理”，也稱“布拉美古塔定理”．定理的內容是：“若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線將平分對邊”．按圖寫出這個定理的已知和求證，并完成這個定理的證明過程；已知：________________________________________________________________________________，求證：________________________________________________________________________________，證明：________________________________________________________________________________．例2．（2024·重慶·校考一模）婆羅摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名數學家、天文學家，他在三角形、四邊形、零和負數的算術運算規則、二次方程等方面均有建樹，他曾經提出了“婆羅摩笈多定理”，該定理也稱為“古拉美古塔定理”，該定理的內容及部分證明過程如下：古拉美古塔定理：如圖①，四邊形ABCD內接于，對角線，垂足為點M，直線，垂足為點E，并且交直線AD于點F．則．證明：∵，，∴，∴，，∴，∵，∴．又∵，∴，∴．…任務：(1)將上述證明過程補充完整；(2)古拉美古塔定理的逆命題：如圖②，四邊形ABCD內接于，對角線，垂足為點M，直線FM交BC于點E，交AD于點F．若，則．請證明該命題．例3．（2024·山西太原·三模）請閱讀下面的材料，并解答問題．婆羅摩笈多（Brahmagupta）約公元598年生，約660年卒，在數學、天文學方面有所成就，他編著了《婆羅摩修正體系》《肯達克迪迦》，婆羅摩笈多的一些數學成就在世界數學史上有較高的地位，其中有著名的婆羅摩笈多定理．婆羅摩笈多定理：圓的內接四邊形的對角線與垂直相交于M，過點M的直線與邊分別相交于點F、E．則有下兩個結論：如果，那么；如果，那么．數學課上，趙老師帶領大家對該定理的第一條進行了探究．證明：，，即，，，在中，，……請解答以下問題：(1)請完成所給材料的證明過程；(2)請證明結論（2）；(3)應用：如圖圓O中，半徑為4，A，B，C，D為圓上的點，，連接交于點F，過點F作于E，延長交于G，則的長度為______．1．（2023·浙江溫州·九年級校考階段練習）阿基米德是古希臘最偉大的數學家之一，他曾用圖1發現了阿基米德折弦定理．如圖2，已知BC為⊙O的直徑，AB為一條弦(BCAB)，點M是上的點，MD⊥BC于點D，延長MD交弦AB于點E，連接BM，若BM=，AB=4，則AE的長為(

)A． B． C． D．2．（23-24九年級上·河南漯河·期末）定義：圓中有公共端點的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦．如圖，和組成圓的折弦，，是的中點，于，則下列結論一定成立的是（

）A．B．C．D．3．（23-24九年級上·浙江溫州·期中）婆羅摩芨多是公元7世紀古印度偉大的數學家，他研究過對角線互相垂直的圓內接四邊形，我們把這類四邊形稱為“婆氏四邊形”．如圖，在中，四邊形是“婆氏四邊形”，對角線相交于點E，過點E作于點H，延長交于點F，則的值為（

）A． B． C． D．4．（23-24九年級下·江西南昌·期末）婆羅摩笈多是公元7世紀的古印度偉大數學家，曾研究對角線互相垂直的圓內接四邊形，我們把這類四邊形稱為“婆羅摩笈多四邊形”．如圖，四邊形是的內接四邊形，且是“婆羅摩笈多四邊形”、若，則的半徑為．

5．（23-24九年級上·湖北武漢·期末）古代數學家阿基米德曾經提出一個定理：一個圓中一條由兩條長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點．如圖（1），弦，是的一條折弦，點是的中點，過點作于，則．根據這個定理解決問題：如圖（2），邊長為的等邊內接于，點為優弧上的一點．，則的周長是．6．（2023·重慶·統考一模）閱讀下列相關材料，并完成相應的任務．婆羅摩笈多是古印度著名的數學家、天文學家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經提出了“婆羅摩笈多定理”，也稱“布拉美古塔定理”．定理的內容是：“若圓內接四邊形的對角線互相垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線平分對邊”．任務：（1）按圖（1）寫出了這個定理的已知和求證，并完成這個定理的證明過程；已知：__________________求證：_________________證明：（2）如圖（2），在中，弦于M，連接分別是上的點，于于H，當M是中點時，直接寫出四邊形是怎樣的特殊四邊形：__________．7．（23-24九年級上·山西大同·期末）請閱讀下列材料，并完成相應的任務：斯庫頓定理：如圖1．在中，為的平分線，則．下面是該定理的證明過程：證明：如圖2，是的外接圓，延長交于點，連接．∵為的平分線，∴．∵，（依據①__________________________）．（依據②_________________________）又，．．……任務：（1）證明過程中的依據是：①__________________________________．②__________________________________．（2）將證明過程補充完整：（3）如圖3．在圓內接四邊形中，對角線，相交于點．若，，，，，請利用斯庫頓定理，直接寫出線段的長．8．（23-24九年級上·浙江湖州·期末）【概念認識】定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．（1）如圖1，已知在垂等四邊形中，對角線與交于點，若，cm，，求的長度，【數學理解】（2）在探究如何畫“圓內接垂等四邊形”的活動中，小李與同學討論出了如下方法：如圖2，在中，已知是的弦，只需作，，分別交于點和點，即可得到垂等四邊形，請你寫出證明過程．【問題解決】（3）如圖3，已知是上一定點，為上一動點，以為一邊作出的內接垂等四邊形（、不重合且、、三點不共線），對角線與交于點，的半徑為，當點到的距離為時，求弦的長度．9．（23-24湖南長沙九年級月考）婆羅摩芨多是公元7世紀古印度偉大的數學家，他在三角形、四邊形、零和負數的運算規則，二次方程等方面均有建樹，他也研究過對角線互相垂直的圓內接四邊形，我們把這類對角線互相垂直的圓內接四邊形稱為“婆氏四邊形”．（1）若平行四邊形ABCD是“婆氏四邊形”，則四邊形ABCD是．（填序號）①矩形；②菱形；③正方形（2）如圖1，RtABC中，∠BAC=90°，以AB為弦的⊙O交AC于D，交BC于E，連接DE、AE、BD，AB=6，，若四邊形ABED是“婆氏四邊形”，求DE的長．（3）如圖2，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，連接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD=180°．①求證：四邊形ABCD是“婆氏四邊形”；②當AD+BC=4時，求⊙O半徑的最小值．10．（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖1所示，A、B、C、D四點在上逆時針順序分布，且滿足．(1)求證：點A到兩邊的距離相等；(2)如圖2，已知與相交于點，為的直徑．若，，求的長．(3)已知，與相交于點，直線與直線相交于圓外一點G，若線段為的一條高，試求：的最小值．11．（2023·江蘇淮安·三模）定義：三角形一邊上的點將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個點與該邊所對頂點連線長度的平方，則稱這個點為三角形該邊的“平方點”．如圖1，中，點E是邊上一點，連接，若，則稱點E是中邊上的“平方點”．

(1)如圖2，已知，在四邊形中，平分于點E，，求證：點E是中邊上的“平方點”；(2)如圖3，是的內接三角形，點E是中邊上的“平方點”，若，求的值；(3)在，，點E是邊上的“平方點”，直接寫出線段的長為______．12．（2024·河南安陽·校考一模）閱讀下列材料，并完成相應的任務．西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．某數學興趣小組的同學們嘗試證明該定理．如圖（1），已知內接于，點P在上（不與點A，B，C重合），過點P分別作，，的垂線，垂足分別為．點D，E，F求證：點D，E，F在同一條直線上．如下是他們的證明過程（不完整）：如圖（1），連接，，，，取的中點Q，連接，，則，（依據1）∴點E，F，P，C四點共圓，∴．（依據2）又∵，∴．同上可得點B，D，P，E四點共圓，……任務：(1)填空：①依據1指的是中點的定義及________；②依據2指的是________．(2)請將證明過程補充完整．(3)善于思考的小虎發現當點P是的中點時，，請你利用圖（2）證明該結論的正確性．13．（2024·浙江·九年級專題練習）如圖中所示，AB和BC組成圓的折弦，AB＞BC，D是的中點，DE⊥AB，垂足為E．連結AD，AC，BD．（1）寫出所有與∠DBA相等的角（不添加任何線段）__________．（2）判斷AE，BE，BC之間的數量關系并證明．（3）如圖，已知AD＝7，BD＝3，求AB·BC的值．14．（23-24九年級上·吉林長春·期中）有關阿基米德折弦定理的探討與應用【問題呈現】（1）阿基米德折弦定理：如圖①，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點M是的中點，則從點M向作垂線，垂足D是折弦的中點，即．

下面是運用“截長法”證明的部分證明過程．證明：如圖②，在上截取，連接、、和．∵M是的中點，．……請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分．【理解運用】（2）如圖③，內接于，過點O作于點D，延長交于點E，過點E作于點F．若，，則的長為______．【實踐應用】（3）如圖④，等邊內接于，點D是上一點，且，連接．若，則的周長為______．15．（22-23九年級上·山西陽泉·期末）請閱讀下列材料，并完成相應的任務：

阿基米德折弦定理阿基米德（Archimedes，公元前～公元前年，古希臘）是有史以來最偉大的數學家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數學王子．阿拉伯Al-Biruni（年～年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內容，蘇聯在1964年根據Al-Biruni譯本出版了像文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是固的一條折弦），，是弧的中點，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點，即．這個定理有根多證明方法，下面是運用“垂線法”證明的部分證明過程．證明：如圖2．作射線，垂足為，連接，，．∵是弧的中點，∴．…

任務：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)填空：如圖3，已知等邊內接于，為上一點，，于點，，則折弦的長是______．

16．（23-24九年級上·河南周口·期末）問題呈現：阿基米德折弦定理：如圖，和是的兩條弦（即折線是弦的一條折弦），，是弧的中點，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點，即，下面是運用“截長法”證明的部分證明過程證明：如圖2，在上截取，連接，，和是弧的中點，∴，……(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)實踐應用：如圖3，內接于，，是弧的中點，于點，依據阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關系為______.(3)如圖4，等腰內接于，，為弧上一點，連接，，，，求的周長.17．（23-24·江蘇揚州·九年級校聯考階段練習）我們知道，如圖1，AB是⊙O的弦，點F是的中點，過點F作EF⊥AB于點E，易得點E是AB的中點，即AE＝EB．⊙O上一點C（AC＞BC），則折線ACB稱為⊙O的一條“折弦”．（1）當點C在弦AB的上方時（如圖2），過點F作EF⊥AC于點E，求證：點E是“折弦ACB”的中點，即AE＝EC+CB．（2）當點C在弦AB的下方時（如圖3），其他條件不變，則上述結論是否仍然成立？若成立說明理由；若不成立，那么AE、EC、CB滿足怎樣的數量關系？直接寫出，不必證明．（3）如圖4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，Rt△ABC的外接圓⊙O的半徑為2，過⊙O上一點P作PH⊥AC于點H，交AB于點M，當∠PAB＝45°時，求AH的長．18．（23-24·江蘇·九年級期中）小明學習了垂徑定理，做了下面的探究，請根據題目要求幫小明完成探究．(1)更換定理