重點二階與三階行列式計算，行列式的性質，克拉默法則難點n階行列式的計算，克拉默法則行列式的理論是人們從解線性方程組的需要中建立和發展起來的，是線性代數中的一個基本概念，它在線性代數、其他數學分支以及在自然科學的許多領域中上都有著廣泛的應用．在本章里我們主要討論下面幾個問題：(3)利用行列式求解線性方程組(克萊姆法則).本章的重點是行列式的計算，要求在理解n階行列式的概念，掌握行列式性質的基礎上，熟練正確地計算三階、四階及簡單的n階行列式.計算行列式的基本思路是：按行(列)展開公式，通過降階來計算．但在展開之前往往先利用行列式性質通過對行列式的恒等變形，使行列式中出現較多的零和公因式，從而簡化計算．常用的行列式計算方法和技巧有：直接利用定義法，化三角形法，降階法，遞推法，數學歸納法，利用已知行列式法.行列式在本章的應用是求解線性方程組(克萊姆法則)．要掌握克萊姆法則并注意克萊姆法則應用的條件.解方程是代數中一個基本的問題，行列式的概念起源于解線性方程組，它是從二元與三元線性方程組的解的公式引出來的．因此我們首先討論解方程組的問題.下面考察二元一次方程組12可見，方程組的解完全可由方程組中的未知數系數a,a,a,a以及常數項b,b表示出來，這就是一般二元線性方程組的解公式。但這個公式很不好記憶，應用時十分不方便。由此可想而知，多元線性方程組的解公式肯定更為復雜。因此，我們引進新的符號來表示上述解公式，這就是行列式的稱稱注：(1)構成：二階行列式含有兩行，兩列。橫排的數構成行，縱排的數構成列。行列式中的數a（i1,2;j1,2）稱為行列式的元素。行列式中的元素用小寫英文ij字母表示，元素a的第一個下標i稱為行標，表明該元素位于第i行；第二個下標j稱ij為列標，表明該元素位于第j列。相等的行數和列數2稱為行列式的階。個數均來自不同的行和不同的列。或者說：二階行列式是這樣的兩項的代數和，一項是從左上角到右下角的對角線(又叫行列式的主對角線)上兩個元素的乘積，取正號；另一項是從右上角到左下角的對角線(又叫次對角線)上兩個元素的乘積，取負號。即：033為何值時，行列式D=3【解】因為D=3【解】因為D=33aaDD222222DDEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(1),D)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(2),D)注x的分子行列式D是將系數行列式D中的第1列換成方程組的常數項而得到；x的分子行列式D則是把系數行列式D中的第2列換成方程組的常數項而得到。這樣用行列式來表示方程組的解，就得到簡便、整齊，便于記憶與運算的形式(亦稱克萊姆法則)。【例3】求解二元線性方程組{5【解】由于系數行列式D=4即得方程組的解為45D-2D-2似乎這樣表示線性方程組的解比原來更為煩瑣，但這創造了多元線性方程組的解的公式及其規律性的解法，并為用電腦程序解多元線性方程組打下了良好的基礎。更為下一步學習矩陣知識，為學習高級、大型的管理知識做好了準備。與二階行列式相仿，對于三元一次線性方程組作類似的討論，我們得到三階行列aaaaaaaaa注（1）構成：三階行列式含有三行，三列。橫排的數構成行，縱排的數構成列。行列式中的數稱為行列式的元素，相等的行數和列數3稱為行列式的階。每個項均為來自不同行不同列的三個元素之積，其符號的確定如下圖所示：aaaaaaaaa從圖中可見，三階行列式是這樣的六個項的代數和：從左上角到右下角的每條藍色連線上，來自不同行不同列的三個元素的乘積，取正號；從右上角到左下角的每條紅色連線上，來自不同行不同列的三個元素的乘積，取負號。即aaaaaaaa運算時，在整體上，應從第一行的a起，自左向右計算左上到右下方向上的所有的三元乘積，再從第一行的a起，自左向右計算右上到左下的方向上的所有的三元乘積。對于各項的計算，應按行標的自然數順序選取相乘的元素。這樣較為不容易產生2，類似于二元線性方程組的行列式求解公式，三元線性方程組也有其系數行列式以及相應未知數的分子行列式，得到如下解法（克萊姆法則記三元線性方程組aab1b3ax的分子行列式為D=aaaaaaaaaaaaaaaaab1b2b3aab1b2b3aaaDDD【例7】求解線性方程組。方程組有解，再計算各分子行列式，得212113255222493551231923二、排列及其逆序數從上節的例子我們知道，對角線法則只適用于二階與三階行列式，對四階和四階以上的行列式就不適用了.怎樣計算四階和四階以上的行列式呢?我們先從二階與三階行列式的計算中找一找規律先看二階行列式aDD二階行列式一共有兩項，每一項均由不同行不同列的元素組成。其組成的規律是再看三階行列式aa三階行列式一共有6項，每一項均由不同行不同列的元素組成。其組成的規律是如果行標都取自然數1，2，3；列標只能取1，2，3；2，3，1；3，1，2；3，2，1；2，1，3；1，3，2。所以三階行列式中有6項通過上述分析，我們知道了二階行列式和三階行列式項的組成方法。1）行標取自然排列時，列標分別取全排列.2）項的個數就是全排列的個數。另外，還發現無論二階行列式還是三階行列式，均有一些項的前面取“+”，一些項的前面取“-”。怎樣確定那些項的前面取“+”，那些項的前面取“-”呢？我們發現和排列的順序有關。排列，其中自然數i為1,2,…,n中的某個數，稱作第k個元素，k表示這個數在n級排k2、逆序數數字由小到大的n級排列1234…n稱為標準次序排列．在一個排列i,i,,i中，較大的數在較小的數前面就產容易看出，標準次序排列的逆序數為0.逆序數的計算方法：以32415為例，從第一個數依次查起，分別計算出排列中每個元素前面比它大的數碼個數之和，即算出排列中每個元素的逆序數，這每個元素的逆序數之總和即為所求排列的逆序數.【例8】求排列{3,2,5,1,4}的逆序數【解】在排列{3,2,5,1,4}中3排在首位,逆序數為0；2的前面比2大的數只【例10】21i4j是一個5級別排逆序數為奇數的排列稱為奇排列，逆序數是偶數的排列則稱為偶排列。可以看出例4是奇排列，例5是偶排列。自然排列123…n是偶排列。4、對換將一個排列中的某兩個數的位置互換而其余的數不動,這樣得到一個定理1.1對排列進行一次對換將改變其奇偶性.推論在全體n級排列(n>1)中，奇排列和偶排列各占一半，各有個。2定理1.2任意一個n級排列與12…n都可以經過一系列對換互換，并且所作的對換的個數與這個排列有相同的奇偶性。在給出n階行列式的定義之前，先來看一下二階和三階行列式的定義.aaaaaaa(1)二階行列式是2！項的代數和，三階行列式是(2)二階行列式中每一項是兩個元素的乘積，它們分別取自不同的行和不同的列，三階行列式中的每一項是三個元素的乘積，它們也是取自不同的行和不同的列；(3)每一項的符號是：當這一項中元素的行標是按自然序排列時為偶排列，則取正號；為奇排列，則取負號.通過上述分析，我們找到了構造二階行列式和三階行列式有別于對角線法的新的方法。下面我們將用新的方法定義一般的n價行列式，當然，我們希望用新的方法定義的n價行列式可以原來解一般的n元線性方程組.EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up12(a),a)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up12(a),a)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up12(a),a)稱為n階行列式。它是取自不同行和不同列的n個元素的乘積2j2anjn的代數和，其中j1j2jn是1,2,,n的一個排列。當j1j2jn是偶排列時1.4）式帶有正號；當j1j2jn是奇排列時1.4）式帶有負號，也就是可寫成nnnnj1j2jnEQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up25(a),a)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up16(11),21)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up25(a),a)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up16(12),22)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up25(a),a)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up16(1n),2n)這里Σ表示對所有n級排列求和。行列式D通常可簡記為det(aij)或aijn.j1j2jn(2)n階行列式是n!項的代數和；(3)n階行列式的每個乘積項都是位于不同行、不同列的n個元素的乘積；(4)每一項a1j1a2j2anjn的符號為(-1)τ(j1j2...jn)；為了熟悉n階行列式的定義，我們來看下面幾個問題.【解】這一項各元素的行標是按自然順序排列的，而列標的排列為23514.【解】包含因子a11a23項的一般形式為按定義，j3可取2或4，j4可取4或2，因此包含因子a11a23的項只能是a1j12j23j34j4jjjjj所以只需找出一切可能的非零項即可。第所以只需找出一切可能的非零項即可。第1行除a11類似地，上三角行列式類似地，上三角行列式的值也成立同樣的結論：a1nn1在行列式的定義中，為了確定每一項的正負號，我們把每個乘積項元素按行指標排起來。事實上，數的乘法是可交換的，因而這個元素的次序是可以任意寫的。一般地，n階行列式中的乘積項可以寫成2做了一次對換，因此由定理1.1知：它們的逆序數之和的奇偶性不變.因此有j2jn)a1j1a2j2anjn由此可見，行指標與列指標的地位是對稱的.因此為了確定每一項的符號，同樣可以把每一項按列指標排起來，于是定義又可以寫成a重點n階行列式的性質及其應用行列式的計算是行列式的重點，對于低階或者零元素很多的行列式可以用定義計算，但對于n(n≥4)階行列式來說用定義計算將非常繁瑣或幾乎不可能，因此我們有必要探究行列式的一些性質，以簡化其運算，并且這些性質對行列式的理論研究也有重要意義.記行列式DT是由行列式D的行與列對應互換所得到，稱行列式DT為行列式D的轉置行列式。例如則可知這兩個行列式是相等的。性質1行列式與它的轉置行列式相等，即D=DT。證明因為D中元素aij位于DT的第j行第i列，所以 性質性質1.1表明，在行列式中行與列的地位是對稱的，因此凡是有關行的性質，對列也同樣成立，反之亦然。樣成立，反之亦然。性質性質2任意對換行列式的兩行（或兩列）元素，其值變號。證明設推論推論行列式中有兩行（或兩列）元素對應相同，則此行列式為零。），性質3行列式某行（列）元素的公因子可以提到行列式符號的外面，或者說以一數乘行列式的某行（列）的所有元素等于用這個數乘此行列式.即證明容易得出 推論1如果行列式中某行（列）元素全為零，那么行列式為零.推論2如果行列式中兩行（列）元素成比例，那么行列式為零.2-41例如，行列式D=3-63，因為第一列與第二列對應元素成比例，根據推論2，可性質性質4如果某一行（列）的元素是兩組數之和，那么這個行列式就等于兩個行列式之和，而這兩個行列式除這一行元素外全與原來行列式對應行的元素一樣.即i)jianjnΣj1j2(-1)τ(j1jijn)a1j1jjn性質5行列式中某行（或列）的元素k倍地加到另一行對應元素上，此行列式的值不變。即:::ai2::a:::ai2::a:j1i2j1:j1i2j1:n2n2為使行列式D的計算過程清晰醒目，特約定以下記號：i?cj）表示交換D的第i行（列）與第j行（列i)表示用數k乘D的第i行（列）所有元素；ji）表示把D的第i行（列）元素的k倍加到第j行（列）的對應元素上.利用行列式性質計算：目標是化為三角形行列式，利用三角行列式的計算結論。12-11-225【解】因為第三行是第一行的2倍，所以該行列式等于0.-27-3-3【解】因為行列式的第二、三列相等，故該行列式等于0。yyyyy3232yyyyyy2323yyyyyy2323【解】將第一、二行互換，第三、五行互換，得將第一、五列互換，得3D3D=21【解】3【解】3D=21 04 7 422001—1r艸rr艸rr8r8當今大部分用于計算一般行列式的計算機都是按上述方法設計的.可以證明，利用行變換計算行列式需要進行大約2n3/3次算數運算.任何一臺現代微型計算機都可以在幾分之一秒內計算出50階行列式的值，運算量大約為83300次.111【解】方法一r-r020-231-【證明】把2,3列同時加到第4列上去，則得【例9】計算行列式【解】根據行列式的特點，可將第一列加至第二列，然后將第二列加至第三列，再將第三列加至第四列，目的是使D中的零元素增多.00-a00-a0-a0-a10-a222223333333100-a0a20200a3300-a0a20200a334=4=3=23331三、復習思考答案[x+(n-1)a](x-a)n-1b（答案（答案(a2b2)n）目的要求掌握利用行列式展開法計算行列式重點難點行列式按行（列）展開的應用aaaaaaaa問題：一個n階行列式是否可以轉化為若干個n－1階行列式來計算？對于高階行列式是否都可用較低階的行列式表示呢？為了回答這個問題，先介紹余子式和代數余子式的概念.定義在行列式中劃去元素中劃去元素aij所在的第i行與第j列，剩下的(n-1)2個元素按原來的排法構成一個n-1階行列式行列式的每個元素aij分別對應著一個余子式和代數余子式.顯然元素aij的余子行列式的每個元素aij分別對應著一個余子式和代數余子式.顯然元素aij的余子式和代數余子式只與元素aij的位置有關，而與元素aij本身無關，并且有關系M=-MMijij例如，四階行列式lMij,當i+j為偶數時當i+j為奇數時AAij于是，本節開頭的三階行列式可用代數余子式表示為于是，本節開頭的三階行列式可用代數余子式表示為A為了把這個結果推廣到為了把這個結果推廣到n階行列式，我們先證明一個引理.引理若n階行列式D中第i行的所有元素除aij外都為零，那么這個行列式等于與它的代數余子式的乘積，即D=aijAij.證明當aij位于D的第一行第一列時，即aaijn2由上節例題的結果可知由上節例題的結果可知下面證明一般情形，設j1,,2,1列交換后換到第一列，得D而元素而元素aij在D1中的余子式就是aij在D中的余子式Mij，利用前面的結果有i+jDi+j1ijijijij定理定理1（行列式展開定理）行列式等于它的任一行（或列）的各個元素與其對應的代數余子式乘積之和，即:EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(i),:)1或或1j1j1jA1j2jA2jnjAnj:2j:2j證明證明i1inn2000ain這就是行列式按第這就是行列式按第i行展開的公式.類似的可證行列式按第j列展開的公式，即njAnj定理2行列式中的某一行（或列）各個元素與另一行（列）對應元素的代數余子式乘積之和等于零。即i1j1i2j2injni≠j或1i1j2i2jninji≠j證明構造行列式inj行其中第i行與第j行的對應元素相同，可知D1=0。而D1與D僅第j行元素不同，從而可知，D的第j行元素的代數余子式與D的第j行對應元素的代數余子式相同，即將1D按j行展開11i1j1i2j2injn類似地，有2iA2j+inAjn1iA1j一般地說，利用行列式的展開定理不是計算行列式值的好方法，以一個五階行列式，估算它的計算量。利用行列式的展開定理計算五階行列式的計列式需算5個四階行列式，一個四階行列式需算4個三階行列式，一個三階行列式需算3個二階行列式，這樣計算一個五階行列式需算5×4×3=60個二階行列式。但是，如果行列式的某行（或列）中零元素較多，那么這個行列式就可以選擇這行（或列）【解】方法1利用對角線法則方法2利用行列式的性質rrr3r211021方法3利用行列式按一行（列）展開【例2】計算行列式D=【解】0052100【例3】利用行列式的展開計算行列式D=002041【解】一般應選取零元素最多的行或列進行展開，以簡便計算211212+4020【例4】計算行列式D=【解】11D=03 00 00按第三行展開，有13032r+3r3032133【例5】計算行列式1x211xx221xx23【解】首先，根據行列式的性質，分別將第一行的一1和第三行，從而將第一列的元素除a=1以外，都變為0，即1011按第一列展開，有11EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),2)xx2nijxx2nijEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(n),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(n),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(n),2)n其中記號“Π”表示全體同類因子的乘積。即n階范德蒙德ij