2024-2025學年內蒙古自治區鄂爾多斯市高二上學期12月月考數學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角是（

）A． B． C．2π3 D．2．記等差數列的前項和為，則（

）A．120 B．140 C．160 D．1803．在等差數列an中，已知，，則數列an的通項公式可以為（

）A． B． C． D．4．阿基米德在他的著作《關于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積，當我們垂直地縮小一個圓時，得到一個橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的面積為，兩個焦點分別為，，直線與橢圓C交于AA．2 B．3 C．4 D．65．雙曲線的一條漸近線的方程為，則m值為（）A． B． C． D．6．已知數列的通項，若是遞增數列，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知直線與橢圓相交于A，B，且AB的中點為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過坐標原點的直線與雙曲線C交于A、B兩點，若，則（

）A． B． C． D．4二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是（）A．“”是“直線與直線互相垂直”的必要不充分條件B．“”是“直線與直線互相平行”的充要條件C．直線的傾斜角的取值范圍是D．若、，直線過且與線段相交，則的斜率10．拋物線焦點為F，頂點為O，過F的直線l交拋物線于，兩點分別過A，B作準線的垂線，垂足分別為，，下列說法正確的是（

）A．為定值 B．C．A，O，三點共線 D．11．如圖，在正方體中，點在線段上運動，則下列結論正確的是（）A．三棱錐的體積為定值B．異面直線與所成角的取值范圍是C．平面與平面所成夾角的余弦值取值范圍是D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．拋物線的焦點坐標是.13．若曲線與直線有兩個公共點，則實數m的取值范圍是．14．已知在直三棱柱中，，，，是的中點，若，則.四、解答題（本大題共5小題）15．（1）已知兩直線，．求過兩直線的交點，且平行于直線的直線方程；（2）已知曲線的方程為，根據下列條件，求實數的取值范圍．①曲線是橢圓；②曲線是雙曲線．16．已知等差數列滿足，．(1)求的通項公式；(2)設數列的前項和為，且，若，求正整數的最小值．17．設點，直線，相交于點，且它們的斜率之積為.(1)求點的軌跡方程；(2)若.（i）當時，求的面積；（ii）求的取值范圍.18．如圖所示，直角梯形中，，四邊形為矩形，，平面平面．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的余弦值為，若存在，求出線段的長度，若不存在，請說明理由．19．在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左右頂點分別為，．(1)過點作斜率為k的直線與雙曲線C有且只有一個公共點，求k的值；(2)過點的直線與雙曲線右支交于P，Q兩點，記，的斜率分別為，，試問是否為定值，若是，求出定值，若不是，說明理由．

答案1．【正確答案】D【詳解】直線的斜率為，設直線的傾斜角為，則，則.故選：D．2．【正確答案】C【詳解】因為，所以，所以，所以，故選：C.3．【正確答案】C【詳解】方法一（基本量法）設an的首項為，公差為d，則由，得，∴．代入，整理得，解得．當時，，；當時，，．方法二（等差數列的性質）∵，∴．，∴，∴．當時，；當時，．方法三（方程思想）∵，∴，∴，（由和與積，聯想到根與系數的關系）∴，是方程的兩根，∴或由，，得，∴．同理，由，，得．故選：4．【正確答案】A【詳解】因為橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知橢圓面積為，則，又橢圓的兩個焦點分別為，，直線與橢圓交于A，B兩點，由橢圓對稱性，得線段互相平分于原點，則四邊形為平行四邊形，因為四邊形的周長為12，由橢圓的定義得，解得，所以橢圓的短半軸長.故選：A.5．【正確答案】D【詳解】因為雙曲線的一條漸近線的方程為，所以，解得.故選：D.6．【正確答案】B【詳解】解：由已知得，即，解得.故選：B.7．【正確答案】B【分析】利用過橢圓上兩點的直線方程為，結合中點及直線方程，化簡得到，利用即可求解.【詳解】設兩點坐標分別為，因為AB的中點為，所以，因為在橢圓上，所以①，，兩式相減，得，根據，上式可化簡為，整理得，又，所以，即，所以.故選B.8．【正確答案】A【詳解】如圖，因為雙曲線，所以，由雙曲線的對稱性知，所以，由雙曲線定義可得，所以，又，所以，即，所以,故，故選：A9．【正確答案】BCD【詳解】對于A選項，若直線與直線互相垂直，則，解得或，所以，“”是“直線與直線互相垂直”充分不必要條件，A錯；對于B選項，若直線與直線互相平行，則，解得，所以，“”是“直線與直線互相平行”的充要條件，B對；對于C選項，直線的斜率為，當時，；當時，.因此，直線的傾斜角的取值范圍是，C對；對于D選項，如下圖所示：設線段交軸于點，直線交線段于點，，，當點在從點往點（不包括點）運動時，此時，直線的傾斜角為銳角，在運動的過程中，直線的傾斜角逐項增大，此時，直線的斜率為；當點從點（不包括點）往點運動時，此時，直線的傾斜角為鈍角，在運動的過程中，直線的傾斜角逐漸增大，此時，直線的斜率為.綜上所述，直線的斜率的取值范圍是，D對.故選：BCD.10．【正確答案】AC【詳解】易知F1,0，準線方程，不妨設，與拋物線方程聯立有，所以，而，故A正確；易知，則，顯然，即，故B錯誤；易知，顯然，即A，O，三點共線，故C正確；由拋物線定義可知，由上知，所以，故D錯誤.故選：AC11．【正確答案】ACD【詳解】對于A，，平面，平面，平面，點在線段上運動，點到平面的距離為定值，又的面積為定值，故三棱錐的體積為定值，故A正確；對于B，，異面直線與所成的角即為與所成的角，當點位于點時，與所成的角為，當點位于的中點時，平面，，，此時，與所成的角為，異面直線與所成角的取值范圍是，故B錯誤；對于C，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，，，則，，設平面的法向量，設平面的法向量，，則，即，令，則，則得，面與平面所成夾角為，所以，因為，，所以，，所以平面與平面所成夾角的余弦值取值范圍是，故C正確；對于D，則，，，，，，設平面的法向量，則，即，令，則，得，所以直線與平面所成角的正弦值為：，當時，直線與平面所成角的正弦值取得最大值，最大值為，故D正確.故選：ACD.12．【正確答案】【分析】將拋物線的方程化為標準形式，即可求解出焦點坐標.【詳解】因為拋物線方程，焦點坐標為，且，所以焦點坐標為，故答案為.13．【正確答案】【詳解】由可得，即曲線表示以原點為圓心，2為半徑的圓的上半部分，畫出圖形，可得當直線經過點A?2,0時，，當直線與曲線相切時，由圓心到直線的距離可得，由圖可得，所以要使直線與曲線有兩個公共點，則.故選：C.

故14．【正確答案】【分析】建立空間直角坐標系，設，再利用空間向量求解即可.【詳解】以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，設，則由題意：，，，則，，又所以，解得，即.故答案為.

15．【正確答案】（1）；（2）①；②.【詳解】（1）聯立，得，即兩條直線的交點坐標為，設與直線平行的直線方程為，將代入得，即，所以所求直線方程為；（2）①曲線的方程為，，又曲線是橢圓，，解得且，故實數的取值范圍為；②曲線是雙曲線，，解得或，故實數的取值范圍為.16．【正確答案】(1)(2)11【詳解】（1）設等差數列的公差為，則，解得，，故．（2）由（1）可得，則，所以，則數列是等差數列，故．因為，所以，所以，所以或．因為，所以的最小值是11．17．【正確答案】(1)(2)(i)；(ii)【詳解】（1）設點的坐標為，因為點的坐標是，所以直線的斜率是，同理，直線的斜率是，由已知，有，化簡，得點的軌跡方程是，點的軌跡是除去，兩點的橢圓；（2）（i）設，，，，在中，由余弦定理得：，，（ii）設，則，即，，，，，，，，.18．【正確答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在；2.【分析】（1）根據條件先判定垂直關系再建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量判定線面關系即可；（2）利用空間向量結合（1）的結論計算面面夾角即可；（3）利用空間向量研究線面夾角計算即可.【詳解】（1）因為四邊形為矩形，平面平面，平面平面，所以，則平面，根據題意可以以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，易知，，設平面的法向量，不妨令，則，又，，又平面平面；（2）由上可知，設平面的法向量，，令，則，，所