第4章一元函數積分學4-1定積分的概念與性質

4-2原函數與不定積分4-3積分法4-4定積分在幾何上的應用

第4章一元函數積分學

4-5定積分在物理中的應用4-6定積分在經濟上的應用

4-7數學建模與數學實驗

Matlab在積分學中的應用

4-1定積分的概念與性質一、問題引入二、定積分的基本概念三、定積分的基本性質四、小結一、問題的引入4-1定積分的概念與性質

引例1[曲邊梯形的面積]

下面我們討論由連續曲線y=f(x)(設f(x)≥0)，直線x=a,x=b和x軸(y=0)所圍成的曲邊梯形面積.所謂曲邊梯形，是指如圖所示的圖形AabB，其中有兩邊平行，第三邊與這兩邊垂直，第四條邊是曲線。

它的面積不能用初等數學的方法來解決，于是人們產生了如下想法：4-1定積分的概念與性質

用平行與y軸的直線將曲邊梯形切割成若干個小曲邊梯形，每個小曲邊梯形用相應的小矩形近似代替，把這些小矩形的面積累加起來，就得到曲邊梯形面積的一個近似值，當分割得無限細時，這個近似值就無限趨近于所求曲邊梯形的面積．4-1定積分的概念與性質

(1)分割.

在[a,b]中插n-1個分點把區間[a,b]分成個小區間：其中第個小區間長度為過每個分點作平行于y軸的直線，曲邊梯形被分成n個小曲邊梯形.

，，，，4-1定積分的概念與性質

在每個小區間內任取一點

，以

為底邊、為高作小矩作，其面積為

(2)取近似.4-1定積分的概念與性質

當很小時，窄曲邊梯形的面積

與小矩形面積

近似相等,即4-1定積分的概念與性質

（3）求和.

將各窄曲邊梯形面積的近似值加起來即得所求大曲邊梯形面積的近似值.4-1定積分的概念與性質

（4）取極限.

記Δx=max{Δxi},當Δx→0時,取上述和式的極限,得曲邊梯形的面積為

求曲邊梯形的面積就歸結為求上述這種和式的極限.4-1定積分的概念與性質

引例2[變速直線運動的路程]

4-1定積分的概念與性質

4-1定積分的概念與性質

4-1定積分的概念與性質

從上述兩個例子可以看出，雖然它們的實際意義不同，但撇開這些問題所代表的幾何、物理意義，處理這些問題所使用的思想方法和步驟、以及最后所得出的數學表達式來看都是相同的.即歸結為對某個量進行“分割、取近似、求和、取極限”，或者說都轉化為具有特定結構的和式的極限問題．

在自然科學和工程技術中有很多問題，如變力沿直線做功、物質的質量、平均值、曲線的弧長等，都可以歸結為這種特定和式的極限.由此，抽象出定積分的概念．

4-1定積分的概念與性質

二、定積分及其基本概念4-1定積分的概念與性質

4-1定積分的概念與性質

4-1定積分的概念與性質

4-1定積分的概念與性質

4-1定積分的概念與性質

（2）從定義可以推出定積分存在的必要條件是被積函數在上有界．（3）由定義可知，當

在區間

上的定積分存在時，定積分的值只與被積函數以及積分區間有關，而與積分變量的記號無關，即有4-1定積分的概念與性質

4-1定積分的概念與性質

4-1定積分的概念與性質

x

yOab

y

f(x)

y

-f(x)=-A=-A4-1定積分的概念與性質

b

y=f(x)aO

y

x－＋＋4-1定積分的概念與性質

4-1定積分的概念與性質

4-1定積分的概念與性質

例1利用定積分定義計算4-1定積分的概念與性質

4-1定積分的概念與性質

4-1定積分的概念與性質

案例1[汽車行駛的路程]一汽車以速度

（

的單位：秒，的單位：米/秒）作直線運動，試用定積分表示汽車在時間區間

內經過的路程

．解由定積分的定義知，物體經過的路程

是速度

在時間區間

上的定積分,即4-1定積分的概念與性質

解由定積分的意義知，流入水箱的總量

是水流到水箱的速度

在時間區間

上的定積分，即4-1定積分的概念與性質

4-1定積分的概念與性質

4-1定積分的概念與性質

4-1定積分的概念與性質

4-1定積分的概念與性質

從性質4立刻推出如下推論:

推論1:若

在區間

上可積，且

，則4-1定積分的概念與性質

4-1定積分的概念與性質

4-1定積分的概念與性質

證因為

在

上連續，所以

在

上可積，且有最小值

和最大值

．則在

上，4-1定積分的概念與性質

4-1定積分的概念與性質

4-1定積分的概念與性質

解（1）當4-1定積分的概念與性質

4-1定積分的概念與性質

例3估計定積分

的大小．4-1定積分的概念與性質

解函數在區間[2,4]上的平均值為5，由積分中值定理有4-1定積分的概念與性質

解全波整電流的周期,求周期函數的平均值是求一個周期上的平均值，于是四、小結4-1定積分的概念與性質

1.掌握定積分的基本概念（1）定積分的定義（2）定積分的幾何意義（3）定積分存在定理2.理解定積分的基本性質，能熟練運用性質求定積分4-1定積分的概念與性質

4-2原函數與不定積分4-3積分法4-4定積分在幾何上的應用

第4章一元函數積分學

4-5定積分在物理中的應用4-6定積分在經濟上的應用

4-7數學建模與數學實驗

Matlab在積分學中的應用

4-2原函數與不定積分一、問題引入二、原函數的概念三、不定積分的概念四、基本積分表五、不定積分的線性性質六、直接積分法4-2原函數和不定積分一.問題引入

4-2原函數和不定積分

本例為已知曲線上每一點切線的斜率，求曲線方程.實際上是已知函數的導數，求函數的表達式的問題.這實際是導數運算的逆運算問題.即研究從已知函數的導函數求原來的函數．解決這個問題不僅是數學理論的需要，更是解決許多實際問題的需要．4-2原函數和不定積分

二.原函數概念

例如，

是

在區間

上的一個原函數，因為

；

又如，在

內

，故路程函數

是速度函

的一個原函數．4-2原函數和不定積分

4-2原函數和不定積分

在上節中知道：凡在區間上連續的函數都有原函數．由于初等函數在其定義區間內是連續的.因此，初等函數在其定義區間上都有原函數

上述結果表明，如果

在

上有一個原函數

，則它就有無窮多個原函數，且全體原函數可寫成的形式

，其中

為任意常數．4-2原函數和不定積分由原函數定義下面引入不定積分的概念4-2原函數和不定積分

三.不定積分的定義1.定義4.2.2

函數的全部原函數，稱為的不定積分，記作

．其中“”稱為積分號,稱為積分變量，稱為被積函數，稱為被積表達式．如果是的一個原函數，則（為任意常數）．其中稱為積分常數．4-2原函數和不定積分

4-2原函數和不定積分

4-2原函數和不定積分

3.不定積分的幾何意義

如果是的一個原函數，則的不定積分．對于每一給定的常數，表示坐標平面上的一條確定的曲線，這條曲線稱為的一條積分曲線．由于可以取任意值，因此不定積分表示的一族積分曲線．

4-2原函數和不定積分

3.不定積分的幾何意義4-2原函數和不定積分

4-2原函數和不定積分

例1設曲線通過點（0，1），且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標的平方，求此曲線的方程．4-2原函數和不定積分

4-2原函數和不定積分

4-2原函數和不定積分

解當時，，所以當時，，所以．．所以．4-2原函數和不定積分

四、基本積分表4-2原函數和不定積分基本積分表4-2原函數和不定積分

五、不定積分的線性性質性質1不定積分與求導數或微分互為逆運算．(2)或．(1)或．性質2被積表達式中的非零常數因子，可以移到積分號前．(，常數).4-2原函數和不定積分

性質3

兩個函數代數和的不定積分，等于兩個函數積分的代數和．．一般地，．六、不定積分的直接積分法4-2原函數和不定積分

這13個公式必須熟記，它們是求積分的基礎.下面舉例說明利用基本積分公式和積分的性質求不定積分的方法，即直接積分法.4-2原函數和不定積分

例7

求積分解4-2原函數和不定積分

在進行不定積分的計算時，兩個不定積分應該各含一個積分常數，但由于任意常數的和仍為任意常數，所以在整個不定積分的運算結果中只需寫一個任意常數即可．4-2原函數和不定積分

4-2原函數和不定積分

4-2原函數和不定積分

4-2原函數和不定積分

4-2原函數和不定積分

解

（1）由速度和加速度的關系

知,速度函數滿足

，且

，則4-2原函數和不定積分

（2）由路程與速度的關系

知，路程函

數滿足

則將

代入上式，得

，所以,4-2原函數和不定積分

解已知

，由不定積分定義得

將

代入上式，得

，所以4-2原函數和不定積分

解由

，由不定積分定義,得其中

開始結冰，此時冰的厚度為0，即有

，代入上式得

，所以4-2原函數和不定積分

案例4[總收入]設某廠生產某種商品的邊際收益函數

,其中

為該商品的產量，如果該商品可在市場上全部售出，求總收入函數七、小結1.掌握不定積分的基本概念（1）不定積分的定義（2）不定積分的幾何意義（3）不定積分性質2.能熟練運用不定積分的性質求不定積分——直接積分法4-2原函數和不定積分

4-1定積分的概念與性質

4-2原函數與不定積分4-3積分法

4-4定積分在幾何上的應用

第4章一元函數積分學

4-5定積分在物理中的應用4-6定積分在經濟上的應用

4-7數學建模與數學實驗

Matlab在積分學中的應用

4-3積分法一、問題引入二、微積分基本公式三、換元積分法四、分部積分法五、小結4-3積分法

定積分是一種特殊和式的極限.用定義計算定積分十分繁瑣，即使是很簡單的被積函數，也是十分困難的．本節將通過微積分基本公式，揭示微分與積分、不定積分與定積分的關系，從而確定定積分運算的基本方法．一、問題引入

解：當列車速度為

時停下，解出

（

）.一方面，由變速直線運動路程的計算有另一方面，由速度和路程的關系

且

.因此，求

，即

，轉化為求

的不定積分，而4-3積分法

將

代入上式，得

，所以

將

代入上式，可得列車從減速開始到停下經過3秒時間，所經過的路程為即列車在離站臺1.5千米處開始減速.

從這一案例可以看出，求函數的定積分

可以轉化為求函數

的不定積分.4-3積分法

4-3積分法

二.微積分基本公式1.積分變上限函數及其導數4-3積分法

其幾何意義是圖4-9所示陰影的面積

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

2.微積分基本公式

4-3積分法

（4.3.1）

4-3積分法

4-3積分法4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

三.換元積分法解由加速度和速度的關系

，有

下一步如何求原函數

的不定積分呢？只利用基本積分表和積分的性質，顯然是不夠的．必須探尋更加切實可行的方法．4-3積分法

（一）不定積分的換元積分法1.第一類換元法4-3積分法

第一換元法求不定積分的一般步驟如下：（令

）4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

熟練之后，可以省去中間的換元過程．4-3積分法

常用的湊微分形式

序號微分公式序號微分公式1

（為常數且

）8293104115126137144-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

進行不定積分的運算時，有時被積函數需要先做適當變形，然后再運用第一換元積分法進行求解．

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

解設

表示從1970年（

）起到第年石油消耗的總量，

就是石油消耗率

，即

.于是由變化率求總消耗量，得，先湊微分

，則有令

得

4-3積分法

4-3積分法

2.第二類換元法定理4.3.5（第二類換元法）4-3積分法

4-3積分法

(1)無理代換

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法例19求

4-3積分法

(2)三角代換

4-3積分法

例20

求．

解

設，則，．所以4-3積分法

．由，所以．于是因此，所求不定積分．4-3積分法

．

例21

求．

解設，則

，

所以．

為了返回原積分變量，可由作輔助三角形．4-3積分法

所以，其中.，4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

解對

積分，得4-3積分法

解法一

用第一換元積分法得將

時

，代入上式,得

，所以

.4-3積分法

解法二

用第二換元積分法得

4-3積分法

(二）定積分的換元積分法4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

也可用＂湊微分法＂求，即

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

解在時間

段內，天然氣的產量（產量微元）為該新井前4年的總產量為四、分部積分法4-3積分法

設函數

與

均可導，則根據乘積的求導法則，有即

將上式兩邊求不定積分得，（一）不定積分的分部積分法4-3積分法

因此，不定積分的分部積分公式為

(4.3.5)4-3積分法

解解法一若令

，則得解法二若令

，則得4-3積分法（1）

要容易求得；（2）

比

容易積出.

注意：一般地，如果被積函數是冪函數和正（余）弦函數(或指數函數)的乘積，可用分部積分法，選冪函數為u；如果被積函數是冪函數與對數函數（或反三角函數）的乘積，選對數函數（或反三角函數）為u.4-3積分法

例27求下列不定積分：（1）

；（2）

；（3）

.（2）（3）注意：分部積分法的使用遠非限于上述幾種函數乘積的形

式．對它的靈活運用會大大擴充其適用范圍．4-3積分法（二）定積分的分部積分法

設函數

、

在區間上有連續導數，利用微積分基本公式，相應地有定積分的分部積分公式.

定理4.3.7若

，

在

上有連續的導數，則

(4.3.6)4-3積分法4-3積分法

例28計算下列定積分：解（1）

4-3積分法

4-3積分法所以，4-3積分法

解

由變化率求總該變量得4-3積分法

解該廠在

年排出的廢氣量（廢氣量微元）為

，因此該廠在

和

年間排出的總廢氣量為4-3積分法

注意：換元積分法和分部積分法是求不定積分和定積分的基本方法，初等函數的積分公式組成基本積分表．“兩法一表”是進行積分運算的主要依據．五、小結1.掌握微積分基本公式的概念及應用3.分部積分法（1）不定積分的分部積分法（2）定積分的分部積分法4-3積分法

2.換元積分法（1）不定積分的換元積分法（2）定積分的換元積分法4-1定積分的概念與性質

4-2原函數與不定積分4-3積分法4-4定積分在幾何中的應用第4章一元函數積分學

4-5定積分在物理中的應用4-6定積分在經濟上的應用

4-7數學建模與數學實驗

Matlab在積分學中的應用

4-4定積分在幾何中的應用一、微元法二、平面圖形的面積三、旋轉體的體積四、平面曲線的弧長五、小結4.4定積分在幾何中的應用

4.4定積分在幾何中的應用

一、微元法4.4定積分在幾何中的應用

現在來簡化這個過程，一般可概括為以下兩步：

稱為所求量

微元(元素)，記為

4.4定積分在幾何中的應用

第二步：求和取極限

這種方法稱為微元法．4.4定積分在幾何中的應用

引例1[由變化率求總改變量]則由微元法，得從

到

的總變化量為4.4定積分在幾何中的應用

二.平面圖形的面積圖4-13（4.4.1）4.4定積分在幾何中的應用

圖4-144.4定積分在幾何中的應用用元素法求它的面積．（3）在區間上

積分，即得所求圖形的面積（4.2）（1）取橫坐標

為積分變量，4.4定積分在幾何中的應用

（4.4.3）圖4-154.4定積分在幾何中的應用

例1求由兩條拋物線

，

，所圍圖形（圖4-16）的面積．4.4定積分在幾何中的應用

解得

及

．x0圖4-16所圍的面積為4.4定積分在幾何中的應用

解聯立解之得曲線與直線的交點

和

．以

為積分變量，則所求面積為4.4定積分在幾何中的應用

x圖4-17從例2看出，適當選取積分變量，會給計算帶來方便．4.4定積分在幾何中的應用

解由于橢圓關于軸與軸都是對稱的，故它的面積是位于第一象限內的面積的4倍．圖4-184.4定積分在幾何中的應用

4.4定積分在幾何中的應用

4.4定積分在幾何中的應用

Oyx0.64米1.60圖4-19解

建立直角坐標系如圖4-19所示，即拋物線方程為

，因為它過點

，所以

，即拋物線方程為

.此圖形的面積實際上是由曲線

與直線

所圍成的面積·面積微元為

面積為4.4定積分在幾何上的應用4.4定積分在幾何上的應用

三.旋轉體的體積旋轉體是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體，這條直線叫做旋轉軸．圓柱，圓錐，圓臺，球體等都可以看成是旋轉體．故所求旋轉體的體積為

（4.4.5）4.4定積分在幾何上的應用4.4定積分在幾何上的應用

4.4定積分在幾何上的應用

例5求底面半徑為r，高為h的正圓錐體的體積．所以體積4.4定積分在幾何上的應用

解

如圖4-23所示，根據求旋轉體的體積公式，得圖4-234.4定積分在幾何上的應用

解

這個旋轉橢球體可看作由半個橢圓繞軸旋轉一周而成．所以它的體積特別當

時,得半徑為

的球體體積4.4定積分在幾何上的應用

四.平面曲線的弧長

設有一曲線弧段

，它的方程是如果

在

上有連續的導數，則稱弧段是光滑的，試求這段光滑曲線的長度．于是得弧長元素(也稱弧微分)因此，所求的弧長為（4.4.7）y4.4定積分在幾何上的應用

4.4定積分在幾何上的應用

解

代入公式(7)式，得axy0圖4-254-4定積分在幾何中的應用

1.微元法的應用；2.平面圖形的面積的求法；3.旋轉體的體積的求法；4.平面曲線的弧長的求法；五、小結5.應用舉例。4-1定積分的概念與性質

4-2原函數與不定積分4-3積分法4-4定積分在幾何中的應用第4章一元函數積分學

4-5定積分在物理中的應用4-6定積分在經濟上的應用

4-7數學建模與數學實驗

Matlab在積分學中的應用

4-5定積分在物理中的應用一、變力沿直線做功二、壓力三、小結4.5定積分在物理中的應用

從物理學知道，若物體在作直線運動的過程中一直受與運動方向一致的常力

的作用，則當物體有位移時，力

所做的功為一.變力沿直線做功4.5定積分在物理中的應用

所以當物體沿x軸從

移動至

時，作用在其上的力所做的功為(5.1)4.5定積分在物理中的應用

解設鐵釘擊入木板的深度為

，所受阻力

（

為比例常數）鐵錘第一次將鐵釘擊入木板1

，所做的功為4.5定積分在物理中的應用

由于第二次錘擊鐵釘所做的功與第一次相等，故有其中

為兩錘共將鐵釘擊入木板的深度．上式即4.5定積分在物理中的應用

二．壓力例2[水閘門所受的壓力]有一圓柱形大蓄水池，直徑為20米，高為30米，池中盛水半滿（即水深15米）．求將水從池口全部抽出所做的功．4.5定積分在物理中的應用

從而所做的功為

圖4-274-5定積分在物理中的應用

1.掌握定積分在變力沿直線做功的應用；2.掌握定積分在求壓力中的應用；

定積分在物理中的應用十分廣泛，如計算物體的質量、靜力矩與重心、液體壓力、兩質點的引力等問題，都可以應用微元法分析處理，類似各種實例不勝枚舉，重要的是通過學習能熟練地運用這種方法，以不變應萬變。三、小結4-1定積分的概念與性質

4-2原函數與不定積分4-3積分法4-4定積分在幾何中的應用第4章一元函數積分學

4-5定積分在物理中的應用4-6定積分在經濟上的應用

4-7數學建模與數學實驗

Matlab在積分學中的應用

4-6定積分在經濟上的應用一、已知邊際函數求總函數二、已知邊際函數求總函數在區間上的增量三、已知邊際函數求總函數的最值四、求函數的平均值五、小結4.6定積分在經濟上的應用

4.6定積分在經濟上的應用

一.已知邊際函數求總函數

由于總函數（如總成本、總收益、總利潤等）的導數就是邊際函數（如邊際成本、邊際收益、邊際利潤等），當已知初始條件時，即可用定積分求出總量函數.在經濟活動中經常遇到求總量問題，一般有以下幾類.4.6定積分在經濟上的應用

4.6定積分在經濟上的應用

3.總利潤等于總收入扣除總成本，記總利潤為

，則

，若已知邊際收入為

，邊際成本為

，則累計產量

從

到

所獲得的總利潤為4.6定積分在經濟上的應用

二.已知邊際函數求總函數在區間上的增量4.6定積分在經濟上的應用

三．已知邊際函數求總函數的最值

設邊際收入為

，邊際成本為

，固定成本為

，則總利潤函數為4.6定積分在經濟上的應用

（1）總成本函數

，總收益

，總利潤

；（2）當生產量由10百件增加到15百件時，平均成本、平均收益、平均利潤是多少？

分析：已知邊際成本

，邊際收益

，如果固定成本記為

，

,則總成本和總收益分別為4.6定積分在經濟上的應用

因此，總利潤函數

為4.6定積分在經濟上的應用

4.6定積分在經濟上的應用

4.6定積分在經濟上的應用

求：(1)銷售40臺時的總利潤；(2)銷售出60臺時，前30臺平均利潤和后30臺的平均利潤；(3)銷售多少臺時利潤最大，最大利潤是多少？4.6定積分在經濟上的應用

（2）前30臺平均利潤為后30臺平均利潤為4.6定積分在經濟上的應用

所以

當臺時利潤最大.最大利潤為4.6定積分在經濟上的應用

解（1）總利潤函數為,欲求最大利潤，只需求出的最大值

即可.4.6定積分在經濟上的應用

4.6定積分在經濟上的應用

四．求函數的平均值4.6定積分在經濟上的應用

4.6定積分在經濟上的應用

4.6定積分在經濟上的應用

1.直流電的平均功率

平均功率又稱為有功功率（activepower),由電工學知，電流在單位時間所做的功率稱為電流的功率

，即

直流電通過電阻

，消耗在電阻

上的功率（即單位時間內消耗在電阻上的功）是4.6定積分在經濟上的應用2.交流電的平均功率

交流電雖然在不斷變化，但在很短的時間間隔內，可以近似地認為是不變的（即近似地看做是直流電），因而在

時間內

對以常代變，可得到功微元：4.6定積分在經濟上的應用在一個周期內消耗的功率為因此，交流電的平均功率為

4-6定積分在經濟上的應用

1.根據已知邊際函數求總成本函數、總收入函數、總利潤函數；2.能根據已知邊際函數求總函數在區間上的增量；五、小結3.根據已知邊際函數求總函數的最值；4.會求函數在區間上的平均值。4-1定積分的概念與性質

4-2原函數與不定積分4-3積分法