高級中學名校試卷PAGEPAGE1北京市通州區2025屆高三上學期期中質量檢測數學試卷第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，又，所以，故選：D.2.設復數，則復數在復平面內對應的點的坐標是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，所以，故復數在復平面內對應的點的坐標是，故C正確.故選：C3.下列函數中，在上單調遞增的是（）A B.C. D.【答案】A【解析】對于選項A，由，得恒成立，則在上單調遞增，所以選項A正確，對于選項B，因為在上單調遞減，所以選項B錯誤，對于選項C，因為在上單調遞減，所以選項C錯誤，對于選項D，由，得到，當時，，當時，，所以在單調遞減，在上單調遞增，故選項D錯誤，故選：A.4.已知角終邊經過點，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據三角函數定義可得：，故可得，則.故選：A.5.設，為非零向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】，為非零向量，“”展開為：∴“”是“”的充要條件.故選：C.6.在中，，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，得到，又，，由正弦定理得，所以，故選：D.7.沙漏也叫做沙鐘，是一種測量時間的裝置.現有一個沙漏（如圖）上方裝有的細沙，細沙從中間小孔由上方慢慢漏下，經過時剩余的細沙量為，且（b為常數），經過時，上方還剩下一半細沙，要使上方細沙是開始時的，需經過的時間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意有，即，兩邊取對數得，所以，得到，當容器中只有開始時的時，則有，所以，兩邊取對數得，所以，故選：C．8.設函數，已知，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，且，所以，得到①又，則，得到②，由①②得到，，即，又，所以的最小值為，故選：B.9.設集合，則（）A.對任意實數a， B.對任意實數a，C.當且僅當時， D.當且僅當時，【答案】C【解析】對A，若，則，將代入不全部滿足，此時可知，故A錯誤；對B，當時，則，將代入全部滿足，此時可知，故B錯誤；對C，若，，解之可得，所以C正確；對D，當，則，將代入不全滿足，所以，故D錯誤.故選：C10.已知是的重心，過點作一條直線與邊，分別交于點，（點，與所在邊的端點均不重合），設，，則的最小值是（）A.1 B. C.2 D.4【答案】B【解析】如圖：取中點，則，，，∵三點共線，∴，即，∴，當且僅當時，取等號；故選：B第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數的定義域是___________．【答案】【解析】因為，所以，則且，故的定義域是.12.已知向量在正方形網格中的位置如圖所示.若網格中每個小正方形的邊長均為，則________.【答案】【解析】由圖知，，且，所以，故答案：.13.已知等差數列的首項為，設其前項和為，且，則過點和，且滿足的直線的斜率是________.【答案】2【解析】設公差為，因為，所以，解得，所以，，故直線斜率為.14.設函數①若，則函數的零點個數有________個.②若函數有最小值，則實數a的取值范圍是________.【答案】3【解析】①，當時，，由解得；由，解得或.綜上所述，的零點個數有個.②，當時，在區間上單調遞增，值域為，無最值.當時，，開口向上，對稱軸為，，當時，，則，①，的開口向上，對稱軸為，，則①不成立.當時，，則，解得.綜上所述，.故答案為：；15.已知無窮數列滿足，，給出下列四個結論：①，；②數列為單調遞減數列；③，使得；④，均有.其中正確結論的序號是________.【答案】①②④【解析】由，，進而可得，結合，以此類推可得，故，故，故①②正確，③錯誤，由可得，故.由于，故，進而可得，故，因此，累加，故，當時，，故，故④正確，故答案為：①②④.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.已知函數，.（1）求的最小正周期及的值；（2）直線與函數，的圖象分別交于兩點，求的最大值.解：（1）因為，所以，的最小正周期為.（2）由題意可知，兩點的坐標為，，則，即，故，因為，所以，所以，所以MN在時的最大值為.17.記的內角的對邊分別為，已知，.（1）求及；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別作答，按第一個解答計分.解：（1）由和余弦定理可得.因為為的內角，所以，故，由變形得，由正弦定理得.（2）選擇條件①：，由正弦定理得，解得，因為為的內角，所以，故，與相互矛盾，故不存在這樣的三角形，所以我們不選擇條件①，選擇條件②：，因為，，所以，解得，由余弦定理得，化簡得，解得或（舍），所以.選擇條件③：，因為，所以.因為，所以，由余弦定理得，化簡得.解得或，當時，是直角三角形，與題干不符，故排除，所以.18.已知為數列的前項和，滿足，．數列是等差數列，且，．（1）求數列和的通項公式；（2）設求數列的前項和．解：（1）因為，，①所以有，．②②①得．所以數列成以為首項，以為公比的等比數列．所以．又數列是等差數列，且，．所以，．所以．（2）因為設數列的前項和為，所以．19.設函數，若函數在處取得極小值8.（1）求的值；（2）求函數在上的最大值和最小值，以及相應x的值；（3）證明：曲線是中心對稱圖形.解：（1），由題意函數在處取得極小值8得，解得，.此時，當或時，f'x>0，當時，f'故為的極小值點，故，滿足條件.（2）由（1）分析列表得：x00,222,33

-0+

24單調遞減8單調遞增15所以當時取得最小值為8，時取得最大值為24.（3）曲線的對稱中心為，證明如下：設點為曲線上任意一點，則點關于(0，24)的對稱點為，因為在圖象上，所以.又.所以點也在圖象上.所以曲線是中心對稱圖形.20.已知函數.（1）當時，求函數的單調區間；（2）證明：當，曲線的切線不經過點；（3）當時，若曲線與直線在區間上有兩個不同的交點，求實數a的取值范圍.解：（1）當時，，的定義域為.，令，解得當時，，單調遞增，當時，，單調遞減.所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）當時，，.設曲線的切點為，則切線方程為，假設切線過原點，則有，整理得：.令，則.所以當時，；當時，；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以對任意，，所以方程無解.綜上可知，曲線在點的切線不過原點.（3）曲線與直線在區間上有兩個不同的交點，等價于在區間上有兩個不同的解，即，在區間上有兩個不同的解，設，則，令，解得，又因為，所以，當，，所以單調遞增；當，，所以單調遞減；所以，當時，，當時，，要使在區間上有兩個不同的解，只需使即可.所以實數a的取值范圍是.21.已知數列的通項公式為（表示不超過實數x的最大整數），數列的通項公式為.（1）寫出數列的前6項；（2）試判斷與是否為數列中的項，并說明理由；（3）證明：數列與數列的公共項有無數多個.解：（1）依題意，數列的通項公式為，所以，，，，，.（2）是數列中的項，不是數列中的項.；下面證明不是數列中的項因為