2.1引言2.2離散時間信號的傅里葉變換2.3離散時間信號的Z變換2.4LTI離散時間系統的頻域分析2.5離散時間信號與模擬信號時域和頻域的關系習題與上機題

信號和系統的分析方法有兩種，即時域分析方法和頻域分析方法。在第1章中我們已經介紹了離散時間信號與系統在時域的分析方法，

該方法比較直觀，容易理解。但僅在時域分析和研究

有時會很困難，因此需要將信號從時域轉換到頻率域來分析和研究。對離散時間信號和系統進行頻域分析需要兩種數學工具，即傅里葉變換和Z變換。2.1引言這里的傅里葉變換指的是序列的傅里葉變換(SequenceFourierTransform，SFT)，它將信號從時域轉換到實頻域，而Z變換作為傅里葉變換的推廣，將信號從時域轉換到復頻域。正如連續時間信號的傅里葉變換和拉氏變換在連續時間信號和系統中擔當的角色一樣，序列傅里葉變換和Z變換在

離散時間信號和系統中擔當著類似的角色。本章將學習序列的傅里葉變換和Z變換，以及利用傅里葉變換和Z變換分析離散時間信號和系統的頻域特性。2.2.1離散時間信號傅里葉變換的定義

根據以前所學知識，我們知道，連續非周期信號xa(t)的傅里葉變換是連續非周期的，連續周期信號的傅里葉級數變換是離散非周期的。根據時域和頻域的對偶關系，時域

的離散化必然造成頻域的周期延拓，因此我們可以預測離散非周期信號的傅里葉變換應該是連續周期的。2.2離散時間信號的傅里葉變換

1.序列傅里葉變換的引出

設離散時間信號x(n)的傅里葉變換為X(ejω)，因為離散非周期信號的傅里葉變換為連續周期的，所以只要X(ejω)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件，即可以展成正交函數線性組合

的無窮級數。設

(2.2.1)式中，e-jωn是單位復指數序列，集合{e-jωn}(n=0，±1，±2，…)是正交完備集。可以證明

(2.2.2)對式(2.2.1)兩邊乘以ejωm并積分，有

(2.2.3)

根據上述討論，可以給出序列傅里葉變換的定義。令，有

2.序列傅里葉變換與反變換

對序列x(n)(-∞<n<+∞)，稱和式

(2.2.4)

為x(n)的序列傅里葉變換(SequenceFourierTransform)，簡記為SFT，稱積分

(2.2.5)

為X(ejω)的序列傅里葉反變換，簡記為ISFT。從式(2.2.4)可以看出，序列傅里葉變換是由一無窮級數給出的，因此級數收斂與否產生了序列傅里葉變換是否存在的問題。由無窮級數的理論知，若該級數絕對收斂，即

(2.2.6)則x(n)的傅里葉變換存在。由式(2.2.6)可得

(2.2.7)這表明x(n)是絕對可求和的。反之，可以看出，若式(2.2.7)成立，則式(2.2.6)成立，即序列傅里葉變換存在。絕對可求和的序列為穩定序列，因此穩定序列的傅里葉變換必

然存在。對非穩定序列的情形，如u(n)、ejωn、cosωn等序列，可以像連續時間信號一樣引入周期沖激函數，其傅里葉變換也是存在的。

3.序列傅里葉變換的特點

由式(2.2.4)可以看出，盡管序列x(n)是離散時間信號，但它的序列傅里葉變換對數字角頻率ω而言卻是連續函數，因此，序列x(n)的傅里葉變換是連續的。

另外，由式(2.2.4)可得

(2.2.8)式(2.2.8)表明，序列傅里葉變換X(ejω)是以2π為周期的周期函數，其原因正是由于ejωn對ω而言以2π為周期，也就是說，數字角頻率相差2π的所有單位復指數序列等價。因此，對-∞<ω<+∞的所有單位復指數序列，只有一個周期，如(-π，π］中的序列才具有獨立的意義。對于離散時間信號，同樣ω=0處表示信號的直流分量，由于ω的周期性，使得ω=0和2π的整數倍都表示信號的直流分量，而π的奇數倍，如π、-π等則表示信號的最高頻率分量。

【例2.2.1】

計算沖激序列δ(n)的序列傅里葉變換。

解

【例2.2.2】

計算單位矩形序列RN(n)的序列傅里葉變換。解將單位矩形序列RN(n)傅里葉變換寫成R(ejω)=

|R(ejω)|ejθ(ω)，設N=6，單位矩形序列傅里葉變換的模和相位如圖2.2.1所示，從圖中可以看出，序列的傅里葉變換是以2π為周期的。圖2.2.1矩形序列傅里葉變換的模和相位(a)模;(b)相位

【例2.2.3】

計算X(ejω)=cosω的序列傅里葉反變換x(n)。解

4.序列傅里葉變換的物理意義

從式(2.2.5)可看出，序列x(n)是許多復指數序列的疊加(積分)結果，這些復指數序列的數字角頻率為［-π，π］。這意味著，序列傅里葉反變換本質上是序列的一種分解，它將一般序列分解為無窮多個數字角頻率［-π，π］中的復指數序列。這些復指數序列的幅度和相位由序列傅里葉變換X(ejω)唯一確定。由譜分析的理論知，這些復指數序列就是序列的不同頻率分量。因此，我們把X(ejω)稱為序列x(n)的頻譜，其模|X(ejω)|稱為幅頻特性，其幅角arg［X(ejω)］=θ(ω)稱為相頻特性。

【例2.2.4】

計算序列x(n)=e-0.2nu(n)的幅頻特性和相頻特性。

解因此序列x(n)的幅頻特性為

相頻特性為

x(n)的幅頻特性和相頻特性如圖2.2.2所示，都是以2π為周期的。圖2.2.2序列的幅頻特性和相頻特性(a)幅頻特性;(b)相頻特性2.2.2離散時間信號傅里葉變換的性質

序列傅里葉變換在數字信號處理領域有著廣泛的應用，它是離散信號譜分析、離散時間系統分析以及數字濾波器設計的重要理論基礎。序列傅里葉變換具有許多重要性質，

本節將予以討論。

1.線性性質

設a、b為任意給定的常數，則下式成立

SFT［ax1(n)+bx2(n)］=a·SFT［x1(n)］+b·SFT［x2(n)］

(2.2.9)

2.時移性質

對任意給定的整數m，下式成立

SFT［x(n-m)］=e-jωm·X(ejω)

(2.2.10)

證明：這一性質表明，序列線性移位的傅里葉變換等于原序列傅里葉變換和e-jωm相乘。乘因子e-jωm意味著各頻率分量的相位發生了相應的變化。

【例2.2.5】

觀察序列x1(n)和x2(n)的頻譜關系，其中，

x1(n)={1，2，3，4，5，0，5，4，3，2，1}，x2(n)=x1(n-5)。

解

x1(n)的幅度特性和相位特性如圖2.2.3(a)所示，x2(n)的幅度特性和相位特性如圖2.2.3(b)所示，顯然，x1(n)和x2(n)的幅頻特性一致，只是相頻特性發生了變化。圖2.2.3例2.2.5序列的傅里葉變換(a)x1(n)的幅頻特性和相頻特性；(b)x2(n)的幅頻特性和相頻特性

【例2.2.6】

計算x(n)=δ(n-l)的序列傅里葉變換，l為任意給定的整數。

解因為SFT［δ(n)］=1，所以，由時移性質得

X(ejω)=SFT［δ(n-l)］=e-jωl

3.頻移性質

設X(ejω)=SFT［x(n)］，對于任意給定的常數ω0，下式成立

(2.2.11)

證明：

這一性質表明，序列x(n)和單位復指數序列相乘，其傅里葉變換為原序列傅里葉變換在頻域中的移位。

【例2.2.7】

設，2π/ω0為有理數，為以2π為周期的周期單位沖激函數，試計算其傅里葉反變換x(n)。

解雖然為非穩定序列，但由于在其SFT中引入了連續周期沖激函數,因此序列1的SFT也是存在的。

按照頻移性質可得

即

(2.2.13)

其中，如圖2.2.4所示。(2.2.12)圖2.2.4圖示

【例2.2.8】

計算cosω0n和sinω0n(2π/ω0為有理數)的序列傅里葉變換。

解

cosω0n的序列傅里葉變換如圖2.2.5所示。圖2.2.5cosω0n的序列傅里葉變換

4.共軛對稱性質

在討論SFT的共軛對稱性質之前，我們先集中討論一下序列的對稱性。

1)共軛對稱與共軛反對稱

(1)共軛對稱。對于序列x(n)，若存在整數M，使下式成立:

x(n)=x*(M-n)，-∞<n<+∞

(2.2.14)

則稱x(n)關于c=M/2共軛對稱，記為xe(n)。

(2)共軛反對稱。對于序列x(n)，若存在整數M，使下式成立：

x(n)=-x*(M-n)，-∞<n<+∞

(2.2.15)

則稱x(n)關于c=M/2共軛反對稱，記為xo(n)。

當M=0時，x(n)關于原點共軛對稱或反對稱，或直接稱x(n)共軛對稱或反對稱。對實序列而言，共軛對稱就是偶對稱，共軛反對稱就是奇對稱。

(3)序列共軛對稱分解定理。

對于任意給定的整數M，任何序列x(n)都可以分解成關于c=M/2共軛對稱的序列xe(n)和共軛反對稱的序列xo(n)之和，即

x(n)=xe(n)+xo(n)，-∞<n<+∞

(2.2.16a)

并且

(2.2.16c)

定理的證明留給讀者，下面我們舉一個例子來說明。(2.2.16b)

【例2.2.9】

計算單位復指數序列x(n)=ejωn關于原點的共軛對稱和共軛反對稱部分。

解由式(2.2.16)可得

這表明，單位復指數序列ejωn的共軛對稱部分就是它本身，而共軛反對稱部分為零。換言之，單位復指數序列是共軛對稱的序列。

2)共軛對稱性質

設xR(n)=Re［x(n)］，xI(n)=Im［x(n)］，Xe(ejω)和Xo(ejω)

分別是X(ejω)關于原點的共軛對稱和共軛反對稱部分，若X(ejω)=SFT［x(n)］，則

(2.2.17)另外，序列x(n)的共軛對稱和共軛反對稱部分和其傅里葉變換X(ejω)的實部和虛部(含j)分別是序列傅里葉變換對，即

(2.2.18)

證明：首先證明實序列的SFT。由

可得

由于

因此

同理可證純虛序列的SFT。這一性質表明，序列x(n)的實部和虛部(含j)與其序列傅里葉變換X(ejω)的共軛對稱部分和共軛反對稱部分別是序列傅里葉變換對，反之亦然。

由于實序列的傅里葉變換是共軛對稱的，因此根據共軛對稱的性質，可得

X(ejω)=|X(e-jω)|arg［X(ejω)］=-arg［X(e-jω)］

即實序列的幅頻特性偶對稱，相頻特性奇對稱。另外，如果序列x(n)=x(-n)，則有X(ejω=X(e-jω)。所以，如果序列x(n)既是實序列，又是偶對稱，則其序列傅里葉變換X(ejω)必然是實偶對稱的函數。類似地，如果序列x(n)分別是實奇對稱序列、虛奇對稱序列、虛偶對稱序列，其序列傅里葉變換各有什么特點，請讀者自己給出結論。

【例2.2.10】

分別計算、、

(為有理數)的序列傅里葉變換。

解根據例2.2.7和例2.2.8的計算，有

我們看到，cosω0n是實偶對稱序列，其傅里葉變換是實偶對稱的，而sinω0n是實奇對稱序列，其傅里葉變換是虛奇對稱的。同時，cosω0n、sinω0n分別是的實部和虛部，它們的傅里葉變換正好又是的傅里葉變換的共軛對稱和共軛反對稱部分。

5.線性卷積性質

設g(n)=x(n)*y(n)，則下式成立

SFT［g(n)］=X(ejω)·Y(ejω)

(2.2.19)

證明：

上述性質表明，序列線性卷積的傅里葉變換等于每個序列傅里葉變換的乘積。因此，可以應用序列傅里葉變換計算序列的線性卷積，方法是首先計算x(n)和y(n)的X(ejω)和Y(ejω)，將它們相乘，再計算乘積序列的傅里葉反變換就得到線性卷積g(n)。

6.帕斯瓦爾(Parseval)定理

(2.2.20)

上式表明，序列在時域和頻域的能量是一致的，即傅里葉變換沒有帶來能量損失，稱為帕斯瓦爾定理。

7.相乘性質

設X(ejω)、Y(ejω)和G(ejω)分別為x(n)、y(n)和g(n)的SFT，若g(n)=x(n)·y(n)，則

(2.2.21)

證明：

為方便使用，表2.2.1對常用的傅里葉變換的性質給出了總結。表2.2.1傅里葉變換的性質表2.2.2給出了基本序列的傅里葉變換，熟悉這些傅里葉變換是非常有用的，例如在求傅里葉變換或反變換中，往往可以利用基本序列的傅里葉變換對來簡化某些比較困難或

繁瑣的問題。表2.2.2基本序列的傅里葉變換2.3.1離散時間信號Z變換的定義

在模擬系統中用連續信號的傅里葉變換進行頻域分析，拉氏變換作為其推廣，對連續時間信號和系統進行復頻域分析;在離散時間系統中用序列的傅里葉變換(SFT)進行頻域

分析，Z變換作為其推廣，對離散時間信號和系統進行復頻域分析。

對于序列x(n)，令

(2.3.1)2.3離散時間信號的Z變換式中，z是復變量，它所在的平面為復平面，稱X(z)是x(n)的Z變換(雙邊Z變換)，記為ZT。

從式(2.3.1)可以看出，序列的Z變換是由一無窮級數給出的，因此Z變換存在著是否收斂的問題。我們僅考慮ZT的絕對收斂性，通常稱使式(2.3.1)右側級數絕對收斂的z值為

ZT的收斂點，而由所有收斂點構成的集合稱為ZT的收斂域，即

(2.3.2)圖2.3.1逆Z變換中的積分圍線序列x(n)的Z變換X(z)僅在收斂域內存在，所以在討論Z變換時，收斂域是不可或缺的。一般序列的收斂域可用

描述，具體情況討論見2.3.3小節。

相應地

(2.3.3)

稱為逆Z變換，記為IZT。積分圍線c是收斂域內一條逆時針的閉合曲線，如圖2.3.1所示。

【例2.3.1】

計算單位脈沖序列δ(n)的ZT。

解

2.3.2離散時間信號Z變換與SFT的關系

Z變換是由SFT推廣得到的，相反地，如果某序列的Z變換的收斂域包括z=ejω，則也可以通過ZT求得序列的SFT。在式(2.3.1)中令z=ejω，則

(2.3.4)式(2.3.4)表明，SFT正是序列的ZT在z=ejω時的值。由于這時|z|=|ejω|=1，因此，式(2.3.4)描述了z平面上以原點為圓心，半徑為1的圓，稱為單位圓，序列的傅里葉變換是其

ZT在單位圓上的取值。

【例2.3.2】計算單位階躍序列u(n)的ZT。

解

對u(n)而言，其Z變換的收斂域為|z|>1，不包括單位圓，無法通過z=ejω得到u(n)的傅里葉變換。2.3.3Z變換的收斂域與序列特性之間的關系

1.有限序列的收斂域

對于一般有限序列x(n)(［N1，N2］)，其ZT可表示如下:若N2≤0，則上式中全為z的正冪次項，z=∞處不收斂；若N1≥0，則上式中全為z的負冪次項，z=0處不收斂;若N1<0，N2>0，則上式中既存在著z的正冪次項，又存在著z的

負冪次項，則z=0、z=∞處不收斂。對于其他的z值，級數處處收斂。

2.右邊序列的收斂域

對于右邊序列x(n)，它的ZT表示式為

冪級數的收斂域為|z-1|<R，因此，右邊序列ZT的收斂域是z平面上以原點為圓心的某個圓的外部。若N1<0，則ZT的冪級數的級數表示式中既包括z的正冪次

項，又有負冪次項，從而在z=∞時級數不收斂;反之，若N1≥0，即x(n)為因果序列，則收斂域包括z=∞。

3.左邊序列的收斂域

對于左邊序列x(n)，其ZT可作如下表示:

上式是一個以z為變量的冪級數，易知其收斂域為，即左邊序列ZT的收斂域為z平面上以原點為圓心的某個圓的內部。若N2>0，則ZT的冪級數的級數表示式中既包括z的正冪次項，又有負冪次項，從而在z=0時級數不收斂;若N2≤0，則x(n)的收斂域包括z=0。

4.雙邊序列的收斂域

對于雙邊序列x(n)，其ZT可表示如下:

由上式可知，雙邊序列的Z變換可分解為左邊序列和右邊序列的Z變換之和，根據前面的討論，收斂域分別為和，即X(z)的收斂域是二者收斂域的公共部分。

若，則X(z)的收斂域為，若

，則X(z)不存在。

【例2.3.3】

計算序列x(n)=-u(-n-1)的ZTX(z)，并確定X(z)的收斂域。

解

將上例與例2.3.2比較，可以發現，盡管這兩個序列不同，但它們ZT的表達式是一樣的，所不同的僅僅是收斂域。由此可以看出收斂域的重要性，這正是我們重視ZT收斂域

的原因，它表明Z變換是由表達式和收斂域兩部分組成的，缺少任何一部分都不能給出完整的Z變換。表2.3.1給出了序列Z變換的收斂域。

為方便使用，表2.3.2給出幾個基本序列的Z變換。表2.3.1序列Z變換的收斂域表2.3.2基本序列的Z變換2.3.4逆Z變換

在離散時間系統的分析中，逆Z變換的計算也很重要，求逆Z變換的方法如下：

1.留數法或圍線積分法

按照逆Z變換的定義式：

由復變函數積分的理論知，可用留數計算X(z)的逆Z變換x(n)。X(z)zn-1在圍線c內的極點用zk表示，假設有M個極點，根據留數定理有

(2.3.5)式中，Res［X(z)zn-1，zk］表示被積函數X(z)zn-1在極點zk的留數。求逆Z變換就是求圍線c內所有極點的留數之和。如果極點zk是單階極點，則極點的留數可用下式計算:

(2.3.6)

如果極點zk是L階極點，則極點的留數可用下式計算:

(2.3.7)

式(2.3.7)中對于L階極點，需要求L-1次導數，比較復雜。如果圍線c內有高階極點，圍線c外沒有高階極點，則可以根據留數輔助定理改求圍線c外的所有極點留數之和，使求解得

以簡化。設X(z)zn-1在圍線內有L1個極點z1k，圍線外有L2個極點z2k，L=L1+L2，有

(2.3.8)

式(2.3.8)成立的條件是X(z)zn-1分母的階次比分子的階次高二階或二階以上。

【例2.3.4】

已知序列x(n)的Z變換為

，|z|>|a|，試用留數法求x(n)。

解由于收斂域是|z|>|a|且包含∞，因此x(n)是因果序列。

當n≥0時，z=a是圍線c內的極點，z=0不是極點，因此

當n<0時，z=a、z=0是圍線c內的極點，其中z=0是一個n階極點。因為X(z)zn-1滿足式(2.3.8)成立的條件，所以可以通過求圍線c外的極點留數代替求圍線c內的極點留數。

本例圍線c外沒有留數，因此x(n)=0，n<0(由于x(n)是因果序列，同樣有x(n)=0，n<0)。

2.部分分式法

由于常用序列的ZT都已計算出來且列成了表，因此可以很方便地通過查表2.3.2求逆Z變換。

但是，有時X(z)的表達式比較復雜，無法直接查表，這時可以將復雜的X(z)分解成若干較簡單的部分，然后查表求出各部分的IZT，最后相加得到所需要的結果。部分分式法展開就是常用的一種分解方法。設X(z)是有理函數，則

(2.3.9)

(1)M<N，設X(z)有N個一階極點，有

(2.3.10)式中，Am是X(z)在一階極點zm處的留數，即

(2)M≥N，有

(2.3.11)式中

Matlab信號處理工具箱中提供了計算留數的庫函數“residuez”，調用格式為

［r，p，c］=residuez(b，a)其中，b和a是式(2.3.9)中分子和分母系數向量；p是X(z)的極點向量；r是極點向量中各個極點對應的留數向量；c是式(2.3.11)中的多項式系數向量，僅在M≥N時存在。

【例2.3.5】

用Matlab的留數庫函數求

的逆Z變換。

解

Matlab程序為

b=［0，5］;a=［1，1，-6］;［r，p，c］=residuez(b，a);運行程序結果為

r=［-1，1］;p=［-3，2］，c=［0］;

即極點為z1=-3，z2=2，在極點z1處的留數為-1，在極點z2處的留數為1，即有

查表2.3.2得

x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1)

3.長除法或冪級數法

對有理分式形式的X(z)，由ZT的定義式有

(2.3.12)可以看到，右側的級數是分子多項式除以分母多項式的結果。因此，可以用X(z)的分母多項式D(z)去除分子多項式N(z)，這樣得到的商就是以x(n)作系數的z(對應左邊序列

)或z-1(對應右邊序列)的多項式，把相應的系數取出，就得到了x(n)。這種方法通常稱為長除法或冪級數法。

如果N(z)和D(z)是高次多項式，則由長除后的商式尋找出x(n)的規律就會很難，但只要不斷除下去，就可得到盡可能多的x(n)的值。如果所需的x(n)值很多，則可編程上機

運算。能在計算機上做數值運算，這是長除法求IZT的優點。2.3.5Z變換的性質

1.線性性質

對于任意給定的常數a和b，有

ZT［ax1(n)+bx2(n)］=a·ZT［x1(n)］+b·ZT［x2(n)］

(2.3.13)

ZT的收斂域為兩部分的公共區域。

2.時移性質

對于任意給定的整數m，有

ZT［x(n-m)］=z-m·ZT［x(n)］(2.3.14)

移位序列ZT的收斂域基本上和原序列的收斂域相同，若m<0，收斂域可能要排除∞點，若m>0，則可能要排除z=0點。

3.尺度變換性質

設X(z)=ZT［x(n)］，對于任意常數a≠0，有

ZT［an·x(n)］=X(a-1z)

(2.3.15)

若X(z)的收斂域為，則X(a-1z)的收斂域為，即。

4.微分性質

設X(z)=ZT［x(n)］，則有

(2.3.16)

5.共軛性質

若X(z)=ZT［x(n)］，則有

ZT［x*(n)］=X*(z*)

(2.3.17)

由于ZT的收斂域都是關于實軸對稱的，因此共軛運算不影響結果的收斂域。

6.折卷性質

設X(z)=ZT［x(n)］，則有

ZT［x(-n)］=X(z-1)

(2.3.18)

若X(z)的收斂域為，則X(z-1)的收斂域為

。

7.線性卷積性質

設g(n)=x(n)*y(n)，則有

ZT［g(n)］=ZT［x(n)］·ZT［y(n)］(2.3.19)

ZT［g(n)］的收斂域是ZT［x(n)］的收斂域與ZT［y(n)］的收斂域的公共部分。

8.帕斯瓦爾(Parseval)定理

(2.3.20)

若X(z)的收斂域為，Y(z)的收斂域為，，則有。

9.相乘性質

設X(z)、Y(z)和G(z)分別是序列x(n)、y(n)和g(n)的ZT，若g(n)=x(n)·y(n)，則有

(2.3.21)上述積分中，圍線c須選在X(v)和Y(z/v)的公共收斂域。設X(z)和Y(z)的收斂域分別為，，則G(z)的收斂域為。

為方便使用，表2.3.3對常用的Z變換的性質給出了總結。表2.3.3Z變換的性質2.4.1LTI離散時間系統的頻率響應與系統函數

復指數序列和正弦序列在離散時間信號和系統中起著特別重要的作用。下面首先研究復指數序列和正弦序列作為LTI系統輸入時，系統輸出所具有的特點，進而給出LTI

系統的頻率響應。2.4LTI離散時間系統的頻域分析

1.LTI離散時間系統的頻率響應

1)單位復指數序列作為LTI系統的輸入

設LTI系統的輸入為單位復指數序列，即

x(n)=ejωn，-∞<n<+∞，-∞<ω<+∞

則系統輸出

(2.4.1)由于

(2.4.2)

因此

(2.4.3)式(2.4.3)表明，對于LTI系統，若輸入為單位復指數序列，則輸出也是復指數序列。輸出序列和輸入序列頻率相同，幅度和相位不同，其復增益由系統單位脈沖響應的序列傅里葉變換決定。

2)LTI系統的頻率響應、幅頻響應與相頻響應

為了表征LTI系統的上述性質，提出了頻率響應的概念。設LTI系統的輸入為單位復指數序列，則稱系統對于復指數輸入的復增益為系統的頻率響應，記為H(ejω)，即

(2.4.4)所以，LTI系統的頻率響應是系統單位脈沖響應的序列傅里葉變換，若H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω)，則稱|H(ejω)|是系統的幅頻響應，θ(ω)是系統的相頻響應。因此，由式(2.4.3)可以看出，|H(ejω)|表示系統對不同頻率信號的增益。由于穩定序列的傅里葉變換存在，因此穩定的LTI系統的頻率響應也存在。在今后關于頻率響應的討論中，一般設系統是穩定的。

【例2.4.1】

設某一LTI系統的單位脈沖響應h(n)=0.6nu(n)，試計算系統的頻率響應、幅頻響應和相頻響應。

解由h(n)的序列傅里葉變換可得系統的頻率響應為

因此，相應的幅頻響應為

相應的相頻響應為

離散LTI系統具有周期性的頻率響應，這是它與連續時間系統的重大區別。

3)正弦序列作為LTI系統的輸入

若LTI系統的輸入序列為正弦序列

x(n)=A0sin(ωn+θ0)，-∞<n<+∞

(2.4.5)

式中，A0、ω和θ0分別為正弦序列的幅度、數字角頻率和初相位，則由歐拉公式有

(2.4.6)即輸入正弦序列等價于輸入兩個復指數序列。設頻率響應為H(ejω)，由式(2.4.6)得到系統的輸出序列為

(2.4.7)對于系統的單位脈沖響應為實序列的情形，由序列傅里葉變換的對稱性質可知，頻率響應H(ejω)是關于原點共軛對稱的，即

H(ejω)=H*(e-jω)

(2.4.8)

因此

|H(ejω)|=|H(e-jω)|

(2.4.9)

θ(ω)=-θ(-ω)

(2.4.10)

由式(2.4.7)可得

(2.4.11)

式(2.4.11)表明，對單位脈沖響應為實序列的LTI系統，如果輸入為正弦序列，則輸出也是正弦序列，并且輸出序列和輸入序列的數字角頻率相同。輸出序列的幅度等于輸入序列的幅度和系統幅頻響應在該數字角頻率處的幅度的乘積，而輸出序列的初相位等于輸入序列的初相位和系統相頻響應該數字角頻率處的相位的和。因此，正弦序列通過LTI系統仍然是正弦序列，只是幅度和初相位發生了變化。

【例2.4.2】

設某一LTI系統，其頻率響應為

若輸入為

求對全部n的輸出y(n)。

解由于H(ejω)=H*(e-jω)，所以根據SFT的共軛對稱性可知，h(n)為實數。

ω0=15π/4模2π后

因此

4)一般穩定序列作為LTI系統的輸入

對于一般穩定序列x(n)作為系統輸入的情形，由序列傅里葉變換的線性卷積性質，輸出序列y(n)可由下式得到:

(2.4.12)

2.LTI離散時間系統的系統函數

由序列傅里葉變換和Z變換的關系可知，對于穩定系統，其頻率響應H(ejω)為H(z)在單位圓上的取值，即

H(ejω)=H(z)|z=ejω

設X(z)、

Y(z)、H(z)分別是x(n)、y(n)和h(n)的Z變換，根據ZT的線性卷積性質可得

Y(z)=X(z)H(z)

(2.4.13)式(2.4.13)表明，LTI系統輸出序列的ZT是輸入序列和單位脈沖響應序列ZT的乘積。

由此可以看出，若知道了H(z)，則系統的輸入、輸出關系就完全確定了。因此，H(z)是確定系統性能的又一重要物理量，我們稱H(z)為系統的系統函數或Z傳遞函數。

由于H(z)是h(n)的Z變換，因此由Z變換的定義式可得

同時

(2.4.14)

由于h(n)僅與系統本身的結構和參量有關，與輸入和輸出序列無關，因此LTI系統的系統函數H(z)也僅與系統本身的結構和參量有關，與系統的輸入輸出無關。H(z)從Z變換域描述了LTI系統的性能。2.4.2系統函數的收斂域和極點分布與

系統因果性和穩定性的關系

1.系統函數的收斂域與系統因果性和穩定性的關系

因果LTI系統的單位脈沖響應為因果序列。由于因果序列Z變換的收斂域為以原點為中心的某個圓的外部，即因此因果系統的系統函數H(z)的收斂域也是。

我們可以由H(z)的收斂域判斷LTI系統的因果性，也就是說，當且僅當H(z)的收斂域為時，LTI系統是因果的。對于穩定的LTI系統，其單位脈沖響應是穩定序列，即

因此，系統的系統函數H(z)滿足下述條件:

(2.4.15)即H(z)在單位圓|z|=1上絕對收斂。顯然，若H(z)在單位圓上絕對收斂，則h(n)必定是絕對可求和的，也就是說系統必然穩定。由此可見，從z變換域來看，系統穩定的充要條件是系統函數的收斂域包括單位圓，即

(2.4.16)

容易看出，若LTI系統既是因果的，又是穩定的，則它的系統函數的收斂域必定同時滿足以上所給出的兩個條件，即

(2.4.17)

2.系統函數的極點分布與系統因果性和穩定性的關系

由于線性時不變系統的系統函數H(z)是復變函數，因此也可以由H(z)的極點位置判斷系統的因果性和穩定性。由前面的討論易知，因果系統的極點必在以原點為圓心的某個圓

內，而穩定系統的極點必定不在單位圓上。若系統為因果穩定的，則H(z)的極點必定在單位圓內。

【例2.4.3】

設因果LTI系統的系統函數如下，試判斷系統的穩定性。

解由于系統是因果的，容易看出，只要H(z)的極點在單位圓內，系統就是穩定的。

由于系統的二階極點為zx=0.5，在單位圓內，因此本系統是穩定的。2.4.3系統函數的零極點分布對系統

頻率響應特性的影響

將系統函數H(z)因式分解可得

(2.4.18)式中，A=影響系統函數的幅度大小；cr為系統的零點；dr為系統的極點；影響系統特性的正是cr、dr。將式(2.4.18)分子分母同乘以zN+M，得

(2.4.19)設系統穩定，則H(ejω)=H(z)|z=ejω，并且有

(2.4.20)圖2.4.1頻率響應的幾何表示在z平面上，單位圓上的點B表示ejω，矢量表示為，ejω-cr可用由零點cr指向單位圓上ejω點的向量

來表示，而ejω-dr可用極點dr指向ejω的向量

表示，如圖

2.4.1所示，即

和分別稱為零點矢量和極點矢量。

令，則有

(2.4.21)

(2.4.22)

(2.4.23)式中，分別為零極點矢量模。由式(2.4.22)和(2.4.23)可見，幅頻響應由從各零點、極點指向點的向量幅度來確定，而相頻響應則由這些向量的幅角來確定，當頻率ω由0到變化時，這些向量的終端點沿單位圓反時針方向旋轉一圈，由此算出幅頻響應和相頻響應，從而估算出整個系統的頻率響應來。對極點而言，當單位圓上的B點轉到某個極點附近時，矢量最短，出現最小值，|H(ejω)|在這附近出現峰值。極點dr越靠近單位圓，振幅特性的峰值越大，當dr出現

在單位圓上時，=0，振幅特性將出現無窮大，系統不穩定。

對零點而言，當單位圓上的B點轉到某個零點附近時，

最短，振幅特性在零點附近形成谷點。當零點在單位圓上時，該零點所在頻率上的振幅特性為零。零點還可以位于單位圓以外，不影響穩定性。

處于坐標原點的零、極點不影響系統的幅頻響應。

利用系統零、極點特性來分析系統的幅頻響應時，僅對低階系統有效，而對于高階系統，由于零、極點個數多，相互之間影響關系不直接，因此不容易畫出系統的幅頻響應。

【例2.4.4】

已知H(z)=1-z-N，試定性畫出系統的幅頻響應。

解

極點z=0處的N階極點，不影響頻率響應，零點

k=0，1，2，…，N-1，即N個零點等間隔分布在單位圓上，如圖2.4.2(a)所示。圖2.4.2例2.4.4系統的零、極點分布和幅頻響應(a)梳狀濾波器的零、極點分布；(b)梳狀濾波器的幅頻響應由圖2.4.2(b)所示幅頻響應可見該濾波器為梳狀濾波器，在ω=2πk/N(k=0，1，…，N-1)處的信號分量被濾除，可用來消除電網諧波及分離電視接收機中亮度和色度信號。由圖2.4.2(b)可見，該濾波器的過渡帶較寬，在ω=2πk/N附近的信號衰減較大。在5.4.3小節中，

我們將介紹另外一種梳狀濾波器，可以實現較陡的過渡帶。

【例2.4.5】

已知某LTI系統的，根據系統零極點位置的變化，用Matlab分析系統的幅頻響應。

解系統的零點為a1、a2，極點為b1、b2。

(1)假設零點a1=0.5ej0.6π，a2=0.5e-j0.6π，極點b1=0.5ej0.1π，b2=0.5e-j0.1π，用Matlab畫出系統的零極點位置和幅頻響應。

Matlab程序如下：

a1=0.5*exp(j*0.6*pi);

a2=0.5*exp(-j*0.6*pi)；

b1=0.5*exp(j*0.1*pi);

b2=0.5*exp(-j*0.1*pi)；

z=［a1，a2］′；

p=［b1，b2］′;

figure;zplane(z，p);

［b，a］=zp2tf(z，p，1);

w=0：0.005*pi：pi;

h=freqz(b，a，w);

hmax=max(abs(h));

w=w/pi;運行程序，輸出波形如圖2.4.3所示，為低通濾波器。由圖可見，由于零、極點均離單位圓較遠，因此在零極點處幅頻響應的峰值和谷值不明顯。

圖2.4.3例2.4.5圖示一(a)零、極點分布圖;(b)系統幅頻響應

(2)假設零點a1=ej0.6π，a2=e-j0.6π，極點b1=0.9ej0.1π，b2=0.9e-j0.1π，即和假設(1)相比，零、極點更靠近單位圓，輸出波形如圖2.4.4所示。由圖可見，由于零點在單位圓上，因此在零點ω=0.6π處幅頻響應為谷值，在極點ω=0.1π處幅頻響應為峰值。圖2.4.4例2.4.5圖示二(a)零、極點分布圖;(b)系統幅頻響應

(3)假設零點a1=ej0.2π，a2=e-j0.2π，極點b1=0.9ej0.1π，b2=0.9e-j0.1π，即零點位置靠近極點位置，輸出波形如圖2.4.5所示。由圖可見，此時低通濾波器的過渡帶與假設(2)相比要陡。圖2.4.5例2.4.5圖示三(a)零、極點分布圖;(b)系統幅頻響應這種通過零點和極點的幾何位置分析系統頻率響應的方法，為我們認識零、極點分布對系統性能的影響提供了一個直觀的概念，這一概念對系統的分析和設計都十分重要。

由式(2.4.20)可見，當系統的零點或極點在單位圓內，B點在單位圓上逆時針旋轉一圈時，零點或極點矢量相位變化2π；當零點或極點在單位圓外，B點在單位圓上逆時針旋轉一圈時，零點或極點矢量相位無變化。一般情況下，M≠N，不妨假設M=Mi+Mo，

N=Ni+No，Mi、Ni為單位圓內的零、極點個數，Mo、No為單位圓外的零、極點個數。當B點在單位圓上逆時針旋轉一圈時，系統相頻響應的變化為

Δarg［H(ejω)］=2πMi-2πNi+2π(N-M)一般情況下，我們要求系統為因果的，極點不能在單位圓外，所以No=0。因此

Δarg［H(ejω)］=-2πMo

當Mi=M，Mo=0時，Δarg［H(ejω)］=0，即當系統的全部零、極點都在單位圓內，B點在單位圓上逆時針旋轉一圈時，系統的相位變化最小，稱為最小相位系統。

反之，當Mi=0，M=Mo時，Δarg［H(ejω)］=-2πMo，

即H(z)的全部零點在單位圓外，系統的相位變化最大，則系統為最大相位系統。最小相位系統有很多優點。首先，在幅頻響應相同的因果穩定系統中，最小相位系統的相位延遲是最小的；其次，最小相位系統的逆系統仍是最小相位系統;還可以證明，

任何一個非最小相位系統H(z)均可由一個最小相位系統Hmin(z)和一個全通系統Hap(z)級聯而成。正是這些優點使得最小相位系統得到了廣泛應用。在5.4.4小節將對最小相位系統進行詳細的講解。

【例2.4.6】

已知某最小相位系統的零點為0.9ej0.12π、0.9e-j0.12π、0.7ej0.3π、0.7e-j0.3π，極點為0.95ej0.01π、0.95

e-j0.01π、0.95ej0.1π、0.95e-j0.1π，保持該系統的極點不變，對上述四個零點分別取倒數得到一個最大相位系統。

(1)用Matlab畫出兩個系統零極點位置;

(2)用Matlab畫出兩個系統的幅頻響應;

(3)假設兩個系統的輸入信號為x(n)=sin(0.08πn)，用Matlab畫出輸出信號。

解

Matlab程序與例2.4.5類似，不再給出。

(1)如圖2.4.6所示，(a)圖為最小相位系統的零、極點位置，(b)圖為最大相位系統的零、極點位置。圖2.4.6零、極點位置比較(a)最小相位系統;(b)最大相位系統

(2)如圖2.4.7所示，(a)圖為最小相位系統的幅頻響應，(b)圖為最大相位系統的幅頻響應。

(3)如圖2.4.8所示，(a)圖為最小相位系統的輸出，(b)圖為最大相位系統的輸出。圖2.4.7幅頻特性比較(a)最小相位系統;(b)最大相位系統圖2.4.8系統的輸出比較(a)最小相位系統;(b)最大相位系統由圖2.4.6~圖2.4.8可見，例2.4.6中最小相位系統和最大相位系統的幅頻響應相同，但從輸出上看，最小相位系統的輸出延遲比最大相位系統的小，即在幅頻響應相同的因果穩定系統中，最小相位系統的相位延遲是最小的。

2.4.4利用Z變換求解系統的輸出

在第1章中，我們介紹了通過線性卷積和差分方程的遞推解法求解離散LTI系統的輸出。本節介紹利用Z變換求解系統的輸出。設LTI系統的N階差分方程為

(2.4.24)

輸入信號x(n)是因果的，系統初始條件為y(-1)，y(-2)，…，y(-N)。對式(2.4.24)進行Z變換，得

(2.4.25)式中，等號右邊第一項與系統初始狀態無關，只與輸入信號有關，稱為系統的零狀態響應;第二項與輸入信號無關，只與系統初始狀態有關，稱為系統的零輸入響應。零狀態響應實際上就是直接對式(2.4.24)進行雙邊Z變換的結果。Y(z)為全響應。

【例2.4.7】

用Z變換重做例1.3.6。已知描述某LTI系統的差分方程為y(n)=1.5x(n)+0.7y(n-1),輸入序列x(n)=δ(n)，初始條件為y(-1)=1，求系統輸出y(n)。

解對給定的輸入信號和差分方程進行Z變換，得到

代入初始條件得

因此系統輸出為

y(n)=2.2×0.7nu(n)

【例2.4.8】

設某一LTI系統的單位脈沖響應與輸入序列分別為

試用ZT計算輸出序列y(n)(-∞<n<+∞)。

解查表2.3.2得

令x1(n)=(1/3)nu(n)，x2(n)=0.5nu(n)，則x(n)=x1(n)+0.5x2(-n-1)。

查表2.3.2得

由ZT的折卷和時移性質可得

由ZT的線性性質可得

用部分分式展開，可得

查表2.3.2得

2.5.1采樣信號與模擬信號的關系

離散時間信號可以由模擬信號通過采樣得到，相應地，連續時間信號的頻譜可以用數字信號的頻譜表示和計算。在第3章和第4章引入離散傅里葉變換(DFT)和快速傅里葉變

換(FFT)后，連續時間信號的頻譜最終就可以用DFT、FFT計算。下面就分別從時域、頻域討論離散時間信號和模擬信號的關系。2.5離散時間信號與模擬信號時域和頻域的關系

1.采樣信號與模擬信號的時域關系

離散時間信號可以由連續時間信號通過采樣得到。對連續時間信號xa(t)，若用如下的周期單位沖激信號

(2.5.1)

和xa(t)相乘，即

(2.5.2)則稱為xa(t)的理想采樣信號(注意：此時采樣信號仍為連續時間信號)，而由xa(t)得到的過程叫做理想采樣。、xa(t)和分別如圖2.5.1(a)、(b)、(c)所示。T稱為采樣周期，Fs=1/T稱為采樣頻率，Ωs=2π/T稱為采樣角頻率。圖2.5.1采樣過程示意圖由式(2.5.2)，可以得到

(2.5.3)

由于δa(t-nT)只有在t=nT不為零，因此有

(2.5.4)

2.采樣信號與模擬信號的頻域關系

設xa(t)和的傅里葉變換分別為Xa(jΩ)和(jΩ)，根據連續時間信號與所學的知識，時域相乘的傅里葉變換為頻域相乘，故

(2.5.5)

因為

所以

(2.5.6)由式(2.5.6)可以清楚地看出，采樣信號的傅里葉變換

是周期為Ωs的周期函數，并且除了幅度乘以常數因子1/T外，是由Xa(jΩ)平移相加得到的。設Xa(jΩ)最

高非零頻率分量的角頻率為Ωmax，如圖2.5.2(a)所示，則若采樣角頻率Ωs<2Ωmax，將出現如圖2.5.2(b)所示的頻率交疊，這樣，由就不能無失真地得到Xa(jΩ)，不能由采樣信號恢復原信號xa(t)了。圖2.5.2采樣信號與模擬信號的頻域關系示意圖顯然，為了避免這種交疊現象，應該要求Ωs≥2Ωmax(即奈奎斯特采樣定理)，這種情況如圖2.5.2(c)所示。從

圖中可以看出，在Ωs≥2Ωmax的條件下，當|Ω|≤Ωs/2時，

和Xa(jΩ)除幅度不同外(前者是后者幅度的1/T)，形狀是完全相同的。因此可由得到Xa(jΩ)，即由

采樣信號恢復原信號xa(t)。

3.模擬信號的恢復

為了恢復信號xa(t)，可讓采樣信號通過一理想的模擬低通濾波器，頻率響應如下:

(2.5.7)

其頻率響應如圖2.5.3所示。圖2.5.3理想模擬低通濾波器的頻率響應由圖2.5.2(c)和圖2.5.3可以清楚地看出，當Ωs≥2Ωmax

時

(2.5.8)上式表明，在Ωs≥2Ωmax的條件下，采樣信號通過理想低通濾波器后的輸出就是原信號xa(t)。這意味著，應用這種方法可以恢復原信號xa(t)。

由式(2.5.7)，運用連續傅里葉反變換，可以得到理想低通濾波器的單位脈沖響應

(2.5.9)

由式(2.5.8)，根據傅里葉變換的卷積性質，可得

式(2.5.10)給出了信號xa(t)的樣值xa(nT)和原信號的函數關系。2.5.2離散時間信號與模擬信號的關系

1.離散時間信號與模擬信號的時域關系

令

x(n)=xa(nT)=xa(t)|t=nT

(2.5.11)

即如果不考慮量化的影響，可以認為離散時間信號x(n)可以由連續時間信號xa(t)的樣值構成。當然量化效應總是存在的，這一點將在8.6節進行討論。反過來，采樣信號可由序列x(n)得到，由式(2.5.3)和式(2.5.11)，可以得到

(2.5.12)

2.離散時間信號與模擬信號的頻域關系

離散時間信號x(n)的序列傅里葉變換和連續時間信號xa(t)的連續傅里葉變換有密切的關系。根據序列傅里葉變換的定義，有

由式(2.5.6)得

上式表明，只要把模擬頻率換成數字頻率，連續時間信號的連續傅里葉變換和離散時間信號x(n)的序列傅里葉變換是相同的，即

(2.5.13)式(2.5.13)給出了離散時間信號x(n)和模擬信號xa(t)的頻域關系，可以看出，如果在時域對信號抽樣，則其頻域的特征就是頻譜的周期延拓，這也是傅里葉變換的最基本特征。

離散信號和模擬信號的頻域關系如圖2.5.4所示。圖2.5.4離散信號和模擬信號的頻域關系(a)原信號頻譜;(b)采樣信號的頻譜;(c)離散時間信號的頻譜從圖2.5.4可以清楚地看出，根據數字角頻率和模擬角頻率的關系式ω=ΩT，模擬信號的頻譜圖中的Ωs映射到離散信號頻譜圖中的2π，相應地，Ωs/2→π，Ωmax→ωmax。2.5.3A/D及D/A轉換

我們周圍的很多信號，如聲音和圖像信號大都是非電信號。為了將非電信號轉換成電信號，要用到各種相應的傳感器。各種信號的傳感器是不同的，麥克風是最普通的聲音傳

感器;光的變化可通過半導體器件記錄，如電荷藕合器件(CCD)，其載流能力隨著入射光的強度而變化;其他傳感器還有應力傳感器、壓力傳感器和流量傳感器等。這些傳感器的

輸出通常為與被測信號成比例的模擬電信號(電壓或電流)，為了能夠用數字信號的處理方法對其進行處理，模擬電信號必須轉換成數字信號，即為模/數(A/D)轉換。

1.模／數(A/D)轉換

A/D轉換一般分兩步，第一步是采樣。采樣通常為等間隔采樣，在每一個采樣點對模擬信號進行采樣，且將該采樣值保持到下一個采樣點，這一過程稱為采樣保持(Sampleand

Hold)。為了避免混疊，應滿足采樣定理。

第二步是對采到的模擬值進行量化(Quantization)和數字化。采樣保持期間有足夠的時間完成這一步。

對每個采樣點采樣結束后，轉換器盡快選擇與采樣保持電平最接近的量化電平，然后分配一個二進制數字代碼來標識這個量化電平，至此，便完成了模／數轉換過程。圖2.5.5模／數轉換過程示意圖上述過程如圖2.5.5所示，圖2.5.5(a)所示為某模擬信號;圖2.5.5(b)為圖2.5.5(a)中模擬信號的采樣保持信號，圖中豎的虛線標明采樣點；圖2.5.5(c)給出了圖2.5.5(b)的數字信號，

這個數字信號表示每個采樣點的量化電平，用每個采樣點上頂端帶小圓圈的豎線表示。數字信號只在采樣點這些離散時間點上有值。需要注意的是，由于計算機對信號的存儲是數字方式，因此圖2.5.5(c)中的數字信號值一般與該采樣點的模擬信號值不可能完全一致(產生量化誤差)。計算機所用的數值以二進制形式存儲于存儲單元中。二進制的位數取決于A/D轉換器的位數。假設將取值-2.5~+1.5V的模擬電壓值轉換為2比特的數字信號，在2比特系統中，只有00、01、10、11這4種可能的數字值。而這些代碼必須能代表任意可能的輸入電壓值。例如，-2.5~-1.5V的值可能編碼為00，而-1.5~-0.5V的電壓編碼為01，依此類推。由于許多不同的電壓值具有同一個代碼，所以大多數A/D轉換器會引入量化誤差(QuantizationError)。量化時所用的比特數越多，量化誤差越小，但不可能完全避免。

由此可見，A/D轉換器得到的數字信號有兩個重要特點：第一，所采到的數字信號的精度是由A/D轉換器的位數決定的;第二，數字信號僅在采樣時刻有值，在采樣點之間沒有定義，這就是我們強調離散時間信號x(n)只在整數n上才有定義的原因。

2.數/模(D/A)轉換

對A/D轉換后的信號，用數字信號處理的方法處理完成后，如果需要輸出的是模擬信號，還要將數字信號轉換為模擬信號的形式，稱為數/模(D/A)轉換。例如，數字信號不適合驅動揚聲器，為了再現聲音，需要輸出模擬信號。D/A轉換一般也分兩步。第一步是把數字信號轉換為與其成比例的模擬信號，也就是將數字信號保持一個采樣周期，稱為零階保持(ZeroOrderHold，ZOH)。零階保持信號是模擬信號，但其階梯形狀與最初被采樣的模擬信號不一致。因此，D/A轉換的第二步就是平滑該零階保持信號，該過程如圖2.5.6所示。圖2.5.6(a)所示為數字信號，每個采樣點處的高度對應數字代碼得到的模擬電壓;圖2.5.6(b)所示為對應的零階保持信號;圖2.5.6(c)所示為最終的模擬信號。圖2.5.6數／模轉換過程示意圖作為總結，圖2.5