第19講解三角形

（11類核心考點精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

用和、差角的余弦公式化簡、求值二倍角的正弦公式正弦定理解三角

2024年天津卷，第16題,14分

形余弦定理解三角形

用和、差角的正弦公式化簡、求值正弦定理解三角形余弦定理解三角

2023年天津卷，第16題,14分

形

用和、差角的正弦公式化簡、求值二倍角的余弦公式正弦定理解三角

2022年天津卷，第16題,14分

形鄉余弦定理解三角形

用和、差角的正弦公式化簡、求值正弦定理邊角互化的應用余弦定理

2021年天津卷，第16題,14分

解三角形

2020年天津卷，第16題,14分正弦定理解三角形余弦定理解三角形

2.命題規律及備考策略

【命題規律】本節內容是天津高考卷的必考內容，設題穩定，難度中檔，分值為14分

【備考策略】1.理解、掌握正余弦定理，能夠運用正余弦定理解三角形

2.能掌握正余弦定理與三角形的面積周長問題

3.具備數形結合的思想意識，會靈活運用三角形的知識點解決中線，高線，角平分線問題

4.會解三角形的最值與取值范圍問題

【命題預測】本節內容是天津高考卷的必考內容，一般給出三角形，解決三角形中的周長與面積，同時解

三角形會與兩角和差二倍角進行結合，求解湊求值問題。

「立?考點梳理，

知識講解

知識點一.正弦定理、余弦定理

1.定理內容：

在△板中，若角4B,C所對的邊分別是a,b,c,7?為外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a=t)+/—26ccos4

abc

內容-----=-----=-----=9Rlj=c+#一2cacos6；

sinAsinBsinC

。2=才+4—2a6cos。

a=27feinZ,b=2Rsix\B,c=27?sinC；

b-vc-a

abcC0SA

sin4=礪sin夕=礪sin。=而-2bc；

2I22

c+a—b7

變形a\b\c=sinA:sinB\sinC；cosB—八；

Zac

asinB=bsinA,

2Ij22

a-vb-c

cosC—門7

6sinC=csinB,Zab

asinC=csix\A

1.兩角一邊求角1.三邊求角

使用條件

2.兩邊對應角2.兩邊一角求邊

2.在△/比中，已知a,6和/時，解的情況

力為銳角4為鈍角或直角

Ccc

*

圖形晨

AzLB八A

關系式a=bsinAbsinA〈水ba^ba>b

解的個數一解兩解一解一解

知識點二.三角形常用面積公式

⑴?力aSa表示邊a上的高)；

..111

(2)S=-a,bsir\C=-acsix\B=-bcsixiA；

(3)S=/r(a+6+c)(r為三角形內切圓半徑).

知識點三.測量中的有關幾個術語

術語名稱術語意義圖形表示

在目標視線與水平視線所成的角中，目標視線在水

仰角與俯角平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方

I信、髓目標

的叫做俯角

視線

從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線

北t

如。東

方位角之間的夾角叫做方位角.方位角0的范圍是十；

0°W叱360°

例：(1)北偏東a：

北匕t棗

正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常

方向角

表達為北(南)偏東(西)a(2)南偏西a：

北I東

坡面與水平面所成二面角的度數叫坡度；坡面的垂

坡角與坡比

直高度與水平長度之比叫坡比

/

知識點四.常用結論

1.三角形內角和定理：在中，/+8+。="；變形：

2.三角形中的三角函數關系

/、/,/、4+3C/、A+BC

(1)sinU+T?)=sinC.(2)cos{A+B)=~cosC.(3)sin---=cos⑷cos~-—=sin

3.三角形中的射影定理

在5c中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosJ+acosB.

4.三角形中的大角對大邊

在中，y4>^=^a>Z?<=>sin4>sinB.

考點一、正弦定理解三角形

典例啊

1.(2024?北京東城?二模)在AABC中，A=C=—,b=V2,貝!Ja=()

412

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】D

【分析】由題意可得：B=j結合正弦定理運算求解.

6

【詳解】由題意可得：n-A-C=^,

6

二一2

由正弦定理昌=號可得a=第1一4.

sm4sinBsmB2

故選：D.

2.（2024?江蘇南通?模擬預測）在△ABC中，己知乙8=30°,c=2,則“b=是“乙C=45。”成立

的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】B

【分析】根據正弦定理以及“大邊對大角”即可判斷出結果.

【詳解】由正弦定理得號=三，即W=-J,

smBsinC-2sinC

sinC=亨，又因為c>b,

???C=45°或C=135°；

則"b=V2"是"乙C=45。”成立的必要不充分條件.

故選：B.

1.（2024?河北滄州?一模）在△ABC中，AC=1,tanB=tanC=g，貝!I（）

A.A=-B.cos2B=—C.BC=—D.△ABC的面積為近

3224

【答案】D

【分析】通過條件可得B,C,進而可得4cos2B,利用正弦定理求BC,利用面積公式求面積.

【詳解】因為tanB=tanC=。且在△48C中，

可得B=C=―,則4=n—B—C=―,A錯誤；

63

C0S2B=COSy=I，B錯誤；

在

由正弦定理生=W，則/五=遮，C錯誤；

s\nAsmBsmB-

2

S^ABC=工xBCxACxsinC=-xV3x1xi=—.

2224

故選：D.

2.（2024?江西贛州?一模）在△ABC中，45=夕,/C=2,C=120°,貝！JsinA=（）

V7VH5V73VH

AA.—D.rL.nU.---------

14141414

【答案】B

【分析】由已知利用余弦定理可求BC的值，根據正弦定理可求sinA的值.

【詳解】"：AB=V7,AC=2,C=120",

由余弦定理AB?=BC2+AC2-2BC■力CcosC可得：BC2+2BC-3=0,

解得：BC=1,或一3（舍去），

二由正弦定理可得：sin4=Q^=叵.

AB14

故選:B

3.（2024?廣東江門?一模）在AABC中，B=30°,b=2,c=2&,則角A的大小為（）

A.45°B.135°或45°C.15°D.105°或15°

【答案】D

【分析】利用正弦定理求得角C,根據三角形內角和，即可求得答案.

【詳解】由題意知△力8c中，8=30。,6=2,c=2V2,

故b_c艮|3sinC—csinB_2V2xsin30°_V2

由于c>b,故C>B=30。，則C=45°或135°,

故A的大小為180°-30°-45°=105°或180°-30°-135°=15°,

故選：D

4.（2024?浙江金華?三模）在△ABC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c.若a=夕，b=2,A=60°,則

c為（）

A.1B.2C.3D.1或3

【答案】C

【分析】根據余弦定理直接求解即可.

【詳解】由余弦定理得cosa=叱F，

2bc

即立巴包=工，即c2-2c-3=0,解得c=3或c=—1（舍）.

2x2c2

故選：C.

5.（2024?云南昆明?三模）已知△ABC中，AB=3,BC=4,AC=V5,貝ABC的面積等于（)

A.3B.VilC.5D.2V5

【答案】B

【分析】由余弦定理及同角三角函數的平方關系得出sinB,再根據三角形面積公式計算即可.

【詳解】由余弦定理得，cosB=而;;[:心=了『二｝因為B為三角形內角，

2.AB'BC2X3X46

貝UsinB=V1-cos2^=—,

6

所以SMBC=|4B-BC-sinB=jx3x4x^p=Vil,

故選：B.

考點二、正余弦定理的邊角互化

典例引領

1.（2024?江西九江?三模）在AABC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,已知2c-a=26cosA,則8=

（）

A.-B.-C.土D.巴

6336

【答案】B

【分析】運用正弦定理進行邊角互化，結合誘導公式以及兩角和的正弦公式即可解決.

【詳解】因為2c—a=2bcos4

由正弦定理，2sinC-sinA=2sinBcos4

因為Z+B+C=IT,???2sin（Z+B）-2sinBcos/=sin/,

展開化簡2sia4cosB=sinA.vsinA>0,?,.cosB=

又B€（0,兀），???8=事

故選:B.

2.（2024?陜西安康?模擬預測）在△ABC中，三個內角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且acos（B+看）=

bsinA,若￡1=b，c=2,貝防=（）

A.1B.2C.2V3D.4

【答案】A

【分析】利用正弦定理和三角恒等變換的化簡計算可得B=￡,結合余弦定理計算即可求解.

【詳解】acos（B+看）=bsinA,

由正弦定理得sirL4cos（B+看）=sinBsinA,

又AE（0,7i）,sinA>0,所以cos（B+看）=sinB,

即@cosB--sinB=sinB,

22

得cosB=V^sinB,即tanB=f,

又0<8<兀，所以8=上，而。=遮《=2,

6

由余弦定理得b=Va2+c2—2accosB=13+4—4百x/=1.

故選：A

??即時檢測

1.（2024?吉林?模擬預測）在A2BC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,“acosB=bcosA"是UA=

B”（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據正弦定理和正切函數的性質以及充要條件的判定即可得到答案.

【詳解】當acosB=bcosA,根據正弦定理得sinAcosB=sinBcosA,顯然A,B豐三,

則tan4=tan8,因為A,B為三角形內角，貝必=B,則充分性成立；

當4=B,因為A,B為三角形內角，則不會存在4=8=^|?的情況，則A,B地,

則tan4=tanB,則sinAcosB=sinBcosA,根據正弦定理則acosB=bcosA,故必要性成立；

則“acosF=bcosA''是"A=B”的充分必要條件.

故選：C.

2.（2024?湖北武漢?模擬預測）已知△48C的三個角4,B,C的對邊分別是a,b,c,若3a=2b,B=2A,

則cosB=（）

711

B.—C.--D.-

1688

【答案】D

【分析】利用正弦定理將邊化為角，利用題設將8換為4從而求出cos/,再利用二倍角公式求出cosb

【詳解】因為3a=2b,所以3sinZ=2sinB=2sin2Z=4sin/cos/,

因為Z￡（0,兀），所以sin/>0,

所以3=4cos4即cos/=-，

4

所以cosB=cos2X=2COS2T4—1=2x（習—1=，.

故選:D.

3.（2024?安徽?模擬預測）在銳角△28C中，角的對邊分別為a,b,c,若sirM=今0=3,正徑=3,

則.=（）

smB+sinc

A也B25p2^745

2333

【答案】B

【分析】由已知條件結合向量數量積的定義、余弦定理求出a,由正弦定理可得.廣：目,化簡即可

sinB+sinCsinA

得到答案.

【詳解】因為△ABC為銳角三角形，sin4=1所以4=60。，由福?就=cbcosA=3,則b=2,

由余弦定理可得：a2=62+c2—2bccosA=7,即Q=夕，

由正弦定理可得:b+c_a_-/7_2y[21

sinB+sinCsin/sin60°3'

故選：B.

4.（2024?遼寧?二模）在△ABC中，內角4B,C的對邊分別為a,b,c,且=4csinB+a,貝！JtanA

sin4

的值為（）

A.-2B.-3C.3D.2

【答案】A

【分析】正弦定理角化邊并結合余弦定理得塔W=sin（B+；）,由基本不等式及三角函數最值得

4V2ac\4/

sin（8+3）=1,求出B,再由正弦定理即可求解.

【詳解】因為6cs】nC+2bs】nB=如$m3+a,

sin4

22

由正弦定理得6c+2》=4csinB+a,即6c2+2b=4acsin8+a,

a

由余弦定理得6c2+2（a2+c2—2accosB）=4acsinB+a2,

化簡得8c2+小=4ac（sinB+cosB）,即^^=sin+；）,

因為耳篝=5也僅+9"嚅星=1,當且僅當a=2/c時等號成立，

4V2ac\4/4V2ac

又sin（B+1）<If故sin（B+—=1,因為86（0,兀）,故8+—=—,則B=-,

由。=2A/2C,則sinZ=2asinC=2/sin（j+4）,

整理得sin4=2sin4+2cos4,故tan/=—2

故選:A.

5.（23-24高三下?浙江?階段練習）在△ZBC中，a,b,c分別為內角C的對邊，滿足ab+sin/sinB=

2bsinXsinC,則小+爐的值為.

【答案】1

【分析】根據正弦定理與一元二次方程根的判別式可得C=90。，進而可得答案.

【詳解】已矢口。力+sin/sinB=2bsin/sinC,

則由正弦定理得：4R2sin4sinB+sinAsinB=4Rsin/sinBsinC,（R為△48c外接圓半徑），

■:sinAsinB>0,??.4/?24-1=4RsinC,

???4R2—4/?sinC+1=0,v/?>0,

.?.△=16sin2C-4x4xl>0,即sinC>1,

vsinC<1,???sinC=1,C=90°,

???A=0,，2R=1,c=2RsinC=1,

???a2+b2=1.

故答案為：1.

考點三、三角形的形狀

典例引領

1.（22-23高三上?河南?階段練習）某人要制作一個三角形，要求它的三條高的長度分別是告,則該

14105

三角形（）

A.是銳角三角形B.是直角三角形C.是鈍角三角形D.不存在

【答案】C

【分析】根據三角形面積公式，得到a,b,c的關系，賦值得到a,瓦c的值，再根據余弦定理判斷三角形的形狀.

【詳解】設AABC的內角4B,C的對邊分別是a,b,c,且a,瓦c邊上的高分別為工與；，貝咕聯三=坊二=

令a=14,則6=10,c=5,所以cosA=粵手<0,所以4為鈍角，又b+c>a,所以該三角

形是鈍角三角形.

故選：C

2.（2024高三?全國?專題練習）在ATlBC中，若acosA=bcosB,則AABC的形狀一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】利用余弦定理可得邊的關系，故可得正確的選項.

【詳解】因為acosA=bcosB,故ax「+c=bx&4,

2bc2ac

整理得到（。2-b2）c2-（a2-b2）（a2+爐）=o,

故（a?—fo2）（c2—a2—b2~）=0,故a?=或°2=a2+b2,

即a=b或c2=a2+b2,故小ABC的形狀為等腰或直角三角形，

故選：D.

即時便測

1.（2024?陜西安康?模擬預測）記AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a,b,c成等差數列，

以AC為直徑的圓的面積為2",若S"BC=2百，則AABC的形狀為（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.非等腰三角形D.等邊三角形

【答案】D

【分析】根據題意可得b=2加a+c=4叵利用余弦定理整理得…舟，結合面積關系可得B弋

進而可得a=c=2&,即可得結果.

【詳解】因為以AC為直徑的圓的面積為2JI,可知b=AC=2V2,

又因為a,b,c成等差數列，貝!j2b=a+c=4近,

由余弦定理可得COSB=3七="2-2"*,

即COSB=32-2a”8,整理得公=

2ac1+cosB

且S-BC=IacsinB=1x二篇xsinB=2^3,整理得V^sinB=1+cosB,

.V3

sinDB=—

2成［sinB=0

聯立方程，解得取IcosB=-1

cosB「=-1

2

.V3

sinDB=—n

且BG(0,Ji),可得■”即3

cosB=-

2

可得匕二竹，解得a=c=2也

所以△ABC的形狀為等邊三角形.

故選：D.

2.（2024?陜西安康?模擬預測）記ATIBC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a,b,c成等比數列，

以邊力C為直徑的圓的面積為4n,若△ABC的面積不小于4b，貝必4BC的形狀為（）

A.等腰非等邊三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【答案】D

【分析】根據題意可得反=ac,b=4,由S”BC>4?得sinB>手即60。<B<120°,又由余弦定理結

合基本不等式得0。<BW60。，所以B=60。，此時a=c,得解.

【詳解】根據題意可得，b2=ac,6=4,

=

^^ABC|acsinB=8sinB,5LSKABC>4V3,則sinB2日，

又0。<B<180°,所以60。<B<120°,

由余弦定理得，cosB=I±2四土竺=工，

2ac2ac2

所以（）o<BW60。，當且僅當a=c時等號成立，所以B=60。，此時a=c,

所以力=B=C,即△ABC為等邊三角形.

故選：D.

3.（2024?河南新鄉?二模）在AABC中，內角4,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=7,b=3,c=5,

則（）

A.△ABC為銳角三角形B.△ABC為直角三角形

C.△ABC為鈍角三角形D.△ABC的形狀無法確定

【答案】C

【分析】根據余弦定理求解最大角的余弦值即可求解.

_32+52-72_9+25-49

【詳解】由于cos/=，川-。<0,

2bc3030

故4為鈍角，進而三角形為鈍角三角形

故選：C

4.（2022高三?全國?專題練習）在△ABC中，內角4B,C所對的邊分別是a,hc,sin|=gasinB=csinA,

則該三角形的形狀是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】根據特殊角的三角函數值求出B,再利用正弦定理邊化角化簡asinB=csinA,可得8=C,即可

判斷出答案.

【詳解】在AABC中，sin^=|,由于B€（0,兀），,??：€（0,：）,

又asinB=csin/,故sin/sinB=sinCsinZ,而/G（0,兀），???sinAH0,

則sinB=sinC,而民CE（0,兀），則B=C,8+。=兀（舍），

故C=BZ=g,即△ZBC為等邊三角形，

故選：C

5.（20-21高三上?河北?階段練習）在△ABC中，角4B,C對邊為a,b,c,且2c?cos?：=6+c,則AaBC的

形狀為（）

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】先根據二倍角公式化簡cos??,根據余弦定理化簡得到c2=a2+爐即可得到答案.

【詳解】因為2c?cos?]=b+C,

所以2c,1+；°'"—b+c,即c+ccosh=b+c,

所以ccos/=b,

在△力BC中，由余弦定理：cos7l=b2+c1-a\

2bc

代入得，c-b+C~a=b,即/+02—@2=2力2,

2bc

所以《2=Q2+

所以直角三角形.

故選：B

考點四、三角形的周長

典例引領

1.（2024?北京?三模）在四棱錐P—4BCD中，底面4BCD為正方形，AB=4,PC=PD=3,Z.PCA=45°,

則APBC的周長為（）

A.10B.11C.7+V17D.12

【答案】C

【分析】根據給定條件，結合棱錐的結構特征，利用全等三角形性質及余弦定理求出PB即得.

【詳解】在四棱錐P—4BC0中，連接交于。，連P。，則。為4C,8。的中點，如圖，

B

正方形4BCD中，AB=4,AC=BD=4A/2,

在APOC與△POD中，OC=OD,OP=OP,PC=PD,則AP。gAPOD,

于是NPDB=Z.PCA=45°,

由余弦定理得PB=VB￡?2+PD2-2BD-PDcos^PDB=132+9-2X4&x3X'=V17,

所以△P8C的周長為7+V17.

故選：C

2.(2024?四川綿陽?一模)AABC中，角4、B、C的對邊分別為a、b、c,若sinCsinQl—B)=

nr

sinBsin(C—A),a=5,cosA=—,則△ABC的周長為.

【答案】14

【分析】先利用兩角差的正弦公式、正弦定理和余弦定理對題目條件進行化簡得出：2a2=爐+。2；再結

合a=5,cos/=II和余弦定理得出b+c的值即可求解.

【詳解】因為sinCs因為—B)=sinBsin(C—4),

所以sinCsinAcosB—sinCcosAsinB=sinBsinCcosA—sinBcosCsin/,

即sinCsin/cosB+sinBcosCsinZ=2sinBsinCcos4,

由正弦定理可得：accosB+abcosC=2hccosX,

由余弦定理可得：%士十四三=。2+、2一層,整理得：2a2=爐+。2.

因為Q=5,cosA=

22

b+c=50整理得:代士，；50

所以b2+c2-a225，

cos?l=i2bc=31

2bc31

則b+c=7b2+c2+zbc=150+31=9,

所以Q+b+c=14,

故答案為：14.

即時性測

1.(23-24高三下?四川巴中?階段練習)△中，A、B、C的對邊分別為a、b、c,且bcosC=2acosB—ccosB,

a=l,b=V3,則△ABC的周長為

【答案】3+V3

【分析】

由題意，根據正弦定理和三角恒等變換求得3=?,結合余弦定理計算求出c即可求解.

【詳解】由題意知，bcosC=2acosB—ccosB,

由正弦定理，得sinBcosC=2sinZcosB-sinCcosB,

sinBcosC+sinCcosB=sin(8+C)=2sirh4cos8,

即sinZ=2sirh4cos又sinZ>0,

所以1=2cosB,得cosB=5又0<8<n,

所以B=：；

由余弦定理，得cosB=—+/-?,即卜比匕，

2ac22c

由c>0,解得c=2,

所以△4BC的周長為a+&+c=3+V3.

故答案為：3+V3

2.(2024?天津北辰?三模)己知AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足acosC+ccosA='一.

2cosB

(1)求角B的大小；

(2)若cos力=g,求sin(24+B)的值；

(3)若△ABC的面積為竽，6=3,求△ABC的周長.

【答案】(1)彳

⑵在一省

36

(3)8

【分析】(1)根據正弦定理即可求解；

(2)利用同角三角函數關系式，得到sin4=半，之后應用余弦倍角公式和正弦和角公式求得結果；

(3)利用三角形面積公式得到QC=y,結合余弦定理求得a+c=5,進而得到三角形的周長.

【詳解】(1)因為acosC+ccosA=-'，

2cosB

所以sirh4cosc+sinCcos/=smg,

2cosB

所以sin(Z+C)=，所以sinB=

2cosB2cosB

因為86(0,兀)，所以COSB=],8=]；

(2)由已知得，sin/=V1—cos2i4=

所以sin2/=2sirh4cos4=手，

cos27l=2cos24

3

所以sin(24+B)=sin224cos8+cos2/sinB=j-/；

(3)因為S=^acsinB=^ac?蟲=延，

2223

所以ac=y,由余弦定理得匕2=a2+c2—2accost=(a+c)2—2ac—2accosB,

所以9=(a+c)2—3x所以a+c=5,

所以△48c的周長為a+力+c=8.

3.(2024,陜西商洛?模擬預測)在①2sinB=V^sin/；②bcosC+ccosB=4cos8這兩個條件中任選一個，

補充在下面的問題中并解答.

設的內角4B,C的對邊分別為a,b,c,且sinZ-sinC=sin(Z—8),b=^3.

⑴求B；

(2)若,求△ABC的周長.

注：若選擇條件①、條件②分別解答，則按第一個解答計分.

【答案】(1)8=?

(2)3+73

【分析】(1)根據sinC=sinQ4+B),化簡求得cosB,即可求解角B的值；

(2)若選①，根據(1)的結果求其它角，再求邊長，即可求解；若選②，根據余弦定理化簡求a,再根據

余弦定理求c,即可求解三角形的周長.

【詳解J(1)sinC=sin(兀—A—=sinQ4+B),

所以sin/—sinC=sin(力一B)osinZ-sinQ4+8)=sin(X—B),

sinZ—sinAcosB—cosXsinB=sinZcosB—cosTlsinB,

貝！JsinZ=2sirh4cosB,因sin/>0,

所以cosB=5,BE(0,兀)，則B=—；

(2)若選①，2sin8=V3sin?l,貝!)2=百sin/,貝!Jsin/=1,

則4=；，C=T-1—,且B,b=V3,

63

則c=b-tanC=V3x=1,a=2,

所以△48c的周長為2+1+V3=3+V3；

若選②bcosC4-ccosB=4cos8,

.rja2+b2-c2a2+c2-b2.

貝mIjbx------------Fcx-----------=4cos8n，

2ab2ac

整理為a=4cos8=2,又b=V3,

根據余弦定理爐=a2+c2—2accosB,即c?—2c+1=0,得c=1,

所以△48c的周長為2+1+V3=3+V3.

4.(2024?江蘇南通?三模)在△ABC中，角C的對邊分別為a,b,c,(2b—c)cosA=acosC.

⑴求4

⑵若AABC的面積為W,BC邊上的高為1,求△力BC的周長.

【答案】(1)|

(2)2V6+2V3

【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等變換得cos2=|,則得到4的大小；

(2)利用三角形面積公式得be=4,再結合余弦定理得b+c的值，則得到其周長.

【詳解】(1)因為(26-c)cosA=acosC,

由正弦定理，得(2sinB-sinC)cos4=sinXcosC,

即2sinBcos力=sinXcosC+sinCcosX,即2sinBcos4=sinB.

因為在△ABC中，sinBKO,

所以cosA=|.

又因為0<A<兀，所以4=y.

(2)因為△ABC的面積為百，

所以［ax1=V3,得a=2V3.

由工bcsin4=8，BP-heX—=V3,

222

所以be=4.由余弦定理，得a?=A?+02-2bccos4§P12=b2+c2—be,

化簡得(b+c)2=3bc+12,所以(b+c)2=24,即b+c=2^,

所以△ABC的周長為a+b+c=246+2<3.

考點五、三角形的面積

典例啊

1.(2024?陜西西安?模擬預測)在AaBC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=在，V6cosB=

(3c-b)cosi4,則△ABC面積的最大值為.

【答案】誓/|夜

【分析】由已知條件，運用正弦定理把邊化角，求得cos4=%再利用余弦定理和基本不等式求解AABC面

積的最大值.

【詳解】因為a=V6,V^cosB=(3c—b)cosA,所以V^cosB=acosB=(3c—b)cosA,

由正弦定理可得sin/cosB=3sinCcosZ-sinBcosZ,BPsin(X+B)=3sinCcos4

sinC=3sinCcos4因為C6(0,冗),所以sinCW0,故cos4=

由余弦定理M=b2+c2-2bccosA得(迎)'=b2+c2—~bc,

所以6=b2+c2—|兒>2bc—|hc,即be<當且僅當b=c=誓時取等號，

由cos/=%46(0,兀)，得sin/=雪，

所以S、IBC=-besmA=-x~^~bc<—x-=

故答案為：誓.

2.(2024?山西?模擬預測)在△ABC中，C=三，且G??荏=4舊，則△4BC的面積是

6

【答案】2

【分析】由C=￡，刀?而=4次得到C4-C8=8,再利用三角形面積公式求解.

O

【詳解】解：由正?而=C4-CB?cosC=4V3^CA-CB=8,

故SAABC=[sinCXCAXCB=2.

故答案為：2

即時便測

1.(2024?安徽?三模)在△ABC中，a,b,c分別為內角A,B,C所對的邊，且滿足a=百,(a+c)(sin4+

sinC)=bsinB+3csin/l,—=上咨，則△4BC的面積是

smBcosB-------

【答案】注3

44

【分析】先化角為邊結合余弦定理得出8,利用隨f=匕喑可得4=B,利用面積公式可得答案.

smBcosB

【詳解】因為(a+c)(sin4+sinC)=bsinB+3csin4

由正弦定理可得(a+c)2=b2+3ca,整理得a?+c2—h2=etc,cosB=叱=

因為Be(0,兀)，所以B=g；

由絲￡_1fse得sinCcosB+sinBcosC=sinB,即sin(8+C)=sinB,

smBcosB

因為sin(B+C)=sin(n-A)=sinZ,

所以sin4=sinB,即/=8=：,所以三角形是正三角形，

因為a=V3,所以△的面積是S=fX3=尊.

44

故答案為：乎

4

2.（2024?山東?二模）在△ABC中，內角4民。的對邊分別為a,b,c,V2（a2+&2—c2）=absinC,且c=1,

則△ABC面積的最大值為.

【答案】當

4

【分析】先由已知條件結合余弦定理和sin2c+cos2c=1,C€（0,兀）求出sinC,cosC,再由余弦定理結合基

本不等式求出油最大值，即可由正弦定理形式面積公式求出面積最大值.

【詳解】因為近（M+b2—c2）=absinC,

所以由余弦定理2abeosC=a2+b2—c2,得2V^abcosC=absinC,

所以sinC=2V2cosC,又sin2c+cos2c=1,CE（0,兀），

貝UsinC=手,cosC=

所以由余弦定理以及基本不等式得：

1=a2+b2—2abcosC=a2+b2——>2ab——=—,

333

即防，，當且僅當a=b=當時等號成立，

所以=[absinC="ab4乎,即44BC面積的最大值為圣

2344

故答案為：乎.

4

3.（2024高三?全國?專題練習）在△ABC中，zX=60°,c=|a.

⑴求sinC的值；

（2）若a=7,求△ABC的面積.

【答案】⑴警

14

（2）6V3

【分析】（1）根據正弦定理號=三求sinC的值；

sinAsinC

（2）求出c,再利用余弦定理求出b,然后利用三角形面積公式可求得答案.

【詳解】（1）在△4BC中，因為乙4=60。"='a,

由正弦定理=上得sinC=詠=取吏=遞.

sm4sinCa7214

（2）因為a=7,所以c=,x7=3,

由余弦定理小=b2+c2—2bccos/得72=h2+32—2bx3x

解得力=8或八一5（舍），

所以△ABC的面積S=|/?csin4=|x8x3Xy=6V3.

4.(2024?北京豐臺?二模)已知△ABC滿足遮sinZ+cosA=2.

⑴求力；

(2)若AABC滿足條件①、條件②、條件③中的兩個，請選擇一組這樣的兩個條件，并求AABC的面積.

條件①：a-b=2；條件②：cosB=—；條件③：c=8.

14

【答案】(1)?

(2)見解析.

【分析】⑴根據輔助角公式可得sin(A+3=l,即可求解力=1

(2)選擇①②，根據正弦定理可得b=》>a與a-b=2矛盾，即可求解，選擇②③，根據cosB

故B>?,a<b,這與a-b=2矛盾，再由三角恒等變換及正弦定理、三角形面積公式即可求解，選擇①③，

根據余弦定理可得b=