華師大版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)

重難點(diǎn)突破

全冊(cè)知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型舉一反三鞏固練習(xí)

有理數(shù)的意義

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握用正負(fù)數(shù)表示實(shí)際問(wèn)題中具有相反意義的量；

2.理解正數(shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)的概念；

3.掌握有理數(shù)的分類方法，初步建立分類討論的思想.

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、正數(shù)與負(fù)數(shù)

像+3、+1.5、+,、+584等大于0的數(shù)，叫做正數(shù)；像一3、一1.5、一584等

22

在正數(shù)前面加“一”號(hào)的數(shù)，叫做負(fù)數(shù).

要點(diǎn)詮釋：

（1）一個(gè)數(shù)前面的“-”是這個(gè)數(shù)的性質(zhì)符號(hào)，常省略，但“-”不能省略.

（2）用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時(shí)，哪種為正可任意選擇，但習(xí)慣把“前進(jìn)、上

升”等規(guī)定為正，而把“后退、下降”等規(guī)定為負(fù).

（3）0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，它是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線.

要點(diǎn)二、有理數(shù)的分類

（1）按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類：（2）按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類：

‘正整數(shù)

正有理數(shù)

整數(shù)0

有理數(shù)負(fù)整數(shù)

有理數(shù)，0

‘正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)，.負(fù)整數(shù)

員分?jǐn)?shù)負(fù)有理數(shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)

要點(diǎn)詮釋：

（1）有理數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，整數(shù)也可以看作是分母為1的數(shù).

（2）分?jǐn)?shù)與有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以互化，所以有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)可看作分?jǐn)?shù),

但無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不是分?jǐn)?shù)，例如乃.

（3）正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)；正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù).

【典型例題】

類型一、正數(shù)與負(fù)數(shù)

▼1.（2016?廣州）中國(guó)人很早開(kāi)始使用負(fù)數(shù)，中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》的“方程”

一章,在世界數(shù)學(xué)史上首次正式引入負(fù)數(shù).如果收入100元記作+100元.那么-80元表示

（）

A.支出20元B.收入20元C.支出80元D.收入80元

【思路點(diǎn)撥】在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示.

【答案】C

【解析】解:根據(jù)題意，收入100元記作+100元,

則?80表示支出80元.

故選：C.

【總結(jié)升華】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，確定一對(duì)

具有相反意義的量.

舉一反三：

【有理數(shù)的意義356786概念的應(yīng)用例3（1）】

【變式1]（2015?太倉(cāng)市模擬）一種大米的質(zhì)量標(biāo)識(shí)為“（50±0.5）千克“，則下列各袋

大米中質(zhì)量不合格的是（）

A.50.0千克B.50.3千克C.49.7千克D.49.1千克

【答案】1）.

解：“50±0.5千克”表示最多為50.5千克，最少為49.5千克.

【變式2]（1）如果收入300元記作+300元，那么支出500元用表示，0元表

示__________.

（2）若購(gòu)進(jìn)50本書，用-50本表示，則盈利30元如何表示？

【答案】（1）-500元；既沒(méi)有收入也沒(méi)有支出.（2）不是一對(duì)具有相反意義的量，不能表示.

【變式3】如果60nl表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示為（）.

A.-20mB.—40mC.20mD.40m

【答案】B

C2.體育課上，華英學(xué)校對(duì)九年級(jí)男生進(jìn)行了引體向上測(cè)試，以能做7個(gè)為標(biāo)準(zhǔn)，超過(guò)

的次數(shù)記為正數(shù)，不足的次數(shù)記為負(fù)數(shù)，其中8名男生的成績(jī)?nèi)缦拢?,-1,0,3,-2,-3,

1,0

（1）這8名男生有百分之幾達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)？

（2）他們共做了多少引體向上？

【答案與解析】（1）由題意可知：正數(shù)或0表示達(dá)標(biāo)，

而正數(shù)或0的個(gè)數(shù)共有5個(gè)，所以百分率為：-x100%=62.5%；

8

答：這8名男生有62.5%達(dá)到標(biāo)準(zhǔn).

（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（個(gè)）

答：他們共做了引體向上56個(gè).

【總結(jié)升華】一定要先弄清“基準(zhǔn)”是什么.

類型二、有理數(shù)的分類

【有理數(shù)的意義356786概念的應(yīng)用例2】

^^3.下面說(shuō)法中正確的是（）.

A.非負(fù)數(shù)一定是正數(shù).

B.有最小的正整數(shù)，有最小的正有理數(shù).

C.一。一定是負(fù)數(shù).

D.正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱正有理數(shù).

【答案】D

【解析】（A）不對(duì)，因?yàn)榉秦?fù)數(shù)還包括0；（B）最小的正整數(shù)為1,但沒(méi)有最小的正有理數(shù)；

（C）不對(duì)，當(dāng)。為負(fù)數(shù)或0時(shí)，則一。為正數(shù)或0,而不是負(fù)數(shù)；（D）對(duì)

【總結(jié)升華】一個(gè)有理數(shù)既有性質(zhì)符號(hào)，又有除性質(zhì)符號(hào)外的數(shù)值部分，兩者合在一起才表

示這個(gè)有理數(shù).

舉一反三：

【變式1】判斷題:

（1）0是自然數(shù)，也是偶數(shù).（）（2）0既可以看作是正數(shù)，也可以看成是負(fù)數(shù).（）

（3）整數(shù)又叫自然數(shù).（）（4）非負(fù)數(shù)就是正數(shù)，非正數(shù)就是負(fù)數(shù).（）

【答案】V,x,x,x

【變式2】下列四種說(shuō)法，正確的是（）.

（A）所有的正數(shù)都是整數(shù)（B）不是正數(shù)的數(shù)一定是負(fù)數(shù)

（C）正有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)（D）0不是最小的有理數(shù)

【答案】D

Cd.請(qǐng)把下列各數(shù)填入它所屬于的集合的大括號(hào)里.

7*,

1,0.0708,-700,-3.88,0,3.14159265,——，023.

23

正整數(shù)集合：{…},負(fù)整數(shù)集合：{…},

整數(shù)集合：（…},正分?jǐn)?shù)集合：{…},

負(fù)分?jǐn)?shù)集合：{…},分?jǐn)?shù)集合：{…},

非負(fù)數(shù)集合：{…},非正數(shù)集合：{…}.

【答案】正整數(shù)：1；負(fù)整數(shù)：-700；整數(shù)：1,0,-700；正分?jǐn)?shù)：0.0708,3.14159265,

023.

7

負(fù)分?jǐn)?shù)：-3.88,；

23

7

分?jǐn)?shù)：0.0708,3.14159265,023,-3.88,

23

非負(fù)數(shù)：1,0.0708,3.14159265,0,023；

7

非正數(shù):-700,-3.88,0,——

23

‘正整效

正有理教

【解析】正分?jǐn)?shù)

有理數(shù)0

【總結(jié)員整數(shù)升華】填數(shù)的方法有兩種：一種是逐個(gè)考察，

負(fù)有理數(shù)

進(jìn)行填員分?jǐn)?shù)寫；二是逐個(gè)填寫相關(guān)的集合，從給出的數(shù)中找出

屬于這個(gè)集合的數(shù).此外注意幾個(gè)概念:非負(fù)數(shù)包括0和正數(shù)；非正數(shù)包括0和負(fù)數(shù).

舉一反三:

【變式】(2014秋?惠安縣期末)在有理數(shù)-2、-5、3.14中，屬于分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)共有個(gè).

3—

【答案】2.

類型三、探索規(guī)律

.某校生物教師李老師在生物實(shí)驗(yàn)室做實(shí)驗(yàn)時(shí)，將水稻種子分組進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)：第1

組取3粒，第2組取5粒.第3組取7粒，第4組取9粒，?.按此規(guī)律，那么請(qǐng)你推測(cè)第

n組應(yīng)該有種子是粒.

【答案】(2,2+1)

【解析】第1組取3粒，第2組取5粒，第3組取7粒，第4組取9粒，???，由此我們觀

察到的粒數(shù)與組數(shù)之間有一定關(guān)系：3=2xl+l,5=2x2+1,7=2x3+1,

9=2x4+l,…，按此規(guī)律，第n組應(yīng)該有種子數(shù)(2〃+1)粒.

【總結(jié)升華】研究一列數(shù)的排列規(guī)律時(shí)，其中的數(shù)與符號(hào)往往都與序數(shù)有關(guān).

舉一反三：

【變式1】有一組數(shù)列：2,-3,2,-3,2,-3,…，根據(jù)這個(gè)規(guī)律，那么第201()個(gè)數(shù)是:

【答案】-3

【變式2】觀察下列有規(guī)律的數(shù)：…，根據(jù)其規(guī)律可知第9個(gè)數(shù)是：

26122()3()

【答案】3

90

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.(2014?甘肅模擬)下列語(yǔ)句正確的()個(gè)

(1)帶“-”號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù)；

（2）如果a為正數(shù)，則-a一定是負(fù)數(shù)；

（3）不存在既不是正數(shù)又不是負(fù)數(shù)的數(shù)；

（4）0℃表示沒(méi)有溫度.

A.0B.1C.2I）.3

2.關(guān)于數(shù)“0”，以下各種說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）

A.0是整數(shù)B.0是偶數(shù)

C.0是正整數(shù)D.0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)

3.如果規(guī)定前進(jìn)、收入、盈利、公元后為正，那么下列各語(yǔ)句中錯(cuò)誤的是（）

A.前進(jìn)T8米的意義是后退18米

B.收入-4萬(wàn)元的意義是減少4萬(wàn)元

C.盈利的相反意義是虧損

D.公元-300年的意義是公元后300年

4.一輛汽車從甲站出發(fā)向東行駛50千米，然后再向西行駛20千米，此時(shí)汽車的位置是（）

A.甲站的東邊70千米處B.甲站的西邊20千米處

C.甲站的東邊30千米處D.甲站的西邊30千米處

5.在有理數(shù)中，下面說(shuō)法正確的是（）

A.身高增長(zhǎng)1.2cm和體重減輕1.2kg是一對(duì)具有相反意義的量

B.有最大的數(shù)

C.沒(méi)有最小的數(shù)，也沒(méi)有最大的數(shù)

D.以上答案都不對(duì)

6.下列各數(shù)是正整數(shù)的是（）

A.-1B.2C.0.5I）.小

二、填空題

1.（2014秋?朝陽(yáng)區(qū)期末"II果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可記作—.

11

2.在數(shù)05,-2-,100.0,1--45,0.1中，非負(fù)數(shù)是；非正數(shù)

22

是.

3.把公元2008年記作+2D08,那么-2008年表示.

4.既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)的有理數(shù)是.

5.（2016春?溫州校級(jí)期中）如果向東行駛10米,記作+10米，那么向西行駛20米,記作.

_________米.

6.是整數(shù)而不是正數(shù)的有理數(shù)是.

7.既不是整數(shù)，也不是正數(shù)的有理數(shù)是.

8.一種零件的長(zhǎng)度在圖紙上是（10：器）亳米，表示這種零件的標(biāo)準(zhǔn)尺寸是亳米,

加工要求最大不超過(guò)毫米，最小不小于亳米.

三、解答題

1.說(shuō)出下列語(yǔ)句的實(shí)際意義.

（1）輸出-12t（2）運(yùn)進(jìn)-5t（3）浪費(fèi)-14元（4）上升-2m（5）向南走-7小

2.（2014秋?晉江市期末）下面兩個(gè)圈分別表示負(fù)數(shù)集和分?jǐn)?shù)集，請(qǐng)把下列6個(gè)數(shù)填入這兩

個(gè)圈中合適的位置.

3.（2015秋?贛州校級(jí)期末）隨著人們的生活水平的提高，家用轎車越來(lái)越多地進(jìn)入普通家

庭.小明家買了一輛小轎車，他連續(xù)記錄了7天中每天行駛的路程，以50km為標(biāo)準(zhǔn)，多于

50km的記為“+”，不足50km的記為“-”，剛好50km的記為“0”，記錄數(shù)據(jù)如下表:

時(shí)間第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天

路程（km）-8-11-140-16+41+8

（1）請(qǐng)你估計(jì)小明家的小轎車一月（按30天計(jì)）要行駛多少千米？

（2）若每行駛100km需用汽油8L,汽油每升7.14元,試求小明家一年（按12個(gè)月計(jì)）的

汽油費(fèi)用是多少元？

4.觀察下面依次排列的一列數(shù)，它的排列有什么規(guī)律?請(qǐng)接著寫出后面的兩個(gè)數(shù)，你能說(shuō)出

第2011個(gè)數(shù)是什么嗎？

（1）1>~2>3,-4,5,-6,7,-8,,,...,...

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】B

【解析】（1）帶“-”號(hào)的數(shù)不一定是負(fù)數(shù)，如-（?2）,錯(cuò)誤；

（2）如果a為正數(shù)，則-a一定是負(fù)數(shù)，正魂；

（3）0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，故不存在既不是正數(shù)乂不是負(fù)數(shù)的數(shù)此表述錯(cuò)誤;

（4）0℃表示沒(méi)有溫度，錯(cuò)誤.

綜上，正確的有（2）,共一個(gè).

2.【答案】C

【解析】。既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，但0是整數(shù)，是偶數(shù)，是自然數(shù).

3.【答案】D

【解析】D錯(cuò)誤，公元-300年的意義應(yīng)該是公元前300年.

4.【答案】C

【解析】畫個(gè)圖形有利于問(wèn)題分析，向東50千米然后再向西20千米后顯然此時(shí)汽車在

甲站的東邊30千米處.

5.【答案】C

【解析】A錯(cuò)誤，因?yàn)樯砀吲c體重不是具有相反意義的量，B錯(cuò)誤，沒(méi)有最大的數(shù)也沒(méi)有

最小數(shù)；c對(duì).

6.【答案】B

二、填空題

1.【答案】-5米

11

2.【答案】0.5,100,0,1-01；-2-,0,-45

22

【解析】正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非衛(wèi)數(shù)，零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù).

3.【答案】公元前2008年

【解析】正負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量.

4.【答案】0

【解析】既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)的數(shù)只有零.

5.【答案】-20.

【解析】解：???向東行駛10米，記作+10米，

???向西行駛20米,記作?20米,

故答案為：-2D.

6.【答案】負(fù)整數(shù)和()

【解析】整數(shù)包括正整數(shù)和負(fù)整數(shù)，又因?yàn)椴皇钦龜?shù)，所以只能是負(fù)整數(shù)和0.

7.【答案】負(fù)分?jǐn)?shù)

【解析】不是整數(shù)，則只能是分?jǐn)?shù)，又不是正數(shù)，所以只能是負(fù)分?jǐn)?shù).

8.【答案】10,10.03,9.98

【解析】10喘:表示的數(shù)的范圍為：大于(10-0.02),而小于(10+0.03),即大于9.98

而小于10.03.

三、解答題

1.【解析】(1)輸出-12t表示輸入12t；

(2)運(yùn)進(jìn)-5t表示運(yùn)出5t；

(3)浪費(fèi)T1元表示節(jié)約14元;

(4)上升-21n表示下降2m；

(5)向南走-7m表示向北走7m.

提示：“-”表示相反意義的量.

50X7-8-U-14-16+41+8,n

7

50X30=1500（km）.

答：小明家的小轎車一月要行駛1500千米;

（2）互如X8X7.14X12=10281.6（元），

100

答：小明家一年的汽油費(fèi)用是10281.6元.

4.【解析】（1）9,一10,…,2011,-

892011

數(shù)軸與相反數(shù)（基礎(chǔ)）

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解數(shù)軸的概念及三要素；

2.理解有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的關(guān)系，并會(huì)借助數(shù)軸比較兩個(gè)數(shù)的大小；

3.會(huì)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，并能借助數(shù)軸理解相反數(shù)的概念及幾何意義；

4.掌握多重符號(hào)的化簡(jiǎn).

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、數(shù)軸

L定義：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)地.

要點(diǎn)詮釋：

（1）原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不可.

（2）長(zhǎng)度單位與單位長(zhǎng)度是不同的，單位長(zhǎng)度是根據(jù)需要選取的代表“1”的線段，而長(zhǎng)度

單位是為度量線段的長(zhǎng)度而制定的單位.有km、m、dm、cm等.

（3）原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度可以根據(jù)實(shí)際靈活選定，但一經(jīng)選定就不能改動(dòng).

2.數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系：任何?個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都

表示有理數(shù)，還可以表示其他數(shù)，比如乃.

要點(diǎn)詮釋：

（1）一般地，數(shù)軸上原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示正數(shù)，左邊的點(diǎn)表示負(fù)數(shù)；反過(guò)來(lái)也對(duì)，即正數(shù)用

數(shù)軸上原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)數(shù)用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，零用原點(diǎn)表示.

（2）在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

要點(diǎn)二、相反數(shù)

1.定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；0的相反數(shù)是0.

要點(diǎn)詮釋：

（1）“只”字是說(shuō)僅僅是符號(hào)不同，其它部分完全相同.

（2）“0的相反數(shù)是0”是相反數(shù)定義的一部分，不能漏掉.

（3）相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)一個(gè)數(shù)不能說(shuō)是相反數(shù).

（4）求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上“-”號(hào)即可.

2.性質(zhì)：

（1）互為相反數(shù)的兩數(shù)的點(diǎn)分別位于原點(diǎn)的兩旁，且與原點(diǎn)的距離相等（這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱）.

(2)互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0.

要點(diǎn)三、多重符號(hào)的化簡(jiǎn)

多重符號(hào)的化簡(jiǎn)，由數(shù)字前面“-”號(hào)的個(gè)數(shù)來(lái)確定，若有偶數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為正，

如-{-卜(-4)]}=4；若有奇數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為負(fù),如-{+[-(-4)]}=-4.

要點(diǎn)詮釋：

(1)在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“+”，仍然與原數(shù)相同，如+5=5,+(-5)=-5.

(2)在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“一”，就成為原數(shù)的相反數(shù).如一(-3)就是一3的相反

數(shù)，因此，一(-3)=3.

【典型例題】

類型一、數(shù)軸的概念

C1.如圖所示是幾位同學(xué)所畫的數(shù)軸，其中正確的是()

-2-1~廣-3-2-10""1"""2"""g>-1-2~~0~17a-'o

(0(2)(3)(4)

A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.只有⑵D.⑴⑵⑶⑷

【答案】C

【解析】對(duì)數(shù)軸的二要素掌握不清.(1)中忽略了單位長(zhǎng)度，相鄰兩整點(diǎn)之間的距離不一致;

(3)中負(fù)有理數(shù)的標(biāo)記有錯(cuò)誤；(4)圖中漏畫了表示方向的箭頭.

【總結(jié)升華】數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無(wú)限延伸；數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位

長(zhǎng)度缺一不可.

類型二、相反數(shù)的概念

2.(2015?宜賓)」的相反數(shù)是()

5

A.5B.-1C.-1D.-5

55

【思路點(diǎn)撥】解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住互為相反數(shù)的特征“只有符號(hào)不同”，所以只要將

原數(shù)的符號(hào)變?yōu)橄喾吹姆?hào)，即可求出其相反數(shù).

【答案】B

【總結(jié)升華】求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只改變這個(gè)數(shù)的符號(hào)，其他部分都不變.

舉一反三：

【數(shù)軸和相反數(shù)例1(1)~(7)】

【變式1】填空：

(1)一(一2.5)的相反數(shù)是；(2)—是700的相反數(shù)；(3)-5；是的相反數(shù)；

(4)的相反數(shù)是T.1；(5)8.2和互為相反數(shù).(6)a和互為相反數(shù).

(7)的相反數(shù)比它本身大，的相反數(shù)等于它本身.

【答案】(1)-2.5；(2)100；(3)5-；(4)1.1；(5)-8.2；(6)-a；(7)負(fù)數(shù)，().

5

【數(shù)軸和相反數(shù)例2】

【變式2】下列說(shuō)法中正確的有（）

①一3和+3互為相反數(shù)；②符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；③互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)必定

一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù)；④乃的相反數(shù)是一3.14；⑤一個(gè)數(shù)和它的相反數(shù)不可能相等.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)或更多

【答案】B

C3.（2016?泰安模擬）如圖，數(shù)軸上有A,B,C,1）四個(gè)點(diǎn)，其中表示2的相反數(shù)的點(diǎn)

是（）

ABCD

?1?-----L-?-J------■-----1?1■>

-4-3-2-10123456

A.點(diǎn)AB.點(diǎn)BC.點(diǎn)CD.點(diǎn)D

【思路點(diǎn)撥】考杳相反數(shù)的定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).根據(jù)定義，結(jié)合數(shù)軸

進(jìn)行分析.

【答案】A

【解析】解：???表示2的相反數(shù)的點(diǎn)，到原點(diǎn)的距離與2這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，并且與2

分別位于原點(diǎn)的左右兩側(cè)，

???在A,B,C,D這四個(gè)點(diǎn)中滿足以上條件的是A.

故選A.

【總結(jié)升華】本題考查了互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的位置特點(diǎn)：分別位于原點(diǎn)的左右兩

側(cè)，并且到原點(diǎn)的距離相等.

類型三、多重符號(hào)的化簡(jiǎn)

4.化簡(jiǎn)下列各數(shù)中的符號(hào).

(1>(

(1)—I—2—3J(2)-(+5)(3)-(-0.25)(4)+I一—2；

(5)-[-(+!)](6)-(-a)

【答案】(2)-(+5)=-5(3)-(-0.25)=0.25

(11

<4)-I-=(5)-[-(+1)]=-(-!)=1(6)-(-a)=a

I2

【解析】

<1A111(1

(1)--2-表示一2-的相反數(shù)，而一2—的相反數(shù)是2-，所以--2-=2-；

I3)333I3J3

(2)-(+5)表示+5的相反數(shù)，即-5,所以-(+5)=-5；

(3)-(-0.25)表示-0.25的相反數(shù),而-0.25的相反數(shù)是0.25,所以-(-0.25)=0.25；

(4)負(fù)數(shù)前面的“+”號(hào)可以省略，所以+(-'〕二一』；

I2J2

(5)先看中括號(hào)內(nèi)-(+1)表示1的相反數(shù),即T,因此-卜(+1)]=-(-1)而-(T)表示T的

相反數(shù),即1,所以-(7)=1;(6)-(-a)表示-a的相反數(shù),即a.

所以-(-a)=a

【總結(jié)升華】運(yùn)用多重符號(hào)化簡(jiǎn)的規(guī)律解決這類問(wèn)題較為簡(jiǎn)單.即數(shù)一下數(shù)字前面有多少個(gè)

負(fù)號(hào).若有偶數(shù)個(gè)，則結(jié)果為正；若有奇數(shù)個(gè)，則結(jié)果為負(fù).

類型四、利用數(shù)軸比較大小

C5.在數(shù)軸上表示2.5,0,-1,-2.5,1-,3有理數(shù)，并用“V”把它連接起

44

來(lái).

【答案與解析】如圖所示，點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G分別表示有理數(shù)2.5,0,-1,

4

-2.5,1-,3.

4

-4-3-2-I01234

由上圖可得：

31

**?—2.5<—1<—<0<1—<2.5<3

44

【總結(jié)升華】根據(jù)數(shù)軸的三要素先畫好數(shù)軸，表示數(shù)的字母要依次對(duì)應(yīng)有理數(shù)，然后根據(jù)在

數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，比較大小.

舉一反二：

【變式1】(2014秋?蛹橋區(qū)校級(jí)期中)有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列各式不

成立的是()

--------------1-----------1-?--------------->

a0b

A.b-a>0B.-b<0C.-a>-bD.-ab<0

【答案】D

【數(shù)軸和相反數(shù)例4(2)】

【變式2】填空：

大于-39且小于7。的整數(shù)有______個(gè)；比3」小的非負(fù)整數(shù)是.

775

【答案】11：0,1,2,3

類型五、數(shù)軸與相反數(shù)的綜合應(yīng)用(數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用)

@’6.已知數(shù)軸上點(diǎn)A和點(diǎn)B分別表示互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)a,b(a<b)并且A、B兩點(diǎn)間

的距離是4,，求a、b兩數(shù).

4

【思路點(diǎn)撥】因?yàn)閍、b兩數(shù)互為相反數(shù)（aVb）,所以表示a,b的兩點(diǎn)A、B離原點(diǎn)的距離

相等，而A、B兩點(diǎn)間的距離是41，所以A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是4，+2=21.

448

【答案與解析】

解：由題意A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都是：42+2=2,而aVb,所以。二-21,b=2~.

4888

【總結(jié)升華】（1）理解相反數(shù)的幾何意義.（2）從相反數(shù)的意義入手，明確互為相反數(shù)的兩

數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

舉一反三：

【變式】填空：（1）數(shù)軸上離原點(diǎn)5個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示的數(shù)是；（2）從數(shù)軸上觀

察，-3與3之間的整數(shù)有個(gè).

【答案】（1）±5,提示：要注意兩種情況，原點(diǎn)左右各一個(gè)點(diǎn)；（2）5,提示：畫出數(shù)軸，

容易看出-3和3之間的整數(shù)是-2,-1,0,1,2共5個(gè).

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.（2015?江陰市模擬）-5的相反數(shù)是（）

A.5B.-5C.±5D.

5

2.下列說(shuō)法正確的是（）

A.數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)可以表示兩個(gè)不同的有理數(shù)

B.數(shù)軸上的兩個(gè)不同的點(diǎn)表示同一個(gè)有理數(shù)

C.有的有理數(shù)不能在數(shù)軸上表示出來(lái)

D.任何一個(gè)有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到與它對(duì)應(yīng)的唯一點(diǎn)

3.（2016?呼和浩特）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為（）

A.0B.-1C.1D.2

4.如圖，有理數(shù)a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如下，則有（）.

a0b

（A）a>0>b（B）a>b>0（C）a<0<b（D）a<b<0

5.一個(gè)數(shù)比它的相反數(shù)小，這個(gè)數(shù)是（）

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C,非正數(shù)D.非負(fù)數(shù)

6.如果4+8=0,那么〃泊兩個(gè)數(shù)一定是（）

A.都等于0B.一正一負(fù)C.互為相反數(shù)D.互為倒數(shù)

二、填空題

1.的兩個(gè)數(shù)，叫做互為相反數(shù)；零的相反數(shù)是.

2.（2015春?岳池縣期中；若3a-4b與7a-6b互為相反數(shù)，則a與b的關(guān)系為

3.（2016?岳陽(yáng)）如圖所示，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)的相反數(shù)是

4.數(shù)軸上離原點(diǎn)5個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)有_____個(gè)，它們表示的數(shù)是,它們之間的關(guān)

系是.

5.化簡(jiǎn)下列各數(shù)：

⑴一’1卜——；⑵-1+》——⑶一{+[-(+3)]}=

【數(shù)軸和相反數(shù)例4(5)】

6.已知一l<aVOVl<b,請(qǐng)按從小到大的順序排列-1,—a,0,1,-b為.

三、解答題

1.小敏的家、學(xué)校、郵局、圖書館坐落在一條東西走向的大街上，依次記為A、B、C、D,

學(xué)校位于小敏家西150米，郵局位于小敏家東100米，圖書館位于小敏家西400米.

(1)用數(shù)軸表示A、B、C、D的位置(建議以小敏家為原點(diǎn)).

(2)一天小敏從家里先去郵局寄信后.以每分鐘5()米的速度往圖書館方向走了約8分

鐘.試問(wèn)這時(shí)小敏約在什么位置?距圖書館和學(xué)校各約多少米？

2.(2014秋?孟津縣期中)已知：a是-(-5)的相反數(shù)，b比最小的正整數(shù)大4,c是最

大的負(fù)整數(shù).計(jì)算：3a+3b+c的值是多少？

3.化簡(jiǎn)下列各數(shù)，再用連接.

(1)-(-54)(2)-(+3.6)⑶

4.已知3n1-2與-7互為相反數(shù)，求m的值.

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】A

2.【答案】1)

【解析】A、B、C都錯(cuò)誤，因?yàn)樗械挠欣頂?shù)都能在數(shù)軸上表示出來(lái)，但數(shù)軸上的點(diǎn)不

都表示有理數(shù)；一個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上只有一個(gè)表示它的點(diǎn).數(shù)軸上表示有理數(shù)的

點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)有理數(shù).

3.【答案】A

【解析】解：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0.

故選：A.

4.【答案】C

5.【答案】B

【解析】因?yàn)橐粋€(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)小于正數(shù)，所以選B

6.【答案】C

【解析】若。+〃=0,則。/一定互為相反數(shù)；反之，若互為相反數(shù)，則。+〃=0.

二、填空題

1.【答案】只有符號(hào)不同，零

【解析】相反數(shù)的定義

2.【答案】a=b.

【解析】???3a-4b與7a-6b互為相反數(shù)，.\3a-4b+7a-6b=0,Aa=b.

3.【答案】2.

【解析】解：數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)是-2,-2的相反數(shù)是2,

故答案為：2.

4.【答案】?jī)蓚€(gè)，±5,互為相反數(shù)

24

5.【答案】3

35

【解析】多重符號(hào)的化簡(jiǎn)是由“一”的個(gè)數(shù)來(lái)定，若“一”個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為

正，：若“一”個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為負(fù).

6.【答案】一b<-l<O<-a<l.

三、解答題

（2）小敏從郵局出發(fā)，以每分鐘50米的速度往圖書館方向走了約8分鐘，其路程為E0X8

=400（米），由上圖知，此時(shí)小敏位于家西300米處，所以小敏在學(xué)校與圖書館之間，且距

圖書館100米，距學(xué)校IX）米.

2.【解析】Ta是-(-5)的相反數(shù),

a=-5,

???b比最小的正整數(shù)大4,

/.b=1+4=5,

???c是最大的負(fù)整數(shù)，

/-c=-1,

3a+3b+c=3X(-5)+3X5-1,

=-15+15-1,

=-1.

3.【解析】

(1)-(-54)=54

(2)-(+3.6)=-3.6

5

3

(2\2

(4)——4—=4—,

55

9

將化簡(jiǎn)后的數(shù)表示在數(shù)軸上，由圖可得:-(+3.6)V—+—<—I—4—I<-(-54).

3；5

4.【解析】依題意：3m-2=7,故m=3.

絕對(duì)值及有理數(shù)的大小比較(基礎(chǔ))

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.借助數(shù)軸理解絕對(duì)值的概念，知道⑸的絕對(duì)值的含義；

2.會(huì)求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，并會(huì)用絕對(duì)值比較有理數(shù)的大小；

3.通過(guò)應(yīng)用絕對(duì)值解決實(shí)際問(wèn)題，休會(huì)絕對(duì)俏?的意義和作用.

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、絕對(duì)值

1.定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|.

要點(diǎn)詮釋：

(1)絕對(duì)?值的代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0

的絕對(duì)值是0.即對(duì)于任何有理數(shù)a都有：

a(a>0)

|a|=<0(q=0)

-a(a<0)

(2)絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，離原點(diǎn)的距

離越遠(yuǎn)，絕對(duì)值越大；離原點(diǎn)的距離越近，絕對(duì)值越小.

(3)一個(gè)有理數(shù)是由符號(hào)和絕對(duì)值兩個(gè)方面來(lái)確定的.

2.性質(zhì)：

(1)0除外，絕對(duì)值為一正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).

(2)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等.

(3)絕對(duì)值具有非負(fù)性，即任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值總是正數(shù)或0.

耍點(diǎn)二、有理數(shù)的大小比較

1.數(shù)軸法：在數(shù)軸上表示出兩個(gè)有理數(shù)，左邊的數(shù)總比右邊的數(shù)小.如：a與b在數(shù)軸上

的位置如圖所示，則aVb.______?_____?，

2.法則比較法：°b

兩個(gè)數(shù)比較大小，按數(shù)的性質(zhì)符號(hào)分類，情況如下:

同為正號(hào)：絕對(duì)值大的數(shù)大

兩數(shù)同號(hào)

同為負(fù)號(hào)：絕對(duì)值大的反而小

兩數(shù)異號(hào)正數(shù)大于負(fù)數(shù)

-數(shù)為0正數(shù)與0：正數(shù)大于0

負(fù)數(shù)與0：負(fù)數(shù)小于0

要點(diǎn)詮釋：

利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小的步驟：（1）分別計(jì)算兩數(shù)的絕對(duì)值；（2）比較絕對(duì)值

的大小；（3）判定兩數(shù)的大小.

3.作差法：設(shè)a、b為任意數(shù)，若a-b>0,則a>b；若a-b=0,則a=b；若a-b〈0,a

<b：反之成立.

4.求商法：設(shè)a、b為任意正數(shù)，若且>1,則若0=1,則。=〃；若@<1,則

hhb

反之也成立.若a、b為任意負(fù)數(shù)，則與上述結(jié)論相反.

5.倒數(shù)比較法：如果兩個(gè)數(shù)都大于零，那么倒數(shù)大的反而小.

【典型例題】

類型一、絕對(duì)值的概念

1.求下列各數(shù)的絕對(duì)值.

-1—>一（）.3,0,—（—3—

2I2

【思路點(diǎn)撥】11,-0.3,0,一（-3,］在數(shù)軸上位置距原點(diǎn)有多少個(gè)單位長(zhǎng)度，這個(gè)數(shù)字

2I2）

就是各數(shù)的絕對(duì)值.還可以用絕對(duì)值法則來(lái)求解.

【答案與解析】

解：方法1：因?yàn)?11到原點(diǎn)距離是個(gè)單位長(zhǎng)度，所以-1‘二1’.

2222

因?yàn)?0.3到原點(diǎn)距離是0.3個(gè)單位長(zhǎng)度，所以|-0.3=0.3.

因?yàn)?到原點(diǎn)距離為0個(gè)單位長(zhǎng)度，所以|0|=（）.

因?yàn)?（）.3<0,所以|-0.3|=-（-0.3）=0.3.

因?yàn)?的絕對(duì)值是它本身，所以|0|=0

因?yàn)椤?—>0,所以

<2）

【總結(jié)升華】求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值有兩種方法：一種是利用絕對(duì)值的幾何意義求解（如方法1）,

一種是利用絕對(duì)值的代數(shù)意義求解（如方法2）,后種方法的具體做法為：首先判斷這個(gè)數(shù)是

正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零.再根據(jù)絕對(duì)值的意義，確定去掉絕對(duì)值符號(hào)的結(jié)果是它本身，是它的相

反數(shù)，還是零.從而求出該數(shù)的絕對(duì)值.

▼2.已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于2009,則這個(gè)數(shù)是.

【思路點(diǎn)撥】若一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)，則此數(shù)有兩個(gè)，且互為相反數(shù).

【答案】2009或-2009.

【解析】根據(jù)絕對(duì)值的定義，到原點(diǎn)的距離是2009的點(diǎn)有兩個(gè)，從原點(diǎn)向左側(cè)移動(dòng)2009

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到表示數(shù)-2009的點(diǎn)；從原點(diǎn)向右側(cè)移動(dòng)2009個(gè)單位長(zhǎng)度，得到表示數(shù)2009

的點(diǎn).

【總結(jié)升華】已知絕對(duì)值求原數(shù)的方法：（1）利用概念；：2）利用數(shù)形結(jié)合法在數(shù)軸上表示出

來(lái).

舉一反三：

【變式1】（2015?鎮(zhèn)江）已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是4,則這個(gè)數(shù)是—.

【答案】±4.

【絕對(duì)值比大小356845典型例題3】

【變式2】如果IxI=2,那么x=；如果I-XI=2,那么x=.

如果Ix-2I=1,那么x=；如果IxI>3,那么x的范圍是.

【答案】+2或-2；+2或-2；1或3；x>3或x<-3.

類型二、絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用

^^3.（2015?樂(lè)山期末）若|x-2|與|y+3|互為相反數(shù)，則x+y=.

【思路點(diǎn)撥】由IaI20即絕對(duì)值的非負(fù)性可知，Ix-2I20,Iy+3I20,而它們的和

為0.所以|x?2|=0,|y+3|=0.由此算出結(jié)果.

【答案】T.

【解析】???|x-2|與|y+3|互為相反數(shù)，

|x-2|+|y+3|=0,

Ax-2=0,y+3=0,

解得x=2,y=-3,

Ax+y=2+（-3）=-1.

故答案為：-1.

【總結(jié)升華】若幾個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的和為0,則每個(gè)數(shù)都等于0,即|a|+|b|+…+|m|=0時(shí),

則a=b=…=m=0.

類型三、有理數(shù)的大小比較

e4.（2016春?上海校級(jí)月考）比較大小：|_______-（-1.8）（填“>”、“V”

4

或“二”）.

【思路點(diǎn)撥】先化簡(jiǎn)，再比較大小，即可解答.

【答案】V.

【解析】解：|-13=1旦=1.75,-（-1.8）=1.8,

44

V1.75<1.8,

A|-12|<-（-1.8）,

4

故答案為：<.

【總結(jié)升華】本題考查了有理數(shù)大小比較，解決本題的關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值的化簡(jiǎn)以及多重復(fù)

號(hào)的化簡(jiǎn)方法.

舉一反三：

【絕對(duì)值比大小356845典型例題2】

【變式】比大小：

56

-3-_______-3-:-|-3.2|-（+3.2）；0.0001_-1000；

67

—1.38-1.384；—n-3.14.

【答案】>;=;>;>;V.

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.（2015.常州）-3的絕對(duì)值是（）.

11

A.3B.-3C,-D.一一

33

2.下列判斷中，正確的是（）.

A.如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)相等；

B.如果兩個(gè)數(shù)相等，那么這兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等；

C.任何數(shù)的絕對(duì)值都是正數(shù)；

D.如果一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，那么這個(gè)數(shù)是正數(shù).

3.下列各式錯(cuò)誤的是（）.

JJC.二二二

A.+5—=5-B.|-8.1|=8.1一=——

333322

4.（2016?婁底）己知點(diǎn)M、N、P、Q在數(shù)軸上的位置如圖,則其中對(duì)應(yīng)的數(shù)的絕對(duì)值最大的

點(diǎn)是（）

NMp0

■?,111IIIG>

-4-3-2-10123456

A.MB.NC.PD.Q

5.若兩個(gè)有理數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的點(diǎn)如圖所示，則下列各式中正確的是（）.

ab0

A.a>bB.|a|>|b|C.-a<-bD.-a<|b|

6.若|a|+a=0,則&是().

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.正數(shù)或()D.負(fù)數(shù)或0

二、填空題

7.若m,n互為相反數(shù)，則|m||n|；|m|=|n則m,n的關(guān)系是.

8.己知|x|=2,|y|=5,且x>y,則x=,y=.

9.滿足3.5W|x|<6為x的整數(shù)值是.

10.（2015?大邑縣模擬）在?2.1,?2,0,1這四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是.

11.數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示.則|a-21=.

II1

-1012a

12.已知|4元一3|=3—4不，則）的取值范圍是.

三、解答題

13.（2014秋?婁底期末）若有理數(shù)x、y滿足|x|=5,|y|=2,且|x+y|=x+y,求x?y的值.

14.（2016春?桐柏縣期末）若|a+L2|+|b-1|=0,那么a+（-1）+（-1.8）+b等于多少?

15.比較3a-2與2a+l的大小.

【答案與解析】

一、選擇題

】.【答案】A