華師大版七年級上冊數學

重難點突破

全冊知識點梳理及重點題型舉一反三鞏固練習

有理數的意義

【學習目標】

1.掌握用正負數表示實際問題中具有相反意義的量；

2.理解正數、負數、有理數的概念；

3.掌握有理數的分類方法，初步建立分類討論的思想.

【要點梳理】

要點一、正數與負數

像+3、+1.5、+,、+584等大于0的數，叫做正數；像一3、一1.5、一584等

22

在正數前面加“一”號的數，叫做負數.

要點詮釋：

（1）一個數前面的“-”是這個數的性質符號，常省略，但“-”不能省略.

（2）用正數和負數表示具有相反意義的量時，哪種為正可任意選擇，但習慣把“前進、上

升”等規定為正，而把“后退、下降”等規定為負.

（3）0既不是正數也不是負數，它是正數和負數的分界線.

要點二、有理數的分類

（1）按整數、分數的關系分類：（2）按正數、負數與0的關系分類：

‘正整數

正有理數

整數0

有理數負整數

有理數，0

‘正分數

分數，.負整數

員分數負有理數

負分數

要點詮釋：

（1）有理數都可以寫成分數的形式，整數也可以看作是分母為1的數.

（2）分數與有限小數、無限循環小數可以互化，所以有限小數和無限循環小數可看作分數,

但無限不循環小數不是分數，例如乃.

（3）正數和零統稱為非負數；負數和零統稱為非正數；正整數、0、負整數統稱整數.

【典型例題】

類型一、正數與負數

▼1.（2016?廣州）中國人很早開始使用負數，中國古代數學著作《九章算術》的“方程”

一章,在世界數學史上首次正式引入負數.如果收入100元記作+100元.那么-80元表示

（）

A.支出20元B.收入20元C.支出80元D.收入80元

【思路點撥】在一對具有相反意義的量中，先規定其中一個為正，則另一個就用負表示.

【答案】C

【解析】解:根據題意，收入100元記作+100元,

則?80表示支出80元.

故選：C.

【總結升華】本題考查了正數和負數，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，確定一對

具有相反意義的量.

舉一反三：

【有理數的意義356786概念的應用例3（1）】

【變式1]（2015?太倉市模擬）一種大米的質量標識為“（50±0.5）千克“，則下列各袋

大米中質量不合格的是（）

A.50.0千克B.50.3千克C.49.7千克D.49.1千克

【答案】1）.

解：“50±0.5千克”表示最多為50.5千克，最少為49.5千克.

【變式2]（1）如果收入300元記作+300元，那么支出500元用表示，0元表

示__________.

（2）若購進50本書，用-50本表示，則盈利30元如何表示？

【答案】（1）-500元；既沒有收入也沒有支出.（2）不是一對具有相反意義的量，不能表示.

【變式3】如果60nl表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示為（）.

A.-20mB.—40mC.20mD.40m

【答案】B

C2.體育課上，華英學校對九年級男生進行了引體向上測試，以能做7個為標準，超過

的次數記為正數，不足的次數記為負數，其中8名男生的成績如下：2,-1,0,3,-2,-3,

1,0

（1）這8名男生有百分之幾達到標準？

（2）他們共做了多少引體向上？

【答案與解析】（1）由題意可知：正數或0表示達標，

而正數或0的個數共有5個，所以百分率為：-x100%=62.5%；

8

答：這8名男生有62.5%達到標準.

（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（個）

答：他們共做了引體向上56個.

【總結升華】一定要先弄清“基準”是什么.

類型二、有理數的分類

【有理數的意義356786概念的應用例2】

^^3.下面說法中正確的是（）.

A.非負數一定是正數.

B.有最小的正整數，有最小的正有理數.

C.一。一定是負數.

D.正整數和正分數統稱正有理數.

【答案】D

【解析】（A）不對，因為非負數還包括0；（B）最小的正整數為1,但沒有最小的正有理數；

（C）不對，當。為負數或0時，則一。為正數或0,而不是負數；（D）對

【總結升華】一個有理數既有性質符號，又有除性質符號外的數值部分，兩者合在一起才表

示這個有理數.

舉一反三：

【變式1】判斷題:

（1）0是自然數，也是偶數.（）（2）0既可以看作是正數，也可以看成是負數.（）

（3）整數又叫自然數.（）（4）非負數就是正數，非正數就是負數.（）

【答案】V,x,x,x

【變式2】下列四種說法，正確的是（）.

（A）所有的正數都是整數（B）不是正數的數一定是負數

（C）正有理數包括整數和分數（D）0不是最小的有理數

【答案】D

Cd.請把下列各數填入它所屬于的集合的大括號里.

7*,

1,0.0708,-700,-3.88,0,3.14159265,——，023.

23

正整數集合：{…},負整數集合：{…},

整數集合：（…},正分數集合：{…},

負分數集合：{…},分數集合：{…},

非負數集合：{…},非正數集合：{…}.

【答案】正整數：1；負整數：-700；整數：1,0,-700；正分數：0.0708,3.14159265,

023.

7

負分數：-3.88,；

23

7

分數：0.0708,3.14159265,023,-3.88,

23

非負數：1,0.0708,3.14159265,0,023；

7

非正數:-700,-3.88,0,——

23

‘正整效

正有理教

【解析】正分數

有理數0

【總結員整數升華】填數的方法有兩種：一種是逐個考察，

負有理數

進行填員分數寫；二是逐個填寫相關的集合，從給出的數中找出

屬于這個集合的數.此外注意幾個概念:非負數包括0和正數；非正數包括0和負數.

舉一反三:

【變式】(2014秋?惠安縣期末)在有理數-2、-5、3.14中，屬于分數的個數共有個.

3—

【答案】2.

類型三、探索規律

.某校生物教師李老師在生物實驗室做實驗時，將水稻種子分組進行發芽試驗：第1

組取3粒，第2組取5粒.第3組取7粒，第4組取9粒，?.按此規律，那么請你推測第

n組應該有種子是粒.

【答案】(2,2+1)

【解析】第1組取3粒，第2組取5粒，第3組取7粒，第4組取9粒，???，由此我們觀

察到的粒數與組數之間有一定關系：3=2xl+l,5=2x2+1,7=2x3+1,

9=2x4+l,…，按此規律，第n組應該有種子數(2〃+1)粒.

【總結升華】研究一列數的排列規律時，其中的數與符號往往都與序數有關.

舉一反三：

【變式1】有一組數列：2,-3,2,-3,2,-3,…，根據這個規律，那么第201()個數是:

【答案】-3

【變式2】觀察下列有規律的數：…，根據其規律可知第9個數是：

26122()3()

【答案】3

90

【鞏固練習】

一、選擇題

1.(2014?甘肅模擬)下列語句正確的()個

(1)帶“-”號的數是負數；

（2）如果a為正數，則-a一定是負數；

（3）不存在既不是正數又不是負數的數；

（4）0℃表示沒有溫度.

A.0B.1C.2I）.3

2.關于數“0”，以下各種說法中，錯誤的是（）

A.0是整數B.0是偶數

C.0是正整數D.0既不是正數也不是負數

3.如果規定前進、收入、盈利、公元后為正，那么下列各語句中錯誤的是（）

A.前進T8米的意義是后退18米

B.收入-4萬元的意義是減少4萬元

C.盈利的相反意義是虧損

D.公元-300年的意義是公元后300年

4.一輛汽車從甲站出發向東行駛50千米，然后再向西行駛20千米，此時汽車的位置是（）

A.甲站的東邊70千米處B.甲站的西邊20千米處

C.甲站的東邊30千米處D.甲站的西邊30千米處

5.在有理數中，下面說法正確的是（）

A.身高增長1.2cm和體重減輕1.2kg是一對具有相反意義的量

B.有最大的數

C.沒有最小的數，也沒有最大的數

D.以上答案都不對

6.下列各數是正整數的是（）

A.-1B.2C.0.5I）.小

二、填空題

1.（2014秋?朝陽區期末"II果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可記作—.

11

2.在數05,-2-,100.0,1--45,0.1中，非負數是；非正數

22

是.

3.把公元2008年記作+2D08,那么-2008年表示.

4.既不是正數，也不是負數的有理數是.

5.（2016春?溫州校級期中）如果向東行駛10米,記作+10米，那么向西行駛20米,記作.

_________米.

6.是整數而不是正數的有理數是.

7.既不是整數，也不是正數的有理數是.

8.一種零件的長度在圖紙上是（10：器）亳米，表示這種零件的標準尺寸是亳米,

加工要求最大不超過毫米，最小不小于亳米.

三、解答題

1.說出下列語句的實際意義.

（1）輸出-12t（2）運進-5t（3）浪費-14元（4）上升-2m（5）向南走-7小

2.（2014秋?晉江市期末）下面兩個圈分別表示負數集和分數集，請把下列6個數填入這兩

個圈中合適的位置.

3.（2015秋?贛州校級期末）隨著人們的生活水平的提高，家用轎車越來越多地進入普通家

庭.小明家買了一輛小轎車，他連續記錄了7天中每天行駛的路程，以50km為標準，多于

50km的記為“+”，不足50km的記為“-”，剛好50km的記為“0”，記錄數據如下表:

時間第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天

路程（km）-8-11-140-16+41+8

（1）請你估計小明家的小轎車一月（按30天計）要行駛多少千米？

（2）若每行駛100km需用汽油8L,汽油每升7.14元,試求小明家一年（按12個月計）的

汽油費用是多少元？

4.觀察下面依次排列的一列數，它的排列有什么規律?請接著寫出后面的兩個數，你能說出

第2011個數是什么嗎？

（1）1>~2>3,-4,5,-6,7,-8,,,...,...

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】B

【解析】（1）帶“-”號的數不一定是負數，如-（?2）,錯誤；

（2）如果a為正數，則-a一定是負數，正魂；

（3）0既不是正數也不是負數，故不存在既不是正數乂不是負數的數此表述錯誤;

（4）0℃表示沒有溫度，錯誤.

綜上，正確的有（2）,共一個.

2.【答案】C

【解析】。既不是正數也不是負數，但0是整數，是偶數，是自然數.

3.【答案】D

【解析】D錯誤，公元-300年的意義應該是公元前300年.

4.【答案】C

【解析】畫個圖形有利于問題分析，向東50千米然后再向西20千米后顯然此時汽車在

甲站的東邊30千米處.

5.【答案】C

【解析】A錯誤，因為身高與體重不是具有相反意義的量，B錯誤，沒有最大的數也沒有

最小數；c對.

6.【答案】B

二、填空題

1.【答案】-5米

11

2.【答案】0.5,100,0,1-01；-2-,0,-45

22

【解析】正數和零統稱為非負數，負數和零統稱為非衛數，零既不是正數也不是負數.

3.【答案】公元前2008年

【解析】正負數表示具有相反意義的量.

4.【答案】0

【解析】既不是正數也不是負數的數只有零.

5.【答案】-20.

【解析】解：???向東行駛10米，記作+10米，

???向西行駛20米,記作?20米,

故答案為：-2D.

6.【答案】負整數和()

【解析】整數包括正整數和負整數，又因為不是正數，所以只能是負整數和0.

7.【答案】負分數

【解析】不是整數，則只能是分數，又不是正數，所以只能是負分數.

8.【答案】10,10.03,9.98

【解析】10喘:表示的數的范圍為：大于(10-0.02),而小于(10+0.03),即大于9.98

而小于10.03.

三、解答題

1.【解析】(1)輸出-12t表示輸入12t；

(2)運進-5t表示運出5t；

(3)浪費T1元表示節約14元;

(4)上升-21n表示下降2m；

(5)向南走-7m表示向北走7m.

提示：“-”表示相反意義的量.

50X7-8-U-14-16+41+8,n

7

50X30=1500（km）.

答：小明家的小轎車一月要行駛1500千米;

（2）互如X8X7.14X12=10281.6（元），

100

答：小明家一年的汽油費用是10281.6元.

4.【解析】（1）9,一10,…,2011,-

892011

數軸與相反數（基礎）

【學習目標】

1.理解數軸的概念及三要素；

2.理解有理數與數軸上的點的關系，并會借助數軸比較兩個數的大小；

3.會求一個數的相反數，并能借助數軸理解相反數的概念及幾何意義；

4.掌握多重符號的化簡.

【要點梳理】

要點一、數軸

L定義：規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數地.

要點詮釋：

（1）原點、正方向和單位長度是數軸的三要素，三者缺一不可.

（2）長度單位與單位長度是不同的，單位長度是根據需要選取的代表“1”的線段，而長度

單位是為度量線段的長度而制定的單位.有km、m、dm、cm等.

（3）原點、正方向、單位長度可以根據實際靈活選定，但一經選定就不能改動.

2.數軸與有理數的關系：任何?個有理數都可以用數軸上的點來表示，但數軸上的點不都

表示有理數，還可以表示其他數，比如乃.

要點詮釋：

（1）一般地，數軸上原點右邊的點表示正數，左邊的點表示負數；反過來也對，即正數用

數軸上原點右邊的點表示，負數用原點左邊的點表示，零用原點表示.

（2）在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大.

要點二、相反數

1.定義：只有符號不同的兩個數互為相反數；0的相反數是0.

要點詮釋：

（1）“只”字是說僅僅是符號不同，其它部分完全相同.

（2）“0的相反數是0”是相反數定義的一部分，不能漏掉.

（3）相反數是成對出現的，單獨一個數不能說是相反數.

（4）求一個數的相反數，只要在它的前面添上“-”號即可.

2.性質：

（1）互為相反數的兩數的點分別位于原點的兩旁，且與原點的距離相等（這兩個點關于原

點對稱）.

(2)互為相反數的兩數和為0.

要點三、多重符號的化簡

多重符號的化簡，由數字前面“-”號的個數來確定，若有偶數個時，化簡結果為正，

如-{-卜(-4)]}=4；若有奇數個時，化簡結果為負,如-{+[-(-4)]}=-4.

要點詮釋：

(1)在一個數的前面添上一個“+”，仍然與原數相同，如+5=5,+(-5)=-5.

(2)在一個數的前面添上一個“一”，就成為原數的相反數.如一(-3)就是一3的相反

數，因此，一(-3)=3.

【典型例題】

類型一、數軸的概念

C1.如圖所示是幾位同學所畫的數軸，其中正確的是()

-2-1~廣-3-2-10""1"""2"""g>-1-2~~0~17a-'o

(0(2)(3)(4)

A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.只有⑵D.⑴⑵⑶⑷

【答案】C

【解析】對數軸的二要素掌握不清.(1)中忽略了單位長度，相鄰兩整點之間的距離不一致;

(3)中負有理數的標記有錯誤；(4)圖中漏畫了表示方向的箭頭.

【總結升華】數軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；數軸的三要素：原點、正方向、單位

長度缺一不可.

類型二、相反數的概念

2.(2015?宜賓)」的相反數是()

5

A.5B.-1C.-1D.-5

55

【思路點撥】解決這類問題的關鍵是抓住互為相反數的特征“只有符號不同”，所以只要將

原數的符號變為相反的符號，即可求出其相反數.

【答案】B

【總結升華】求一個數的相反數，只改變這個數的符號，其他部分都不變.

舉一反三：

【數軸和相反數例1(1)~(7)】

【變式1】填空：

(1)一(一2.5)的相反數是；(2)—是700的相反數；(3)-5；是的相反數；

(4)的相反數是T.1；(5)8.2和互為相反數.(6)a和互為相反數.

(7)的相反數比它本身大，的相反數等于它本身.

【答案】(1)-2.5；(2)100；(3)5-；(4)1.1；(5)-8.2；(6)-a；(7)負數，().

5

【數軸和相反數例2】

【變式2】下列說法中正確的有（）

①一3和+3互為相反數；②符號不同的兩個數互為相反數；③互為相反數的兩個數必定

一個是正數，一個是負數；④乃的相反數是一3.14；⑤一個數和它的相反數不可能相等.

A.0個B.1個C.2個D.3個或更多

【答案】B

C3.（2016?泰安模擬）如圖，數軸上有A,B,C,1）四個點，其中表示2的相反數的點

是（）

ABCD

?1?-----L-?-J------■-----1?1■>

-4-3-2-10123456

A.點AB.點BC.點CD.點D

【思路點撥】考杳相反數的定義：只有符號不同的兩個數互為相反數.根據定義，結合數軸

進行分析.

【答案】A

【解析】解：???表示2的相反數的點，到原點的距離與2這點到原點的距離相等，并且與2

分別位于原點的左右兩側，

???在A,B,C,D這四個點中滿足以上條件的是A.

故選A.

【總結升華】本題考查了互為相反數的兩個數在數軸上的位置特點：分別位于原點的左右兩

側，并且到原點的距離相等.

類型三、多重符號的化簡

4.化簡下列各數中的符號.

(1>(

(1)—I—2—3J(2)-(+5)(3)-(-0.25)(4)+I一—2；

(5)-[-(+!)](6)-(-a)

【答案】(2)-(+5)=-5(3)-(-0.25)=0.25

(11

<4)-I-=(5)-[-(+1)]=-(-!)=1(6)-(-a)=a

I2

【解析】

<1A111(1

(1)--2-表示一2-的相反數，而一2—的相反數是2-，所以--2-=2-；

I3)333I3J3

(2)-(+5)表示+5的相反數，即-5,所以-(+5)=-5；

(3)-(-0.25)表示-0.25的相反數,而-0.25的相反數是0.25,所以-(-0.25)=0.25；

(4)負數前面的“+”號可以省略，所以+(-'〕二一』；

I2J2

(5)先看中括號內-(+1)表示1的相反數,即T,因此-卜(+1)]=-(-1)而-(T)表示T的

相反數,即1,所以-(7)=1;(6)-(-a)表示-a的相反數,即a.

所以-(-a)=a

【總結升華】運用多重符號化簡的規律解決這類問題較為簡單.即數一下數字前面有多少個

負號.若有偶數個，則結果為正；若有奇數個，則結果為負.

類型四、利用數軸比較大小

C5.在數軸上表示2.5,0,-1,-2.5,1-,3有理數，并用“V”把它連接起

44

來.

【答案與解析】如圖所示，點A、B、C、D、E、F、G分別表示有理數2.5,0,-1,

4

-2.5,1-,3.

4

-4-3-2-I01234

由上圖可得：

31

**?—2.5<—1<—<0<1—<2.5<3

44

【總結升華】根據數軸的三要素先畫好數軸，表示數的字母要依次對應有理數，然后根據在

數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大，比較大小.

舉一反二：

【變式1】(2014秋?蛹橋區校級期中)有理數a、b在數軸上的位置如圖所示，下列各式不

成立的是()

--------------1-----------1-?--------------->

a0b

A.b-a>0B.-b<0C.-a>-bD.-ab<0

【答案】D

【數軸和相反數例4(2)】

【變式2】填空：

大于-39且小于7。的整數有______個；比3」小的非負整數是.

775

【答案】11：0,1,2,3

類型五、數軸與相反數的綜合應用(數形結合的應用)

@’6.已知數軸上點A和點B分別表示互為相反數的兩個數a,b(a<b)并且A、B兩點間

的距離是4,，求a、b兩數.

4

【思路點撥】因為a、b兩數互為相反數（aVb）,所以表示a,b的兩點A、B離原點的距離

相等，而A、B兩點間的距離是41，所以A、B兩點到原點的距離就是4，+2=21.

448

【答案與解析】

解：由題意A、B兩點到原點的距離都是：42+2=2,而aVb,所以。二-21,b=2~.

4888

【總結升華】（1）理解相反數的幾何意義.（2）從相反數的意義入手，明確互為相反數的兩

數關于原點對稱.

舉一反三：

【變式】填空：（1）數軸上離原點5個單位長度的點表示的數是；（2）從數軸上觀

察，-3與3之間的整數有個.

【答案】（1）±5,提示：要注意兩種情況，原點左右各一個點；（2）5,提示：畫出數軸，

容易看出-3和3之間的整數是-2,-1,0,1,2共5個.

【鞏固練習】

一、選擇題

1.（2015?江陰市模擬）-5的相反數是（）

A.5B.-5C.±5D.

5

2.下列說法正確的是（）

A.數軸上一個點可以表示兩個不同的有理數

B.數軸上的兩個不同的點表示同一個有理數

C.有的有理數不能在數軸上表示出來

D.任何一個有理數都可以在數軸上找到與它對應的唯一點

3.（2016?呼和浩特）互為相反數的兩個數的和為（）

A.0B.-1C.1D.2

4.如圖，有理數a,b在數軸上對應的點如下，則有（）.

a0b

（A）a>0>b（B）a>b>0（C）a<0<b（D）a<b<0

5.一個數比它的相反數小，這個數是（）

A.正數B.負數C,非正數D.非負數

6.如果4+8=0,那么〃泊兩個數一定是（）

A.都等于0B.一正一負C.互為相反數D.互為倒數

二、填空題

1.的兩個數，叫做互為相反數；零的相反數是.

2.（2015春?岳池縣期中；若3a-4b與7a-6b互為相反數，則a與b的關系為

3.（2016?岳陽）如圖所示，數軸上點A所表示的數的相反數是

4.數軸上離原點5個單位長度的點有_____個，它們表示的數是,它們之間的關

系是.

5.化簡下列各數：

⑴一’1卜——；⑵-1+》——⑶一{+[-(+3)]}=

【數軸和相反數例4(5)】

6.已知一l<aVOVl<b,請按從小到大的順序排列-1,—a,0,1,-b為.

三、解答題

1.小敏的家、學校、郵局、圖書館坐落在一條東西走向的大街上，依次記為A、B、C、D,

學校位于小敏家西150米，郵局位于小敏家東100米，圖書館位于小敏家西400米.

(1)用數軸表示A、B、C、D的位置(建議以小敏家為原點).

(2)一天小敏從家里先去郵局寄信后.以每分鐘5()米的速度往圖書館方向走了約8分

鐘.試問這時小敏約在什么位置?距圖書館和學校各約多少米？

2.(2014秋?孟津縣期中)已知：a是-(-5)的相反數，b比最小的正整數大4,c是最

大的負整數.計算：3a+3b+c的值是多少？

3.化簡下列各數，再用連接.

(1)-(-54)(2)-(+3.6)⑶

4.已知3n1-2與-7互為相反數，求m的值.

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】A

2.【答案】1)

【解析】A、B、C都錯誤，因為所有的有理數都能在數軸上表示出來，但數軸上的點不

都表示有理數；一個有理數在數軸上只有一個表示它的點.數軸上表示有理數的

點一個點對應一個有理數.

3.【答案】A

【解析】解：互為相反數的兩個數的和為0.

故選：A.

4.【答案】C

5.【答案】B

【解析】因為一個負數的相反數是一個正數，負數小于正數，所以選B

6.【答案】C

【解析】若。+〃=0,則。/一定互為相反數；反之，若互為相反數，則。+〃=0.

二、填空題

1.【答案】只有符號不同，零

【解析】相反數的定義

2.【答案】a=b.

【解析】???3a-4b與7a-6b互為相反數，.\3a-4b+7a-6b=0,Aa=b.

3.【答案】2.

【解析】解：數軸上點A所表示的數是-2,-2的相反數是2,

故答案為：2.

4.【答案】兩個，±5,互為相反數

24

5.【答案】3

35

【解析】多重符號的化簡是由“一”的個數來定，若“一”個數為偶數個時，化簡結果為

正，：若“一”個數為奇數個時，化簡結果為負.

6.【答案】一b<-l<O<-a<l.

三、解答題

（2）小敏從郵局出發，以每分鐘50米的速度往圖書館方向走了約8分鐘，其路程為E0X8

=400（米），由上圖知，此時小敏位于家西300米處，所以小敏在學校與圖書館之間，且距

圖書館100米，距學校IX）米.

2.【解析】Ta是-(-5)的相反數,

a=-5,

???b比最小的正整數大4,

/.b=1+4=5,

???c是最大的負整數，

/-c=-1,

3a+3b+c=3X(-5)+3X5-1,

=-15+15-1,

=-1.

3.【解析】

(1)-(-54)=54

(2)-(+3.6)=-3.6

5

3

(2\2

(4)——4—=4—,

55

9

將化簡后的數表示在數軸上，由圖可得:-(+3.6)V—+—<—I—4—I<-(-54).

3；5

4.【解析】依題意：3m-2=7,故m=3.

絕對值及有理數的大小比較(基礎)

【學習目標】

1.借助數軸理解絕對值的概念，知道⑸的絕對值的含義；

2.會求一個數的絕對值，并會用絕對值比較有理數的大小；

3.通過應用絕對值解決實際問題，休會絕對俏?的意義和作用.

【要點梳理】

要點一、絕對值

1.定義：一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|.

要點詮釋：

(1)絕對?值的代數意義：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0

的絕對值是0.即對于任何有理數a都有：

a(a>0)

|a|=<0(q=0)

-a(a<0)

(2)絕對值的幾何意義：一個數的絕對值就是表示這個數的點到原點的距離，離原點的距

離越遠，絕對值越大；離原點的距離越近，絕對值越小.

(3)一個有理數是由符號和絕對值兩個方面來確定的.

2.性質：

(1)0除外，絕對值為一正數的數有兩個，它們互為相反數.

(2)互為相反數的兩個數的絕對值相等.

(3)絕對值具有非負性，即任何一個數的絕對值總是正數或0.

耍點二、有理數的大小比較

1.數軸法：在數軸上表示出兩個有理數，左邊的數總比右邊的數小.如：a與b在數軸上

的位置如圖所示，則aVb.______?_____?，

2.法則比較法：°b

兩個數比較大小，按數的性質符號分類，情況如下:

同為正號：絕對值大的數大

兩數同號

同為負號：絕對值大的反而小

兩數異號正數大于負數

-數為0正數與0：正數大于0

負數與0：負數小于0

要點詮釋：

利用絕對值比較兩個負數的大小的步驟：（1）分別計算兩數的絕對值；（2）比較絕對值

的大小；（3）判定兩數的大小.

3.作差法：設a、b為任意數，若a-b>0,則a>b；若a-b=0,則a=b；若a-b〈0,a

<b：反之成立.

4.求商法：設a、b為任意正數，若且>1,則若0=1,則。=〃；若@<1,則

hhb

反之也成立.若a、b為任意負數，則與上述結論相反.

5.倒數比較法：如果兩個數都大于零，那么倒數大的反而小.

【典型例題】

類型一、絕對值的概念

1.求下列各數的絕對值.

-1—>一（）.3,0,—（—3—

2I2

【思路點撥】11,-0.3,0,一（-3,］在數軸上位置距原點有多少個單位長度，這個數字

2I2）

就是各數的絕對值.還可以用絕對值法則來求解.

【答案與解析】

解：方法1：因為-11到原點距離是個單位長度，所以-1‘二1’.

2222

因為-0.3到原點距離是0.3個單位長度，所以|-0.3=0.3.

因為0到原點距離為0個單位長度，所以|0|=（）.

因為-（）.3<0,所以|-0.3|=-（-0.3）=0.3.

因為0的絕對值是它本身，所以|0|=0

因為——3—>0,所以

<2）

【總結升華】求一個數的絕對值有兩種方法：一種是利用絕對值的幾何意義求解（如方法1）,

一種是利用絕對值的代數意義求解（如方法2）,后種方法的具體做法為：首先判斷這個數是

正數、負數還是零.再根據絕對值的意義，確定去掉絕對值符號的結果是它本身，是它的相

反數，還是零.從而求出該數的絕對值.

▼2.已知一個數的絕對值等于2009,則這個數是.

【思路點撥】若一個數的絕對值是正數，則此數有兩個，且互為相反數.

【答案】2009或-2009.

【解析】根據絕對值的定義，到原點的距離是2009的點有兩個，從原點向左側移動2009

個單位長度，得到表示數-2009的點；從原點向右側移動2009個單位長度，得到表示數2009

的點.

【總結升華】已知絕對值求原數的方法：（1）利用概念；：2）利用數形結合法在數軸上表示出

來.

舉一反三：

【變式1】（2015?鎮江）已知一個數的絕對值是4,則這個數是—.

【答案】±4.

【絕對值比大小356845典型例題3】

【變式2】如果IxI=2,那么x=；如果I-XI=2,那么x=.

如果Ix-2I=1,那么x=；如果IxI>3,那么x的范圍是.

【答案】+2或-2；+2或-2；1或3；x>3或x<-3.

類型二、絕對值非負性的應用

^^3.（2015?樂山期末）若|x-2|與|y+3|互為相反數，則x+y=.

【思路點撥】由IaI20即絕對值的非負性可知，Ix-2I20,Iy+3I20,而它們的和

為0.所以|x?2|=0,|y+3|=0.由此算出結果.

【答案】T.

【解析】???|x-2|與|y+3|互為相反數，

|x-2|+|y+3|=0,

Ax-2=0,y+3=0,

解得x=2,y=-3,

Ax+y=2+（-3）=-1.

故答案為：-1.

【總結升華】若幾個數的絕對值的和為0,則每個數都等于0,即|a|+|b|+…+|m|=0時,

則a=b=…=m=0.

類型三、有理數的大小比較

e4.（2016春?上海校級月考）比較大小：|_______-（-1.8）（填“>”、“V”

4

或“二”）.

【思路點撥】先化簡，再比較大小，即可解答.

【答案】V.

【解析】解：|-13=1旦=1.75,-（-1.8）=1.8,

44

V1.75<1.8,

A|-12|<-（-1.8）,

4

故答案為：<.

【總結升華】本題考查了有理數大小比較，解決本題的關鍵是掌握絕對值的化簡以及多重復

號的化簡方法.

舉一反三：

【絕對值比大小356845典型例題2】

【變式】比大小：

56

-3-_______-3-:-|-3.2|-（+3.2）；0.0001_-1000；

67

—1.38-1.384；—n-3.14.

【答案】>;=;>;>;V.

【鞏固練習】

一、選擇題

1.（2015.常州）-3的絕對值是（）.

11

A.3B.-3C,-D.一一

33

2.下列判斷中，正確的是（）.

A.如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數相等；

B.如果兩個數相等，那么這兩個數的絕對值相等；

C.任何數的絕對值都是正數；

D.如果一個數的絕對值是它本身，那么這個數是正數.

3.下列各式錯誤的是（）.

JJC.二二二

A.+5—=5-B.|-8.1|=8.1一=——

333322

4.（2016?婁底）己知點M、N、P、Q在數軸上的位置如圖,則其中對應的數的絕對值最大的

點是（）

NMp0

■?,111IIIG>

-4-3-2-10123456

A.MB.NC.PD.Q

5.若兩個有理數a、b在數軸上表示的點如圖所示，則下列各式中正確的是（）.

ab0

A.a>bB.|a|>|b|C.-a<-bD.-a<|b|

6.若|a|+a=0,則&是().

A.正數B.負數C.正數或()D.負數或0

二、填空題

7.若m,n互為相反數，則|m||n|；|m|=|n則m,n的關系是.

8.己知|x|=2,|y|=5,且x>y,則x=,y=.

9.滿足3.5W|x|<6為x的整數值是.

10.（2015?大邑縣模擬）在?2.1,?2,0,1這四個數中，最小的數是.

11.數a在數軸上的位置如圖所示.則|a-21=.

II1

-1012a

12.已知|4元一3|=3—4不，則）的取值范圍是.

三、解答題

13.（2014秋?婁底期末）若有理數x、y滿足|x|=5,|y|=2,且|x+y|=x+y,求x?y的值.

14.（2016春?桐柏縣期末）若|a+L2|+|b-1|=0,那么a+（-1）+（-1.8）+b等于多少?

15.比較3a-2與2a+l的大小.

【答案與解析】

一、選擇題

】.【答案】A