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文檔簡(jiǎn)介
華師大版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)
重難點(diǎn)突破
全冊(cè)知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型舉一反三鞏固練習(xí)
有理數(shù)的意義
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.掌握用正負(fù)數(shù)表示實(shí)際問(wèn)題中具有相反意義的量;
2.理解正數(shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)的概念;
3.掌握有理數(shù)的分類方法,初步建立分類討論的思想.
【要點(diǎn)梳理】
要點(diǎn)一、正數(shù)與負(fù)數(shù)
像+3、+1.5、+,、+584等大于0的數(shù),叫做正數(shù);像一3、一1.5、一584等
22
在正數(shù)前面加“一”號(hào)的數(shù),叫做負(fù)數(shù).
要點(diǎn)詮釋:
(1)一個(gè)數(shù)前面的“-”是這個(gè)數(shù)的性質(zhì)符號(hào),常省略,但“-”不能省略.
(2)用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時(shí),哪種為正可任意選擇,但習(xí)慣把“前進(jìn)、上
升”等規(guī)定為正,而把“后退、下降”等規(guī)定為負(fù).
(3)0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù),它是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線.
要點(diǎn)二、有理數(shù)的分類
(1)按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類:(2)按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類:
‘正整數(shù)
正有理數(shù)
整數(shù)0
有理數(shù)負(fù)整數(shù)
有理數(shù),0
‘正分?jǐn)?shù)
分?jǐn)?shù),.負(fù)整數(shù)
員分?jǐn)?shù)負(fù)有理數(shù)
負(fù)分?jǐn)?shù)
要點(diǎn)詮釋:
(1)有理數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式,整數(shù)也可以看作是分母為1的數(shù).
(2)分?jǐn)?shù)與有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以互化,所以有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)可看作分?jǐn)?shù),
但無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不是分?jǐn)?shù),例如乃.
(3)正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù);負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù);正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù).
【典型例題】
類型一、正數(shù)與負(fù)數(shù)
▼1.(2016?廣州)中國(guó)人很早開(kāi)始使用負(fù)數(shù),中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》的“方程”
一章,在世界數(shù)學(xué)史上首次正式引入負(fù)數(shù).如果收入100元記作+100元.那么-80元表示
()
A.支出20元B.收入20元C.支出80元D.收入80元
【思路點(diǎn)撥】在一對(duì)具有相反意義的量中,先規(guī)定其中一個(gè)為正,則另一個(gè)就用負(fù)表示.
【答案】C
【解析】解:根據(jù)題意,收入100元記作+100元,
則?80表示支出80元.
故選:C.
【總結(jié)升華】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù),解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性,確定一對(duì)
具有相反意義的量.
舉一反三:
【有理數(shù)的意義356786概念的應(yīng)用例3(1)】
【變式1](2015?太倉(cāng)市模擬)一種大米的質(zhì)量標(biāo)識(shí)為“(50±0.5)千克“,則下列各袋
大米中質(zhì)量不合格的是()
A.50.0千克B.50.3千克C.49.7千克D.49.1千克
【答案】1).
解:“50±0.5千克”表示最多為50.5千克,最少為49.5千克.
【變式2](1)如果收入300元記作+300元,那么支出500元用表示,0元表
示__________.
(2)若購(gòu)進(jìn)50本書,用-50本表示,則盈利30元如何表示?
【答案】(1)-500元;既沒(méi)有收入也沒(méi)有支出.(2)不是一對(duì)具有相反意義的量,不能表示.
【變式3】如果60nl表示“向北走60m”,那么“向南走40m”可以表示為().
A.-20mB.—40mC.20mD.40m
【答案】B
C2.體育課上,華英學(xué)校對(duì)九年級(jí)男生進(jìn)行了引體向上測(cè)試,以能做7個(gè)為標(biāo)準(zhǔn),超過(guò)
的次數(shù)記為正數(shù),不足的次數(shù)記為負(fù)數(shù),其中8名男生的成績(jī)?nèi)缦拢?,-1,0,3,-2,-3,
1,0
(1)這8名男生有百分之幾達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)?
(2)他們共做了多少引體向上?
【答案與解析】(1)由題意可知:正數(shù)或0表示達(dá)標(biāo),
而正數(shù)或0的個(gè)數(shù)共有5個(gè),所以百分率為:-x100%=62.5%;
8
答:這8名男生有62.5%達(dá)到標(biāo)準(zhǔn).
(2)(7+2)+(7-1)+7+(7+3)+(7-2)+(7-3)+(7+1)+7=56(個(gè))
答:他們共做了引體向上56個(gè).
【總結(jié)升華】一定要先弄清“基準(zhǔn)”是什么.
類型二、有理數(shù)的分類
【有理數(shù)的意義356786概念的應(yīng)用例2】
^^3.下面說(shuō)法中正確的是().
A.非負(fù)數(shù)一定是正數(shù).
B.有最小的正整數(shù),有最小的正有理數(shù).
C.一。一定是負(fù)數(shù).
D.正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱正有理數(shù).
【答案】D
【解析】(A)不對(duì),因?yàn)榉秦?fù)數(shù)還包括0;(B)最小的正整數(shù)為1,但沒(méi)有最小的正有理數(shù);
(C)不對(duì),當(dāng)。為負(fù)數(shù)或0時(shí),則一。為正數(shù)或0,而不是負(fù)數(shù);(D)對(duì)
【總結(jié)升華】一個(gè)有理數(shù)既有性質(zhì)符號(hào),又有除性質(zhì)符號(hào)外的數(shù)值部分,兩者合在一起才表
示這個(gè)有理數(shù).
舉一反三:
【變式1】判斷題:
(1)0是自然數(shù),也是偶數(shù).()(2)0既可以看作是正數(shù),也可以看成是負(fù)數(shù).()
(3)整數(shù)又叫自然數(shù).()(4)非負(fù)數(shù)就是正數(shù),非正數(shù)就是負(fù)數(shù).()
【答案】V,x,x,x
【變式2】下列四種說(shuō)法,正確的是().
(A)所有的正數(shù)都是整數(shù)(B)不是正數(shù)的數(shù)一定是負(fù)數(shù)
(C)正有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)(D)0不是最小的有理數(shù)
【答案】D
Cd.請(qǐng)把下列各數(shù)填入它所屬于的集合的大括號(hào)里.
7*,
1,0.0708,-700,-3.88,0,3.14159265,——,023.
23
正整數(shù)集合:{…},負(fù)整數(shù)集合:{…},
整數(shù)集合:(…},正分?jǐn)?shù)集合:{…},
負(fù)分?jǐn)?shù)集合:{…},分?jǐn)?shù)集合:{…},
非負(fù)數(shù)集合:{…},非正數(shù)集合:{…}.
【答案】正整數(shù):1;負(fù)整數(shù):-700;整數(shù):1,0,-700;正分?jǐn)?shù):0.0708,3.14159265,
023.
7
負(fù)分?jǐn)?shù):-3.88,;
23
7
分?jǐn)?shù):0.0708,3.14159265,023,-3.88,
23
非負(fù)數(shù):1,0.0708,3.14159265,0,023;
7
非正數(shù):-700,-3.88,0,——
23
‘正整效
正有理教
【解析】正分?jǐn)?shù)
有理數(shù)0
【總結(jié)員整數(shù)升華】填數(shù)的方法有兩種:一種是逐個(gè)考察,
負(fù)有理數(shù)
進(jìn)行填員分?jǐn)?shù)寫;二是逐個(gè)填寫相關(guān)的集合,從給出的數(shù)中找出
屬于這個(gè)集合的數(shù).此外注意幾個(gè)概念:非負(fù)數(shù)包括0和正數(shù);非正數(shù)包括0和負(fù)數(shù).
舉一反三:
【變式】(2014秋?惠安縣期末)在有理數(shù)-2、-5、3.14中,屬于分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)共有個(gè).
3—
【答案】2.
類型三、探索規(guī)律
.某校生物教師李老師在生物實(shí)驗(yàn)室做實(shí)驗(yàn)時(shí),將水稻種子分組進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn):第1
組取3粒,第2組取5粒.第3組取7粒,第4組取9粒,?.按此規(guī)律,那么請(qǐng)你推測(cè)第
n組應(yīng)該有種子是粒.
【答案】(2,2+1)
【解析】第1組取3粒,第2組取5粒,第3組取7粒,第4組取9粒,???,由此我們觀
察到的粒數(shù)與組數(shù)之間有一定關(guān)系:3=2xl+l,5=2x2+1,7=2x3+1,
9=2x4+l,…,按此規(guī)律,第n組應(yīng)該有種子數(shù)(2〃+1)粒.
【總結(jié)升華】研究一列數(shù)的排列規(guī)律時(shí),其中的數(shù)與符號(hào)往往都與序數(shù)有關(guān).
舉一反三:
【變式1】有一組數(shù)列:2,-3,2,-3,2,-3,…,根據(jù)這個(gè)規(guī)律,那么第201()個(gè)數(shù)是:
【答案】-3
【變式2】觀察下列有規(guī)律的數(shù):…,根據(jù)其規(guī)律可知第9個(gè)數(shù)是:
26122()3()
【答案】3
90
【鞏固練習(xí)】
一、選擇題
1.(2014?甘肅模擬)下列語(yǔ)句正確的()個(gè)
(1)帶“-”號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù);
(2)如果a為正數(shù),則-a一定是負(fù)數(shù);
(3)不存在既不是正數(shù)又不是負(fù)數(shù)的數(shù);
(4)0℃表示沒(méi)有溫度.
A.0B.1C.2I).3
2.關(guān)于數(shù)“0”,以下各種說(shuō)法中,錯(cuò)誤的是()
A.0是整數(shù)B.0是偶數(shù)
C.0是正整數(shù)D.0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)
3.如果規(guī)定前進(jìn)、收入、盈利、公元后為正,那么下列各語(yǔ)句中錯(cuò)誤的是()
A.前進(jìn)T8米的意義是后退18米
B.收入-4萬(wàn)元的意義是減少4萬(wàn)元
C.盈利的相反意義是虧損
D.公元-300年的意義是公元后300年
4.一輛汽車從甲站出發(fā)向東行駛50千米,然后再向西行駛20千米,此時(shí)汽車的位置是()
A.甲站的東邊70千米處B.甲站的西邊20千米處
C.甲站的東邊30千米處D.甲站的西邊30千米處
5.在有理數(shù)中,下面說(shuō)法正確的是()
A.身高增長(zhǎng)1.2cm和體重減輕1.2kg是一對(duì)具有相反意義的量
B.有最大的數(shù)
C.沒(méi)有最小的數(shù),也沒(méi)有最大的數(shù)
D.以上答案都不對(duì)
6.下列各數(shù)是正整數(shù)的是()
A.-1B.2C.0.5I).小
二、填空題
1.(2014秋?朝陽(yáng)區(qū)期末"II果用+4米表示高出海平面4米,那么低于海平面5米可記作—.
11
2.在數(shù)05,-2-,100.0,1--45,0.1中,非負(fù)數(shù)是;非正數(shù)
22
是.
3.把公元2008年記作+2D08,那么-2008年表示.
4.既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù)的有理數(shù)是.
5.(2016春?溫州校級(jí)期中)如果向東行駛10米,記作+10米,那么向西行駛20米,記作.
_________米.
6.是整數(shù)而不是正數(shù)的有理數(shù)是.
7.既不是整數(shù),也不是正數(shù)的有理數(shù)是.
8.一種零件的長(zhǎng)度在圖紙上是(10:器)亳米,表示這種零件的標(biāo)準(zhǔn)尺寸是亳米,
加工要求最大不超過(guò)毫米,最小不小于亳米.
三、解答題
1.說(shuō)出下列語(yǔ)句的實(shí)際意義.
(1)輸出-12t(2)運(yùn)進(jìn)-5t(3)浪費(fèi)-14元(4)上升-2m(5)向南走-7小
2.(2014秋?晉江市期末)下面兩個(gè)圈分別表示負(fù)數(shù)集和分?jǐn)?shù)集,請(qǐng)把下列6個(gè)數(shù)填入這兩
個(gè)圈中合適的位置.
3.(2015秋?贛州校級(jí)期末)隨著人們的生活水平的提高,家用轎車越來(lái)越多地進(jìn)入普通家
庭.小明家買了一輛小轎車,他連續(xù)記錄了7天中每天行駛的路程,以50km為標(biāo)準(zhǔn),多于
50km的記為“+”,不足50km的記為“-”,剛好50km的記為“0”,記錄數(shù)據(jù)如下表:
時(shí)間第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天
路程(km)-8-11-140-16+41+8
(1)請(qǐng)你估計(jì)小明家的小轎車一月(按30天計(jì))要行駛多少千米?
(2)若每行駛100km需用汽油8L,汽油每升7.14元,試求小明家一年(按12個(gè)月計(jì))的
汽油費(fèi)用是多少元?
4.觀察下面依次排列的一列數(shù),它的排列有什么規(guī)律?請(qǐng)接著寫出后面的兩個(gè)數(shù),你能說(shuō)出
第2011個(gè)數(shù)是什么嗎?
(1)1>~2>3,-4,5,-6,7,-8,,,...,...
【答案與解析】
一、選擇題
1.【答案】B
【解析】(1)帶“-”號(hào)的數(shù)不一定是負(fù)數(shù),如-(?2),錯(cuò)誤;
(2)如果a為正數(shù),則-a一定是負(fù)數(shù),正魂;
(3)0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù),故不存在既不是正數(shù)乂不是負(fù)數(shù)的數(shù)此表述錯(cuò)誤;
(4)0℃表示沒(méi)有溫度,錯(cuò)誤.
綜上,正確的有(2),共一個(gè).
2.【答案】C
【解析】。既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù),但0是整數(shù),是偶數(shù),是自然數(shù).
3.【答案】D
【解析】D錯(cuò)誤,公元-300年的意義應(yīng)該是公元前300年.
4.【答案】C
【解析】畫個(gè)圖形有利于問(wèn)題分析,向東50千米然后再向西20千米后顯然此時(shí)汽車在
甲站的東邊30千米處.
5.【答案】C
【解析】A錯(cuò)誤,因?yàn)樯砀吲c體重不是具有相反意義的量,B錯(cuò)誤,沒(méi)有最大的數(shù)也沒(méi)有
最小數(shù);c對(duì).
6.【答案】B
二、填空題
1.【答案】-5米
11
2.【答案】0.5,100,0,1-01;-2-,0,-45
22
【解析】正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非衛(wèi)數(shù),零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù).
3.【答案】公元前2008年
【解析】正負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量.
4.【答案】0
【解析】既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)的數(shù)只有零.
5.【答案】-20.
【解析】解:???向東行駛10米,記作+10米,
???向西行駛20米,記作?20米,
故答案為:-2D.
6.【答案】負(fù)整數(shù)和()
【解析】整數(shù)包括正整數(shù)和負(fù)整數(shù),又因?yàn)椴皇钦龜?shù),所以只能是負(fù)整數(shù)和0.
7.【答案】負(fù)分?jǐn)?shù)
【解析】不是整數(shù),則只能是分?jǐn)?shù),又不是正數(shù),所以只能是負(fù)分?jǐn)?shù).
8.【答案】10,10.03,9.98
【解析】10喘:表示的數(shù)的范圍為:大于(10-0.02),而小于(10+0.03),即大于9.98
而小于10.03.
三、解答題
1.【解析】(1)輸出-12t表示輸入12t;
(2)運(yùn)進(jìn)-5t表示運(yùn)出5t;
(3)浪費(fèi)T1元表示節(jié)約14元;
(4)上升-21n表示下降2m;
(5)向南走-7m表示向北走7m.
提示:“-”表示相反意義的量.
50X7-8-U-14-16+41+8,n
7
50X30=1500(km).
答:小明家的小轎車一月要行駛1500千米;
(2)互如X8X7.14X12=10281.6(元),
100
答:小明家一年的汽油費(fèi)用是10281.6元.
4.【解析】(1)9,一10,…,2011,-
892011
數(shù)軸與相反數(shù)(基礎(chǔ))
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解數(shù)軸的概念及三要素;
2.理解有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的關(guān)系,并會(huì)借助數(shù)軸比較兩個(gè)數(shù)的大小;
3.會(huì)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù),并能借助數(shù)軸理解相反數(shù)的概念及幾何意義;
4.掌握多重符號(hào)的化簡(jiǎn).
【要點(diǎn)梳理】
要點(diǎn)一、數(shù)軸
L定義:規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)地.
要點(diǎn)詮釋:
(1)原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素,三者缺一不可.
(2)長(zhǎng)度單位與單位長(zhǎng)度是不同的,單位長(zhǎng)度是根據(jù)需要選取的代表“1”的線段,而長(zhǎng)度
單位是為度量線段的長(zhǎng)度而制定的單位.有km、m、dm、cm等.
(3)原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度可以根據(jù)實(shí)際靈活選定,但一經(jīng)選定就不能改動(dòng).
2.數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系:任何?個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示,但數(shù)軸上的點(diǎn)不都
表示有理數(shù),還可以表示其他數(shù),比如乃.
要點(diǎn)詮釋:
(1)一般地,數(shù)軸上原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示正數(shù),左邊的點(diǎn)表示負(fù)數(shù);反過(guò)來(lái)也對(duì),即正數(shù)用
數(shù)軸上原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示,負(fù)數(shù)用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示,零用原點(diǎn)表示.
(2)在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.
要點(diǎn)二、相反數(shù)
1.定義:只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù);0的相反數(shù)是0.
要點(diǎn)詮釋:
(1)“只”字是說(shuō)僅僅是符號(hào)不同,其它部分完全相同.
(2)“0的相反數(shù)是0”是相反數(shù)定義的一部分,不能漏掉.
(3)相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的,單獨(dú)一個(gè)數(shù)不能說(shuō)是相反數(shù).
(4)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù),只要在它的前面添上“-”號(hào)即可.
2.性質(zhì):
(1)互為相反數(shù)的兩數(shù)的點(diǎn)分別位于原點(diǎn)的兩旁,且與原點(diǎn)的距離相等(這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原
點(diǎn)對(duì)稱).
(2)互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0.
要點(diǎn)三、多重符號(hào)的化簡(jiǎn)
多重符號(hào)的化簡(jiǎn),由數(shù)字前面“-”號(hào)的個(gè)數(shù)來(lái)確定,若有偶數(shù)個(gè)時(shí),化簡(jiǎn)結(jié)果為正,
如-{-卜(-4)]}=4;若有奇數(shù)個(gè)時(shí),化簡(jiǎn)結(jié)果為負(fù),如-{+[-(-4)]}=-4.
要點(diǎn)詮釋:
(1)在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“+”,仍然與原數(shù)相同,如+5=5,+(-5)=-5.
(2)在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“一”,就成為原數(shù)的相反數(shù).如一(-3)就是一3的相反
數(shù),因此,一(-3)=3.
【典型例題】
類型一、數(shù)軸的概念
C1.如圖所示是幾位同學(xué)所畫的數(shù)軸,其中正確的是()
-2-1~廣-3-2-10""1"""2"""g>-1-2~~0~17a-'o
(0(2)(3)(4)
A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.只有⑵D.⑴⑵⑶⑷
【答案】C
【解析】對(duì)數(shù)軸的二要素掌握不清.(1)中忽略了單位長(zhǎng)度,相鄰兩整點(diǎn)之間的距離不一致;
(3)中負(fù)有理數(shù)的標(biāo)記有錯(cuò)誤;(4)圖中漏畫了表示方向的箭頭.
【總結(jié)升華】數(shù)軸是一條直線,可以向兩端無(wú)限延伸;數(shù)軸的三要素:原點(diǎn)、正方向、單位
長(zhǎng)度缺一不可.
類型二、相反數(shù)的概念
2.(2015?宜賓)」的相反數(shù)是()
5
A.5B.-1C.-1D.-5
55
【思路點(diǎn)撥】解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住互為相反數(shù)的特征“只有符號(hào)不同”,所以只要將
原數(shù)的符號(hào)變?yōu)橄喾吹姆?hào),即可求出其相反數(shù).
【答案】B
【總結(jié)升華】求一個(gè)數(shù)的相反數(shù),只改變這個(gè)數(shù)的符號(hào),其他部分都不變.
舉一反三:
【數(shù)軸和相反數(shù)例1(1)~(7)】
【變式1】填空:
(1)一(一2.5)的相反數(shù)是;(2)—是700的相反數(shù);(3)-5;是的相反數(shù);
(4)的相反數(shù)是T.1;(5)8.2和互為相反數(shù).(6)a和互為相反數(shù).
(7)的相反數(shù)比它本身大,的相反數(shù)等于它本身.
【答案】(1)-2.5;(2)100;(3)5-;(4)1.1;(5)-8.2;(6)-a;(7)負(fù)數(shù),().
5
【數(shù)軸和相反數(shù)例2】
【變式2】下列說(shuō)法中正確的有()
①一3和+3互為相反數(shù);②符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù);③互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)必定
一個(gè)是正數(shù),一個(gè)是負(fù)數(shù);④乃的相反數(shù)是一3.14;⑤一個(gè)數(shù)和它的相反數(shù)不可能相等.
A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)或更多
【答案】B
C3.(2016?泰安模擬)如圖,數(shù)軸上有A,B,C,1)四個(gè)點(diǎn),其中表示2的相反數(shù)的點(diǎn)
是()
ABCD
?1?-----L-?-J------■-----1?1■>
-4-3-2-10123456
A.點(diǎn)AB.點(diǎn)BC.點(diǎn)CD.點(diǎn)D
【思路點(diǎn)撥】考杳相反數(shù)的定義:只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).根據(jù)定義,結(jié)合數(shù)軸
進(jìn)行分析.
【答案】A
【解析】解:???表示2的相反數(shù)的點(diǎn),到原點(diǎn)的距離與2這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等,并且與2
分別位于原點(diǎn)的左右兩側(cè),
???在A,B,C,D這四個(gè)點(diǎn)中滿足以上條件的是A.
故選A.
【總結(jié)升華】本題考查了互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的位置特點(diǎn):分別位于原點(diǎn)的左右兩
側(cè),并且到原點(diǎn)的距離相等.
類型三、多重符號(hào)的化簡(jiǎn)
4.化簡(jiǎn)下列各數(shù)中的符號(hào).
(1>(
(1)—I—2—3J(2)-(+5)(3)-(-0.25)(4)+I一—2;
(5)-[-(+!)](6)-(-a)
【答案】(2)-(+5)=-5(3)-(-0.25)=0.25
(11
<4)-I-=(5)-[-(+1)]=-(-!)=1(6)-(-a)=a
I2
【解析】
<1A111(1
(1)--2-表示一2-的相反數(shù),而一2—的相反數(shù)是2-,所以--2-=2-;
I3)333I3J3
(2)-(+5)表示+5的相反數(shù),即-5,所以-(+5)=-5;
(3)-(-0.25)表示-0.25的相反數(shù),而-0.25的相反數(shù)是0.25,所以-(-0.25)=0.25;
(4)負(fù)數(shù)前面的“+”號(hào)可以省略,所以+(-'〕二一』;
I2J2
(5)先看中括號(hào)內(nèi)-(+1)表示1的相反數(shù),即T,因此-卜(+1)]=-(-1)而-(T)表示T的
相反數(shù),即1,所以-(7)=1;(6)-(-a)表示-a的相反數(shù),即a.
所以-(-a)=a
【總結(jié)升華】運(yùn)用多重符號(hào)化簡(jiǎn)的規(guī)律解決這類問(wèn)題較為簡(jiǎn)單.即數(shù)一下數(shù)字前面有多少個(gè)
負(fù)號(hào).若有偶數(shù)個(gè),則結(jié)果為正;若有奇數(shù)個(gè),則結(jié)果為負(fù).
類型四、利用數(shù)軸比較大小
C5.在數(shù)軸上表示2.5,0,-1,-2.5,1-,3有理數(shù),并用“V”把它連接起
44
來(lái).
【答案與解析】如圖所示,點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G分別表示有理數(shù)2.5,0,-1,
4
-2.5,1-,3.
4
-4-3-2-I01234
由上圖可得:
31
**?—2.5<—1<—<0<1—<2.5<3
44
【總結(jié)升華】根據(jù)數(shù)軸的三要素先畫好數(shù)軸,表示數(shù)的字母要依次對(duì)應(yīng)有理數(shù),然后根據(jù)在
數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大,比較大小.
舉一反二:
【變式1】(2014秋?蛹橋區(qū)校級(jí)期中)有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示,下列各式不
成立的是()
--------------1-----------1-?--------------->
a0b
A.b-a>0B.-b<0C.-a>-bD.-ab<0
【答案】D
【數(shù)軸和相反數(shù)例4(2)】
【變式2】填空:
大于-39且小于7。的整數(shù)有______個(gè);比3」小的非負(fù)整數(shù)是.
775
【答案】11:0,1,2,3
類型五、數(shù)軸與相反數(shù)的綜合應(yīng)用(數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用)
@’6.已知數(shù)軸上點(diǎn)A和點(diǎn)B分別表示互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)a,b(a<b)并且A、B兩點(diǎn)間
的距離是4,,求a、b兩數(shù).
4
【思路點(diǎn)撥】因?yàn)閍、b兩數(shù)互為相反數(shù)(aVb),所以表示a,b的兩點(diǎn)A、B離原點(diǎn)的距離
相等,而A、B兩點(diǎn)間的距離是41,所以A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是4,+2=21.
448
【答案與解析】
解:由題意A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都是:42+2=2,而aVb,所以。二-21,b=2~.
4888
【總結(jié)升華】(1)理解相反數(shù)的幾何意義.(2)從相反數(shù)的意義入手,明確互為相反數(shù)的兩
數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
舉一反三:
【變式】填空:(1)數(shù)軸上離原點(diǎn)5個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示的數(shù)是;(2)從數(shù)軸上觀
察,-3與3之間的整數(shù)有個(gè).
【答案】(1)±5,提示:要注意兩種情況,原點(diǎn)左右各一個(gè)點(diǎn);(2)5,提示:畫出數(shù)軸,
容易看出-3和3之間的整數(shù)是-2,-1,0,1,2共5個(gè).
【鞏固練習(xí)】
一、選擇題
1.(2015?江陰市模擬)-5的相反數(shù)是()
A.5B.-5C.±5D.
5
2.下列說(shuō)法正確的是()
A.數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)可以表示兩個(gè)不同的有理數(shù)
B.數(shù)軸上的兩個(gè)不同的點(diǎn)表示同一個(gè)有理數(shù)
C.有的有理數(shù)不能在數(shù)軸上表示出來(lái)
D.任何一個(gè)有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到與它對(duì)應(yīng)的唯一點(diǎn)
3.(2016?呼和浩特)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為()
A.0B.-1C.1D.2
4.如圖,有理數(shù)a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如下,則有().
a0b
(A)a>0>b(B)a>b>0(C)a<0<b(D)a<b<0
5.一個(gè)數(shù)比它的相反數(shù)小,這個(gè)數(shù)是()
A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C,非正數(shù)D.非負(fù)數(shù)
6.如果4+8=0,那么〃泊兩個(gè)數(shù)一定是()
A.都等于0B.一正一負(fù)C.互為相反數(shù)D.互為倒數(shù)
二、填空題
1.的兩個(gè)數(shù),叫做互為相反數(shù);零的相反數(shù)是.
2.(2015春?岳池縣期中;若3a-4b與7a-6b互為相反數(shù),則a與b的關(guān)系為
3.(2016?岳陽(yáng))如圖所示,數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)的相反數(shù)是
4.數(shù)軸上離原點(diǎn)5個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)有_____個(gè),它們表示的數(shù)是,它們之間的關(guān)
系是.
5.化簡(jiǎn)下列各數(shù):
⑴一’1卜——;⑵-1+》——⑶一{+[-(+3)]}=
【數(shù)軸和相反數(shù)例4(5)】
6.已知一l<aVOVl<b,請(qǐng)按從小到大的順序排列-1,—a,0,1,-b為.
三、解答題
1.小敏的家、學(xué)校、郵局、圖書館坐落在一條東西走向的大街上,依次記為A、B、C、D,
學(xué)校位于小敏家西150米,郵局位于小敏家東100米,圖書館位于小敏家西400米.
(1)用數(shù)軸表示A、B、C、D的位置(建議以小敏家為原點(diǎn)).
(2)一天小敏從家里先去郵局寄信后.以每分鐘5()米的速度往圖書館方向走了約8分
鐘.試問(wèn)這時(shí)小敏約在什么位置?距圖書館和學(xué)校各約多少米?
2.(2014秋?孟津縣期中)已知:a是-(-5)的相反數(shù),b比最小的正整數(shù)大4,c是最
大的負(fù)整數(shù).計(jì)算:3a+3b+c的值是多少?
3.化簡(jiǎn)下列各數(shù),再用連接.
(1)-(-54)(2)-(+3.6)⑶
4.已知3n1-2與-7互為相反數(shù),求m的值.
【答案與解析】
一、選擇題
1.【答案】A
2.【答案】1)
【解析】A、B、C都錯(cuò)誤,因?yàn)樗械挠欣頂?shù)都能在數(shù)軸上表示出來(lái),但數(shù)軸上的點(diǎn)不
都表示有理數(shù);一個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上只有一個(gè)表示它的點(diǎn).數(shù)軸上表示有理數(shù)的
點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)有理數(shù).
3.【答案】A
【解析】解:互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0.
故選:A.
4.【答案】C
5.【答案】B
【解析】因?yàn)橐粋€(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)是一個(gè)正數(shù),負(fù)數(shù)小于正數(shù),所以選B
6.【答案】C
【解析】若。+〃=0,則。/一定互為相反數(shù);反之,若互為相反數(shù),則。+〃=0.
二、填空題
1.【答案】只有符號(hào)不同,零
【解析】相反數(shù)的定義
2.【答案】a=b.
【解析】???3a-4b與7a-6b互為相反數(shù),.\3a-4b+7a-6b=0,Aa=b.
3.【答案】2.
【解析】解:數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)是-2,-2的相反數(shù)是2,
故答案為:2.
4.【答案】?jī)蓚€(gè),±5,互為相反數(shù)
24
5.【答案】3
35
【解析】多重符號(hào)的化簡(jiǎn)是由“一”的個(gè)數(shù)來(lái)定,若“一”個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)時(shí),化簡(jiǎn)結(jié)果為
正,:若“一”個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí),化簡(jiǎn)結(jié)果為負(fù).
6.【答案】一b<-l<O<-a<l.
三、解答題
(2)小敏從郵局出發(fā),以每分鐘50米的速度往圖書館方向走了約8分鐘,其路程為E0X8
=400(米),由上圖知,此時(shí)小敏位于家西300米處,所以小敏在學(xué)校與圖書館之間,且距
圖書館100米,距學(xué)校IX)米.
2.【解析】Ta是-(-5)的相反數(shù),
a=-5,
???b比最小的正整數(shù)大4,
/.b=1+4=5,
???c是最大的負(fù)整數(shù),
/-c=-1,
3a+3b+c=3X(-5)+3X5-1,
=-15+15-1,
=-1.
3.【解析】
(1)-(-54)=54
(2)-(+3.6)=-3.6
5
3
(2\2
(4)——4—=4—,
55
9
將化簡(jiǎn)后的數(shù)表示在數(shù)軸上,由圖可得:-(+3.6)V—+—<—I—4—I<-(-54).
3;5
4.【解析】依題意:3m-2=7,故m=3.
絕對(duì)值及有理數(shù)的大小比較(基礎(chǔ))
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.借助數(shù)軸理解絕對(duì)值的概念,知道⑸的絕對(duì)值的含義;
2.會(huì)求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值,并會(huì)用絕對(duì)值比較有理數(shù)的大小;
3.通過(guò)應(yīng)用絕對(duì)值解決實(shí)際問(wèn)題,休會(huì)絕對(duì)俏?的意義和作用.
【要點(diǎn)梳理】
要點(diǎn)一、絕對(duì)值
1.定義:一般地,數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值,記作|a|.
要點(diǎn)詮釋:
(1)絕對(duì)?值的代數(shù)意義:一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身;一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);0
的絕對(duì)值是0.即對(duì)于任何有理數(shù)a都有:
a(a>0)
|a|=<0(q=0)
-a(a<0)
(2)絕對(duì)值的幾何意義:一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,離原點(diǎn)的距
離越遠(yuǎn),絕對(duì)值越大;離原點(diǎn)的距離越近,絕對(duì)值越小.
(3)一個(gè)有理數(shù)是由符號(hào)和絕對(duì)值兩個(gè)方面來(lái)確定的.
2.性質(zhì):
(1)0除外,絕對(duì)值為一正數(shù)的數(shù)有兩個(gè),它們互為相反數(shù).
(2)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等.
(3)絕對(duì)值具有非負(fù)性,即任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值總是正數(shù)或0.
耍點(diǎn)二、有理數(shù)的大小比較
1.數(shù)軸法:在數(shù)軸上表示出兩個(gè)有理數(shù),左邊的數(shù)總比右邊的數(shù)小.如:a與b在數(shù)軸上
的位置如圖所示,則aVb.______?_____?,
2.法則比較法:°b
兩個(gè)數(shù)比較大小,按數(shù)的性質(zhì)符號(hào)分類,情況如下:
同為正號(hào):絕對(duì)值大的數(shù)大
兩數(shù)同號(hào)
同為負(fù)號(hào):絕對(duì)值大的反而小
兩數(shù)異號(hào)正數(shù)大于負(fù)數(shù)
-數(shù)為0正數(shù)與0:正數(shù)大于0
負(fù)數(shù)與0:負(fù)數(shù)小于0
要點(diǎn)詮釋:
利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小的步驟:(1)分別計(jì)算兩數(shù)的絕對(duì)值;(2)比較絕對(duì)值
的大小;(3)判定兩數(shù)的大小.
3.作差法:設(shè)a、b為任意數(shù),若a-b>0,則a>b;若a-b=0,則a=b;若a-b〈0,a
<b:反之成立.
4.求商法:設(shè)a、b為任意正數(shù),若且>1,則若0=1,則。=〃;若@<1,則
hhb
反之也成立.若a、b為任意負(fù)數(shù),則與上述結(jié)論相反.
5.倒數(shù)比較法:如果兩個(gè)數(shù)都大于零,那么倒數(shù)大的反而小.
【典型例題】
類型一、絕對(duì)值的概念
1.求下列各數(shù)的絕對(duì)值.
-1—>一().3,0,—(—3—
2I2
【思路點(diǎn)撥】11,-0.3,0,一(-3,]在數(shù)軸上位置距原點(diǎn)有多少個(gè)單位長(zhǎng)度,這個(gè)數(shù)字
2I2)
就是各數(shù)的絕對(duì)值.還可以用絕對(duì)值法則來(lái)求解.
【答案與解析】
解:方法1:因?yàn)?11到原點(diǎn)距離是個(gè)單位長(zhǎng)度,所以-1‘二1’.
2222
因?yàn)?0.3到原點(diǎn)距離是0.3個(gè)單位長(zhǎng)度,所以|-0.3=0.3.
因?yàn)?到原點(diǎn)距離為0個(gè)單位長(zhǎng)度,所以|0|=().
因?yàn)?().3<0,所以|-0.3|=-(-0.3)=0.3.
因?yàn)?的絕對(duì)值是它本身,所以|0|=0
因?yàn)椤?—>0,所以
<2)
【總結(jié)升華】求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值有兩種方法:一種是利用絕對(duì)值的幾何意義求解(如方法1),
一種是利用絕對(duì)值的代數(shù)意義求解(如方法2),后種方法的具體做法為:首先判斷這個(gè)數(shù)是
正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零.再根據(jù)絕對(duì)值的意義,確定去掉絕對(duì)值符號(hào)的結(jié)果是它本身,是它的相
反數(shù),還是零.從而求出該數(shù)的絕對(duì)值.
▼2.已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于2009,則這個(gè)數(shù)是.
【思路點(diǎn)撥】若一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù),則此數(shù)有兩個(gè),且互為相反數(shù).
【答案】2009或-2009.
【解析】根據(jù)絕對(duì)值的定義,到原點(diǎn)的距離是2009的點(diǎn)有兩個(gè),從原點(diǎn)向左側(cè)移動(dòng)2009
個(gè)單位長(zhǎng)度,得到表示數(shù)-2009的點(diǎn);從原點(diǎn)向右側(cè)移動(dòng)2009個(gè)單位長(zhǎng)度,得到表示數(shù)2009
的點(diǎn).
【總結(jié)升華】已知絕對(duì)值求原數(shù)的方法:(1)利用概念;:2)利用數(shù)形結(jié)合法在數(shù)軸上表示出
來(lái).
舉一反三:
【變式1】(2015?鎮(zhèn)江)已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是4,則這個(gè)數(shù)是—.
【答案】±4.
【絕對(duì)值比大小356845典型例題3】
【變式2】如果IxI=2,那么x=;如果I-XI=2,那么x=.
如果Ix-2I=1,那么x=;如果IxI>3,那么x的范圍是.
【答案】+2或-2;+2或-2;1或3;x>3或x<-3.
類型二、絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用
^^3.(2015?樂(lè)山期末)若|x-2|與|y+3|互為相反數(shù),則x+y=.
【思路點(diǎn)撥】由IaI20即絕對(duì)值的非負(fù)性可知,Ix-2I20,Iy+3I20,而它們的和
為0.所以|x?2|=0,|y+3|=0.由此算出結(jié)果.
【答案】T.
【解析】???|x-2|與|y+3|互為相反數(shù),
|x-2|+|y+3|=0,
Ax-2=0,y+3=0,
解得x=2,y=-3,
Ax+y=2+(-3)=-1.
故答案為:-1.
【總結(jié)升華】若幾個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的和為0,則每個(gè)數(shù)都等于0,即|a|+|b|+…+|m|=0時(shí),
則a=b=…=m=0.
類型三、有理數(shù)的大小比較
e4.(2016春?上海校級(jí)月考)比較大小:|_______-(-1.8)(填“>”、“V”
4
或“二”).
【思路點(diǎn)撥】先化簡(jiǎn),再比較大小,即可解答.
【答案】V.
【解析】解:|-13=1旦=1.75,-(-1.8)=1.8,
44
V1.75<1.8,
A|-12|<-(-1.8),
4
故答案為:<.
【總結(jié)升華】本題考查了有理數(shù)大小比較,解決本題的關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值的化簡(jiǎn)以及多重復(fù)
號(hào)的化簡(jiǎn)方法.
舉一反三:
【絕對(duì)值比大小356845典型例題2】
【變式】比大小:
56
-3-_______-3-:-|-3.2|-(+3.2);0.0001_-1000;
67
—1.38-1.384;—n-3.14.
【答案】>;=;>;>;V.
【鞏固練習(xí)】
一、選擇題
1.(2015.常州)-3的絕對(duì)值是().
11
A.3B.-3C,-D.一一
33
2.下列判斷中,正確的是().
A.如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等,那么這兩個(gè)數(shù)相等;
B.如果兩個(gè)數(shù)相等,那么這兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等;
C.任何數(shù)的絕對(duì)值都是正數(shù);
D.如果一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是它本身,那么這個(gè)數(shù)是正數(shù).
3.下列各式錯(cuò)誤的是().
JJC.二二二
A.+5—=5-B.|-8.1|=8.1一=——
333322
4.(2016?婁底)己知點(diǎn)M、N、P、Q在數(shù)軸上的位置如圖,則其中對(duì)應(yīng)的數(shù)的絕對(duì)值最大的
點(diǎn)是()
NMp0
■?,111IIIG>
-4-3-2-10123456
A.MB.NC.PD.Q
5.若兩個(gè)有理數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的點(diǎn)如圖所示,則下列各式中正確的是().
ab0
A.a>bB.|a|>|b|C.-a<-bD.-a<|b|
6.若|a|+a=0,則&是().
A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.正數(shù)或()D.負(fù)數(shù)或0
二、填空題
7.若m,n互為相反數(shù),則|m||n|;|m|=|n則m,n的關(guān)系是.
8.己知|x|=2,|y|=5,且x>y,則x=,y=.
9.滿足3.5W|x|<6為x的整數(shù)值是.
10.(2015?大邑縣模擬)在?2.1,?2,0,1這四個(gè)數(shù)中,最小的數(shù)是.
11.數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示.則|a-21=.
II1
-1012a
12.已知|4元一3|=3—4不,則)的取值范圍是.
三、解答題
13.(2014秋?婁底期末)若有理數(shù)x、y滿足|x|=5,|y|=2,且|x+y|=x+y,求x?y的值.
14.(2016春?桐柏縣期末)若|a+L2|+|b-1|=0,那么a+(-1)+(-1.8)+b等于多少?
15.比較3a-2與2a+l的大小.
【答案與解析】
一、選擇題
】.【答案】A
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