Page14江蘇省連云港市2024屆高三數學上學期第一次學情檢測試題（時間：120分鐘，滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，或，若，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據求解.【詳解】因為集合，或，且，所以，故選：B2.函數的定義域為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用對數式的真數為正得到關于的一元二次不等式，不等式的解集即為該函數的定義域.【詳解】要使函數有意義，須，即，即，解得：，即函數的定義域為.故選：A.3.已知、，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】利用特別值法結合充分條件、必要條件的定義推斷可得出結論.【詳解】充分性：取，，則成立，但不成立，充分性不成立；必要性：取，，則成立，但不成立，必要性不成立.因此，“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.4.函數的圖像肯定經過點（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令即可求出定點.【詳解】當，即時，，即函數的圖象肯定經過點.故選：B.5.若函數（且）在上的最大值為4，最小值為m，實數m的值為（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】分和兩種狀況，由函數的單調性結合函數的最大值為4，求出的值，從而可求出函數的解析式，進而可求出函數的最小值.【詳解】時，在上單調遞增，則，解得，此時，.當時，在上單調遞減，所以，解得，此時，.綜上，m的值為或，故選：D.6.設是定義域為R的奇函數，且.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意利用函數的奇偶性和函數的遞推關系即可求得的值.【詳解】由題意可得：，而，故.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查了函數的奇偶性和函數的遞推關系式，敏捷利用所給的條件進行轉化是解決本題的關鍵.7.若冪函數在上是減函數，則實數的值是（）A.或3 B.3 C. D.0【答案】B【解析】【分析】由題意可得，從而可求出實數的值【詳解】解：因為冪函數在上是減函數，所以，由，得或，當時，，所以舍去，當時，，所以，故選：B8.17世紀，在探討天文學的過程中，為了簡化大數運算，蘇格蘭數學家納皮爾獨創了對數，對數的思想方法即把乘方和乘法運算分別轉化為乘法和加法，數學家拉普拉斯贊揚為“對數的獨創在實效上等于把天文學家的壽命延長了很多倍”.已知，，設，則所在的區間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用對數的運算性質求出，由此可得答案.【詳解】,所以.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的有（）A.，B.，C.若p：，則：D.若p：，則：【答案】BC【解析】【分析】通過舉例推斷A，B，依據含量詞的命題的否定方法推斷C，D.詳解】當時，，A錯誤，當時，，B正確，命題“?n∈N，n2＞2n”否定是命題“?n∈N，n2≤2n”C正確，命題“”的否定是命題“”，D錯誤.故選：BC.10.已知，則（）A.的最大值為 B.的最大值為C.的最小值為5 D.的最小值為【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式易得結論.詳解】∵已知，∴，∴即，當且僅當即時取等號，對于A，，當且僅當即時取最小值，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，當且僅當，即時取最小值5，故C正確；對于D，，當且僅當即時取等號，故D錯誤.故選：BC.11.已知、均為實數集的子集，且，則下列結論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】首先依據已知條件得到集合與集合的包含關系，然后通過交并補運算逐一驗證選項即可.【詳解】∵∴，若是的真子集，則，故A錯誤；由可得，故B正確；由可得，故C錯誤，D正確．故選：BD．12.函數若函數只有一個零點，則可能取的值有（）A.2 B. C.0 D.1【答案】ABC【解析】【分析】只有一個零點可化為函數與函數有一個交點，作函數與函數的圖象，結合圖象可干脆得到答案.【詳解】解：∵只有一個零點，

∴函數與函數有一個交點，

作函數函數與函數的圖象如下，

結合圖象可知，當時；函數與函數有一個交點；

當時，，可得，令可得，所以函數在時，直線與相切，可得.綜合得：或.

故選：ABC.【點睛】本題考查了函數的零點與函數圖象的交點的關系應用及數形結合的思想應用，屬于中檔題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知集合，，則集合B的子集的個數是_____________.【答案】8【解析】【分析】由題意，計算出集合的全部元素，依據子集個數與元素個數的關系，可得答案.【詳解】由，，，，，且，故，則集合B的子集的個數為．故答案為：.14.已知，函數若，則___________.【答案】2【解析】【分析】由題意結合函數的解析式得到關于的方程，解方程可得的值.【詳解】，故，故答案為：2.15.設函數，若對于，恒成立，則實數的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】整理可得在上恒成立，依據x的范圍，可求得的范圍，分析即可得答案.【詳解】由題意，可得，即，當時，，所以在上恒成立，只需，當時有最小值為1，則有最大值為3，則，實數的取值范圍是，故答案為：16.已知，，，則，，的大小關系為___________.【答案】##【解析】【分析】利用指數函數和對數函數的性質比較即可【詳解】因為在上為增函數，且，所以，即，因為在上為增函數，且，所以，即，即，所以，故答案為：##四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.計算下列各式的值：（1）；（2）【答案】（1）3（2）1【解析】【分析】（1）由指數的運算法則化簡求解（2）由對數的運算法則化簡求解【小問1詳解】【小問2詳解】18.已知二次函數的最小值為3，且.（1）求的解析式；（2）若的圖像恒在直線的上方，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據題意設，代求出參數即可得出函數解析式；（2）原不等式等價于恒成立，將二次函數函數配成頂點坐標式求出最小值即可得出其范圍.【詳解】解：（1）因為二次函數中，所以對稱軸為又二次函數的最小值為3，故可設所以所以（2）的圖像恒在直線的上方等價于即恒成立因為所以，即實數的取值范圍.【點睛】方法點睛：已知不等式恒成立求參數值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數法：探討參數范圍，借助函數單調性求解；（2）分別參數法：先將參數分別，轉化成求函數的值域或最值問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.19.已知集合，函數的定義域為．（1）若求集合；（2）若，求實數的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）對數的真數大于零；（2）按與的大小分類探討求解.【詳解】（Ⅰ）由，得，故集合；（Ⅱ）由題可知，①若，即時，，又因為，所以，無解；②若時，明顯不合題意；③若，即時，，又因為，所以，解得．綜上所述，．【點睛】本題考查函數的定義域和集合的運算.求函數定義域的常用方法：1、分母不為零；2、對數的真數大于零；3、偶次方根的被開方方數大于或等于零；4、零次冪的底數不等于零；5、中.20.已知函數的定義域是.（1）求實數的取值范圍;（2）解關于的不等式.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）本題可依據對數函數的性質得出恒成立，然后通過即可得出結果；（2）本題首先可依據得出，然后通過計算即可得出結果.【詳解】（1）因為函數的定義域是，所以恒成立，則，解得，的取值范圍為.（2），即，因為，所以，即，解得，故不等式的解集為.21.已知函數且，（1）求實數的值；（2）若函數有零點，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由即可得的值；（2）令可得有實根，當時明顯不成立，所以有實根，由，可得，即可求解.【詳解】（1）由題意可得，可得；（2）由可得，因為函數有零點，所以有實根，所以即有實根，當時明顯不成立，所以有實根，因為，所以，即，可得或，所以實數的取值范圍為.22.已知函數．（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；（Ⅱ）設曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）依據導數的幾何意義可得切點的坐標，然后由點斜式可得結果；（Ⅱ）依據導數的幾何意義求出切線方程，再得到切線在坐標軸上的截距，進一步得到三角形的面積，最終利用導數可求得最值.【詳解】（Ⅰ）因為，所以，設切點為，則，即，所以切點為，由點斜式可得切線方程為：，即.（Ⅱ）[方法一]：導數法明顯，因為在點處的切線方程為：，令，得，令，得，所以，不妨設時，結果一樣，則，所以，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以時，取得微小值，也是最小值為.[方法二]【最優解】：換元加導數法．因為為偶函數，不妨設，，令，則．令，則面積為，只需求出最小值．．因為，所以令，得．隨著a的改變，的改變狀況如下表：a0減微小值增所以．所以當，即時，．因為為偶函數，當時，．綜上，當時，的最小值為32．[方法三]：多元