Page17考試時間：120分鐘試題滿分：150分一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡集合A，B，再利用集合的交集運算求解.【詳解】因為集合，集合，所以，故選：A2.某單位有職工人，其中青年職工人，中年職工人，老年職工人．為了了解該單位職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本．若樣本中的青年職工為人，則樣本容量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結合分層抽樣方法求出青年職工的比例繼而求出樣本容量【詳解】由題意得樣本容量為故選：A3.一個袋中裝有大小、質地相同的3個紅球和3個黑球，從中隨機摸出3個球，設事務“至少有2個黑球”，下列事務中，與事務互斥而不互為對立的是（）A.都是黑球 B.恰好有1個黑球 C.恰好有1個紅球 D.至少有2個紅球【答案】B【解析】【分析】利用對立事務、互斥事務的定義干脆求解即可．【詳解】解：從裝有大小和質地完全相同的3個紅球和3個黑球的口袋內任取3個球，在中，至少有2個黑球和都是黑球能同時發生，不是互斥事務，故錯誤，在中，至少有2個黑球和恰有1個黑球不能同時發生，是互斥而不對立事務，故正確，在中，至少有2個黑球和恰有1個紅球能同時發生，不是互斥事務，故錯誤，在中，至少有2個黑球和至少有2個紅球事務不能同時發生，是對立事務，故錯誤．故選：．4.考古科學家在測定良渚古城遺址年齡的過程中利用了“放射性物質因衰變而削減”這一規律.已知樣本中碳14的質量隨時間（單位：年）的衰變規律滿意（表示碳14原有的質量）.經過測定，良渚古城遺址文物樣本中碳14的質量是原來的至，據此推想良渚古城存在的時期距今約在______年到5730年之間，則“______”為（參考數據：）（）A.4011 B.3438 C.2865 D.2292【答案】A【解析】【分析】利用題目所給的衰變規律計算出的范圍即可.【詳解】由題可得，兩邊同取以2為底的對數，得，所以，則推想良渚古城存在的時期距今約在4011年到5730年之間.故選：A.5.在下列區間中，函數的零點所在的區間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先推斷函數在上單調遞增，由,利用零點存在定理可得結果.【詳解】因為函數在上連續單調遞增，且,所以函數零點在區間內，故選C.【點睛】本題主要考查零點存在定理的應用，屬于簡潔題.應用零點存在定理解題時，要留意兩點：（1）函數是否為單調函數；（2）函數是否連續.6.設函數，若函數的最大值為－1，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得時的值域，當時，依據二次函數圖象與性質可得，依據題干條件，列出不等式，即可得答案.【詳解】當時，為單調遞減函數，所以當x=1時，，當時，，為開口向下，對稱軸為x=-1的拋物線，所以當x=-1時，有最大值，由題意得，解得，故選：D7.已知函數有4個零點，則k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將函數零點問題轉化為曲線與直線的交點問題，如圖分析臨界直線，可得的取值范圍.【詳解】,即，函數表示恒過點的直線，如圖畫出函數，以及的圖象，如圖，有兩個臨界值，一個是直線過點，此時直線的斜率，另一個臨界值是直線與相切時，聯立方程得，，解得：，或，當時，切點是如圖，滿意條件，當時，切點是不成立，所以，如圖，曲線與直線有4個交點時，的取值范圍是.故選：B8.已知函數，若不等式（是自然對數的底數），對隨意的恒成立，則整數的最小值是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】先推斷函數的單調性和奇偶性，再結合性質解不等式得到，只須要求二次函數的最大值，即解得的范圍，再利用對數式比大小即得到整數的最小值.【詳解】由指數函數性質知和在R上是遞增函數，故在R上是遞增函數.又，故是奇函數.故不等式即轉化為：，即，故，所以，而對稱軸為，依據二次函數對稱性可知對隨意的上，當時，，故，故，而，即，故整數的最小值是4.故選：C.【點睛】本題解題關鍵在于先推斷函數的單調性和奇偶性，并結合性質化簡恒成立式，再解決恒成立問題即可，解決恒成立問題的常用方法：①數形結合法：畫圖像，對關鍵點限制條件；②分別參數法：轉化成參數與函數最值的關系；③構造函數法：轉化成函數最值（含參數）的范圍.二、多項選擇題：本題共4小題，每題5分，共20分．每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9.某籃球運動員8場競賽中罰球次數的統計數據分別為：2，6，8，3，3，4，6，8，關于該組數據，下列說法正確的是（）A.中位數為3 B.眾數為3，6，8C.平均數為5 D.方差為4.8【答案】BC【解析】【分析】依據中位數、眾數、平均數以及方程的計算公式，即可簡潔選擇.【詳解】對數據2，6，8，3，3，4，6，8，依據從小到大排序即為，中間兩個數字為：，故其中位數是，故錯誤；明顯數據均出現次，故眾數為，則正確；又其平均數為，故正確；則其方差為：，故錯誤.故選：【點睛】本題考查一組數據眾數、中位數、平均數以及方差的求解，屬簡潔題.10.下列所給函數中值域為的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】A.利用冪函數的性質推斷；B.令，轉化為指數函數推斷；C.令，轉化為對數函數推斷；D.分和探討求解推斷.【詳解】A.因為的定義域為，因為函數在上是減函數且為偶函數，所以其值域是，故正確；B.令，則，故錯誤；C.令，則，故錯誤；D.當時，，當時，，綜上：，故正確；故選：AD11.下列推斷不正確的是（）A.函數在定義域內是減函數B.的單調減區間為（4，＋∞）C.已知，且，若恒成立，則實數m的取值范圍是（－4，1）D.已知在R上是減函數，則a的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】依據函數單調性的性質、復合函數單調性、基本不等式、分段函數單調性進行推斷即可.【詳解】A：因為，明顯不符合減函數的性質，所以A不正確；B：函數定義域滿意所以定義域為，設在上單調遞增，單調遞增，由復合函數的單調性的單調增區間為（4，＋∞），所以B不正確.C：因為，所以有，當且僅當時取等號，即當時取等號，要想恒成立，只需，故C正確；D：當時，是減函數，則，即，當時，是減函數，則，又因為函數在R上是減函數，還須要滿意即，綜上a的取值范圍是，故D不正確.故選：ABD12.已知函數，使得“方程有6個相異實根”成立的充分條件是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】令.經過分析可得，要使方程有6個相異實根，則應滿意方程有兩個不同的解、，且滿意，.結合，.即可得到，構造對勾函數，依據單調性即可得到，即可得到的范圍，進而得到答案.【詳解】令，方程可化為，該方程最多有兩個解.當，即或時，方程有兩個不同的解，設為、，則由韋達定理可得，.當時，在處有最大值1.作出的圖象如下圖.由圖象可得，當時，與函數有3個交點，即方程有3個解.要使方程有6個相異實根，則應有，，且.又，.且，當且僅當時，等號成立.因為，所以，即，所以.因為，，則，即，所以.又，所以.所以，令，依據對勾函數的性質可得，當時，函數單調遞減；當時，函數單調遞增.又，所以時，有恒成立，即.所以，即，則有.即“方程有6個相異實根”成立的充要條件是.所以，“方程有6個相異實根”成立的充分條件的范圍應當為上述范圍的子集.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，，，則用“＜”連接這三個數應為________.【答案】【解析】【分析】分別利用函數、、的單調性求出a、b、c的取值范圍，進而得出結果.【詳解】因為函數在上單調遞增，且，所以，即；因為函數在R上單調遞增，且-3.2<0，所以，即；因為函數在上單調遞減，且6>1，所以，即，故.故答案為：14.已知四個函數：①；②；③；④.從中任選2個，則事務“所選2個函數的圖像有且僅有一個公共點”的概率為________【答案】【解析】【詳解】由四個函數①；②；③；④，從中任選個函數，共有種，其中“所選個函數的圖像有且僅有一個公共點”共有①③、①④，共有種，所以“所選個函數的圖像有且僅有一個公共點”的概率為.15.函數的最小值為__________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：所以，當，即時，取得最小值.所以答案應填：.考點：1、對數的運算；2、二次函數的最值.16.設函數的定義域為D，若函數滿意條件：存在，使在上的值域是，則稱為“雙倍函數”，若函數為“雙倍函數”．則實數t的取值范圍是___．【答案】【解析】【分析】依據題設條件可得的兩個不同的解，利用對數的運算和換元法可得在上有兩個不同的正數解，結合根分布可求參數的取值范圍.【詳解】因為為增函數，設此函數的值域為，則，而在上為增函數，故為上的增函數，由為“雙倍函數”，故，故為方程的兩個不同的解，故即方程有兩個不同的解，設，則在上有兩個不同的正數解，故，解得.故答案為：.四、解答題：本大題共6道小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知．（1）若p為真命題，求此不等式的解集；（2）若p是q的充分條件，求實數m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據分式不等式的求解方法，可得答案；（2）依據充分條件的集合表示形式，利用分類探討，依據含參二次不等式，可得答案.【小問1詳解】已知P為真命題，由，，可得，所以．所以不等式的解集為.【小問2詳解】因為p是q的充分條件，所以對應的集合是所對應集合的子集．q：，可得①當時，q：；因為對應的集合是所對應集合的子集，所以，可得．②當時，q：，所以不符合題意；③當時，q：；因為對應的集合是所對應集合的子集，所以，無解．所以m的取值范圍為．18.（1）先后擲兩個質地勻稱的骰子，視察朝上的面的點數，記事務A：兩個骰子點數相同，事務B：點數之和小于7.求，；（2）某培訓機構在假期招收了A，B兩個數學補習班，A班10人，B班30人，經過一周的補習后進行了一次測試，在該測試中，A班的平均成果為130分，方差為115，B班的平均成果為110分，方差為215.求在這次測試中全體學生的平均成果和方差．【答案】（1），；（2）平均分為115，方差為265.【解析】【分析】（1）求出試驗樣本空間，寫出各個事務包含的基本領件，依據古典概型公式即可求出；（2）依據各層的平均數估計總體平均數，將總數求出來除以總人數即可得出.在求總體方差時，首先推出總體方差與各層方差、平均數之間的關系式，代入數據即可求得.【小問1詳解】拋擲一枚骰子有6種等可能的結果，第一枚骰子的每一個結果都可與其次枚骰子的隨意一個結果配對.用數字表示第一枚骰子出現的點數是，數字表示第一枚骰子出現的點數是，則數組表示這個試驗的一個樣本點.因此該試驗的樣本空間，其中共有36個樣本點.由于骰子的質地勻稱，所以各個樣本點出現的可能性相等，因此這個試驗是古典概型.因為，所以，所以；因為，所以，所以.【小問2詳解】A班學生成果用來表示，B班學生成果用來表示.設A班平均成果為，方差為；B班平均成果為，方差為.則，，，.全體學生的平均成果為，全體學生的方差.由，可得.同理可得，.因此，.所以，全體學生的平均分為115，全體學生成果的方差為265.19.已知函數f(x)＝2x的定義域是[0,3]，設g(x)＝f(2x)－f(x＋2)，(1)求g(x)的解析式及定義域；(2)求函數g(x)的最大值和最小值．【答案】（1）g(x)＝22x－2x＋2，{x|0≤x≤1}．（2）最小值－4；最大值－3.【解析】【詳解】（1）f(x)＝2x的定義域是[0,3]，設g(x)＝f(2x)－f(x＋2)，因為f(x)的定義域是[0,3]，所以，解之得0≤x≤1．于是g(x)的定義域為{x|0≤x≤1}．（2）設．∵x∈[0,1],即2x∈[1,2]，∴當2x=2即x=1時，g(x)取得最小值-4；當2x=1即x=0時，g(x)取得最大值-3．20.為了選擇奧賽培訓對象，今年月我校進行一次數學競賽，從參與競賽的同學中，選取名同學將其成果分成六組：第組，第組，第組，第組，第組，第組，得到頻率分布直方圖（如圖），視察圖形中的信息，回答下列問題：（1）利用組中值估計本次考試成果的平均數；（2）從頻率分布直方圖中，估計第百分位數是多少；（3）已知學生成果評定等級有優秀?良好?一般三個等級，其中成果不小于分時為優秀等級，若從第組和第組兩組學生中，隨機抽取人，求所抽取的人中至少人成果優秀的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）依據頻率分布直方圖估計平均數的方法干脆計算可得結果；（2）首先確定第百分位數位于，設其為，由可求得結果；（3）依據頻率分布直方圖計算出第五組和第六組的人數，利用列舉法列舉出全部可能的基本領件，并確定滿意題意的基本領件個數，依據古典概型概率公式可求得結果.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知平均數.【小問2詳解】成果在的頻率為，成果在的頻率為，第百分位數位于，設其為，則，解得：，第百分位數為.【小問3詳解】第組的人數為：人，可記為；第組的人數為：人，可記為；則從中任取人，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共種狀況；其中至少人成果優秀的狀況有：，，，，，，，，，，，，，，，共種狀況；至少人成果優秀的概率.21.已知函數為偶函數，且．（1）求值，并確定的解析式；（2）若(且)，求在上值域．【答案】（1），；（2）當時，函數的值域為，當時，的值域為.【解析】【詳解】試題分析：（1）因為，所以由冪函數的性質得，，解得，因為，所以或，驗證后可知，；（2）由（1）知，函數在上單調遞增，故按，兩類，利用復合函數單調性來求函數的值域.試題解析：（1）因為，所以由冪函數的