第二單元第9課時：正比例的意義 年級：六年級教材版本：北京版授課教師單位及姓名：指導教師單位及姓名：一、教學背景簡述《正比例的意義》是學生在已經學習了比和比例的基礎上進行學習的，可以幫助學生加深對過去學過的數量關系的認識，使學生初步學會從變量的角度來認識兩種量之間的關系。學生對于比較抽象的內容不易理解，本課通過豐富具體的情境進一步認識相關聯的量，經歷觀察、分類等活動理解相關聯的量的變化規律，理解正比例的意義，并能夠根據給出的正比例關系的數據在方格紙上畫圖，經歷從實際問題抽象出數量關系的過程，為后面《反比例的意義》的學習積累活動經驗及思考的方法。二、學習目標1.通過實例發現生活中兩種相關聯的量，經歷觀察、分類等活動發現相關聯的量的變化規律，理解正比例的意義，并依據正比例的意義判斷兩種量是否成正比例。2.經歷觀察、分類、交流等數學活動，初步感受圖像、表格、關系式之間的聯系，體會數形結合的思想，發展推理能力。3.初步感受到事物是普遍聯系的，嘗試用聯系的眼光觀察、分析生活中的數學現象。三、教學過程活動一：觀察圖表，發現規律1.情境1：觀察大蒜的浸泡時間和蒜苗高度的變化。提問：這是樂樂在“泡大蒜”的實驗中拍的照片和記錄的數據。請大家仔細觀察，你能試著說一說有幾種變化的量嗎？預設：我發現：蒜苗的高度是隨著浸泡時間的變化而變化的，蒜苗高度和浸泡時間是兩種相關聯的量。時間越長，蒜苗長的就越高，不過我們都有經驗，泡到一定程度蒜苗就不長了，也會變黃。2.情境2：觀察大小不同的正方形畫框，有哪些發現呢？預設：正方形的周長是隨著邊長的變化而變化的，正方形的邊長和周長是兩種相關聯的量。在觀察中還會發現：正方形邊長越長，周長就越長；正方形的邊長越短，周長就越短。3.情境3：觀察下圖，你能提出并解決什么數學問題？6個完全相同的圓柱形水杯，內部的底面積是40平方厘米。預設：每個杯子里分別裝了多少立方厘米的水？（列式解答）有哪些新發現？①水杯內部底面積相同，水的體積隨著水面高度的變化而變化，水的體積和水面高度是兩種相關聯的量。②從左到右觀察：底面積相同時，發現水面高度越高，水的體積就越大；從右到左觀察，水面高度越低，水的體積就越小。4.情境4：有360塊月餅，如果選擇不同規格的盒子包裝。分別需要多少個包裝盒？說說你的發現。預設：列式計算：360÷4=90（個）360÷6=60（個）360÷9=40（個）……列表觀察：每盒塊數4691012……包裝盒的個數9060403630……因為總塊數是360塊不變，每盒裝的塊數變化了，需要的包裝盒的個數也就變化了，所以每盒的塊數和包裝盒的個數是兩種相關聯的量。從左到右觀察，發現：總塊數不變，每盒裝的塊數越多，需要的包裝盒的個數反而越少；從右到左觀察，每盒裝的塊數越少，需要包裝盒的個數反而越多。5.情境5：樂樂、芳芳、圓圓、冬冬都在看《快樂童年》，情況如下表。請把表填寫完整。

樂樂芳芳圓圓冬冬看了的頁數40245075剩下的頁數60

預設：列式計算：總頁數：40+60=100（頁）芳芳：100-24=76（頁）圓圓：100-50=50（頁）冬冬：100-75=25（頁）把表填寫完整，有哪些發現？

樂樂芳芳圓圓冬冬看了的頁數/頁40245075剩下的頁數/頁60765025總頁數不變，看了的頁數越多，剩下的頁數就越少；看了的頁數越少，剩下的頁數反而越多。所以看了的頁數和剩下的頁數是兩種相關聯的量。6.先試著用一種更加直觀地方式表示出每個情境中兩種相關聯的量的變化規律，再對比觀察，你有哪些發現？活動二：分析規律，理解意義1.仔細觀察，你有哪些新發現？水面高度/厘米24691520水的體積/立方厘米80160240360600800預設：①底面積是不變的，水的體積是隨著水面的高度變化而變化的，我們從左到右觀察發現：水面高度越高，水的體積就越大；從右到左觀察：水面高度越低，水的體積越小。②底面積不變時，水面高度擴大，水的體積也隨著擴大；水面高度縮小，水的體積也隨著縮小。③用關系式表達：水的體積水面高度=底面積（不變）2.正方形的邊長與周長是兩種相關聯的量，這兩種量是怎樣變化的？預設：①可以列表舉例子進行分析。正方形周長邊長比值824164420543284………………發現：正方形的周長隨著邊長的變化而變化，正方形的邊長和周長是兩種相關聯的量。從上往下看，邊長越長，周長就越長；邊長越短，周長也越短。②通過計算發現：正方形的邊長擴大，周長就隨著擴大；正方形的邊長縮小，周長也隨著縮小。③Ca④在觀察中發現正方形的周長與邊長的變化規律，在計算中還發現一種不變的量。3.這是某汽車行駛的時間和路程的統計表，仔細觀察表格中的信息，你能提出并解決哪些數學問題呢？時間/時1234567……路程/千米90180270360450540630……預設提出的問題：表中有哪兩種量？它們是相關聯的量嗎？用自己的話說說路程和時間這兩種量是怎樣變化的？在變化的過程中什么沒有變？預設解答：①觀察上面的表格，我發現有路程和時間兩種量，因為時間在變化，路程也隨著變化，所以路程和時間是兩種相關聯的量。②從左到右看：時間越長，行駛的路程就越遠；從右到左觀察，時間越短，行駛的路程就越近。③速度不變時，時間擴大，路程就隨著擴大；時間縮小，路程也隨著縮小。④計算發現：901同學們，真善于觀察與思考，希望大家后面的學習中也可以從這幾方面進行分析。4.觀察相同點，理解正比例意義。有兩種相關聯的量；一種量擴大或縮小，另一種量也隨著擴大或縮小；兩種量中相對應的兩個數的比值一定。具有這些特點的兩種量，我們就說它們是成正比例的量，它們之間的關系就是正比例關系。如果用字母x、y分別表示這兩種相關聯的量，用k表示它們的比值，上面的數量關系可以用下面的式子表示：yx=k活動三：聯系生活，理解意義1.觀察圖表，解決問題佳佳陪媽媽去買菜，這是佳佳記錄人們購買土豆的數量和總價的情況，如下表。大家仔細觀察佳佳的這張統計表，結合這節課的內容，說說你的發現。預設：從表中發現有數量和總價兩種量，因為總價是隨著數量的變化而變化的，所以數量和總價是兩種相關聯的量。購買蘋果的單價是不變的，計算后知道是5元。當單價一定時，購買蘋果的數量擴大，總價也隨著擴大；數量縮小，總價也隨著縮小。總價與數量是成正比例關系的量，它們的關系是正比例關系。用關系式表示：總價數量=教師：我們可以用自己的話表達它們的變化規律，也可以用關系式來表達。那能不能用圖來表達呢？2.畫圖分析，理解意義把每組數相對應的點描出來，觀察圖，再次說說自己的發現，理解意義。（1）描點（2）如果沒有買土豆，是多少千克？多少元？0千克，0元。找到這個點。想象：把這些點連起來是什么樣？購買的數量和總價對應的點在一條直線上。（3）新發現：①如果李阿姨買了3千克，花了15元。如果買了6千克，花了30元。新發現：購買的數量如果是2倍關系，花的錢數也是2倍關系。②如果買2.5千克土豆大約要花多少元？先找到2.5千克在這條直線上對應的點，再找這個點對應的總價，就知道是12.5元了。3