計算機算法設計與分析第1章概述例1.1求兩個正整數的最大公約數方法一：利用質因數分解法求解最大公約數，其具體步驟描述如下：（1）輸入兩個正整數a和b。（2）將a和b分別進行質因數分解，得到它們的所有質因數的乘積形式。（3）將a和b中相同的所有質因數乘積計算出來，得到的結果即為a和b的最大公約數。若a或b無質因數（除1和該數本身外），則最大公約數為1。例1.1求任意兩個正整數的最大公約數以具體計算為例，假設需要求解的兩個整數為42和28，42=2×3×7，28=2×2×7共同的質因數2和7，因此，42和28的最大公約數為2×7=14利用方法一可以快速求出兩個整數的最大公約數，但方法一的描述過程不能稱為一個正真意義上的算法，因為第(2)步沒有明確如何將正整數a和b進行質因數分解，且質因數分解是一個NP類問題，目前尚未找到有效的解決方法。第(3)步也沒有明確定義在兩個質因數序列中如何找到相同的質因數元素。因此方法一描述不滿足算法的確定性和可行性。例1.1求任意兩個正整數的最大公約數方法二：利用蠻力窮舉法求解最大公約數，具體步驟描述如下：（1）輸入a和b。（2）將a和b中的較小者賦值給r。（3）若a、b除以r的余數同時等于0，轉（5），否則往下執行（4）。（4）執行r=r-1，轉（3）。（5）輸出r，執行結束。主要思想：是從兩個整數中較小者開始，去逐步尋找能被兩整數同時整除的數，一旦發現則終止尋找，并將該數作為兩整數的最大公約數。例1.1求任意兩個正整數的最大公約數r=2842%28=14,28%28=0,r=28-1=2742%27=15,28%27=1,r=27-1=2642%26=16,28%26=2,r=26-1=2542%25=17,28%25=3,r=25-1=2442%24=18,28%24=4,r=24-1=2342%23=19,28%23=5,r=23-1=2242%22=20,28%22=6,r=22-1=2142%21=0,28%21=7,r=21-1=2042%20=2,28%20=8,r=20-1=1942%19=4,28%19=9,r=19-1=1842%18=6,28%18=10,r=18-1=1742%17=8,28%17=11,r=17-1=1642%16=10,28%16=12,r=16-1=1542%15=12,28%15=13,r=15-1=1442%14=0,28%14=0輸出r，結果為14。以具體計算為例，設a=42和b=28，則計算過程為：例1.1求任意兩個正整數的最大公約數在a=42，b=28的情況下，窮舉法運行了15步才計算出結果。方法二窮舉法非常簡單，計算過程易于理解，但窮舉法的效率非常低。例1.1求任意兩個正整數的最大公約數方法三：利用輾轉相除法（也稱歐幾里得算法）求解最大公約數，具體步驟描述如下：（1）輸入兩個整數a和b。（2）若a<b則將a，b的值互換，以保持a是兩個整數中較大者，b為較小者。（3）將a除以b的余數賦值給r，若余數r等于0，則執行（5），否則往下執行（4）（4）將除數b賦值給a，將余數r賦值給b，轉（3）重復執行（5）b為所求最大公約數，輸出b，執行結束。例1.1求任意兩個正整數的最大公約數以具體計算為例，設a=42和b=28，則計算過程為：r=42%28=14,a=28,b=14r=28%14=0輸出b，結果為14。在a=42，b=28的情況下，輾轉相除法只運行了2步就計算出結果。例1.1求任意兩個正整數的最大公約數算法：輾轉相除法;輸入：兩個正整數a,b;

輸出：最大公約數Max_common_divisor(a,b)beginifa<bthena與b互換endramodbwhiler≠0doab,br,ramodbendprintbend計算機算法設計與分析第一章緒論一個快遞小哥從快遞中心點出發，到周邊四個小區送快遞，要求經過每個小區且只能每個小區僅經過一次，最后回到快遞中心點。問快遞小哥應如何安排派送路線較好？例1.3快遞員路線安排問題起

終ABCDEA03456B30265C42043D56405E65350（1）問題分析與問題抽象，這是一個典型的TSP問題將小區抽象為下圖的頂點，兩個小區之間有路直達，則對應的兩個頂點之間有邊關聯，邊的權值為兩個小區之間的距離。則將快遞員路線安排問題抽象為從頂點A(設A為快遞中心)出發經過圖中其余頂點后回到頂點A的最短簡單回路問題。例1.3快遞員路線安排問題3365456542EBDCA（2）數學建模：例1.3快遞員路線安排問題3365456542EBDCA（3）方法一蠻力法：列出每一條可供選擇的路線，計算出每條路線的距離長度，最后從中選擇出一條最短路線。最短路程為：A-->B-->C-->E-->D-->A或者A-->D-->E-->C-->B-->A，最短路徑長度為:18。例1.3快遞員路線安排問題3365456542EBDCA（3）蠻力法算法效率分析：使用蠻力法列舉除出發小區外所有小區的排列，然后選取路徑最短的路線。n-1個小區的排列數為(n-1)!，當n=20時，遍歷路線總數約為1.216×1017，計算機以每秒1000萬條路線的檢索速度計算，則約需要386年才能完成。故蠻力法的時間復雜度太高，當頂點數過多時并不適用。例1.3快遞員路線安排問題（3）方法二貪心法：每次在選擇下一個小區時，只考慮當前情況。在沒有經過的小區中，選擇距離當前小區最近的一個，直到經過所有小區，最后回到快遞中心。A例1.3快遞員路線安排問題3365456542EBDCA貪心法的優點是效率很高，只要n-1步判斷就能得到結果。但缺點是不一定能找到問題的最優解。算法：貪心法—偽代碼描述輸入：小區數量n，鄰接矩陣e[i,j]，頂點v[i]，出發小區編號go_city，index當前小區編號。輸出：最短路線上的頂點信息，最短路徑長度min_l。Greedy(index):beginfori

1tondo ifi不是出發頂點go_citythen forj

1tondo if沒有經過小區jthen

篩選與當前出發點最短的頂點，并標記為cur_j endifendfor min_l

min_l+e[index,cur_j] index

cur_j//從出發點cur_j，繼續下一步求解

并置cur_j頂點為經過標記

endifend for

min_lmin_l+e[index,go_city]//加上最后一個小區到go_city小區的距離end例1.3快遞員路線安排問題計算機算法設計與分析第一章概述1.4.1算法的效率分析目的評估算法體現算法運行時所需要消耗的計算機資源占用CPU的計算時間量稱為時間復雜度占用內存的存儲空間量稱為空間復雜度算法復雜度分析一般采用事前分析方式而是不事后統計法算法的效率分析算法的時間復雜度T和空間復雜度S的函數：T=T(N,I)S=S(N,I)N表示問題規模，I表示算法輸入在實際應用中，關注時間效率多于空間效率。算法時間復雜度分析評估算法時間復雜度，應盡量做到客觀反映算法的本質特征和屬性。所以，算法時間復雜度分析應該要有一個不依賴于計算機硬件配置、問題規模和輸入實例的抽象表示。算法時間復雜度分析假設在一臺抽象的計算機上提供了k種元運算O1，O2，…，Ok，每個元運算執行的時間分別為t1，t2，...，tk。元運算通常指的是算法中最基本的操作步驟，一個元運算可以是基本的算術運算（如加法、減法、乘法、除法）、比較操作、賦值操作、數組訪問或迭代循環等。算法時間復雜度分析T(N，I)表示算法在這臺抽象計算機上運行所需要的的時間，設，在算法中

元運算Oi被調用的次數為ei，ei=ei(N,I)，因此，T(N,I)一般化的表示：算法時間復雜度分析為消除公式中ti表示的元運算執行的具體時間，不妨假設所有的元運算都在一個單位時間內完成或者將ti抽象表示為一條執行語句或表達式所用時間，則計算T(N,I)的工作就變為統計計算語句的頻度，從而簡化復雜度的求解。例1.4插入排序問題時間復雜度計算

算法：插入排序（升序排序）

輸入：數組元素array，元素個數n

輸出：升序的數組元素array

InsertSort(array,n):begin1fori

1ton–1do2key

array[i]3j

i–14whilej>=0andarray[j]>keydo5array[j+1]

array[j]//往后移動元素6 j

j–17 end8 array[j+1]

key9

endend當輸入數據為1,2,3,4,5時，語句2、3、8被執行4次，語句5、6被執行0次。當輸入數據為5,4,3,2,1時，語句2、3、8被執行4次，語句5、6被執行10次。算法時間復雜度分析對同一個算法，運行不同的輸入實例時，算法語句執行的次數差異明顯。實際上，在統計時間復雜度時，我們不可能對規模N的每一種合法輸入都去統計各個算法語句執行的次數，這時就需要對輸入實例做一個合理簡化，即將輸入實例進行特化。算法時間復雜度分析（1）最壞情況下的時間復雜度：IN是規模為N的合法輸入集合，I*是IN中使T(N,I)達到Tmax(N)的合法輸入。最壞情況下的時間復雜度就是將所有的合法輸入實例中最壞的那個輸入實例I*找出來，統計在輸入實例I*時算法語句執行的次數來評估算法時間復雜度。算法時間復雜度分析（2）最好情況下的時間復雜度：I'是IN中使T(N,I)達到Tmin(N)的合法輸入，將所有的合法輸入實例中最好的那個輸入實例I'找出來，統計在輸入實例I'時算法語句執行的次數來評估算法時間復雜度。算法時間復雜度分析（3）平均情況下的時間復雜度：P(I)是算法應用中出現輸入實例I的概率，全部合法輸入實例的概率總和為1。平均時間復雜度是用每一個輸入實例出現的概率，計算其數學期望。在分析算法時間復雜度的時候，往往關注的是最壞情況下算法的時間復雜度。例1.4插入排序問題時間復雜度計算

算法：插入排序（升序排序）

輸入：數組元素array，元素個數n

輸出：升序的數組元素array

InsertSort(array,n):begin1fori

1ton–1do2key

array[i]3j

i–14whilej>=0andarray[j]>keydo5array[j+1]

array[j]//往后移動元素6 j

j–17 end8 array[j+1]

key9

endend語句2,3,8分別執行N-1次語句5,6執行的次數分為1,2,3，...，N-1次算法時間復雜度分析語句2,3,8分別執行N-1次，語句5,6執行的次數分為1,2,3，...，N-1次，所以：當N比較大時，N2/2為主要因素，后面項為次要因素忽略次要因素，簡化時間復雜度函數的表示。計算機算法設計與分析第一章概述漸近時間復雜度分析設T(N)是算法A的時間復雜度函數，N是問題規模，N≥0，且N∈Z。當N

∞時，T(N)

∞。對于T(N)，如果存在T'(N)，使得當N

∞時有那么，我們就說T'(N)是算法A當N

∞的漸近復雜度。漸近時間復雜度分析在漸近復雜度函數T'(N)中，階與T'(N)中的常數因子沒有關系，所以T'(N)可進一步簡化，省略常數因子。例1.4中的T'(N)可取值N2即可。需要注意的是，函數簡化并不是一種精確計算復雜度的方法，而是一種近似評估的方式。例1.4中的T'(N)=N2/2+5N/2-3漸近時間復雜度分析定義1.1設f(N)和g(N)是正整數集上的函數。如果?c≥0和自然數N0，使得當N≥N0時有0≤f(N)≤cg(N)，則稱函數f(N)充分大時上有界，g(N)是f(N)的一個上界，記為f(N)=O(g(N))，即f(N)的階不高于g(N)的階，如圖所示。不是直接比較f(N)和g(N)的數值大小，O表示的只是一個充分大的上界，上界的階越低則算法時間復雜度的評估越精確，結果值越有價值N0cg(N)f(N)漸近時間復雜度分析例1.5求5n+4，n2+nlogn，2n+n2，10000的上界。n≥4時，5n+4≤6n，則5n+4=O(n)n≥1時，n2+nlogn≤2n2，則n2+nlogn=O(n2)n≥1時，2n+n2≤2*2n，則2n+n2=O(2n)對于常整數10000，算法執行時間與問題規模無關，無論問題規模多大，算法都在固定時間內完成。因此無論是10000還是其他任何常數輸入，它的時間復雜度是一個常數級別的復雜度，即O(1)。漸近時間復雜度分析例1.6給定多項式函數：

試證明T(n)=O(nm)。證明：設n0=1,對于任意的n，若n≥n0=1，則：存在c≥0和自然數n0=1，使得當n≥n0時有T(n)≤cnm，故T(n)=O(nm)成立。漸近時間復雜度分析根據定義1.1，我們有如下O(n)的性質：（1）O(f)+O(g)=O(max(f,g))；算法最復雜的部分運行時間就是算法的時間復雜度。（2）O(f)+O(g)=O(f+g)；算法中并行語句的時間復雜度等于各個語句運行時間之和。（3）O(f)×O(g)=O(f×g)；循環的時間復雜度等于循環體運行時間與循環次數的乘積。（4）O(cf(n))=O(f(n))，c∈Z+；算法的時間復雜度是運行時間函數的數量級。（5）如果g(n)=O(f(n))，則O(f)+O(g)=O(f)；算法的時間復雜度是運行時間函數的最高階。（6）f=O(f)。漸近時間復雜度分析定義1.2設f(N)和g(N)是正整數集上的函數。如果?c≥0和自然數N0，使得當N≥N0時有f(N)≥cg(N)，則稱函數f(N)當N充分大時下有界，且g(N)是f(N)的一個下界，記為f(N)=Ω(g(N))，即f(N)的階不低于g(N)的階，如圖所示。N0cg(N)f(N)漸近時間復雜度分析例1.8求5n+1，n2+nlogn的下界。當n≥1時，5n+1≥5n，則5n+1=Ω(n)當n≥1時，n2+nlogn≥n2，則n2+

nlogn

=Ω(n2)；n2+

nlogn

≥nlogn，則n2+

nlogn

=Ω(nlogn)，但nlogn≠Ω(n2)。根據定義1.2可知，n2+nlogn=Ω(n2)和n2+

nlogn

=Ω(nlogn)都成立，算法時間復雜度一般取最大下界。下界的階越高，評估越精確，結果越有價值，Ω通常也表示求解問題的最好情況下的時間復雜度。漸近時間復雜度分析定義1.3設f(N)和g(N)是正整數集上的函數。如果?c1≥0、?c2≥0和自然數N0，使得當N≥N0時有0≤c1g(N)≤f(N)≤c2g(N)，則稱g(N)是f(N)的緊確界。記為f(N)=θ(g(N))，如圖1.7所示。若f(N)=θ(g(N))，則當且僅當f(n)=O(g(N))且f(N)=Ω(g(N))，也稱g(N)和f(N)同階。N0c1g(N)f(N)c2g(N)漸近時間復雜度分析例1.9

求n2+nlogn的緊確界。由例1.5和例1.8可知：n2+nlogn=O(n2)，n2+nlogn=Ω(n2)，因此n2+nlogn=θ(n2)。計算機算法設計與分析第一章概述非遞歸算法的時間復雜度分析在分析非遞歸算法時，主要遵循如下步驟：（1）確定核心操作：比如算法中的賦值、比較、算術運算、邏輯運算、變量輸入輸出等操作，一般稱為基本操作。也可以將內層循環的若干個基本操作構成的程序塊整體看成一個稍大一點的基本操作。（2）計算核心操作總的執行次數：計算核心基本操作的執行次數，一般是多項式和的形式。（3）求解其漸近解：對核心操作總執行次數表達式進行計算化簡，并用O(?)形式表示。非遞歸算法的時間復雜度分析例1.10查找元素t在數組a中第一次出現的位置，若查找失敗返回-1。分析順序查找算法時間復雜度。本算法描述中的核心操作是語句3，最好的情況下，時間復雜度T(n)=O(1)。最壞的情況是整個循環語句1執行完畢，即語句3被執行n次而結束，此時T(n)=O(n)非遞歸算法的時間復雜度分析例1.11查找元素t在升序數組a中第一次出現的位置，若查找失敗返回-1。分析二分查找算法時間復雜度。非遞歸算法的時間復雜度分析核心操作是語句3~6，最好的情況下，執行到語句4直接結束，時間復雜度T(n)=O(1)。最壞情況是每次進入while循環，搜索范圍a[left]~a[right]減少一半，直到最后只剩下1個元素比較最后一遍查找成功返回位置或者返回-1結束算法函數。不妨假設起始數組元素個數n=2m第1次執行后，搜索數組范圍2m-1第2次執行后，搜索數組范圍2m-2，...，第m次執行后，搜索數組范圍剩下1個元素而結束。最壞情況下的程序塊總執行次數為m次，算法時間復雜度T(n)=m=logn=O(logn)計算機算法設計與分析第一章概述遞歸算法的時間復雜度分析分析遞歸算法時間復雜度的主要步驟如下：（1）確定算法的核心操作：確定每一邏輯塊的時間復雜度，若是非遞歸的程序塊，則用非遞歸方法分析程序塊的時間復雜度；若是遞歸的程序塊，則分析遞歸程序塊的結構，根據其問題規模遞推的形式來表示復雜度。（2）構造時間復雜度函數的遞推方程：非遞歸程序塊的時間加上遞歸程序塊的時間。（3）求解遞歸方程和漸近階，并用O(?)表示算法時間復雜度。遞歸算法的時間復雜度分析例1.12

求n!算法描述核心操作遞歸算法的時間復雜度分析核心操作為n*FN(n-1),是一次乘法操作遞推方程：遞歸算法的時間復雜度分析例1.13

快速排序問題遞歸求解算法描述：核心操作1核心操作2遞歸算法的時間復雜度分析非遞歸程序塊的執行次數為n-1次，最壞的情況遞歸函數語句14每次范圍為0，則遞歸函數語句15的范圍則是n-1，則快速排序問題的時間復雜度：最壞的情況快速排序問題的漸近時間復雜度為T(n)=O(n2)遞歸算法的時間復雜度分析平均情況下，不妨設兩個遞歸函數語句14,15的元素個數差不多各占一半即n/2，也不妨設n=2m，則快速排序問題的時間復雜度平均情況下的快速排序問題的漸近時間復雜度為T(n)=O(nlogn)遞歸算法的時間復雜度分析MasterTheorem主定理，遞推方程其中a≥1，b>1，且a，b為常數，則有如下結果：遞歸算法的時間復雜度分析例1.13求解遞推方程a=4，b=2，c=3，k=1；a=4>bk=2；由定理第一種情況可知，T(n)=O(n2)計算機算法設計與分析第二章

蠻力法學習目標了解蠻力法的適用場景掌握蠻力法的設計思想掌握蠻力法解決實際問題。2.1蠻力法概述蠻力法（BruteForce），又稱暴力法、窮舉法，它遍歷解空間的所有可能解，然后一一驗證，直到找到問題的解或所有可能解都驗證完畢。該方法是一種簡單直接地解決問題的方法，常常直接基于問題的描述和所涉及的概念定義。它完全依靠計算機的算力來直接對問題進行求解。隨著計算機硬件技術的不斷進步，計算機的算力也在不斷提高。蠻力法借助于計算機強大的計算能力就能夠解決很大一部分問題。雖然它顯得過于愚笨，但往往卻能以最簡單直接的方式來解決問題，甚至有些問題只能用蠻力法求解。2.1蠻力法概述雖然巧妙和高效的算法很少來自于蠻力法，但不應該忽略它作為一種重要的算法設計策略的地位。主要體現在以下幾個方面：（1）蠻力法的使用范圍廣，幾乎沒什么限制，可以解決廣闊領域的各種問題。實際上，它可能是唯一一種幾乎什么問題都能解決的一般性方法。（2）對于一些重要的問題（如排序、查找、字符串匹配等）來說，規模不大時，蠻力法可以產生一些合理的算法。2.1蠻力法概述雖然巧妙和高效的算法很少來自于蠻力法，但不應該忽略它作為一種重要的算法設計策略的地位。主要體現在以下幾個方面：（3）如果要解決的問題規模不大，從某種意義上說蠻力法是最劃算的一種算法。（4）即使計算效率通常較低，但仍可使用蠻力法解決一些小規模的問題實例。（5）蠻力法可作為研究或教學目的服務，比如可以以它作為參照標準，來衡量解決相同問題的其他算法是否更為高效，如把蠻力法作為計算最壞時間復雜度。2.2蠻力法的設計思想蠻力法本質是先有策略地進行窮舉，然后一一驗證。蠻力法的設計的需要從三個方面進行：問題解的表示形式及范圍；使用何種方法將其窮舉，要求不能重復也不能遺漏；將每個列舉的可能解代入具體問題的各個條件進行比對。這三個方面中最為核心的是第二個，也就是窮舉方法。為了避免陷入重復驗證，應保證驗證過的可能解不再被驗證。對于線性問題來說，處理次序依次即可，而對于非線性問題，就需要用到一些特定的方法，比如樹形結構的前序遍歷、中序遍歷和后序遍歷；圖結構的寬度優先搜索和深度優先搜索等。在設計時一般都是用循環語句和判斷語句來實現。使用循環是枚舉所有的情況，使用判斷是驗證當前的狀態是否滿足問題的所有條件。若滿足，則找到問題的一個解，可以結束，如需要求其他解，則繼續循環；若不滿足，則繼續循環驗證其他狀態。2.2蠻力法的設計思想2.2蠻力法的設計思想基本格式：for(循環變量x取所有可能的值){┇

if(x滿足指定的條件)

輸出x;┇}2.2蠻力法的設計思想使用蠻力法通常有如下幾種情況：搜索所有的解空間：問題的解存在于規模不大的解空間中。搜索所有的路徑：這類問題中不同的路徑對應不同的解。直接計算：按照基于問題的描述和所涉及的概念定義，直接進行計算。往往是一些簡單的題，不需要算法技巧的。模擬和仿真：按照求解問題的要求直接模擬或仿真即可。2.2蠻力法的設計思想編寫一個程序，輸出2～1000之間的所有完全數。完全數定義：該數的各因子（除該數本身外）之和正好等于該數本身，例如：6=1+2+3，28=1+2+4+7+14分析：解的范圍：2～1000，范圍小，適合采用蠻力法窮舉方法：依次即可條件比對：1到n/2中依次驗證是否為n的約數，如是則累加，最終判斷是否和n相等2.2蠻力法的設計思想偽代碼：PerfectNum(N)輸入：整數N，表示尋找2～N之間所有的完全數。輸出：2～N中所有的完全數forn←2toNdo

//解空間的范圍sum←1fori←2ton/2doifi整除nthensum←sum+i

//若是約數，則累加endifendforifsum=nthen

//若約數之和與原數相等，則是完全數輸出nendifendfor2.2蠻力法的設計思想C源代碼：#include<stdio.h>#include<math.h>voidPerfectNum(intN){intsum,n,i; for(n=2;n<=N;n++){

sum=1; for(i=2;i<sqrt(n);i++){ if(n%i==0){ sum+=i; if(n/i!=i)

sum+=n/i; }} if(sum==n){ printf("%d\t",n); } }}voidmain(){ PerfectNum(1000);}2.3蠻力法的典型實例蠻力法適用于很多場景，具體來說，包括這幾類：搜索所有的解空間。問題的解存在于規模不大的解空間中。解決這類問題一般是找出某些滿足特定條件或要求的解。使用蠻力法就是把所有的解都列舉出來，從中選出符合要求的解。搜索所有的路徑。這類問題中不同的路徑對應不同的解，需要找出特定解。使用蠻力法搜索所有可能的路徑并計算路徑對應的解，找出特定解。直接計算。基于問題的描述直接進行計算。模擬和仿真。根據問題要求直接模擬或仿真。2.3.1蠻力法的典型實例——0-1背包問題1.問題描述給定n種物品和一個背包。物品i的重量是Wi，其價值為Vi，背包的承重量為C。應如何選擇裝入背包的物品，使得裝入背包中的物品重量在不超過C的前提下，總價值最大？附加條件：在選擇裝入背包的物品時，對每種物品i只有2種選擇，即裝入背包或不裝入背包（1或0）。每種物品只有一份，不能將物品i裝入背包多次，也不能將物品i分割只裝入其的一部分。2.問題分析確定解的表示形式：每種物品要么裝入背包，要么不裝入背包，分別用1和0表示，總共有n種物品，因此解的表示形式為n維的0-1向量，解的范圍有2n種組合。窮舉方法：當n比較小時，規模不大，使用蠻力法是可行的。用一個0～2n-1中的整數的二進制形式來代表某種組合，二進制對應位數為1的表示裝入對應的第i個物品。比如，假設n=5，用6=(00110)2，它的第2，3位為1，則代表裝入第2，3種物品。約束條件：裝入的物品重量和要≤背包的承重量C。目標是在滿足條件情況下總價值最大。對于每種符合條件的物品組合其總價值可以很方便計算出來，然后判斷是否大于前面驗證過的組合物品總價值，若是，則將最大值更新，否則，最大值不變。2.3.1蠻力法的典型實例——0-1背包問題2.3.1蠻力法的典型實例——0-1背包問題3.算法實現KnapSack_BruteForce(W,V,n,C)輸入：n個物品的重量數組W[]，價值數組V[]，背包的承重量C輸出：背包能容下的價值最大的物品組合及總價值w←0，v←0 //包中初始沒放入任何物品，重量為0，價值為0fori←1to2n-1do //窮舉所有組合j←0temp←0whilej<ndo

if(i的第j位是1)//i的第j位為1,表示第i種組合將第j個物品裝入背包

w←w+W[j]

temp←temp+V[j]

endifendwhileifw<=C且temp>vthen //如果滿足條件，且背包中價值更大，則更新最大價值v←tempk←iendifendfor2.3.1蠻力法的典型實例——0-1背包問題#include<stdio.h>intmax_w=0,

max_v=0,

ans=-1;voidKnapSack_BruteForce(intW[],intV[],intn,intC){ intw,v,i,j,k,f,N=1<<n; for(i=1;i<N;i++){ k=i;j=n-1;

w=0;v=0; while(k!=0){ f=k&1;

w+=f*W[j];

v+=f*V[j]; j--;

k>>=1; } if(w<=C&&v>max_v){max_w=w;

max_v=v;

ans=i; } }}voidmain(){ intW[]={2,3,4,7},V[]={1,3,5,9}; intC=10; KnapSack_BruteForce(W,V,4,C); printf("max_w=%d,max_v=%d,ans=%d\n",max_w,max_v,ans);}4.算法效率分析該算法時間復雜度為，當n的規模較小時，該算法有效。當n較大時，蠻力法比較難以在規定時間內得出結果。當然上述的算法還可以優化，比如當某個物品組合超過承重量C時，那么包含以上組合的肯定都超過C，因此這樣的組合就不必驗證，直接跳過，這樣可以減少一些驗證，提高效率。但無論如何，蠻力法求解0-1背包問題總有局限性，其實求解該問題還有更好的方法，比如動態規劃法，這個在后續的章節里介紹。2.3.1蠻力法的典型實例——0-1背包問題2.3.2蠻力法的典型實例——全排列問題1.問題描述全排列就是一個序列所有可能的排序。例如，有1,2,3三個元素，其全排列的結果就是[1,2,3]，[1,3,2]，[2,1,3]，[2,3,1]，[3,1,2]，[3,2,1]，一共6種。根據數學公式，我們知道含有n個元素的全排列的個數為n！。所以生成全排列算法的時間復雜度不會低于O(n!)。給定正整數n，生成1～n的全排列。2.問題分析算法一：增量法。假設n=3，增量法產生1～3的全排列過程如下：首先初始化數列為[1]，然后將2插入到1的前后兩個位置得數列[1,2]和[2,1]，繼續將3插入以上兩個數列的3個位置得到6個數列[1,2,3]，[1,3,2]，[3,1,2]，[2,1,3]，[2,3,1]，[3,2,1]。過程如下圖所示。雖然增量法思路簡單，但需要存儲大量的中間結果，所以空間復雜度比較高。2.3.2蠻力法的典型實例——全排列問題11,21,2,31,3,23,1,22,12,1,32,3,13,2,1初始化為1將2插入各位將3插入各位2.問題分析算法二：遞歸法。對于給定的數組，先確定序列的第一個元素，剩余的序列又可以看成是一個不包含第一個元素的全排列。對剩余的序列重復這樣的操作，直到剩余序列中只一個元素為止。這樣就獲得了所有的可能序列。這是一個遞歸的過程。整個過程如下圖所示：2.3.2蠻力法的典型實例——全排列問題1231322132313213121231232133213.總結遞歸算法求全排列（蠻力法）(1)

n個元素的全排列=（一個元素作為前綴）+（剩下n-1個元素的全排列）；(2)

結束：如果只有一個元素的全排列，說明已經排完，輸出數組；(3)

不斷將每個元素放作第一個元素，然后將這個元素作為前綴，并將其余元素繼續全排列，等到結束。出去后還需要還原數組。2.3.2蠻力法的典型實例——全排列問題2.3.2蠻力法的典型實例——全排列問題voidPerm(intarr[],intbegin,intend){//如果遍歷到begin==end，則全排列已經做完，只需輸出即可 if(begin==end) Print(arr); //輸出整個排列，需實現 else{

//遞歸，生成剩余元素的排列 for(inti=begin;i<=end;i++){//將當前元素與第一個元素交換，需實現

Swap(arr[begin],arr[i]);//遞歸調用，保持第一個元素固定并生成其余元素的排列

Perm(arr,begin+1,end);

//進行回溯

Swap(arr[begin],arr[i]);}}}例2.2五星填數。在五星圖案結點填上數字1~12，不包括7和11。要求每條直線上數字和相等。如圖2.3就是一個恰當的填法。請搜索所有可能的填法有多少種。注意：旋轉或鏡像后相同的算同一種填法。2.3.2蠻力法的典型實例——全排列問題310121492865分析：上述問題將1～12，不包括7和11，按不同順序填入圓圈中，其實是一個以上10個數的一種排列，如果驗證5條線的數字和相等就是一種正確的填法。把所有的排列一一驗證，這樣就可以統計出全部正確的填法。所以該問題的核心就是一個全排列的問題。解：經過上述的分析，整個求解過程分為3步：①寫出1～12不包括7和11的全排列；②判斷每條線上的4個數字和是否相等，若都相等則是正確的填法，其填法的計數加1；③剔除旋轉和鏡像，因為五角星旋轉和鏡像都屬于同一種填法，因此，最終應該在全部正確的填法種數上除以10。2.3.2蠻力法的典型實例——全排列問題具體實現過程如下：（1）先來定義五星數組，因為全排列中沒用到數字0，所以定義數組時下標為0的不用。intstar[]={0,1,2,3,4,5,6,8,9,10,12};//0不用（2）定義5條直線數字的和。#defineA(star[1]+star[3]+star[6]+star[9])#defineB(star[1]+star[4]+star[7]+star[10])#defineC(star[2]+star[3]+star[4]+star[5])#defineD(star[2]+star[6]+star[8]+star[10])#defineE(star[5]+star[7]+star[8]+star[9])2.3.2蠻力法的典型實例——全排列問題具體實現過程如下：（3）寫出1～12不包括7和11的全排列，這步借鑒前面全排列的算法。（4）驗證5條線上的數字和是否相等。if((A==B)&&(A==C)&&(A==D)&&(A==E))count++;（5）剔除旋轉和鏡像。count/=10;2.3.2蠻力法的典型實例——全排列問題2.3.3蠻力法的典型實例——串匹配問題1.問題描述在進行文本編輯處理時，經常會對文本內容進行查找工作，如Word中文本編輯的查找操作，在查找對話框中輸入需要查找的文本字符，可以精準找到被查字符內容在文本中的位置。這個問題稱為字符串匹配問題，即給定兩個串S="s1s2...sn"和T="t1t2...tm"，在主串S中查找子串T的過程，也稱為模式匹配問題，子串T又稱為模式串。2.算法設計BF（Brute-Force）串匹配算法是一種簡單直觀的字符串匹配蠻力求解算法。它的基本思想是，第一次匹配過程，主串S的第一字符與模式串T的第一個字符對齊進行比較。若相等，則比較主串S和模式串T的后續字符。若不等，則進行下一次匹配過程，主串S本次比較起始字符的下一個字符與模式串T的第一個字符對齊進行比較。重復上述過程，直到進行第k次匹配過程，主串S的第k個字符開始的m個字符與模式串T的m個字符全部相等，匹配查找成功。若主串S中字符全部比較完畢也沒有匹配成功，則匹配失敗。2.3.3蠻力法的典型實例——串匹配問題舉例說明：如主串S="abcababcabc"，模式串T="abcabc"，BF算法的匹配過程下所示。第一次匹配過程：主串和模式串第一個不等字符：s6≠t6，則i回到本次比較起始字符下一個位置2，j回到1位置。第二次匹配過程：主串和模式串第一個不等字符：s2≠t1，則i回到本次比較起始字符下一個位置3，j回到1位置。2.3.3蠻力法的典型實例——串匹配問題舉例說明：如主串S="abcababcabc"，模式串T="abcabc"，BF算法的匹配過程下所示。第三次匹配過程：主串和模式串第一個不等字符：s3≠t1，則i回到本次比較起始字符下一個位置4，j回到1位置。第四次匹配過程：主串和模式串第一個不等字符：s6≠t3，則i回到本次比較起始字符下一個位置5，j回到1位置。2.3.3蠻力法的典型實例——串匹配問題舉例說明：如主串S="abcababcabc"，模式串T="abcabc"，BF算法的匹配過程下所示。第五次匹配過程：主串和模式串第一個不等字符：s5≠t1，則i回到本次比較起始字符下一個位置6，j回到1位置。第六次匹配過程：主串和模式串完全匹配，則模式串在主串的6位置匹配成功。2.3.3蠻力法的典型實例——串匹配問題2.3.3蠻力法的典型實例——串匹配問題3.算法設計輸入：主串文本S，模式串T輸出：模式串在主串中匹配成功的位置，若不成功為-1。BFSearch(S,T)begini←1,j←1while

i<S.length

and

j<T.length

doifS[i]=T[j]theni←i+1j←j+1elsei←i-j+2j←1endifendwhileif

j=T.lengththenv←i-T.length+1elsev←-1endifreturnvend2.3.3蠻力法的典型實例——串匹配問題#include<stdio.h>#include<string.h>intBFStringMatch(char*S,char*T){inti=0,j=0;

//字符串下標從0開始while(S[i]!='\0'&&T[j]!='\0')

if(S[i]==T[j]){i++;

j++; }else{

i=i-j+1;

//主串回溯的位置

j=0;

//模式串回溯位置總是從第一個字符開始 } if(j==strlen(T)) returni-j; else

return

-1;}voidmain(){ charS[]="abcababcabc"; charT[]="abcabc"; printf("模式串T在主串S中的位置：%d\n",BFStringMatch(S,T)); }4.算法效率分析設主串長度為n，模式串長度為m，最壞情況下為前n-m次匹配過程都是主串與模式串匹配到模式串的最后一個位置出現不等，即每次匹配過程都比較了m次發現不等回溯的，主串與模式串最后的m位也各比較了1次。總比較次數為：（n-m+1）×m，若m遠小于n，則BF算法時間復雜度為O(n*m)。2.3.3蠻力法的典型實例——串匹配問題2.3.4蠻力法的典型實例——圖搜索問題對于非線性解空間，要想窮舉所有情況，就必須用到特定的搜索順序。在解決實際問題中，最常見的有兩種搜索順序：寬度優先搜索（BFS）和深度優先搜索（DFS）。寬度優先搜索寬度優先搜索（BreadthFirstSearch，BFS），簡稱寬搜，又稱廣度優先搜素或廣搜。它從初始結點開始，應用產生式規則和控制策略生成第一層結點，同時檢查目標結點是否在這些生成的結點中。若沒有，再用產生式規則將所有第一層結點逐一拓展，得到第二層結點，并逐一檢查第二層結點是否包含目標結點。若沒有，再用產生式規則拓展第二層結點。如此依次拓展，檢查下去，直至發現目標結點為止。如果拓展完所有結點，都沒有發現目標結點，則問題無解。BFS屬于盲目搜索，最糟糕的情況下算法時間復雜度為O(n!)。2.3.4蠻力法的典型實例——圖搜索問題舉例說明：如圖所示，一個長方形的房間里鋪著方磚，每塊磚是“#”或黑點“?”。一個人站在黑磚上，可以按上、下、左、右方向移動到相鄰的磚。要求他只能在“?”黑點磚上移動，而不能在“#”的磚上移動。起點是@。問題：遍歷所有能走的黑點磚。2.3.4蠻力法的典型實例——圖搜索問題分析：可以用寬度優先搜索來解決這個問題。如圖所示2.3.4蠻力法的典型實例——圖搜索問題BFS算法一般用隊列這種數據結構來實現，其步驟為：（1）把起始結點S放到queue（隊列）中；（2）如果queue為空，則失敗退出，否則繼續；（3）在queue中取最前面的結點node移到CLOSED表中（出隊）；（4）擴展node結點，若沒有后繼（即葉結點），則轉向（2）；（5）把node的所有后繼結點放在queue表的末端，即入隊；（6）若后繼結點中某一個是目標結點，則找到一個解，成功退出。否則轉向（2）。2.3.4蠻力法的典型實例——圖搜索問題BFS算法優缺點寬度優先搜索的優點：①對于解決最短或最少問題特別有效，而且尋找深度小；②每個結點只訪問一遍，結點總是以最短路徑被訪問，所以第二次路徑確定不會比第一次短。寬度優先搜索的缺點：一般需要存儲產生的所有結點，內存耗費量大(需要開大量的數組單元用來存儲狀態)，因此程序設計中，必須考慮溢出和節省內存空間的問題。2.3.4蠻力法的典型實例——圖搜索問題深度優先搜索深度優先搜索（DepthFirstSearch，DFS），簡稱深搜，是一種用于遍歷或搜索樹或圖的算法。沿著樹的深度遍歷樹的結點，盡可能深的搜索樹的分支。當結點v的所在邊都己被探尋過或者在搜尋時結點不滿足條件，搜索將回溯到發現結點v的那條邊的起始結點。整個進程反復進行直到所有結點都被訪問為止。DFS也屬于盲目搜索，最糟糕的情況下算法時間復雜度為O(n!)。2.3.4蠻力法的典型實例——圖搜索問題分析：也可以用深度優先搜索來解決這個問題。如圖所示2.3.4蠻力法的典型實例——圖搜索問題DFS算法一般用棧這種數據結構來實現，其步驟為：（1）把起始結點S放到stack（棧）中；（2）如果stack為空，則失敗退出，否則繼續；（3）在stack中把棧頂的結點node移到CLOSED表中（出棧）；（4）若結點node的深度等于最大深度，則轉向（2）；（5）擴展node結點，若沒有后繼（即葉結點），則轉向（2），否則把node的所有后繼結點進棧；（6）若后繼結點中某一個是目標結點，則找到一個解，成功退出。否則轉向（2）。2.3.4蠻力法的典型實例——圖搜索問題DFS算法優缺點深度優先搜索的優點：①能找出所有解決方案；②優先搜索一棵子樹，然后是另一棵，所以和廣搜對比，有著內存需要相對較少的優點。深度優先搜索的缺點：①要多次遍歷，搜索所有可能路徑，標識做了之后還要取消；②在深度很大的情況下效率不高；③從輸出結果可看出，深度優先搜索找到的第一個解并不一定是最優解。2.3.4蠻力法的典型實例——圖搜索問題3.廣度優先搜索和深度優先搜索區別廣度優先搜索與深度優先搜索的控制結構和產生系統很相似，唯一的區別在于對擴展結點選取上。這兩種算法每次都擴展一個結點的所有子結點。而不同的是，深度優先搜索下一次擴展的是本次擴展出來的子結點中的一個，而廣度優先搜索擴展的則是本次擴展的結點的兄弟結點。在具體實現上為了提高效率,各自采用了不同的數據結構，廣度優先搜索使用的是隊列的數據結構，而深度優先搜索使用的是棧的數據結構。廣度優先搜索是一個分層的搜索過程，沒有回退過程，是非遞歸的。只是每次都盡可能地擴展當前結點的鄰居結點，之后再向其子結點進行擴展。深度優先搜索是一個遞歸過程，有回退過程。盡可能“深”地搜索圖。在深度優先搜索中，對于最新發現的頂點，如果它還有以此為起點而未探測到的邊，就沿此邊繼續搜索下去。當結點V的所有邊都已被探尋過，搜索將回溯到發現結點V有那條邊的始結點，則選擇其中一個作為源結點并重復以上過程，整個進程反復進行直到所有結點都被發現為止。2.3.4蠻力法的典型實例——圖搜索問題計算機算法設計與分析第三章

分治法學習目標掌握分治法的基本思想掌握分治法的特點和基本框架掌握分治法解決實際問題3.1分治法基本思想孫子兵法兵勢篇曰：凡治眾如治寡，分數是也。其大致意思就是管理大規模部隊和管理小股部隊是一樣的，分開治理就是了。這就是分治法在軍事上的運用。分治法的基本思想就是將一個較難以解決的規模大的問題，分割成多個相似的規模較小的子問題，先求出小規模子問題的解，然后將各小規模子問題的解組合起來就是規模大的問題的解。其中的一個關鍵點是分割的子問題一定要相似，這樣就可以采取同樣的方法來求解，從而將問題簡化。例3.1

二分查找問題。在一個升序的含n個元素的數組a[]中查找x，輸出x在數組a中的下標位置，若沒查到返回-1。分析：可以考慮使用分治思想來解決，具體做法是設計三個變量left，mid和right將整個數組分成3個部分a[left,mid-1],a[mid],a[mid+1,right]。如果a[mid]>x，則使用相同的辦法在較小范圍[left,mid-1]中查找；如果a[mid]=x，則已查找到，返回mid即可；如果a[mid]<x，則使用相同的辦法在較小范圍[mid+1,right]中查找。以上過程都沒查找到的話，則數組中不存在x，返回-1。3.1分治法基本思想例3.2

二分歸并排序。將含有n個元素的數組a[]按關鍵字大小升序排列。以數組a[8]={8,4,5,7,1,3,6,2}為例來分析。3.1分治法基本思想3.2分治法的特點和基本框架當采用分治法時，一般原問題都需要具備以下幾個特征：（1）難度遞降：即原問題的解決難度，隨著數據的規模的縮小而降低，當降低到一定程度時，問題很容易解決。（2）問題可分：原問題可以分解為若干個規模較小的同類型問題，即該問題具有最優子結構性質。這是應用分治法的前提。（3）解可合并：利用所有子問題的解，可合并出原問題的解。這個特征很關鍵，能否利用分治法完全取決于這個特征。（4）相互獨立：各個子問題之間相互獨立，某個子問題的求解不會影響到另一個子問題。如果子問題之間不獨立，則分治法需要重復地解決公共的子問題，造成效率低下的結果。設P是要求解的問題，|P|為問題P的輸入規模，現將分治法求解問題的基本框架描述如下：Divide-and-Conquer(P)：if|P|≤cthenS(P)

//當問題規模較小時，很容易求出解endifdividePintoP1,P2,...,Pk//將原問題分割為規模小的子問題fori=1tokdoxi=Divide-and-Conquer(Pi)//遞歸求解每個子問題endforreturnMerge(x1,x2,...,xk)//將子問題的解合并成原問題的解3.2分治法的特點和基本框架3.3分治法的時間復雜度分析分治法的實現一般都是采用遞歸算法。分析分治法的時間復雜度需要使用其遞推公式來推導。分治法中通常的遞推方程有以下兩種類型：第一類是歸約后子問題規模比原問題規模呈常數級減少。遞推方程為如Hanoi塔問題使用分治法，將n個圓盤的問移動題歸約為兩個n-1圓盤移動子問題，也就是歸約后的子問題規模只比原問題規模少1。遞推方程為解得：第二類是歸約后子問題規模比原問題規模呈倍數減少。該算法的時間復雜度可以通過以下遞推公式求出：根據1.4.4節介紹的MasterTheorem主定理結論可知：3.3分治法的時間復雜度分析3.4.1分治法的典型實例——快速排序快速排序是數據結構中經典且高效的一種排序算法，它在實踐中應用非常廣泛。設待排的數組為A，快速排序的基本思想為：用數組的首元素作為標準將A劃分為前、后兩部分，前部分元素都比首元素小，后部分元素都比首元素大，這兩部分就構成兩個新的子問題。算法接著分別對這兩部分遞歸地進行排序，各子問題排序完成后自然整個數組也就排序完成。算法的關鍵在于怎樣劃分數組A而將其歸約成兩個相同結構的子問題。3.4.1分治法的典型實例——快速排序快速排序算法Quicksort(A,p,r) //p和r分別為數組A的首元素和尾元素的下標輸入：數組A[p..r],1≤p≤r≤n輸出：從A[p]到A[r]按照升序排好序的數組Aifp<rthenq←Partition(A,p,r) //劃分數組，找到首元素A[p]在排好序后的位置qA[p]?A[q] //交換A[p]，A[q]中元素的值Quicksort(A,p,q-1) //對前部分繼續遞歸地用快速排序算法Quicksort(A,q+1,r) //對后部分繼續遞歸地用快速排序算法endif其算法中的Partition函數是劃分的過程函數，它實現的就是以A[p..r]的首元素A[p]作為標準，輸出q表示A[p]應該處在的正確位置，即排好序后A[p]應該放在數組下標為q的位置。過程如下：（1）先從后向前掃描數組A，找到第一個不大于A[p]的元素A[j]（2）從前向后掃描A找到第一個大于A[p]的元素A[i]（3）當i＜j時，交換A[i]與A[j]。這時A[j]后面的元素都大于A[p]，A[i]前面的元素都小于或等于A[p]。（4）接著對數組A從i到j之間的部分繼續上面的掃描過程，直到i和j相遇，當i>j時，j就代表了A在排好序的數組中的正確位置q。此刻在q位置之前的元素都不大于A[p]，在q位置后面的元素都大于A[p]。3.4.1分治法的典型實例——快速排序3.4.1分治法的典型實例——快速排序劃分算法Partition(A,p,r)輸入：數組A[p..r],1≤p≤r≤n輸出：數組首元素A[p]在排好序的數組中的位置x←A[p]i←pj←r+1whiletruedorepeatj←j-1untilA[j]≤x//從后往前找到不大于x的元素repeati←i+1untilA[i]>x//從前往后找到大于x的元素ifi<jthenA[i]?A[j]//交換A[i]，A[j]中元素的值elsereturnj //i，j相遇，返回相遇的位置即為數組首元素A[p]的正確位置endifendwhile舉例說明一趟劃分的過程數組A[6]={64，57，86，42，12，53}，第一趟劃分以64為標準，p=1i=2j=5交換A[2]和A[5]的值，繼續循環。j=4i=5i<j不成立，一趟劃分結束，返回值為4。在Quicksort中q=4,交換A[p]，A[q]中元素的值，就得到一次劃分后的結果。在一趟快速排序結束后，繼續對兩個子數組{12,57,53,42}和{86}實施相同的操作。3.4.1分治法的典型實例——快速排序第1次循環645786421253第2次循環645753421286劃分后1257534264863.4.2分治法的典型實例——大整數乘法1.問題描述采用分治法設計一個有效的算法，計算兩個n位大整數的乘法。（n=2k,k=1,2,3....）。2.問題分析根據分治法的思想，可以將兩個大的整數乘法分而治之。將大整數按位數的一半分成兩個小整數，轉換成稍簡單的小整數乘法，再進行合并。上述的過程可以重復進行，直到得到最簡單的兩個1位數的乘法，從而解決上述問題。

3.4.2分治法的典型實例——大整數乘法3.4.2分治法的典型實例——大整數乘法3.算法設計BigIntMul(X,Y,n)輸入：大整數X，Y和位數n輸出：X與Y的乘積結果sx←sign(X),sy←sign(Y) //取X，Y的符號s←sx*sy //求出X×Y的符號ifs=0thenreturn0endifX←|X|,Y←|Y|ifn=1thenreturns*X*YendifA←X的左邊n/2位, B←X的右邊n/2位C←Y的左邊n/2位, D←Y的右邊n/2位m1←BigIntMul(A,C，n/2), m2←BigIntMul((A-B),(D-C)，n/2)m3←BigIntMul(B,D，n/2)S←m1*10^n+(m1+m2+m3)*10^(n/2)+m3returnS舉例:以計算3141×5247為例來說明。將3141分拆成31和41，5247分拆成52和47。然后計算31×52，-10×-5，41×47。當出現兩個數位數不等時，可以將位數小的高位補0再進行計算。如：-10×-5=10×05=(1×10+0)×(0×10+5)=1×0×100+(1×5+1×0+0×5)×10+0×5=0+50+0=50其他兩個個同理算出：31×52=1612，41×47=1927。帶入原來的算式得：3141×5247=16120000+(50+1612+1927)×100+1927=16480827。3.4.2分治法的典型實例——大整數乘法4.算法效率分析根據上述的計算過程得到遞推方程。改進前：根據主定理理論可得：改進后：根據主定理可得：

，有較大的改進。3.4.3分治法的典型實例——平面內最近點問題

3.4.3分治法的典型實例——平面內最近點問題

2.問題分析如果采用蠻力法，就需要遍歷平面上任意兩個點之間的距離，然后比較得出最小的值。很顯然其時間復雜度是O(n2)。那有沒有更快的方法呢？考慮分治法，如圖3.2所示，用一條垂直的直線l將整個平面中的點分為左半平面PL和右半平面PR兩部分，使得兩部分的點數近似相等。

3.4.3分治法的典型實例——平面內最近點問題

3.4.3分治法的典型實例——平面內最近點問題

3.4.4分治法的典型實例——選擇第k小問題

3.4.3分治法的典型實例——平面內最近點問題平面上最臨近點對算法MinDistance(P,X,Y)輸入：n()個點集合P，X,Y分別表示n個點的x,y坐標的值輸出：最近的兩個點以及距離ifn≤

3then直接計算n個點之間的最短距離endifSort(n,X,Y) //把所有的點按照橫坐標X排序

l←mid(X) //用一條豎直的線L將所有的點分成兩等份MinDistance(PL,XL,YL)d1←PL中最短距離MinDistance(PR,XR,YR)d2←PR中最短距離d←min(d1,d2)while(PL中的點andXL≥l-d)dowhile(PR中的點andXR≤l+d)doifdistance(XL,YL,XR,YR)<dthen存儲點對(XL,YL),(XR,YR)d←distance(XL,YL,XR,YR)endifendwhileendwhile該算法是遞歸算法，且里面有排序，為了提高效率，可以把排序操作放到遞歸算法的外面。另外在直線l兩邊距離不超過d的區域內檢查與所取點的距離是否小于d的點不超過7個即可。

3.4.3分治法的典型實例——平面內最近點問題

3.4.4分治法的典型實例——選擇第k小問題1.問題描述設A是含有n個元素的數組，從A中選出第k小的元素，其中1≤k≤n。所以選最小就是k=1；選最大就是k=n；選次大就是k=n-1；選中位數就是k=n/2。

3.4.4分治法的典型實例——選擇第k小問題

3.4.4分治法的典型實例——選擇第k小問題

計算機算法設計與分析第四章

動態規劃學習目標了解動態規劃法的基本概念。掌握動態規劃法的基本思想。掌握動態規劃法解決實際問題。4.1動態規劃的提出在現實生活中，有一類活動的過程，由于它的特殊性，可將過程分成若干個互相聯系的階段，在它的每一階段都需要作出決策，從而使整個過程達到最好的活動效果。當然，各個階段決策的選取不是任意確定的，它依賴于當前面臨的狀態，又影響以后的發展，當各個階段決策確定后，就組成一個決策序列，因而也就確定了整個過程的一條活動路線，如下圖所示。這種把一個問題看作是一個前后關聯具有鏈狀結構的多階段過程就稱為多階段決策過程，這種問題就稱為多階段決策問題。1狀態決策2狀態狀態決策n狀態狀態...決策4.1動態規劃的提出在多階段決策問題中，各個階段采取的決策，一般來說是與時間有關的，決策取決于當前的狀態，然后又會引起狀態的轉移，一個決策序列就是在不斷變化的狀態中依次產生出來的，故有動態的含義。因此，把處理它的方法稱為動態規劃方法。但是，一些與時間沒有關系的靜態規劃，如線性規劃、非線性規劃等問題，只要人為地引進時間因素，也可把它視為多階段決策問題，用動態規劃方法去處理。4.2動態規劃基本概念1.階段動態規劃方法求解的問題都屬于多階段決策問題。因此需要將所求問題劃分為若干個階段。把描述階段的變量稱為階段變量，用k來表示。在劃分階段時，要求劃分后的階段按照時間或空間特征是有序的，否則問題就無法求解。在下圖中，階段可以劃分為5個，即k=1,2,3,4,5。2.狀態每個階段所處的客觀條件稱為狀態，它描述了研究問題過程的中間狀況。狀態就是某階段的出發位置，既是該階段某支路的起點，又是前一階段某支路的終點。通常一個階段有若干狀態。在下圖中，第一階段只有狀態{A}，第二階段有狀態{B1，B2}，第三階段有狀態{C1，C2，C3，C4}。描述狀態的變量稱為狀態變量。通常用Sk表示第k階段的狀態變量。在圖中，S3={C1，C2，C3，C4}，該集合就稱為第三階段的可達狀態集。4.2動態規劃基本概念2.狀態這里的狀態必須滿足無后效性（