極限思想學(xué)問與方法中學(xué)數(shù)學(xué)并沒有系統(tǒng)地學(xué)習(xí)極限的相關(guān)理論，但駕馭一些簡(jiǎn)潔的分析極限的方法，可以奇妙地解決一些選擇題，其本質(zhì)是特值法的思想.運(yùn)用極限思想分析問題時(shí)，我們常用以下方法：（1）當(dāng)時(shí)，我們把想象成一個(gè)很大的數(shù)，例如10000；（2）當(dāng)時(shí)，我們把想象成一個(gè)很小的數(shù)，例如；（3）當(dāng)時(shí)，我們把想象成一個(gè)比0大一點(diǎn)點(diǎn)的數(shù)，例如0.01；（4）當(dāng)時(shí)，我們把想象成一個(gè)比0小一點(diǎn)點(diǎn)的數(shù)，例如.提示：①當(dāng)選項(xiàng)中出現(xiàn)了“”或“”時(shí)，或者在推斷函數(shù)圖象時(shí)，可以考慮極限思想；②設(shè)，，對(duì)于函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，符號(hào)“”表示遠(yuǎn)大于，若指、對(duì)、冪混合在一個(gè)函數(shù)中，我們?cè)诳紤]問題時(shí)，可以只看主要成分，忽視次要成分，例如，當(dāng)時(shí)，，，若是同類型的函數(shù)混合在一個(gè)函數(shù)中，則須要關(guān)注底數(shù)、次數(shù)等，例如當(dāng)時(shí)，，.典型例題【例1】己知函數(shù)，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【解析】解法1：由題意，當(dāng)時(shí)，，，，從而即為，故，當(dāng)時(shí)，，，，從而即為，所以，綜上所述，不等式的解集是解法2：易求得，當(dāng)時(shí)，，不滿意，解除選項(xiàng)A和C，另一方面，由上一小節(jié)的端點(diǎn)臨界特征，不難發(fā)覺應(yīng)為解的區(qū)間端點(diǎn)，故選D.【答案】D【例2】（2024·新課標(biāo)II卷）函數(shù)的大致圖象為（）【解析】先分析當(dāng)時(shí)，的極限，我們也不用把取得太大，就假設(shè)，則，不難發(fā)覺比10000大得多，所以是一個(gè)很大的數(shù)，假如將x取成更大的數(shù)，那么也會(huì)變得更大，從而當(dāng)時(shí)，，解除選項(xiàng)C和D，當(dāng)時(shí)，我們可以取，則，從而不難發(fā)覺時(shí)，，解除A，故選B.【答案】B【例3】（2024·天津）函數(shù)的圖象大致為（）【解析】設(shè)，則，解除B、D，，解除C，故選A.【答案】A【例4】函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【解析】，設(shè)，則,所以，，從而在上，在上，，，，據(jù)此可作出函數(shù)的大致圖象如圖，由圖可知當(dāng)時(shí)，直線與該圖象有2個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【反思】分析極限是較精確地作出函數(shù)圖象的必備技能，例如本題若不會(huì)分析當(dāng)時(shí)，的極限，則無法精確作出在旁邊的圖象.強(qiáng)化訓(xùn)練1.（★★）已知函數(shù)，則的大致圖象為（）【解析】解法l：的定義域?yàn)椋獬鼶選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，且，解除A、C選項(xiàng)，故選B.解法2：易證，所以，從而，故，解除A、C，明顯函數(shù)的定義域?yàn)椋獬鼶選項(xiàng)，故選B.【答案】B2.（2013·新課標(biāo)Ⅰ卷·★★★）已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【解析】解法1：函數(shù)的圖象如圖1，可以看成的圖象始終在直線的上方，當(dāng)時(shí)，y軸右側(cè)的圖象不行能始終在直線的上方，不合題意，當(dāng)時(shí)，y軸右側(cè)明顯能滿意，再考慮y軸左側(cè)部分，易求得的y軸左側(cè)的圖象在處的切線斜率為，如圖2，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)直線始終位于的圖象下方，從而實(shí)數(shù)a的取值范圍為解法2：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象和直線如圖3，由圖可知，不能恒成立，從而解除選項(xiàng)A、B；當(dāng)時(shí)，直線與的圖象如圖4，由圖可知，在y軸右側(cè)，不行能恒成立，從而解除C，故選D.【答案】D3.（★★★）若函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【解析】，設(shè)，則，所以，，從而在上，在上，，，，所以的草圖如圖，由圖可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，滿意題意，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】4.（★★★）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的大致圖象是（）【解析】當(dāng)時(shí)，，解除A；當(dāng)時(shí)，，解除C、D，故選B.【答案】B5.（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·★★★）設(shè)函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減【解析】解法1：先求定義