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文檔簡介
重慶市西南大學附屬中學2025屆高考仿真模擬數學試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區域內作答,超出答題區域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A. B. C. D.842.已知棱錐的三視圖如圖所示,其中俯視圖是等腰直角三角形,則該三棱錐的四個面中,最大面積為()A. B. C. D.3.已知函數是定義在R上的奇函數,且滿足,當時,(其中e是自然對數的底數),若,則實數a的值為()A. B.3 C. D.4.執行如圖所示的程序框圖,如果輸入,則輸出屬于()A. B. C. D.5.已知函數是定義在上的奇函數,函數滿足,且時,,則()A.2 B. C.1 D.6.已知實數滿足,則的最小值為()A. B. C. D.7.下列四個圖象可能是函數圖象的是()A. B. C. D.8.已知等差數列的前n項和為,,則A.3 B.4 C.5 D.69.數學中的數形結合,也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優美的曲線是數學形象美、對稱美、和諧美的結合產物,曲線恰好是四葉玫瑰線.給出下列結論:①曲線C經過5個整點(即橫、縱坐標均為整數的點);②曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2;③曲線C圍成區域的面積大于;④方程表示的曲線C在第二象限和第四象限其中正確結論的序號是()A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④10.已知數列是以1為首項,2為公差的等差數列,是以1為首項,2為公比的等比數列,設,,則當時,的最大值是()A.8 B.9 C.10 D.1111.函數的圖象可能為()A. B.C. D.12.已知命題,,則是()A., B.,.C., D.,.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,角,,的對邊分別為,,.若;且,則周長的范圍為__________.14.已知函數,若恒成立,則的取值范圍是___________.15.已知集合,若,且,則實數所有的可能取值構成的集合是________.16.在的二項展開式中,x的系數為________.(用數值作答)三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數列滿足(),數列的前項和,(),且,.(1)求數列的通項公式:(2)求數列的通項公式.(3)設,記是數列的前項和,求正整數,使得對于任意的均有.18.(12分)己知,函數.(1)若,解不等式;(2)若函數,且存在使得成立,求實數的取值范圍.19.(12分)已知函數.(Ⅰ)若是第二象限角,且,求的值;(Ⅱ)求函數的定義域和值域.20.(12分)已知矩形中,,E,F分別為,的中點.沿將矩形折起,使,如圖所示.設P、Q分別為線段,的中點,連接.(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)在平面直角坐標系中,曲線,曲線的參數方程為(為參數).以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求曲線、的極坐標方程;(2)在極坐標系中,射線與曲線,分別交于、兩點(異于極點),定點,求的面積22.(10分)已知函數,函數().(1)討論的單調性;(2)證明:當時,.(3)證明:當時,.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
畫出幾何體的直觀圖,計算表面積得到答案.【詳解】該幾何體的直觀圖如圖所示:故.故選:.【點睛】本題考查了根據三視圖求表面積,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.2、B【解析】
由三視圖可知,該三棱錐如圖,其中底面是等腰直角三角形,平面,結合三視圖求出每個面的面積即可.【詳解】由三視圖可知,該三棱錐如圖所示:其中底面是等腰直角三角形,平面,由三視圖知,因為,,所以,所以,因為為等邊三角形,所以,所以該三棱錐的四個面中,最大面積為.故選:B【點睛】本題考查三視圖還原幾何體并求其面積;考查空間想象能力和運算求解能力;三視圖正確還原幾何體是求解本題的關鍵;屬于中檔題、常考題型.3、B【解析】
根據題意,求得函數周期,利用周期性和函數值,即可求得.【詳解】由已知可知,,所以函數是一個以4為周期的周期函數,所以,解得,故選:B.【點睛】本題考查函數周期的求解,涉及對數運算,屬綜合基礎題.4、B【解析】
由題意,框圖的作用是求分段函數的值域,求解即得解.【詳解】由題意可知,框圖的作用是求分段函數的值域,當;當綜上:.故選:B【點睛】本題考查了條件分支的程序框圖,考查了學生邏輯推理,分類討論,數學運算的能力,屬于基礎題.5、D【解析】
說明函數是周期函數,由周期性把自變量的值變小,再結合奇偶性計算函數值.【詳解】由知函數的周期為4,又是奇函數,,又,∴,∴.故選:D.【點睛】本題考查函數的奇偶性與周期性,掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎.6、A【解析】
所求的分母特征,利用變形構造,再等價變形,利用基本不等式求最值.【詳解】解:因為滿足,則,當且僅當時取等號,故選:.【點睛】本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實質在于代數式的靈活變形,拼系數、湊常數是關鍵.(1)拼湊的技巧,以整式為基礎,注意利用系數的變化以及等式中常數的調整,做到等價變形;(2)代數式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(3)拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提.7、C【解析】
首先求出函數的定義域,其函數圖象可由的圖象沿軸向左平移1個單位而得到,因為為奇函數,即可得到函數圖象關于對稱,即可排除A、D,再根據時函數值,排除B,即可得解.【詳解】∵的定義域為,其圖象可由的圖象沿軸向左平移1個單位而得到,∵為奇函數,圖象關于原點對稱,∴的圖象關于點成中心對稱.可排除A、D項.當時,,∴B項不正確.故選:C【點睛】本題考查函數的性質與識圖能力,一般根據四個選擇項來判斷對應的函數性質,即可排除三個不符的選項,屬于中檔題.8、C【解析】
方法一:設等差數列的公差為,則,解得,所以.故選C.方法二:因為,所以,則.故選C.9、B【解析】
利用基本不等式得,可判斷②;和聯立解得可判斷①③;由圖可判斷④.【詳解】,解得(當且僅當時取等號),則②正確;將和聯立,解得,即圓與曲線C相切于點,,,,則①和③都錯誤;由,得④正確.故選:B.【點睛】本題考查曲線與方程的應用,根據方程,判斷曲線的性質及結論,考查學生邏輯推理能力,是一道有一定難度的題.10、B【解析】
根據題意計算,,,解不等式得到答案.【詳解】∵是以1為首項,2為公差的等差數列,∴.∵是以1為首項,2為公比的等比數列,∴.∴.∵,∴,解得.則當時,的最大值是9.故選:.【點睛】本題考查了等差數列,等比數列,f分組求和,意在考查學生對于數列公式方法的靈活運用.11、C【解析】
先根據是奇函數,排除A,B,再取特殊值驗證求解.【詳解】因為,所以是奇函數,故排除A,B,又,故選:C【點睛】本題主要考查函數的圖象,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎題.12、B【解析】
根據全稱命題的否定為特稱命題,得到結果.【詳解】根據全稱命題的否定為特稱命題,可得,本題正確選項:【點睛】本題考查含量詞的命題的否定,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先求角,再用余弦定理找到邊的關系,再用基本不等式求的范圍即可.【詳解】解:所以三角形周長故答案為:【點睛】考查正余弦定理、基本不等式的應用以及三條線段構成三角形的條件;基礎題.14、【解析】
求導得到,討論和兩種情況,計算時,函數在上單調遞減,故,不符合,排除,得到答案。【詳解】因為,所以,因為,所以.當,即時,,則在上單調遞增,從而,故符合題意;當,即時,因為在上單調遞增,且,所以存在唯一的,使得.令,得,則在上單調遞減,從而,故不符合題意.綜上,的取值范圍是.故答案為:.【點睛】本題考查了不等式恒成立問題,轉化為函數的最值問題是解題的關鍵.15、.【解析】
化簡集合,由,以及,即可求出結論.【詳解】集合,若,則的可能取值為,0,2,3,又因為,所以實數所有的可能取值構成的集合是.故答案為:.【點睛】本題考查集合與元素的關系,理解題意是解題的關鍵,屬于基礎題.16、-40【解析】
由題意,可先由公式得出二項展開式的通項,再令10-3r=1,得r=3即可得出x項的系數【詳解】的二項展開式的通項公式為,r=0,1,2,3,4,5,令,所以的二項展開式中x項的系數為.故答案為:-40.【點睛】本題考查二項式定理的應用,解題關鍵是靈活掌握二項式展開式通項的公式,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)().(2),.(3)【解析】
(1)依題意先求出,然后根據,求出的通項公式為,再檢驗的情況即可;(2)由遞推公式,得,結合數列性質可得數列相鄰項之間的關系,從而可求出結果;(3)通過(1)、(2)可得,所以,,,,.記,利用函數單調性可求的范圍,從而列不等式可解.【詳解】解:(1)因為數列滿足()①;②當時,.檢驗當時,成立.所以,數列的通項公式為().(2)由,得,①所以,.②由①②,得,,即,,③所以,,.④由③④,得,,因為,所以,上式同除以,得,,即,所以,數列時首項為1,公差為1的等差數列,故,.(3)因為.所以,,,,.記,當時,.所以,當時,數列為單調遞減,當時,.從而,當時,.因此,.所以,對任意的,.綜上,.【點睛】本題考在數列通項公式的求法、等差數列的定義及通項公式、數列的單調性,考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力以及化歸與轉化思想、分類討論思想.18、(1);(2)【解析】
(1)零點分段解不等式即可(2)等價于,由,得不等式即可求解【詳解】(1)當時,,當時,由,解得;當時,由,解得;當時,由,解得.綜上可知,原不等式的解集為.(2).存在使得成立,等價于.又因為,所以,即.解得,結合,所以實數的取值范圍為.【點睛】本題考查絕對值不等式的解法,考查不等式恒成立及最值,考查轉化思想,是中檔題19、(Ⅰ)(Ⅱ)函數的定義域為,值域為【解析】
(1)由為第二象限角及的值,利用同角三角函數間的基本關系求出及的值,再代入中即可得到結果.(2)函數解析式利用二倍角和輔助角公式將化為一個角的正弦函數,根據的范圍,即可得到函數值域.【詳解】解:(1)因為是第二象限角,且,所以.所以,所以.(2)函數的定義域為.化簡,得,因為,且,,所以,所以.所以函數的值域為.(注:或許有人會認為“因為,所以”,其實不然,因為.)【點睛】本題考查同角三角函數的基本關系式,三角函數函數值求解以及定義域和值域的求解問題,涉及到利用二倍角公式和輔助角公式整理三角函數關系式的問題,意在考查學生的轉化能力和計算求解能力,屬于常考題型.20、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)取中點R,連接,,可知中,且,由Q是中點,可得則有且,即四邊形是平行四邊形,則有,即證得平面.(2)建立空間直角坐標系,求得半平面的法向量:,然后利用空間向量的相關結論可求得二面角的余弦值.【詳解】(1)取中點R,連接,,則在中,,且,又Q是中點,所以,而且,所以,所以四邊形是平行四邊形,所以,又平面,平面,所以平面.(2)在平面內作交于點G,以E為原點,,,分別為x,y,x軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則各點坐標為,,,所以,,設平面的一個法向量為,則即,取,得,又平面的一個法向量為,所以.因此,二面角的余弦值為【點睛】本題考查線面平行的判定,考查利用空間向量求解二面角,考查邏輯推理能力及運算求解能力,難度一般.21、(1),;(2).【解析】
(1)先把參數方程化成普通方程,再利用極坐標的公式把普通方程化成極坐標方程;(2)先利用極坐標求出弦長,再求高,最后求的面積.【詳解】(1)曲線的極坐標方程為:,因為曲線的普通方程為:,曲線的極坐標方程為;(2)由(1)得:點的極坐標為,點的極坐標為,,點到射線的距離為的面積為.【點睛】本題考查普通方程、參數方程與極坐標方程之間的互化,同時也考查了利用極坐標方程求解面積問題,考查計算能力,屬于中等題.22、(1)答案不唯一,具體見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【解析】
(1)求出
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