2024-2025學年天津一百中高二（上）期中數學試卷

一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.直線十%+y+1=0的傾斜角為（）

A.?B.夸C.?D.

3366

2.已知兩直線h：3%—4y+4=0和，2：6%+TTiy—2—0,若則租=（）

9

A.-8B.8C.-D.2

3.已知圓C1：爐+丫2-2乂+6y—i=0與圓。2：x2+y2+4x-2y-ll=0,則兩圓的公共弦所在直線方程

為（）

A.3%—2y—6=0B.3%—4y—5=0C.%—4y—5=0D.%+2y-6=0

4.已知雙曲線C：第—2=l（a>0]>0）的離心率為逆，則C的漸近線方程為（）

111

A.y=±2xB.y=±TZZXC.y=±-3xD.y=±T4%

5.雙曲線C：苫|=1上的點尸到左焦點的距離為9,則P到右焦點的距離為（）

A.5B.1C.1或17D.17

6.已知圓M：x2+y2-2ay=0（a>0）截直線x+y=0所得線段的長度是2也，則圓M與圓N：（%-2^/2）2

+（y—l）2=25的位置關系為（）

A.內切B.外切C.相交D.外離

22

7.設Fi，尸2分別是橢圓a+與=1（。>。>。）的左右焦點，過鼻的直線與橢圓交于4B兩點，若△ABF?

的周長為16,且|28|的最小值為2,則橢圓的方程為（）

A.關+《=1B.關+[=1C.^+§=1D高+為=1

1681646486416

8.直線小久+y+爪=0與圓C：（久+3）2+產=9交于4、B兩點，點E為中點，直線必

3x+4）/-12=（）與兩坐標軸分別交于「、Q兩點，則aERQ面積的最大值為（）

1623

A.YB.9C.10D.Y

9.設％,尸2分別是雙曲線總d=l（a>0力>0）的左右焦點，P為雙曲線左支上一點，且滿足|PF1|=|%

F2\,直線P&與雙曲線的一條漸近線垂直，則雙曲線的離心率為（）

A.|B.A/3C.2D.A/5

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二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。

10.已知直線I過P(-2,-1),且與以4(-4,2),B(l,3)為端點的線段相交，則直線I的斜率的取值范圍為

11.圓心在直線y=x上，經過原點，且在x軸上截得弦長為2的圓的標準方程為.

12.已知橢圓言+[=1的左、右焦點為八、&，P在橢圓上，且是直角三角形，這樣的P點有

1Z6

______個.

13.已知曲線y=2_2x與直線=0有兩個不同的交點，則實數k的取值范圍是.

14.已知P是橢圓苧+必=1上動點，貝IJP點到直線八支+y—24=0的距離的最大值為.

15.已知橢圓C1：言+左=1((21〉歷＞0)與雙曲線。2：1一金=1(。2＞歷＞0)有相同的焦點尸1、尸2，橢圓

__TT

C1的離心率為ei，雙曲線C2的離心率為e2，點P為橢圓C1與雙曲線C2的交點，且NF1P&=§，則0送2的最

小值為______.

三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題14分)

已知直線=：(m+4)x+(m+6)y-16=0與直線勻：6x+(m-l)y—8=0.

(1)當ni為何值時，。與%平行，并求h與G的距離；

(2)當爪為何值時，人與%垂直.

17.(本小題15分)

己知圓C過兩點4(—1,1),5(1,3),且圓心C在直線x-2y+1=0上.

(1)求圓C的標準方程；

(2)求過點P(3,4)的圓C的切線方程；

(3)若直線/的橫截距為a(a＞1),縱截距為b(b＞l),直線/被圓C截得的弦長為28，求成的最小值.

18.(本小題15分)

1

如圖，己知三棱柱4BC—4道道的側棱與底面垂直，AAr=AB^AC=1,AB1AC,M,N分別是C。，

BC的中點，點P在直線上，且無尸=44反；

(1)證明：無論2取何值，總有力M1PN；

(2)當4取何值時，直線PN與平面ABC所成角0最大？并求該角取最大值時的正切值；

(3)是否存在點P,使得平面PMN與平面4BC所成的二面角的正弦值為字，若存在，試確定點P的位置，若

不存在，請說明理由.

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Ai

19.(本小題15分)

已知橢圓胃+"=1Q>b>0)的離心率e=岑，橢圓上任意一點到橢圓的兩個焦點的距離之和為4.若直

線，過點(-1,0),且與橢圓相交于不同的兩點4B.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)若線段4B中點的縱坐標右求直線/的方程.

20.(本小題16分)

已知橢圓C：+=l(a>b>0)的短軸長為2,上頂點為M,。為坐標原點，A,B為橢圓C上不同的兩

點，且當40,B三點共線時，直線M4M8的斜率之積為—

(1)求橢圓C的方程；

(2)若△O4B的面積為1,求|O4|2+|OB|2的值.

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參考答案

1.5

2.2

3.5

4.2

5.D

6.A

7.B

8.D

9.A

10.(—oo2,--]U4[+oo)

1l.(x-l)2+(y-l)2=2或(%+l)2+(y+1)2=2

12.6

14.V2+

15晅

16.解：(1)直線小(zn+4)%+(?n+6)y-16=0與直線％：6x+(m-l)y-8=0,直線。與G平行，則

f(m—l)(m+4)=6(m+6)々刀/曰r

(6x(-16)豐(-8)x(m+4y解得"=-5>

所以此時直線1i：x—y+16=0,l2：x-y-1=0,

所以。與12的距離為火吉I"=好.

\1+13

(2)由直線。與辦垂直，

則6(m+4)+(m+6)(m—1)=0,解得m=-2或m=-9.

17.(1)解：因為圓心C在直線x—2y+1=0上，設圓心為C(因一l,t),

因為點力(一1,1)、B(l,3)在圓C上，

所以|C4|=\CB\,即，4嚴+?—1)2=，(2?2尸+(t—3尸,解得t=l,

所以圓心C(l,l),半徑r=|。*=2,

所以圓C的標準方程為：Q—l)2+(y—l)2=4；

(2)解:由(1)可得圓C：(久一l)2+(y—1)2=4,

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則圓心半徑r=2,

因為(3-1)2+(4-1)2>4,則點P在圓C外，

當過點P(3,4)的直線斜率不存在，則直線方程為x=3,

圓心C到直線久=3的距離為2,故直線x=3為圓C的切線；

當過點P(3,4)的直線斜率存在，

可設直線方程y-4=k(久一3),gp/cx-y-3fc+4=0,圓心C到該直線的距離&=為碧=,

由直線+4=0與圓C相切，則&=「，即向=2,

可得4k2-12/c+9=4/+4,解得k=

此時，直線方程為了一4=總。-3),即5x-12y+33=0；

綜上，切線的方程為久=3或5久-12y+33=0；

(3)解：?直線Z被圓C截的弦長為2避，

所以，圓心C到直線1的距離為d=—(75*=1,

又直線珀勺橫截距為a(a>1),縱截距為>1),

則直線珀勺方程為2+?=1,即6久+ay-ab=0,

圓心C(l,l)到直線/的距離為d=也告黑=1,

整理可得ab+2=2(a+b),由a+b>2^/ab,得ab+2=2(a+b)>4y[ab,即(口^)2-44而

+2>0,

解得阿<2-逝或風>2+y/2,

因為a>Lb>1,貝！Jab>1,則刎22+避，故ab26+4也，

當且僅當｛:忘22+"時，即當a=。=2+"時，等號成立，

所以，ab的最小值為6+4也.

18.以4為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則4(0,0,0),公(0,0,1),Bi(l,0,l)，1g,1扣1),

&P="避1=2(10。)=(尢0,0)，AP=AAi+ArP=(尢0,1),PN=g

(1)證明：???痂=(0*),麗=6一破一1),

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.?.俞.麗=0+/一'=0,

二無論；I取何值，AM1PN.

(2)解：由題意知，平面4BC的一個法向量為記=(0,0,1),

sine=Icos<PN>I=W也，

當且僅當2/時，等號成立，

此時sin。取得最大值

由ee[0芻知，6也取得最大值，

???tand=2,

故當4時，直線PN與平面4BC所成角。最大，該角取最大值時的正切值為2.

(3)解：假設存在點P滿足題意，

由上可知,NM=(—1|,今，PN—(-1—2,^,—1),

-[%+]y+Jz=o

設平面PMN的法向量為元=(久,y,z),則[(/_#%+=0,

令x=3,得y=l+2/Lz=2-24,???n=(3,1+2A.2-2A),

?.?平面PMN與平面48C所成的二面角的正弦值為岑，

|cos<m,n>|=7+(i"J/=[1-(牛/=，，化簡得4M—144+1=0,

解得2=Z±375；

4

即而?=1±衿匹瓦，

故當點P滿足中=在短耳瓦時，可使得平面PMN與平面2BC所成的二面角的正弦值為理.

42

19.解：(1)由題意可知2a=4,e=邑=膽,得c=y/^,b2=a2-c2,解得扶J,

所以橢圓的方程為苧+產=1.|X

(2)由題意可知直線斜率存在，

設&y=k(x+1),設3(%2,丫2)，

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聯立方程組｛(2；器tI

消y得(1+4/c2)%2+8fc2x+4k2—4=0,

——8k2

,%1+%2-2

因為/>0._4k^1-+44k,

riX2-TT市

設力B中點坐標為(%o,y°),

所以配=為尹=1言:，所以yo=kQo+1)=]AN=!

所以k=寺或k=1,

當k另,48中點坐標為(一技)，直線昉程為：y-j=1(x+j),BP%-4y+1=0.

TTOJ3?O

當k=l,AB中點坐標為(一翼)，直線Z方程為：y—1=x+&,HPx-y+1=0.

20.解：(1)因為橢圓的短軸長為2,

所以2b=2,

因為M為橢圓的上頂點，

所以M(0,l),

當40,B三點共線時，

設4Qo,yo)，

此時B(—Xo,—y()),

可得*=*,—=*，

x

20

所以kMA-=/^=—一煮=T

x0

解得Q=2,

2

則橢圓C的方程為^+y2=1；

(2)4(孫月)，8(%>2)，

當直線4B的斜率不存在時，

則4B兩點關于久軸對稱，

此時％2=刈，yi=-yi>

因為△0aB的面積為1,

1

所以近1112yli=1,