方法技巧專題18三角函數的圖像和性質解析版一、三角函數的圖像和性質知識框架二、根據解析式研究三角函數性質【一】化為同角同函型研究三角函數的性質（如周期性、單調性、最值、奇偶性、對稱性等）的前提是用公式把已給函數化成同一個角同一種類型的三角函數形式（簡稱：同角同函）研究三角函數的性質（如周期性、單調性、最值、奇偶性、對稱性等）的前提是用公式把已給函數化成同一個角同一種類型的三角函數形式（簡稱：同角同函）或，常見方法有：（1）用同角三角函數基本關系式或誘導公式將已給函數化成同函；（2）用倍角公式（升冪或降冪）將已給函數化成同角；（3）用兩角和、差公式或輔助角公式將已給函數化成同函.1.例題【例1】函數的單調遞增區間是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】整理函數的解析式有：結合三角函數的性質可知，函數的單調遞增區間滿足：，求解不等式可得函數的單調遞增區間是.2.鞏固提升綜合練習【練習1】已知函數.①的最大值為________；②設當時，取得最大值，則______.【解析】①，(其中，)當，即時，取最大值②由題意可知【練習2】已知函數，求函數的最小正周期和單調增區間；【解析】∴函數的最小正周期為.由得∴函數的單調增區間為【練習3】已知，求的最小正周期及單調遞增區間．【解析】由與得．所以的最小正周期是．由正弦函數的性質得，解得，所以，的單調遞增區間是．【二】化為二次函數型研究三角函數的性質（如周期性、單調性、最值、奇偶性、對稱性等）時，一般是把已給函數化成同同角同函型，但未必所有三角函數都能化成上述研究三角函數的性質（如周期性、單調性、最值、奇偶性、對稱性等）時，一般是把已給函數化成同同角同函型，但未必所有三角函數都能化成上述或的形式，有時會化簡為二次函數型：或，這時需要借助二次函數知識求解，但要注意的取值范圍.若將已給函數化簡為更高次的函數，如，則換元后可通過導數求解.如：解析式中同時含有和，令，由關系式得到關于的函數表達式.1.例題【例1】函數的最大值為____________．【解析】∵f(x)＝cos2x＋6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝cos2x＋6sinx＝1－2sin2x＋6sinx＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(3,2)))eq\s\up18(2)＋eq\f(11,2)，又sinx∈[－1,1]，∴當sinx＝1時，f(x)取得最大值5.【例2】函數y＝sinx＋cosx＋sinxcosx的值域為_______【解析】設t＝sinx＋cosx，則sinxcosx＝eq\f(t2－1,2)(－eq\r(2)≤t≤eq\r(2))，y＝t＋eq\f(1,2)t2－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(t＋1)2－1，當t＝eq\r(2)時，y取最大值為eq\r(2)＋eq\f(1,2)，當t＝－1時，y取最小值為－1.所以函數值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)＋\r(2))).2.鞏固提升綜合練習【練習1】已知函數，則的最小值是_____________．【解析】，所以當時函數單調遞減，當時函數單調遞增，從而得到函數的遞減區間為，函數的遞增區間為，所以當時，函數取得最小值，此時，所以，故答案是.【答案】【練習2】求函數的最大值與最小值.【解析】令，所以，，【練習3】函數y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的值域為________．【解析】設t＝sinx－cosx，則t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，即sinxcosx＝eq\f(1－t2,2)，且－1≤t≤eq\r(2).∴y＝－eq\f(t2,2)＋t＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)(t－1)2＋1.當t＝1時，ymax＝1；當t＝－1時，ymin＝－1.∴函數的值域為[－1,1]．三、根據圖像和性質確定解析式【一】圖像型對形如對形如中參數的確定，應準確識別和利用題干中函數圖像的信息（如周期、振幅、最值、特征點等），列出方程（組）或不等式（組），常規方法有：由振幅或最值，可確定;由周期的值或取值范圍，可確定的值或取值范圍；由特征點，可列出三角方程（組），可確定.（有時也需特征點來確定）1.例題【例1】已知函數的部分圖象如圖所示，其中分別是函數的圖象的一個最低點和一個最高點，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解題思路第一步：觀察所給圖像及其圖像特征：振幅，周期，與x軸的交點坐標等。由題意，A=1,,\T=12，故，這時第二步：利用特殊點代入函數解析式計算出中的值。在圖像上，故,即，解的。第三步：從圖像的升降情況找準第一零點的位置，并進一步確定參數（一般情況，取最高最低點，方便判斷）?！撸琝，第四步，得出最終結論，所有,故選A【例2】函數的圖象如圖所示，則（）A．在上是增函數 B．在上是增函數C．在上是増函數 D．在上是增函數【答案】A【例3】已知函數，的部分圖像如圖所示，已知點，，若將它的圖像向右平移個單位長度，得到函數的圖像，則函數圖像的一條對稱軸方程為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，所以，所以，移動后得，所以對稱軸滿足，解得，所以滿足條件的一條對稱軸方程為。故選A。2.鞏固提升綜合練習【練習1】函數(其中，)的部分圖象如圖所示,將函數的圖象（）可得的圖象A．向右平移個長度單位B．向左平移個長度單位C．向左平移個長度單位D．向右平移個長度單位【答案】D【練習2】如圖，某港口一天6時到18時的誰深變化曲線近似滿足函數y＝3sin(x＋Φ)＋k，據此函數可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為____________.【答案】8【二】性質型對形如對形如中參數的確定，應充分挖掘題干中所給的函數性質（如周期、單調性、最值、奇偶性、對稱性等），列出方程（組）或不等式（組）.特別地，正弦型函數與最小正周期相關的幾種表述：兩個相鄰最低（高）點的距離，即為;兩個相鄰對稱軸的距離，即為;兩個相鄰對稱中心的距離，即為;相鄰對稱中心與對稱軸的距離，即為;1.例題【例1】已知函數為的零點,為圖像的對稱軸,且在單調,則的最大值為()（A）11

（B）9

（C）7

（D）5【例2】設函數，，若在區間上單調，且，則的最小正周期為（）A．B．2πC．4πD．π【解析】【例3】設函數，，其中，.若，，且的最小正周期大于，則（）（A）， （B）， （C）， （D），【答案】2.鞏固提升綜合練習【練習1】設函數f（x）=，若對任意的實數x都成立，則ω的最小值為__________．【解析】因為對任意的實數x都成立，所以取最大值，所以，因為，所以當時，ω取最小值為.【練習2】若函數的圖象關于軸對稱，則的一個值為（）A． B． C． D．四、圖像變換問題由由變換成的兩種變換方式：（1）；注：兩種變換方法，相位或周期變換都只針對自變量.1.例題【例1】已知曲線，，則下面結論正確的是（）A．把上各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線B．把上各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線D．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線【例2】設函數，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）將函數的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，求在上的最小值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）得最小值.從而.根據得到，進一步求最小值.試題解析：（Ⅰ）因為，所以即時，取得最小值.2.鞏固提升綜合練習【練習1】函數（，）的最小正周期是，若其圖象向左平移個單位后得到的函數為奇函數，則函數的圖象（）A．關于點對稱 B．關于直線對稱C．關于點對稱 D．關于直線對稱【答案】B【解析】由于函數最小正周期為,所以,即.向左平移得到為奇函數,故,所以.,故為函數的對稱軸,選B.【練習2】已知函數，將的圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），再將圖象向左平移個單位，所得圖象對應的函數為，若函數的圖象在，兩處的切線都與x軸平行，則的最小值為（）A．B．C．D．【解析】根據變換得到：，圖象如圖：由圖可知，取到的最小可能為，因為，，所以最小值為4，故選：B五、三角函數值域（最值）求三角函數的值域（最值），通常利用正余弦函數的有界性，一般通過三角變換化為下列基本類型：求三角函數的值域（最值），通常利用正余弦函數的有界性，一般通過三角變換化為下列基本類型：，令，則；，引入輔助角，化為；，令，則；，令，則，所以；（5），根據正弦函數的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數形結合法求最值.1.例題【例1】已知函數，則在上的最大值與最小值之差為．【答案】第三步，利用正弦函數或余弦函數的有界性來確定三角函數的最值：當時，，故，即函數的值域為，故答案為．【例2】函數的最小值為．【解析】第一步，先將所給的函數式化為只含有一個三角函數的式子，通常采取換元法將其變為多項式函數：令，所以第二步，利用函數單調性求解三角函數的最值：所以在上為增函數，在上為減函數第三步，得出結論：所以，故填．【例3】函數的最小值是__________．【答案】【解析】f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx，x∈，化簡f（x）=（sinx+cosx）2+sinx+cosx﹣1設sinx+cosx=t，則t=sin（x）x+，那么函數化簡為：g（t）=t2+t﹣1．∵x∈∴x+∈[0，]，所以：．∵函數g（t）=t2+t﹣1．開口向上，對稱軸t=－，∴是單調遞增．當t=0時，g（t）取得最小值為-1．【例4】求函數的值域【解析】函數的值域可看作：求過點作單位圓的切線的斜率的最大、最小值設切線，即原點到切線的距離：，解得：所以，所求函數的值域為：2.鞏固提升綜合練習【練習1】已知的定義域為[].求的最小值.【解析】【練習2】函數（）的最大值是?！窘馕觥俊揪毩?】求函數的值域【解析】 六、平面向量為載體的三角函數綜合問題三角函數與向量的綜合問題中，向量只是工具，問題的本質還是三角函數問題.解決本類問題的常規方法是：三角函數與向量的綜合問題中，向量只是工具，問題的本質還是三角函數問題.解決本類問題的常規方法是：將向量的平行、垂直、數量積等通過坐標運算轉化為三角函數形式，然后進行恒等變換，進而解決本問題.1.例題【例1】設向量，.（1）求的最小正周期；（2）求在區間上的單調遞減區間.【答案】(1);(2).第一步，先將函數式化為基本三角函數的標準式，要特別注意參數的正負：由題意可得：第二步，利用三角函數的輔助角公式一般將其化為同名函數，且在同一單調區間：所以第三步，運用三角函數的圖像與性質確定其單調區間：令，求得，故函數的減區間為.再根據，可得函數的減區間為【例2】已知向量（1）若a∥b，求的值；（2）記，求的最大值和最小值以及對應的的值．【解析】（1）因為，，a∥b，所以．若，則，與矛盾，故．于是．又，所以．（2）．因為，所以，從而．于是，當，即時，取到最大值3；當，即時，取到最小值．【答案】（1）；（2）時，取到最大值3；時，取到最小值．2.鞏固提升綜合練習【練習1】已知，，設函數．（1）求函數的單調增區間；（2）設的內角，，所對的邊分別為，，，且，，成等比數列，求的取值范圍．【答案】(1)，．(2).【解析】，令，則，，所以函數的單調遞增區間為，．【練習2】已知，，記函數（1）求函數的最小正周期；（2）如果函數的最小值為，求的值,并求此時的最大值及圖像的對稱軸方程.【答案】（1）；（2）；對稱軸方程為（）【解析】（1）所以最小正周期（2）的最小值為，所以，故所以函數的最大值等于由（），即（）故函數的圖象的對稱軸方程為（）七、課后自我檢測1.函數的部分圖象如圖所示,則__________；函數在區間上的零點為__________．【答案】【解析】由圖得,即最小正周期又因為,且,解得，由圖得時,，又因為,所以，的零點即的圖象與軸交點的橫坐標，則,解得，因為,得到，所以零點為，故答案為.2.已知函數.（1）求函數的單調遞增區間；（2）已知在中，的對邊分別為，若，，求面積的最大值.【答案】（1）單調遞增區間為（）；（2）.【解析】（1）令（），解得（），所以的單調遞增區間為（）.3.已知函數部分圖象如圖所示.（1）求值及圖中的值；（2）在中，角的對邊分別為，已知，求的值．【答案】（1）,（2）【解析】（1）由圖象可以知道：.∴又∵∴

∵∴，,從而.由圖象可以知道,

所以4.，函數.（1）求的對稱中心；（2）求函數在區間上的最大值和最小值，并求出相應的值.【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為.【解析】（2）由（1）得，因為，所以，所以時，即，的最大值為，當時，即時，的最小值為.5.函數的最大值是__________．6.已知函數，，且在區間上有最小值，無最大值，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，因為，且，又在區間內只有最小值，沒有最大值，所以在處取得最小值，所以，所以，當時，，此時函數在區間內存在最大值，7.已知函數對任意都滿足，則函數的最大值為A．5 B．3 C． D．8．將函數的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，則下列說法不正確的是A． B．在區間上是增函數C．是圖象的一條對稱軸 D．是圖象的一個對稱中心【解析】把函數的圖像向平左移個單位，得到函數圖象的解析式故A正確；