含參不等式的存在性與恒成立問題的解題模板【考點綜述】含參不等式的恒成立問題越來越受到高考命題者的青睞，由于新課標高考對導數應用的加強，這些不等式的恒成立問題往往與導數問題交織在一起，這在近年的高考試題中不難看出這個基本的命題趨勢.解決這類問題的關鍵是揭開量詞隱含的神秘面紗還函數問題本來面目，在高考中各種題型多以選擇題、填空題和解答題等出現，其試題難度屬高檔題.【解題方法思維導圖預覽】【解題方法】解題方法模板一：判別式法使用情景：含參數的二次不等式解題模板：第一步首先將所求問題轉化為二次不等式；第二步運用二次函數的判別式對其進行研究討論；第三步得出結論.解題模板應用：例1設，當時，恒成立，求實數的取值范圍.【答案】【解析】解題模板選擇：本題中含參數的二次不等式，故選取解題方法模板一判別式法進行解答.解題模板應用：第一步首先將所求問題轉化為二次不等式；設則當時，恒成立.第二步首先將所求問題轉化為二次不等式；當時，即時，恒成立.當時，恒成立等價于：解得.第三步得出結論：綜上可得實數的取值范圍為.練習1.若函數的定義域為，則實數的取值范圍為A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】分析：因為定義域是，所以對一切實數恒成立，分兩種情況討論即可.詳解：對任意的，有恒成立，所以或，故，故選A.【小結】含參數的一元二次不等式的恒成立，需要分清是否是上恒成立，如果是，在確定是一元二次不等式的條件下直接應用判別式來考慮，如果在其他范圍上的恒成立，則可以轉化為函數的最值或者采用參變分離的方法來求參數的取值范圍.2.若不等式對一切實數都成立，則實數的取值范圍為（）A.或 B.或C. D.【答案】C【解析】【分析】分和兩種情況討論，結合題意可得出關于實數的不等式組，由此可解得實數的取值范圍.【詳解】由于不等式對一切實數都成立.當時，可得，解得，不合乎題意；當時，則，解得.因此，實數的取值范圍為.故選：C．【小結】本題考查利用一元二次不等式在實數集上恒成立求參數，考查計算能力，屬于中等題.3.已知向量滿足，與的夾角為，若對一切實數x，恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】平方，利用向量的數量積公式，展開整理得，對一切實數x，恒成立，從而有解不等式，即可得出結論.【詳解】解：因為，與的夾角為，所以．把兩邊平方，整理可得，所以，即，即．故選:C．【小結】本題考查向量的模與數量積的關系，將問題等價轉化為一元二次不等式恒成立，屬于基礎題.4.若函數y＝(k為常數)的定義域為R，則k的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】把函數的定義域為，轉化為不等式在上恒成立，結合二次函數的性質，即可求解。【詳解】由題意，函數(k為常數)的定義域為R，即不等式在上恒成立，當時，不等式等價于恒成立，符合題意；當時，則滿足，即且，解得，綜上可得實數的取值范圍是。【小結】本題主要考查了函數的定義域的概念，以及一元二次不等式的恒成立問題，其中解答中把函數的定義域為，轉化為一元二次不等式的恒成立問題，結合二次函數的性質求解是解答的關鍵，著重考查了轉化思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題。5.已知命題“”是假命題，則實數m的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】求得原命題的否定，根據其為真命題，即可結合二次不等式恒成求得參數范圍【詳解】若命題“”是假命題，則“”為真命題，顯然時，不滿足題意，故只需滿足，解得.故答案為：.【小結】本題考查根據含量詞命題的真假求參數范圍的問題，涉及二次不等式在上恒成立求參數的問題，屬綜合基礎題.解題方法模板二：分離參數法使用情景：對于變量和參數可分離的不等式解題模板：第一步首先對待含參的不等式問題在能夠判斷出參數的系數正負的情況下，可以根據不等式的性質將參數分離出來，得到一個一端是參數，另一端是變量表達式的不等式；第二步先求出含變量一邊的式子的最值；第三步由此推出參數的取值范圍即可得出結論.解題模板應用：例2已知函數，若在函數定義域內恒成立，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解題模板選擇：本題中可參變分離，故選取解題方法模板二分離參數法進行解答.解題模板應用：第一步，參變分離；在函數定義域內恒成立，第二步，設則所以易得第三步，得出結論：故選D．練習6.若對任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先分離參數，再由基本不等式得出的最小值，即可得出實數的取值范圍.【詳解】因為時，恒成立，所以在恒成立因為，當且僅當，即或（舍）等號成立所以故選：A【小結】本題主要考查了一元二次不等式在某區間上的恒成立問題以及基本不等式的恒成立問題，屬于中檔題.7.已知，則使得都成立的取值范圍是A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由不等式得，解得，由于不等式恒成立，的最小值，的最小值為，因此得.考點：不等式和恒成立問題.8.已知關于的不等式在上有解，則實數的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將不等式化為，討論、和時，分別求出不等式成立時的取值范圍即可【詳解】時，不等式可化為；當時，不等式為，滿足題意；當時，不等式化為，則，當且僅當時取等號，所以，即；當時，恒成立；綜上所述，實數的取值范圍是答案選A【小結】本題考查不等式與對應的函數的關系問題，含參不等式分類討論是求解時常用方法9.若關于的不等式在內有解，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】原不等式在內有解等價于在內有解，等價于，再根據二次函數的性質即可求出結果.【詳解】原不等式在內有解等價于在內有解，設函數，所以原問題等價于又當時，，所以.故選：A.【小結】本題主要考查一元二次不等式的應用，考查函數與方程思想和等價化歸與轉化思想．屬于基礎題．10.若不等式對于一切恒成立，則的最小值是（）A.0 B.-2 C. D.-3【答案】B【解析】【分析】可將不等式轉化成，結合對勾函數的增減性即可求解【詳解】，，由對勾函數性性質可知，當為減函數，當時，為增函數，故，即恒成立，，故的最小值為-2故選：B【小結】本題考查一元二次不等式在某區間恒成立的解法，轉化為對勾函數是其中一種解法，也可分類討論函數的對稱軸，進一步確定函數的最值與恒成立的關系，屬于中檔題解題方法模板三：函數性質法使用情景：對于不能分離參數或分離參數后求最值較困難的類型解題模板：第一步首先可以把含參不等式整理成適當形式如、等；第二步從研究函數的性質入手，轉化為討論函數的單調性和極值；第三步得出結論.解題模板應用：例3設函數，若時，，求的取值范圍.【答案】【解析】解題模板選擇：本題中分離參數后求最值較困難，故選取解題方法模板三函數性質法進行解答.解題模板應用：第一步，首先可以把含參不等式整理成適當形式第二步，從研究函數的性質入手，轉化為討論函數的單調性和極值；當時，當時，當時第三步，得出結果..練習11.若二次函數f(x)＝4x2－2(t－2)x－2t2－t＋1在區間[－1,1]內至少存在一個值m，使得f(m)>0，則實數t的取值范圍A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函數f（x）的圖象是開口向上的拋物線，故二次函數f（x）在區間[﹣1，1]內至少存在一個實數m，使得f(m)>0的否定為：對于區間[﹣1，1]內的任意一個x都有f（x）≤0，即f（﹣1），f（1）均小于等0，由此可以構造一個關于t的不等式組，解不等式組，找出其對立面即可求出實數t的取值范圍．【詳解】二次函數f（x）在區間[﹣1，1]內至少存在一個實數m，使f（m）＞0，該結論的否定是：對于區間[﹣1，1]內的任意一個x都有f（x）≤0，由，求得t≤﹣3或t≥．∴二次函數在區間[﹣1，1]內至少存在一個實數m，使f（m）＞0的實數t的取值范圍是：（﹣3，），故選B．【小結】本題考查了一元二次方程根的分布和二次函數的單調性和值域等知識，屬于中檔題．同學們要注意解題過程中運用反面的范圍，來求參數取值范圍的思路，屬于中檔題．12.實數，當時，恒有成立，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】設，,根據題意即和同正或同負，當時，，則時，，所以得到，又當時，，則需要當時，有，根據二次函數的性質可得到答案.【詳解】設，當時，恒有成立，即和同正或同負.當時，，則時，所以，此時，在時，所以當時，有，又的對稱軸方程為則，解得所以故答案為：【小結】本題考查函數性質，考查恒成立問題，考查等價轉化的思想和能力，屬于中檔題.13.若關于的不等式在上有解，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由題意可知關于的不等式在上有解，作出函數和函數的圖象，考慮直線與函數的圖象相切，以及直線過點，數形結合可求得實數的取值范圍.【詳解】關于的不等式在上有解，即關于的不等式在上有解，作出兩函數，圖象，當由與相切時，則，即，，解得.由過點得.由圖可知，因此，，即實數的取值范圍為.故答案為：.【小結】本題考查利用含絕對值的不等式在區間上有解求參數，考查數形結合思想的應用，屬于中等題.14.已知函數，（e＝2.71828…是自然對數的底數），若存在，使得成立，則實數的取值范圍是____.【答案】；【解析】【分析】本題先求的值域，再根據題意建立不等式參變分離，最后構建新函數求最值解決存在性問題求參變量.【詳解】當時，，則，即在遞減，得，當時，在遞增，則，綜合得的值域為.由題若存在，使得成立，則，在有解，即在在有解，令，，，則，在遞減，的最小值，又，在遞減，的最大值，則.故答案為：【小結】本題考查分段函數的值域，借導函數求函數的最值，轉化存在性問題求參數的范圍，是偏難題.15.設函數（，為自然對數的底數），若曲線上存在一點使得，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【詳解】試題分析:由題設及函數的解析式可知，所以．由題意問題轉化為“存在，使得有解”，即在有解，令，則，當時，函數是增函數；所以，當，即.所以，故應填答案.考點：互為反函數的圖象和性質及函數方程思想的綜合運用．【易錯點晴】函數與方程思想、等價轉化與化歸的數學思想是高中數學的重要思想方法,也高考必考的重要考點.本題以兩個函數滿足的關系式為背景,考查的是轉化與化歸思想和函數方程思想的靈活運用.解答時先依據題設條件將問題轉化為即在有解,進而構造函數,運用導數求出其值域,從而使得問題巧妙獲解.解題方法模板四：函數值域法使用情景：含參不等式恰成立類型.解題模板：第一步轉化對應函數值域問題；第二步利用函數單調性、導數、圖像等方法求值域；第三步根據條件列方程解得結果.解題模板應用：例4關于的不等式在上恰成立，求實數的值【答案】或【解析】解題模板選擇：本題中，故選取解題方法模板四：正弦函數性質法進行解答.解題模板應用：解題模板：第一步轉化為對應函數值域問題；原題轉化為函數在上值域為，第二步利用函數單調性、導數、圖像等方法求值域；第三步根據條件列方程解得結果.，即實數的值為或.練習16.已知函數，，函數，若對于任意，總存在，使得成立，則a的值為（）A.-1 B.1 C.-2 D.2【答案】D【解析】【分析】利用導數研究的單調性，即可求出的值域，再根據二次函數的性質可得的值域，最后根據兩集合的包含關系得到不等式組，解得即可；【詳解】解：因為，，所以，可得時，即在區間上單調遞減；時，即在區間上單調遞增；又，，，故因為，所以在上單調遞減；，所以又因為對于任意，總存在，使得成立，所以所以解得所以故選：D【小結】本題考查利用導數研究函數的單調性，存在性問題的解法，屬于中檔題.17.已知集合，（Ⅰ）求實數的值；（Ⅱ）已知，若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）等價于和是方程的兩個根，根據韋達定理可得結果；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，原不等式可化為在上恒成立，利用二次函數知識求出在上的最小值，再解不等式可得結果.【詳解】（Ⅰ）由題意可知，和是方程的兩個根，所以由韋達定理得，解得，故實數.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，原不等式可化為，所以在上恒成立，令，因為，所以，所以不等式恒成立等價于，故由，解得：，故實數的取值范圍為：.【小結】本題考查了由一元二次不等式的解集求參數，考查了一元二次不等式恒成立問題，屬于基礎題.18.已知函數，為的導數.（1）當時，求的最小值；（2）當時，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）求，令，求的正負判斷的單調性，求出的最小值，即為的最小值.（2）令，即證當時，恒成立.由（1）可知，當時，成立，當時，分類討論求的范圍即可.【詳解】（1），令，，則.當時，為增函數，；當時，.故時，，為增函數，故，即的最小值為1.（2）令，，則本題即證當時，恒成立.當時，若，則由（1）可知，，所以為增函數，故恒成立，即恒成立；若，則，在上為增函數，又，，故存在唯一，使得.當時，，為減函數；時，，為增函數.又，，故存在唯一使得.故時，，為增函數；時，，為減函數.又，，所以時，，為增函數，故，即恒成立；當時，由（1）可知在上為增函數，且，，故存在唯一，使得.則當時，，為減函數，所以，此時，與恒成立矛盾.綜上所述，.【小結】關鍵小結：利用導數研究函數的最值問題以及恒成立問題，本題出現了多次求導的情況.掌握利用導數的正負反應原函數的增減以及零點存在性定理是解決本題的關鍵.解題方法模板五：主參換位法使用情景：已知參數范圍求自變量取