延安中學2025屆高考數學三模試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，平面四邊形中，，，，為等邊三角形，現將沿翻折，使點移動至點，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．2．已知函數滿足，當時，，則（）A．或 B．或C．或 D．或3．如下的程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”．執行該程序框圖，若輸入的a，b分別為176，320，則輸出的a為（）A．16 B．18 C．20 D．154．已知集合，，，則集合()A． B． C． D．5．已知，，則（）A． B． C． D．6．已知雙曲線(a>0，b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是（）A． B．(1,2), C． D．7．已知角的終邊與單位圓交于點，則等于（）A． B． C． D．8．已知變量x，y間存在線性相關關系，其數據如下表，回歸直線方程為，則表中數據m的值為（）變量x0123變量y35.57A．0.9 B．0.85 C．0.75 D．0.59．復數（）A． B． C．0 D．10．已知平面向量，，滿足：，，則的最小值為()A．5 B．6 C．7 D．811．已知函數，，當時，不等式恒成立，則實數a的取值范圍為（）A． B． C． D．12．△ABC中，AB＝3，，AC＝4，則△ABC的面積是（）A． B． C．3 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知多項式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，則a4＝________，a5＝________．14．已知為橢圓上的一個動點，，，設直線和分別與直線交于，兩點，若與的面積相等，則線段的長為______.15．過圓的圓心且與直線垂直的直線方程為__________.16．已知內角，，的對邊分別為，，．，，則_________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正四棱錐中，，，為上的四等分點，即．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．18．（12分）已知函數（I）當時，解不等式.（II）若不等式恒成立，求實數的取值范圍19．（12分）已知，如圖，曲線由曲線：和曲線：組成，其中點為曲線所在圓錐曲線的焦點，點為曲線所在圓錐曲線的焦點.（Ⅰ）若，求曲線的方程；（Ⅱ）如圖，作直線平行于曲線的漸近線，交曲線于點，求證：弦的中點必在曲線的另一條漸近線上；（Ⅲ）對于（Ⅰ）中的曲線，若直線過點交曲線于點，求面積的最大值.20．（12分）如圖，四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，點分別是的中點．（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．21．（12分）在直角坐標系中，直線的參數方程為為參數)，直線的參數方程(為參數)，若直線的交點為，當變化時，點的軌跡是曲線（1）求曲線的普通方程；（2）以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，設射線的極坐標方程為，，點為射線與曲線的交點，求點的極徑.22．（10分）已知數列滿足（），數列的前項和，（），且，．（1）求數列的通項公式：（2）求數列的通項公式．（3）設，記是數列的前項和，求正整數，使得對于任意的均有．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

將三棱錐補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應在棱柱上下底面三角形的外心連線上，在中，計算半徑即可.【詳解】由，，可知平面．將三棱錐補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同．由此易知外接球球心應在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記的外心為，由為等邊三角形，可得．又，故在中，，此即為外接球半徑，從而外接球表面積為．故選：A【點睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數學運算的能力，屬于較難題.2、C【解析】

簡單判斷可知函數關于對稱，然后根據函數的單調性，并計算，結合對稱性，可得結果.【詳解】由，可知函數關于對稱當時，，可知在單調遞增則又函數關于對稱，所以且在單調遞減，所以或，故或所以或故選：C【點睛】本題考查函數的對稱性以及單調性求解不等式，抽象函數給出式子的意義，比如：，，考驗分析能力，屬中檔題.3、A【解析】

根據題意可知最后計算的結果為的最大公約數.【詳解】輸入的a，b分別為,,根據流程圖可知最后計算的結果為的最大公約數，按流程圖計算,,,,,,,易得176和320的最大公約數為16，故選:A.【點睛】本題考查的是利用更相減損術求兩個數的最大公約數,難度較易.4、D【解析】

根據集合的混合運算，即可容易求得結果.【詳解】，故可得.故選：D.【點睛】本題考查集合的混合運算，屬基礎題.5、D【解析】

分別解出集合然后求并集.【詳解】解：，故選：D【點睛】考查集合的并集運算，基礎題.6、A【解析】

若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率．根據這個結論可以求出雙曲線離心率的取值范圍．【詳解】已知雙曲線的右焦點為，若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率，，離心率，，故選：．【點睛】本題考查雙曲線的性質及其應用，解題時要注意挖掘隱含條件．7、B【解析】

先由三角函數的定義求出，再由二倍角公式可求.【詳解】解：角的終邊與單位圓交于點，，故選：B【點睛】考查三角函數的定義和二倍角公式，是基礎題.8、A【解析】

計算，代入回歸方程可得．【詳解】由題意，，∴，解得．故選：A.【點睛】本題考查線性回歸直線方程，解題關鍵是掌握性質：線性回歸直線一定過中心點．9、C【解析】略10、B【解析】

建立平面直角坐標系，將已知條件轉化為所設未知量的關系式，再將的最小值轉化為用該關系式表達的算式，利用基本不等式求得最小值.【詳解】建立平面直角坐標系如下圖所示，設，，且，由于，所以..所以，即..當且僅當時取得最小值，此時由得，當時，有最小值為，即，，解得.所以當且僅當時有最小值為.故選：B【點睛】本小題主要考查向量的位置關系、向量的模，考查基本不等式的運用，考查數形結合的數學思想方法，屬于難題.11、D【解析】

由變形可得,可知函數在為增函數,由恒成立,求解參數即可求得取值范圍.【詳解】,即函數在時是單調增函數.則恒成立..令,則時,單調遞減,時單調遞增.故選:D.【點睛】本題考查構造函數,借助單調性定義判斷新函數的單調性問題,考查恒成立時求解參數問題,考查學生的分析問題的能力和計算求解的能力,難度較難.12、A【解析】

由余弦定理求出角，再由三角形面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理得：，又，所以得，故△ABC的面積.故選：A【點睛】本題主要考查了余弦定理的應用，三角形的面積公式，考查了學生的運算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、164【解析】

只需令x＝0，易得a5，再由(x＋1)3(x＋2)2＝(x＋1)5＋2(x＋1)4＋(x＋1)3，可得a4＝＋2＋.【詳解】令x＝0，得a5＝(0＋1)3(0＋2)2＝4，而(x＋1)3(x＋2)2＝(x＋1)3[(x＋1)2＋2(x＋1)＋1]＝(x＋1)5＋2(x＋1)4＋(x＋1)3；則a4＝＋2＋＝5＋8＋3＝16.故答案為：16,4.【點睛】本題主要考查了多項式展開中的特定項的求解，可以用賦值法也可以用二項展開的通項公式求解，屬于中檔題.14、【解析】

先設點坐標，由三角形面積相等得出兩個三角形的邊之間的比例關系，這個比例關系又可用線段上點的坐標表示出來，從而可求得點的橫坐標，代入橢圓方程得縱坐標，然后可得．【詳解】如圖，設，，，由，得，由得，∴，解得，又在橢圓上，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查直線與橢圓相交問題，解題時由三角形面積相等得出線段長的比例關系，解題是由把線段長的比例關系用點的橫坐標表示．15、【解析】

根據與已知直線垂直關系，設出所求直線方程，將已知圓圓心坐標代入，即可求解.【詳解】圓心為，所求直線與直線垂直，設為，圓心代入，可得，所以所求的直線方程為.故答案為：.【點睛】本題考查圓的方程、直線方程求法，注意直線垂直關系的靈活應用，屬于基礎題.16、【解析】

利用正弦定理求得角B，再利用二倍角的余弦公式，即可求解.【詳解】由正弦定理得，，．故答案為：.【點睛】本題考查了正弦定理求角，三角恒等變換，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析．（2）【解析】

（1）根據題意可得，在中，利用余弦定理可得，然后同理可得，利用面面垂直的判定定理即可求解.（2）以為原點建立直角坐標系，求出面的法向量為，的法向量為，利用空間向量的數量積即可求解.【詳解】（1）由由因為是正四棱錐，故于是，由余弦定理，在中，設再用余弦定理，在中，∴是直角，同理，而在平面上，∴平面平面（2）以為原點建立直角坐標系，如圖：則設面的法向量為，的法向量為則，取于是，二面角的余弦值為：【點睛】本題考查了面面垂直的判定定理、空間向量法求二面角，屬于基礎題.18、（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】試題分析：（1）根據零點分區間法，去掉絕對值解不等式；（2）根據絕對值不等式的性質得，因此將問題轉化為恒成立，借此不等式即可．試題解析：（Ⅰ）由得，，或，或解得：所以原不等式的解集為.（Ⅱ）由不等式的性質得：，要使不等式恒成立，則當時，不等式恒成立；當時，解不等式得．綜上．所以實數的取值范圍為.19、（Ⅰ）和.；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【解析】

(Ⅰ)由，可得，解出即可；(Ⅱ)設點，設直線，與橢圓方程聯立可得：，利用，根與系數的關系、中點坐標公式，證明即可；(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲線，且，設直線的方程為：，與橢圓方程聯立可得：，利用根與系數的關系、弦長公式、三角形的面釈計算公式、基本不等式的性質，即可求解.【詳解】(Ⅰ)由題意：，，解得，則曲線的方程為：和.(Ⅱ)證明：由題意曲線的漸近線為：，設直線，則聯立，得，，解得：，又由數形結合知.設點，則，，，，，即點在直線上.(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲線，點，設直線的方程為：，聯立，得：，，設，，，，面積，令，，當且僅當，即時等號成立，所以面積的最大值為.【點睛】本題考查了橢圓與雙曲線的標準方程及其性質、直線與橢圓的相交問題、弦長公式、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質,考查了推理論證能力與運算求解能力，屬于難題.20、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）取的中點，連接，通過證明，即可證得；（2）建立空間直角坐標系，利用向量的坐標表示即可得解.【詳解】（1）證明：取的中點，連接．是的中點，，又，四邊形是平行四邊形．，又平面平面，平面．（2），，同理可得：，又平面．連接，設，則，建立空間直角坐標系．設平面的法向量為，則，則，?。本€與平面所成角的正弦值為．【點睛】此題考查證明線面平行，求線面角的大小，關鍵在于熟練掌握線面平行的證明方法，法向量法求線面角的基本方法，根據公式準確計算.21、（1）；（2）【解析】

（1）將兩直線化為普通方程，消去參數，即可求出曲線的普通方程；（2）設Q點的直角坐標系坐標為,求出，代入曲線C可求解.【詳解】（1）直線的普通方程為,直線的普通方程為聯立直線,方程消去參數k,得曲線C的普通方程為整理得.（2）設Q點的直角坐標系坐標為,由可得代入曲線C的方程可得，解得（舍），所以點的極徑為.【點睛】本題主要考查了直線的參數方程化為普通方程，普通方程化為極坐標方程，極徑的求法，屬于中檔題.22、（1）（）．（2），．（3）【解析】

（1）依題意先求出,然后根據,求出的通項公式為,再檢驗的情況即可;（2）由遞推公式,得,結合數列性質可得數列相鄰項之間的關系,從而可求出結果;（3）通過（1）、（2）可得,所以,,,,．記,利用函數單調性可求的范圍,從而列不等式可解.【詳解】解：（