PAGE1-10.3頻率與概率[目標]1.了解隨機事務發生的不確定性和頻率的穩定性；2.了解概率的意義以及頻率與概率的區分；3.學會用隨機模擬法估計概率．[重點]隨機事務的不確定性和頻率的穩定性．[難點]頻率與概率的區分．要點整合夯基礎學問點一頻率與概率[填一填]1．頻率的穩定性大量試驗表明，在任何確定次數的隨機試驗中，一個隨機事務A發生的頻率具有隨機性．一般地，隨著試驗次數n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事務A發生的頻率fn(A)會漸漸穩定于事務A發生的概率P(A)．我們稱頻率的這特性質為頻率的穩定性．因此，我們可以用頻率fn(A)估計概率P(A)．2．頻率與概率的區分與聯系(1)頻率是概率的近似，隨著試驗次數的增加，頻率會越來越接近概率，頻率本身是隨機的試驗前是不能確定的．(2)概率揭示隨機事務發生的可能性的大小，是一個確定的常數，與試驗的次數無關，概率可以通過頻率來測量，某事務在n次試驗中發生了nA次，當試驗次數n很大時，就將eq\f(nA,n)作為事務A發生的概率的近似值，即P(A)＝eq\f(nA,n).(3)求一個隨機事務的概率的方法是依據定義通過大量的重復試驗用事務發生的頻率近似地作為它的概率；任何事務A的概率P(A)總介于0和1之間，即0≤P(A)≤1，其中必定事務的概率是1，不行能事務的概率是0.[答一答]1．小明說：“做10次拋硬幣試驗，正面對上的次數確定是5次”，這種說法對嗎？提示：不正確．因為每次試驗結果都是隨機的，在試驗前不能確定正面對上的次數．學問點二隨機模擬[填一填]1．隨機模擬產生的緣由用頻率估計概率，須要做大量的重復試驗，費時、費勁，甚至難以實現．2．隨機模擬的方法利用計算器或計算軟件產生隨機數(依據不同的隨機試驗構建相應的隨機數模擬試驗)．[答一答]2．用計算機或計算器模擬試驗(蒙特卡洛法)的步驟是什么？提示：①用計算機或計算器產生某個范圍內的隨機數，并給予每個隨機數確定的意義；②統計代表某意義的隨機數的個數M和總的隨機數個數N；③計算頻率fn(A)＝eq\f(M,N)作為所求概率的近似值.典例講練破題型類型一頻率與概率的理解[例1](1)請班內四位同學依次、分別拋擲一枚硬幣20次，其他同學觀看并且記錄硬幣正面朝上的次數，比較他們的結果一樣嗎？為什么會出現這樣的狀況？(2)歷史上曾有人作過拋擲硬幣的大量重復試驗，結果如下表所示：拋擲次數正面對上的次數正面對上的比例204810610.5181404020480.50691200060190.5016(續表)拋擲次數正面對上的次數正面對上的比例24000120120.500530000149840.499572088361240.5011在上述拋擲硬幣的試驗中，你會發覺怎樣的規律？(3)在拋擲硬幣試驗中，把正面對上的比例稱作正面對上的頻率，你能給頻率下個定義嗎？(4)拋擲硬幣試驗表明，正面朝上在每次試驗中是否發生是不能預知的，但是在大量重復試驗后，隨著試驗次數的增加，正面朝上發生的頻率呈現出確定的規律性，這個規律性是如何體現出來的？(5)在相同條件下，事務A在先后兩次試驗中發生的頻率fn(A)是否確定相等？事務A在先后兩次試驗中發生的概率P(A)是否確定相等？[解](1)通過實際比較可知一樣的可能性小，因為拋擲硬幣是隨機事務，在每一次拋擲前不知道拋擲后會出現什么結果，因此四位同學的結果一樣的可能性比較小．(2)當試驗次數許多時，出現正面的比例在0.5旁邊搖擺．(3)在相同的條件S下重復n次試驗，視察某一事務A是否出現，稱n次試驗中事務A出現的次數nA為事務A出現的頻數，稱事務A出現的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事務A出現的頻率．(4)事務A發生的頻率趨于穩定，在某個常數旁邊搖擺．(5)頻率具有隨機性，做同樣次數的重復試驗，事務A發生的頻率可能不相同；概率是一個確定的數，是客觀存在的，與每次試驗無關．[變式訓練1]李老師在某高校連續3年主講經濟學院的高等數學，下表是李老師這門課3年來的考試成果分布：成果人數90分以上4380分～89分18270分～79分260(續表)成果人數60分～69分9050分～59分6250分以下8經濟學院一年級的學生王小慧下學期將選修李老師的高等數學課，用已有的信息估計她得以下分數的概率(結果保留到小數點后三位)．(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以上．解：總人數為43＋182＋260＋90＋62＋8＝645，依據公式可計算出選修李老師的高等數學課的人的考試成果在各個段上的頻率依次為：eq\f(43,645)≈0.067，eq\f(182,645)≈0.282，eq\f(260,645)≈0.403，eq\f(90,645)≈0.140，eq\f(62,645)≈0.096，eq\f(8,645)≈0.012.用已有的信息，可以估計出王小慧下學期選修李老師的高等數學課得分的概率如下：(1)A＝“90分以上”，則P(A)≈0.067；(2)B＝“60分～69分”，則P(B)≈0.140；(3)C＝“60分以上”，則P(C)≈0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.類型二利用頻率估計概率[例2]下表中列出了10次拋擲硬幣的試驗結果．n為拋擲硬幣的次數，m為硬幣正面朝上的次數，計算每次試驗中“正面朝上”這一事務的頻率，并估算它的概率.[分析]先利用頻率的計算公式依次計算頻率，然后用頻率估計概率．[解]由fn(A)＝eq\f(m,n)可得出這10次試驗中“正面朝上”這一事務出現的頻率依次為0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.49,0.488,0.516,0.524,0.494，這些數字在0.5左右搖擺，由概率的統計定義可得，“正面朝上”的概率為0.5.頻率是事務A發生的次數m與試驗總次數n的比值，利用此公式可求出它們的頻率.頻率本身是隨機變量，當n很大時，頻率總是在一個穩定值旁邊搖擺，這個穩定值就是概率.[變式訓練2]一個地區從某年起4年之內的新生嬰兒數及其中的男嬰數如下表所示：時間范圍1年內2年內3年內4年內新生嬰兒數n554496071352017190男嬰數m2883497069948892(1)計算男嬰誕生的頻率(保留4位小數)；(2)這一地區男嬰誕生的概率約是多少？解：(1)計算eq\f(m,n)即得男嬰誕生的頻率依次約是0.5200,0.5173,0.5173,0.5173.(2)由于這些頻率特別接近0.5173，因此，這一地區男嬰誕生的概率約為0.5173.類型三利用隨機模擬法估計概率[例3]已知某運動員每次投籃命中的概率低于40%，現采納隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中，再以每三個隨機數為一組，代表三次投籃的結果．經隨機模擬產生了20組隨機數：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為()A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15[解析]由題意知模擬三次投籃的結果，經隨機模擬產生了20組隨機數，在20組隨機數中表示三次投籃恰有兩次命中的有191,271,932,812,393，共5組隨機數，∴所求概率為eq\f(5,20)＝eq\f(1,4)＝0.25.[答案]B用整數隨機數模擬試驗估計概率時，首先要確定隨機數的范圍和用哪些數代表不同的試驗結果.我們可以從以下三個方面考慮：1當試驗的樣本點等可能時，樣本點總數即為產生隨機數的范圍，每個隨機數代表一個樣本點；2探討等可能事務的概率時，用按比例安排的方法確定表示各個結果的數字個數及總個數；3當每次試驗結果須要n個隨機數表示時，要把n個隨機數作為一組來處理，此時確定要留意每組中的隨機數字能否重復.[變式訓練3]已知某射擊運動員每次射擊擊中目標的概率都為80%.現采納隨機模擬的方法估計該運動員4次射擊至少3次擊中目標的概率：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，指定0,1，表示沒有擊中目標，2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標；再以每4個隨機數為一組，代表4次射擊的結果．經隨機模擬產生了如下20組隨機數：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281據此估計，該射擊運動員4次射擊至少3次擊中目標的概率為(A)A.eq\f(3,4)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,4)D.eq\f(4,5)解析：∵4次射擊中有2次及以上未擊中目標的有：7140,1417,0371,6011,7610，∴所求概率為1－eq\f(5,20)＝eq\f(3,4).課堂達標練經典1．有下列兩個命題：(1)拋擲100次硬幣，出現正面朝上的頻率為0.4，則硬幣正面對上的次數為40次；(2)若一批產品的次品率為0.1，則此該產品中隨機抽取100件，確定會有10件次品．以下推斷正確的是(C)A．(1)錯；(2)錯 B．(1)錯；(2)正確C．(1)正確；(2)錯 D．(1)正確；(2)正確解析：在命題(1)中，依據題設條件可干脆求得硬幣正面對上的此時為40次，故(1)正確．在命題(2)中次品率為0.1，不等于100件產品中確定有10件次品，故(2)是錯誤的，故應選C.2．在一次摸彩票中獎活動中，一等獎獎金為10000元，某人摸中一等獎的概率是0.001，這是指(C)A．這個人抽1000次，必有1次中一等獎B．這個人每抽一次，就得獎金10000×0.001＝10元C．這個人抽一次，抽中一等獎的可能性是0.001D．以上說法都不正確解析：摸一次彩票相當于做一次試驗，某人摸中一等獎的概率是0.001，只能說明這個人抽一次，抽中一等獎的可能性是0.001，而不能說這個人抽1000次，必有1次中一等獎，也不能說這個人每抽一次，就得獎金10000×0.001＝10(元)，因此選C.3．某人將一枚硬幣連擲10次，正面朝上的狀況出現了8次，若用A表示“正面朝上”這一事務，則A的(B)A．概率為eq\f(4,5) B．頻率為eq\f(4,5)C．頻率為8 D．概率接近于8解析：做n次隨機試驗，事務A發生了m次，則事務A發生的頻率為eq\f(m,n).假如多次進行試驗，事務A發生的頻率總在某個常數旁邊搖擺，那么這個常數才是事務A的概率．故eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)為事務A的頻率．4．天氣預報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%，某部門通過設計模擬試驗的方法探討三天中恰有兩天下雨的概率，先利用計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，用1,2,3,4表示下雨，其余6個數字表示不下雨．產生了20組隨機數：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989則這三天中恰有兩天降雨的概率約為eq\f(1,4).解析：在20組隨機數中表示三天中恰有兩天下雨的有191,271,932,812,393，共有5組隨機數，∴概率約為eq\f(5,20)＝eq\f(1,4).5．某種油菜籽在相同條件下的發芽試驗結果如下表.(1)請完成上述表格(保留3位小數)；(2)該油菜