2.1.2兩條直線平行和垂直的判定高二—人教A版—數學—選擇性必修第一冊—第二章學習目標:1.借助圖形探究兩條平行和垂直直線的斜率關系；2.能利用斜率判定兩條直線平行和垂直；3.能分析圖形特征并進行有效的代數運算，用代數運算結果解釋幾何問題，從而提升數形轉化能力，培養數形結合的數學思想．一、情境探究（一）情境引入已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(-1,-1),B(2,-2),C(4,4),D(1,5)，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明。圖1分析：①作圖，從圖形直觀判斷是個矩形，故應先證明是平行四邊形再證明垂直關系。一、情境探究（一）情境引入已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(-1,-1),B(2,-2),C(4,4),D(1,5)，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明。圖1分析：②根據已學知識，可用向量進行證明：所以，AB∥CD且AB=CD，故四邊形ABCD是平行四邊形，所以，AB⊥AD，故四邊形ABCD是矩形.一、情境探究（二）情境探究已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(-1,-1),B(2,-2),C(4,4),D(1,5)，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明。圖1

上節課我們學習了用傾斜角和斜率刻畫直線的傾斜程度，若我們把四邊形ABCD看成四條直線圍成的封閉圖形，能否從直線的傾斜角和斜率的角度來理解、刻畫兩條直線的平行和垂直關系呢？兩條直線l1,l2：兩條不重合的直線一、情境探究（二）情境探究平面內直線的位置關系平行相交斜率存在斜率不存在垂直①探究斜率存在時，平行直線的斜率關系；②探究斜率存在時，垂直直線的斜率關系；③探究斜率不存在時，直線的平行和垂直情況。一、情境探究（二）情境探究1.兩條斜率存在的平行直線的判定已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(-1,-1),B(2,-2),C(4,4),D(1,5)，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明。圖1

探究（1）：請計算圖中線段所在直線的斜率，觀察并猜想：平行直線的斜率關系。猜想：若斜率分別為k1,k2的兩條直線l1,l2相互平行，則其斜率k1,k2滿足k1=k2。圖2（法一）（法二）直線l1,l2的方向向量分別是則，即。一、情境探究（二）情境探究1.兩條斜率存在的平行直線的判定證明如下：一、情境探究（二）情境探究2.兩條斜率存在的垂直直線的判定已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(-1,-1),B(2,-2),C(4,4),D(1,5)，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明。圖1

探究（2）：根據已計算的直線斜率，觀察并猜想：兩條垂直直線的斜率關系。一、情境探究（二）情境探究2.兩條斜率存在的垂直直線的判定猜想：若斜率分別為k1,k2的兩條直線l1,l2相互垂直，則其斜率k1,k2滿足k1k2=-1。證明如下：圖3（法一）若，則，下面討論情形，其他亦然。所以,即.一、情境探究（二）情境探究2.兩條斜率存在的垂直直線的判定猜想：若斜率分別為k1,k2的兩條直線l1,l2相互垂直，則其斜率k1,k2滿足k1k2=-1。證明如下：圖3則，即。（法二）直線l1,l2的方向向量分別是一、情境探究（二）情境探究3.斜率不存在時兩直線平行和垂直的判定

探究（3）：若直線l1,l2中有斜率不存在的，則應如何討論l1∥l2

或l1⊥l2？情形①：當l1∥l2時，，斜率均不存在；

分析：不妨設直線l2的斜率不存在，則其傾斜角為π/2,則圖4一、情境探究（二）情境探究3.斜率不存在時兩直線平行和垂直的判定

探究（3）：若直線l1,l2中有斜率不存在的，則應如何討論l1∥l2

或l1⊥l2？情形①：當l1∥l2時，，斜率均不存在；

分析：不妨設直線l2的斜率不存在，則其傾斜角為π/2,則情形②：當l1⊥l2時，，所以直線l1的斜率為0.

圖5二、形成新知請總結兩條直線平行和垂直的判定斜率存在，分別為k1,k2斜率不存在（不妨設直線l1的斜率不存在）l1∥l2

k1=k2兩條直線的斜率均不存在，傾斜角均為π/2.l1⊥l2k1k2=-1另一條直線的傾斜角為0，斜率為0.三、典型例題例1.已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2)，試判斷直線AB與PQ的位置關系，并證明你的結論。分析：直線的位置關系是一個幾何問題，不應盲目進行代數運算。應先作圖，進行直觀判斷，再根據幾何特征選擇合適的代數方法進行運算。解：如右圖6,由已知可得直線AB、PQ的斜率

分別為三、典型例題例1.已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2)，試判斷直線AB與PQ的位置關系，并證明你的結論。因為kAB=kPQ，所以直線AB∥PQ.圖6解：三、典型例題變式訓練：已知A(1,2),B(-1,0),C(3,4)三點，請判斷A、B、C三點的位置并證明。所以kAB=kBC，圖7又因為有公共點B，所以A,B,C三點在一條直線上.三、典型例題例1.因為kAB=kPQ，所以直線AB∥PQ.圖6圖7變式訓練：kAB=kBC，又因為有公共點B所以A,B,C三點在一條直線上.思考：斜率相等得到兩直線平行還是兩直線重合？注意：區分重合還是平行，需要借助圖形進行判斷，其中是否有公共點是關鍵。三、典型例題例2.已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三點，試判斷△ABC的形狀。圖8解：如右圖8,邊AB,BC所在直線的斜率分別為所以△ABC是直角三角形。解：依題意得CD∥AB,AD⊥AB三、典型例題變式訓練：在直角梯形ABCD中，已知A(-5,-10),B(15,0),C(5,10)，AD是腰且垂直于兩底，求點D的坐標。圖9設點D(x,y)，因為解得x=-11,y=2,所以D(-11,2)D三、典型例題課堂檢測：判斷下列各對直線是否平行或垂直：(1)經過A(2,3),B(-1,0)兩點的直線l1,與經過P(1,0)且斜率為1的直線l2;(2)l1的傾斜角為45°，l2經過P(-2,-1),Q(3,-6)兩點。答案：(1)平行；(2)垂直四、歸納提升判斷位置關系或幾何圖形的形狀均是一個幾何問題，不應盲目計算，應先作圖，從圖形中分析幾何特征，再選擇合適的代數方法進行計算，最后對代數運算的結果進行幾何解釋。這種數形轉化的思想方法，也稱為數形結合，它是貫穿整個解析幾何的思想方法。幾何問題代數問題幾何解釋坐標系代數運算轉化五、課堂總結1.本節課我們借助具體圖形，經歷計算、觀察、猜想、論證等環節，探究兩直線平行和垂直的判定；2.本節課我們掌握了用斜率判定兩條直線的平行和垂直；3.本節課利用直線的斜率解決一些簡單的幾何問題。六、作業完成配套的目標檢測題。謝謝收看，同學們再見！2.1.2兩條直線平行和垂直的判定答疑高二—人教A版—數學—選擇性必修第一冊—第二章1.重點本節課學習了判定兩條直線平行和垂直的第二種方法——斜率法，它和向量法各有優劣。隨著解析幾何的深入學習，同學們可以不斷嘗試用這兩種方法解決問題，以體驗其中的優劣和特點．2.易錯點易錯點1：本節課教材強調：若沒有特別說明，說“兩條直線l1,l2”時，指兩條不重合的直線。故此，若題目中有強調兩條直線，一般是討論兩條不重合的直線；否則同學們需要考慮所討論的直線是否重合．2.易錯點例如：課本第57頁練習第1題：判斷下列各對直線是否平行或垂直：（1）經過A(2,3)，B(-1,0)兩點的直線l1，與經過點P(1,0)且斜率為1的直線l2分析：經計算kAB=1=k2，則可判定l1∥l2。那條件“經過點P(1,0)”豈不是多余嗎？不是的，通過作圖我們發現，經過點P(1,0)的直線l2肯定與l1不重合，這體現了教材的嚴謹性（如圖10）。圖102.易錯點又例如：課本第58頁習題第5題：判斷下列不同的直線l1與l2是否平行：（2）l1經過P(3,3)，Q(-5,3)兩點，l2平行于x軸，但不經過P,Q兩點分析：題目強調“不同的直線l1與l2”、“不經過P,Q兩點”均是為了保證所討論的兩條直線不重合。

因此，同學們在具體應用中對“平行、重合”應有所警惕。2.易錯點易錯點2：在利用斜率法判定直線的位置關系時，切勿忽略斜率不存在的情況。2.易錯點目標檢測題第2題

已知A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0)，且直線AB與CD平行，則m的值為()A.-1B.0