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文檔簡(jiǎn)介

柯西不等式與權(quán)方和不等式高中必會(huì)系列之題型一

柯西不等式柯西-施瓦茨不等式，最初于1821年被柯西提出，故大多數(shù)時(shí)候被簡(jiǎn)稱為“柯西不等式”。其積分形式在1859被布尼亞科夫斯基提出，其證明由施瓦茲于1888年給出。由于柯西不等式的積分形式在分析學(xué)中占有十分重要的地位，故歷史上，該不等式又稱為柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式。柯西不等式的原始形式描述了離散形式的變量的大小關(guān)系：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)，等號(hào)成立).證明：由均值不等式，可知原式得證二維形式的柯西不等式的變式給定兩個(gè)平面向量由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算規(guī)則可知其中，從而證明原不等式。當(dāng)且僅當(dāng)兩向量共線時(shí)，即

時(shí)，上式取等號(hào)。可推出柯西不等式的向量形式|α·β|≤|α||β|(當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使α＝kβ時(shí)，等號(hào)成立).例1

已知x，y∈R,3x2＋2y2≤6，求2x＋y的最值.例2證明跟蹤訓(xùn)練1

設(shè)a＝(1，－2)，b＝(x，y)，若x2＋y2＝16，則a·b的最大值為________.∵a＝(1，－2)，b＝(x，y)，∴a·b＝x－2y.由柯西不等式的向量形式可得[12＋(－2)2](x2＋y2)≥(x－2y)2，即5×16≥(x－2y)2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝ka，題型二

權(quán)方和不等式

例1

(1)若x>0，y>0，

＝2，則6x＋5y的最小值為__________.

跟蹤訓(xùn)練已知正數(shù)x，y，

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