7.1線性空間的定義與性質7.2維數、基與坐標7.3基變換與坐標變換7.4線性變換7.5線性變換的矩陣表示式

定義7.1.1

設V是一個非空集合，R為實數域.如果對于任意兩個元素α，β∈V，總有唯一的一個元素γ∈V與之對應，稱為α和β的和，記做γ=α+β;又對任意數λ∈R與任一元素α∈V，總有唯一的一個元素δ∈V與之對應，稱為λ與α的積，記做δ=λα；并且這兩種運算滿足以下八條運算規律(設α，β，γ∈V；λ，μ∈R):7.1線性空間的定義與性質(1)α+β=β+α；

(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)；

(3)在V中存在零元素0；對任何α∈V，都有α+0=α；(4)對任何α∈V，都有α的負元素β∈V，使α+β=0；

(5)1α=α；

(6)λ(μα)=(λμ)α；

(7)(λ+μ)α=λα+μα；

(8)λ(α+β)=λα+λβ。

例7.1.1

次數不超過n的多項式的全體，記做P［x］n，即

P［x］n={p=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0|an，…，a1，a0∈R}

對于通常的多項式加法、數乘多項式構成了線性空間。這是因為:通常的多項式加法、數乘多項式這兩種運算顯然滿足線性運算的八條規律，故只要驗證P［x］n對運算封

閉即可。

例7.1.2

n次多項式的全體

Q［x］n={p=anxn+…+a1x+a0|an，…a1，a0∈R，且an≠0}對于通常的多項式加法和數乘運算不構成線性空間.這是因為

0p=0xn+…+0x+0Q［x］n

即Q［x］n對運算不封閉。

例7.1.3

正弦函數的集合

S［x］={s=Asin(x+B)|A，B∈R}

對于通常的函數加法及數乘函數的乘法構成線性空間.這是因為:通常的函數加法及數乘運算顯然滿足線性運算規律，故只要驗證S［x］對運算封閉:

例7.1.4(1)實數域R上的n

元齊次線性方程組AX=0的所有解向量，對于向量的加法和數量乘法，構成R上和一個線性空間，稱為該方程組的一個解空間。

(2)實數域R上的n元非齊次線性方程組AX=b的所有解向量，在上述運算下不能構成R上的線性空間，因為關于線性運算不封閉。

例7.1.5

n個有序實數組成的數組的全體

Sn={x=(x1，x2，…，xn)T|x1，x2，…，xn∈R}

對于通常的有序數組的加法及如下定義的數乘

λ(x1，x2，…，xn)T=(0，0，…，0)T

例7.1.6

正實數的全體，記做R+，在其中定義加法及數乘運算為

a⊕b=ab(a，b∈R+)

λ

a=aλ(λ∈R，a∈R+)

性質1

零元素是唯一的。

證設01，02是線性空間V中的兩個零元素，即對任何

α∈V，有α+01=α，α+02=α。于是有

02+01=02，01+02=01

所以

01=01+02=02+01=02

性質2

任一元素的負元素是唯一的。α的負元素記做-α。

證設α有兩個負元素β、γ，即

α+β=0，α+γ=0

于是

β=β+0=β+(α+γ)=(α+β)+γ=0+γ=γ

性質30α=0；(-1)α=-α；λ0=0。

證

α+0α=1α+0α=(1+0)α=1α=α所以0α=0.

α+(-1)α=1α+(-1)α=［1+(-1)］α=0α=0

所以(-1)α=-α.

λ0=λ［α+(-1)α］=λα+(-λ)α

=［λ+(-λ)］α=0α=0

性質4

如果λα=0，則λ=0

或α=0.

證若λ≠0，在λα=0兩邊乘，得

而

定理7.1.1

線性空間V的非空子集L構成子空間的充分必要條件是:L對于V中的線性運算封閉。

例7.1.7

在線性空間V中，由單個零向量組成的集合W={0}也是線性空間，稱W為V的零子空間.而線性空間V也是其本身的一個子空間。

在線性空間V中，零子空間{0}與線性空間V本身這兩個子空間有時稱為平凡子空間，而V的其他子空間則稱為非平凡子空間。

例7.1.8

R2×3的下列子集是否構成子空間?為什么?

(1)

(2)

解

(1)不構成子空間。

因為對

有

即W1對矩陣加法不封閉，所以W1不構成子空間。

(2)因∈W2，即W2非空。且對任意

有

a1+b1+c1=0，a2+b2+c2=0于是

滿足(a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2)=0，即A+B∈W2。

對任意k∈R有kA=，且

ka1+kb1+kc1=0，即kA∈W2，故W2是R2×3的子空間。例7.1.9

設H是所有形如(α-2β，β-2α，α，β)的向量所構成的集合，其中α，β是任意的實數。即H={(α-2β，β-2α，α，β)|α，β∈R)}。證明H是R4的子空間。

證把H中的向量記成列向量的形式，H中的任意向量都具有如下形式:

令，則H是由p1，p2的線性

組合的向量所構成的集合，即

在H中任取兩向量γ1=k1p1+k2p2和γ2=l1p1+l2p2，有γ1+γ2=(k1p1+k2p2)+(l1p1+l2p2)=(k1+l1)p1+(k2+l2)p2∈H

又對于c∈R，有

cγ1=c(k1p1+k2p2)=(ck1)p1+(ck2)p2∈H

所以H是R4的子空間。

定義7.2.1

在線性空間V中，如果存在n個元素α1，

α2，…，αn，滿足:

(1)α1，α2，…，αn

線性無關；

(2)V中任一元素α總可由α1，α2，…，αn線性表示，那么，α1，α2，…，αn就稱為線性空間V的一個基，n稱為線性空間V的維數，記為dimV=n。7.2維數、基與坐標維數為n的線性空間稱為n維線性空間，記做Vn。

若知α1，α2，…，αn為Vn的一個基，則Vn可表示為

Vn={α=x1α1+x2α2+…+xnαn|x1，x2，…，xn∈R}

這就較清楚地顯示出線性空間Vn的構造。

若α1，α2，…，αn為Vn的一個基，則對任何α∈Vn，都有一組有序數x1，x2，…，xn，使

α=x1α1+x2α2+…+xnαn

定義7.2.2

設α1，α2，…，αn是線性空間Vn

的一個基，對于任一元素α∈Vn,總有且僅有一組有序數x1，x2，…，xn，使

α=x1α1+x2α2+…+xnαn

x1，x2，…，xn這組有序數就稱為元素α在α1，α2，…，αn這個基下的坐標，并記做

α=(x1，x2，…，xn)T

例7.2.1

(1)在n維線性空間Rn中，顯然ε1=(1,0,…,0)T，

ε2=(0,1,…,0)T,…，εn=(0，…，0，1)T為Rn的一組基,對于Rn中的任一向量α=(a1,a2,…,an)T，有α=a1ε1+a2ε2+…+anεn,因此α在基ε1，ε2，…，εn下的坐標為(a1，a2，…，an)T.

(2)e1=(1，1，…，1)T，e2=(0，1，…，1)T，

…，en=(0，…，0，1)T也是Rn中n個線性無關的向量，從而也是Rn的一組基。對于向量α=(a1，a2，…，an)T，有

α=a1e1+(a2-a1)e2+…+(an-an-1)en

例7.2.2

在線性空間P［x］4中，p1=1，p2=x，p3=x2，p4=x3，p5=x4

就是它的一個基.任一不超過4次的多項式

p=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0

都可表示為

p=a0p1+a1p2+a2p3+a3p4+a4p5

若另取一個基q1=1，q2=1+x，q3=2x2，q4=x3，q5=x4，則

例7.2.3

所有二階實矩陣組成的集合R2×2對于矩陣的加法和數

量乘法，構成實數域R上的一個線性空間。試證

是R2×2中的一組基，并求其中矩陣A在該基下的坐標。

證先證其線性無關。由

k1E11+k2E12+k3E21+k4E22=

有

得k1=k2=k3=k4=0，即E11，E12，E21，E22線性無關。

例7.2.4求R4的子空間H的維數，其中

解易知H是由下列向量的全體線性組合所構成的集合:

p1=(2，5，0，0)T，

p2=(-1，0，3，0)T

p3=(2，0，-6，0)T，

p4=(0，4，-1，8)T

定義7.2.3

設U、V是R上的兩個線性空間，如果它們的元素之間有一一對應關系，且這個對應關系保持線性組合的對應，則稱其為線性空間U與V同構映射，并稱線性空間U與V同構。

總之，設在n維線性空間Vn中取定一個基α1，α2，…，αn，建立了坐標以后，則Vn中的向量α與n維數組向量空間Rn中的向量(x1，x2，…，xn)T之間就有一個一一對應的關系，且這個對應關系具有下述性質:

設α(x1，…，xn)T，β(y1，…，yn)T，則

(1)α+β(x1，…，xn)T+(y1，…，yn)T；

(2)λαλ(x1，…，xn)T.

也就是說，這個對應關系保持線性組合的對應.因此，我們可以說Vn與Rn有相同的結構，我們稱Vn與Rn同構。

例7.2.5

利用同構證明多項式2x2+1，5x2+x+4，2x+3在P［x］2

中線性相關。

證由例7.2.2知，上述多項式可以記做，，因為

所以向量，，線性相關。故多項式2x2+1，

5x2+x+4，2x+3在P［x］2中線性相關.實際上，易證

2x+3=2(5x2+x+4)-5(2x2+1)設α1，…，αn及β1，…，βn是線性空間Vn中的兩個基，

(7.3.1)7.3基變換與坐標變換把α1，α2，…，αn這n個有序元素記做(α1，α2，…，αn)，利用向量和矩陣的形式，式(7.3.1)可表示為

或

定理7.3.1

向量空間V中由基α1，α2，…，αn到基β1，β2，…，βn的過渡矩陣P是可逆矩陣。

證

(反證法)若detP=0，則齊次方程組Px=0有非零解

x=(k1，…，kn)T，由此可得

k1β1+…+knβn=(β1，…，βn)x=(α1，…，αn)Px=0

即β1，β2，…，βr線性相關，矛盾。故P是可逆矩陣。

例7.3.1

設α1=，α2=為線性空間V=R2的一組

基，A=為一個二階可逆矩陣,令β1=2α1+α2=2

β2=-α1+3α2=.顯然β1，β2也線性無關，因此β1，β2也是R2的一組基，且(β1，

β2)=(α1，α2)，即A=是由基α1，α2到β1，β2的過渡矩陣。

例7.3.2

已知R2的兩組基α1=，α2=和

β1=，試求α1，α2到β1，β2的過渡矩陣。

解由題意知，。將α1，α2添加到系數矩陣中，并進行初等行變換故所求的過渡矩陣

例7.3.3

已知R4的兩個基為

①②

(1)求由基①改變為基②的過渡矩陣C；

(2)求β=β1+β2+β3-5β4在基①下的坐標。

解采用中介法求過渡矩陣C。簡單基為

e1=(1，0，0，0)T，e2=(0，1，0，0)T

e3=(0，0，1，0)T，e4=(0，0，0，1)T

簡單基→基①:(α1，α2，α3，α4)=(e1，e2，e3，e4)C1

簡單基→基②:(β1，β2，β3，β4)=(e1，e2，e3，e4)C2

基①→基②:(β1，β2，β3，β4)=(α1，α2，α3，α4)

C-11C2

定理7.3.2

設Vn中的元素α，在基α1，α2，…，αn下的坐標為(x1，x2，…，xn)T，在基β1，β2，…，βn下的坐標為(x1′，x2′，…，xn′)T。若兩個基滿足關系式(7.3.2)，則有坐標變換公式

(7.3.3)

證因

例7.3.4

設α1=(-2，1，3)T，

α2=(-1，0，1)T，α3=(-2，-5，-1)T為R3的一個基，試求β=(4，12，6)T關于該基的坐標。

解R3的標準基為ε1=(1，0，0)T，

ε2=(0，1，0)T，ε3=(0，0，1)T。

顯然有，

即(α1，α2，α3)=(ε1，ε2，ε3)A,其中

A=，就是由標準基ε1，ε2，ε3到基

α1，α2，α3的過渡矩陣。設β關于基α1，α2，α3的坐標為(x1，x2，x3)T

，則有

即β關于基α1，α2，α3的坐標為(7，-16，-1)T。

例7.3.5

在P［x］3中取兩個基

α1=x3+2x2-x

α2=x3-x2+x+1

α3=-x3+2x2+x+1

α4=-x3-x2+1

及β1=2x3+x2+1

β2=x2+2x+2

β3=-2x3+x2+x+2

β4=x3+3x2+x+2

解將β1，β2，β3，β4用α1，α2，α3，α4表示.由

(α1，α2，α3，α4)=(x3，x2，x，1)A

(β1，β2，β3，β4)=(x3，x2，x，1)B

其中即故坐標變換公式為

用矩陣的初等行變換求B-1A:把矩陣(B

A)中的B]變成E，則A即變成B-1

A。計算如下:即得

例7.3.6(坐標變換的幾何意義)設α1=，α2=

及β1=，β2=為線性空間V=R2的兩個基。

又設α=，求α在β1，β2下的坐標。

解

α在α1，α2下的坐標為，又圖7-1由坐標變換公式可知，圖7-1中α在基β1，β2下的坐標為

即α=β1-β2。圖7.17.4.1線性變換

定義7.4.1

設有兩個非空集合A、B，如果對于A中的任一元素α，按照一定的規則，總有B中一個確定的元素β和它對應，那么，這個對應規則稱為從集合A到集合B的變換(或映射)。我們常用字母表示一個變換，譬如把上述變換記做T，并記

β=T(α)或

β=Tα，(β∈A)

(7.4.1)7.4線性變換設α1∈A，T(α1)=β1，就說變換T把元素α1變為

β1，β1稱為α1在變換T下的像，α1稱為β1在變換T下的源像。A稱為變換T的源集，像的全體所構成的集合稱為像

集，記做T(A)，即

T(A)={β=T(α)|α∈A}

定義7.4.2

設Vn、Um分別是實數域上的n維和m維線性空間，T是

一個從Vn到Um的變換，如果變換T滿足

(1)任給α1，α2∈Vn，(從而α1+α2∈Vn)，有

T(α1+α2)=T(α1)+T(α2)

(2)任給α∈Vn，k∈R，(從而kα∈Vn)，有

T(kα)=kT(α)

例7.4.1

在線性空間P［x］3中，任取

p=a3x3+a2x2+a1x+a0∈P［x］3

q=b3x3+b2x2+b1x+b0∈P［x］3

證

(1)

p=a3x3+a2x2+a1x+a0∈P［x］3

q=b3x3+b2x2+b1x+b0∈P［x］

Dp=3a3x2+2a2x+a1，Dq=3b3x2+2b2x+b1

所以

D(p+q)=D［(a3+b3)x3+(a2+b2)x2+(a1+b1)x+(a0+b0)］

=3(a3+b3)x2+2(a2+b2)x+(a1+b1)

=(3a3x2+2a2x+a1)+(3b3x2+2b2x+b1)

=Dp+Dq

D(p+q)=Dp+Dq

k∈R

D(kp)=D(ka3x3+ka2x2+ka1x+ka0)=k(3a3x2+2a2x+a1)=kD

p

(2)T(p+q)=a0+b0=T(p)+T(q)

T(kp)=ka0=kT(p)

故T是P［x］3中的線性變換。

(3)T1(p+q)=1，但T1(p)+T1(q)=1+1=2，所以

T1(p+q)≠T1(p)+T1(q)

故T1不是P［x］3中的線性變換。

例7.4.2

由關系式T確定xOy

平面上的一個變換T，說明T的幾何意義。

解記，于是

例7.4.3

定義在閉區間上的全體連續函數組成實數域R上的一個線性空間V，在這個空間中定義變換T(f(x))=f(t)dt，試證T是線性變換。

證設f(x)∈V，g(x)∈V，k∈R，則有

7.4.2線性變換的基本性質

設T是Vn中的線性變換，則

(1)T0=0，T(-α)=-Tα；

(2)若β=k1α1+k2α2+…+kmαm，則

Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+kmTαm

(3)若α1，α2，…，αm線性相關，則Tα1，Tα2，…，Tαm亦線性相關。

(4)線性變換T的像T(Vn)是一個線性空間(Vn的子空間)，稱為線性變換T的像空間。

證設β1，β2∈T(Vn)，則有α1，α2∈Vn，使Tα1=β1，Tα2=β2，從而

β1+β2=Tα1+Tα2=T(α1+α2)∈T(Vn)(因α1+α2∈Vn)

kβ1=kTα1=T(kα1)∈T(Vn)(因kα1∈Vn)

(5)使Tα=0的α的全體

ST={α|α∈Vn，Tα=0}

也是Vn的子空間，ST稱為線性變換T的核。

證

ST

Vn，若α1，α2∈ST，Tα1=0，Tα2=0，則

T(α1+α2)=Tα1+Tα2=0即α1+α2∈ST

對k∈R，則T(kα1)=kTα1=k

0=0，所以kα1∈ST。

例7.4.4

設有n階矩陣

證設a，b∈Rn，則

T(a+b)=A(a+b)=Aa+Ab=T(a)+T(b)

T(ka)=A(ka)=kAa=kT(a)

例7.4.5

定義線性變換T:R2→R2為

求α1=，α2=和α1+α2在變換T下的像，并說明變換T的幾何意義。解

圖7-2表明了變換T把α1，α2和α1+α2繞原點逆時針旋轉了90°。實際上，變換T把α1，α2確定的平行四邊形變換

成T(α1)，T(α2)確定的平行四邊形。圖7－2例7.4.4中，關系式

T(x)=Ax(x∈Rn)

簡單明了地表示出Rn中的一個線性變換.我們自然希望Rn中任何一個線性變換都能用這樣的關系式來表示.為此，考慮到α1=Ae1，…，αn=Aen(e1，…，en為單位坐標向量)，即

αi=T(ei)(i=1，2，…，n)7.5線性變換的矩陣表示式可見如果線性變換T有關系式

T(x)=Ax，那么矩陣A應以T(ei)為列向量.反之，如果一個線性變換T使T(ei)=αi(i=1，2，…，n)，那么T必有關系式

T(x)=T［(e1，…，en)x=T(x1e1+x2e2+…+xnen)

=x1T(e1)+x2T(e2)+…+xnT(en)

=(T(e1)，…，T(en))x=(α1，…，αn)x=Ax

定義7.5.1

設T是線性空間Vn中的線性變換，在Vn中取定一個基α1，α2，…，αn，如果這個基在變換T下的像(用這個基線性表示)為記T(α1，α2，…，αn)=(T(α1)，T(α2)，…，T(αn))，上式可表示為

T(α1，α2，…，αn)=(α1，α2，…，αn)A

(7.5.1)

其中Vn中的任意元素記為，有

即(7.5.2)定義7.5.1和上面一段討論表明，在Vn中取定一個基以后，由線性變換T可唯一地確定一個矩陣A，由一個矩陣A也可唯一地確定一個線性變換T，這樣，在線性變換與矩陣之間就有一一對應的關系。

由關系式(7.5.2)可見，α與T(α)在基α1，α2，…，

αn下的坐標分別為

例7.5.1

設e1=如果T是從R2到

R3的線性變換:

求任意x∈R2的像的公式。解

因為T是從R2到R3的線性變換，所以

例7.5.2

在P［x］3中，取基

p1=x3，p2=x2，p3=x，p4=1

求微分運算D的矩陣。

解

所以D在這組基下的矩陣為

例7.5.3

在R3中，T表示將向量投影到xOy平面的線性變換，即

(1)取基為求T的矩陣；

(2)取基為α=，γ=，求T的矩陣。

解(1)

(2)

即

例7.5.4

實數域R上所有一元多項式的集合，記做P［x］，P［x］中次數小于n的所有一元多項式(包括零多項式)組成的集合記做P［x］n，它對于多項式的加法和數與多項式的乘法，構成R上的一個線性空間，在線性空間P［x］n

中，定義變換

σ(f(x))=

f(x)，f(x)∈P［x］n

則由導數性質可以證明:σ是P[x]n上的一個線性變換，這個變換也稱為微分變換。現取P[x]n的基為1，x，x2，…，xn-1，則有

σ(1)=0，σ(x)=1，σ(x2)=2x，…，σ(xn-1)=(n-1)xn-2

因此，σ在基1，x，x2，…，xn-1下的矩陣為

定理7.5.1

設線性空間Vn中取定兩個基

α1，α2，…，αn

β1，β2，…，βn

由基α1，α2，…，αn到基β1，β2，…，βn的過渡矩陣為P，Vn中的線性變換T在這兩個基下的矩陣依次為A和B，那么B=P-1AP。

證按定理的假設，有

(β1，β2，…，βn)=(α1，α2，…，α