機密★啟用前2024年下學期長沙市岳麓實驗中學高二入學考試數學考試范圍：必修部分；考試時間：120分鐘，滿分120分.注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上一、單選題（共40分）1.已知是虛數單位，則的虛部是（）A. B. C. D.2.對于①，②，③，④．⑤，⑥，則為第三象限角的充要條件為（）A.①③ B.④⑥ C.②③ D.②⑤3若，則（）A. B. C.2 D.4.表示的小數部分，則的值是A.-1 B.-2 C.0 D.5.函數（其中，的圖象如圖所示，為了得到的圖象，可以將的圖象A.向右平移個單位長度B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度D.向左平移個單位長度6.已知函數，是公差不為0的等差數列，，則的值為（）A.0 B.1 C.2 D.57.在平面內，四邊形ABCD的與互補，，則四邊形ABCD面積的最大值=（）A. B. C. D.8.在三棱錐中，．若與面所成角最大值為，則的值為（）A. B. C. D.二、多選題（共18分）9.若，則下列不等式中正確的是（）A. B.C. D.10.已知定義域為的函數對任意實數都有，且，則（）A. B.C. D.11.設函數，已知在[0,2π]有且僅有4個零點，下述四個結論正確的是（）A.在有且僅有3個極大值點B.在有且僅有2個極小值點C.取值范圍是[,）D.在上單調遞增三、填空題（共15分）12.若關于的方程有兩個不同的實數解，則實數的取值范圍是________.13.在三棱錐中，底面是邊長為2等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，若二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為______.14.設函數的最大值為，最小值為，那么________四、解答題（共77分）15.某中學為增強學生環保意識，舉辦了“愛貴陽，護環境”的知識競賽活動，為了解本次知識競賽活動參賽學生的成績，從中抽取了名學生的分數（得分取正整數，滿分為100分，所有學生的得分都在區間中）作為樣本進行統計，按照，，，，的分組作出如圖甲所示的頻率分布直方圖，并作出如圖乙的樣本分數莖葉圖（圖中僅列出了得分在，的數據）.（1）求樣本容量和頻率分布直方圖中，的值；（2）在選取的樣本中，從競賽成績不低于80分的2組學生中按分層抽樣抽取了5名學生，再從抽取的這5名學生中隨機抽取2名學生到觀山湖公園參加環保知識宣傳活動，求抽到的2名學生成績均在的概率（將樣本頻率視為概率）.16.如圖，在四棱錐中，底面，，，，，，是的中點.(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積；(3)求二面角的余弦值．17.某公司為提高員工的綜合素質，聘請專業機構對員工進行專業技術培訓，其中培訓機構費用成本為12000元.公司每位員工的培訓費用按以下方式與該機構結算：若公司參加培訓的員工人數不超過30人時，每人的培訓費用為850元；若公司參加培訓的員工人數多于30人，則給予優惠：每多一人，培訓費減少10元.已知該公司最多有60位員工可參加培訓，設參加培訓的員工人數為人，每位員工的培訓費為元，培訓機構的利潤為元.（1）寫出與之間的函數關系式；（2）當公司參加培訓的員工為多少人時，培訓機構可獲得最大利潤？并求最大利潤.18.在中，分別是所對的邊，,，三角形的面積為，（1）求的大??；（2）求的值．19.如圖，一個角形海灣，（常數為銳角）.擬用長度為（為常數）的圍網圍成一個養殖區，有以下兩種方案可供選擇：圖1圖2方案一：如圖1，圍成扇形養殖區，其中；方案二：如圖2，圍成三角形養殖區，其中．現給定數據如下：，（1）求方案一中養殖區的面積；（2）求方案二中養殖區的最大面積；（3）為使養殖區的面積最大，應選擇何種方案？并說明理由．

機密★啟用前2024年下學期長沙市岳麓實驗中學高二入學考試數學考試范圍：必修部分；考試時間：120分鐘，滿分120分.注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上一、單選題（共40分）1.已知是虛數單位，則的虛部是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據復數除法的運算法則和虛部的概念求解即可.【詳解】由題意得，，虛部為.故選：C2.對于①，②，③，④．⑤，⑥，則為第三象限角的充要條件為（）A.①③ B.④⑥ C.②③ D.②⑤【答案】D【解析】【分析】根據三角函數值的正負性，結合充要條件的性質逐一判斷即可.【詳解】A：因，，所以為第一象限角，因此不符合題意；B：因為，，所以為第二象限角，因此不符合題意；C：因為，，所以為第四象限角，因此不符合題意；D：因為，，所以為第三象限角，顯然當為第三象限角時，，成立，故選：D3.若，則（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】由余弦的二倍角公式化簡求得，再運用同角三角函數間的關系可得選項．【詳解】由已知可得，∴，，∴，即，故選：B.【點睛】本題考查余弦的二倍角公式和同角三角函數間的關系，屬于基礎題．4.表示的小數部分，則的值是A.-1 B.-2 C.0 D.【答案】A【解析】【分析】對進行分母有理化得，通過對值的估算，得到的范圍，進而得到的取值，再代入對數式求值.【詳解】因為，而，則，所以，所以.故選A.【點睛】本題考查用逼近法估算無理數的大小，用有理數逼近無理數，考查對數式的運算求值.5.函數（其中，的圖象如圖所示，為了得到的圖象，可以將的圖象A.向右平移個單位長度B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度D向左平移個單位長度【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由題意，,所以，令，則，即向右平移可以得到.考點：正弦型函數解析式函數圖像平移變換點評：在求解的圖像時，核心是理解各變量對圖像的影響，另外，函數平移口訣“左加右減，上加下減”是快速準確解題的關鍵.6.已知函數，是公差不為0的等差數列，，則的值為（）A.0 B.1 C.2 D.5【答案】C【解析】【分析】，函數關于中心對稱，構造函數，關于中心對稱，利用等差數列性質即可尋找其零點，即可求解.【詳解】，，所以函數關于中心對稱，其導函數，可得是單調增函數，構造函數，關于中心對稱，且單調遞增，有唯一零點，將變形為，即，是公差不為0的等差數列，則一定是單調數列，不妨考慮：，根據等差數列性質，即與軸的交點，所以，所以.故選：C【點睛】此題考查函數對稱性與零點問題，關鍵在于弄清已知函數的單調性對稱性和零點，需要掌握三次函數的基本性質，例如此題考到三次函數必有對稱中心，根據函數圖象的中心對稱關系求值.7.在平面內，四邊形ABCD的與互補，，則四邊形ABCD面積的最大值=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據正弦定理，可求得，即角或，分類討論，由，計算三角形的面積，利用均值不等式求最值即可.【詳解】因為與互補，，且四點共圓.所以，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，所以，得，所以或.設四邊形的外接圓半徑為，則，解得.（1）設.當，則，故，此時，且，在中，，所以，即.所以四邊形面積，當且僅當時，四邊形面積取得最大值為（2）當，則，故，所以.因為，所以，則在中由余弦定理得，所以，即.所以，此時，四邊形面積.綜上，四邊形面積的最大值等于，故選：B.【點睛】本題主要考查了正弦定理解三角形，三角形面積公式，均值不等式，屬于難題.8.在三棱錐中，．若與面所成角的最大值為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取中點分別為O，D，E，連，過D作于G，連，可證為所求線面角，設，用表示出求最值.【詳解】取中點分別為O，D，E，連，過D作于G，連，由，則，又，則，又平面，平面，，所以平面，又平面，則，又平面，平面，，則平面．又，故與面所成角與與面所成角相等，所以為所求線面角，設，則，，故，令，則，因為，所以，當且僅當時取等號．所以.故選：C【點睛】關鍵點點睛：已知斜線AB與平面交于點B，則直線AB與平面所成角的作法：（1）直接法作線面角：即定義法，過A作面垂線，垂足為，根據線面角的定義得為直線AB與平面所成角.（2）借助于面面垂直作線面角：過A點作平面的垂面，過A點作兩面交線的垂線，垂足為，則為直線AB與平面所成角.二、多選題（共18分）9.若，則下列不等式中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據基本不等式可知ACD正確，舉特值可知B錯誤.【詳解】由基本不等式可知，當且僅當時等號成立，選項A成立；取，則，此時，選項B錯誤；由基本不等式可知：，當且僅當時等號成立，選項C成立；，當且僅當時等號成立，選項D成立；故選：ACD.10.已知定義域為的函數對任意實數都有，且，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】對于A，在表達式中令結合已知即可驗證；對于B，在表達式中令結合A選項分析即可驗證；對于C，在表達式中令結合已知即可驗證；對于D，結合B、C選項的分析即可驗證.【詳解】對于A，在中令，可得，又，所以，故A選項正確；對于B，在中令，可得，又由A選項分析可知，所以，所以，由實數具有任意性，所以，故B選項正確；對于C，中令，結合，故可得，所以，由于實數具有任意性，所以，故C選項正確；對于D，由C選項分析可知，而由B選項分析可知，所以，故D選項錯誤.故選：ABC.11.設函數，已知在[0,2π]有且僅有4個零點，下述四個結論正確的是（）A.在有且僅有3個極大值點B.在有且僅有2個極小值點C.的取值范圍是[,）D.在上單調遞增【答案】BCD【解析】【分析】當時求出整體的范圍，結合的圖象求出的范圍，然后再結合的圖象判斷A、B選項是否正確．對于D：當時，結合的范圍判斷整體是否在正弦函數的增區間內.【詳解】

因為，則，有4個零點，則，，故C對；有兩個極小值點，2個或3個極大值點，故A錯，B對；對于D：當時，，，∴在上單調遞增，故D對，故選：BCD三、填空題（共15分）12.若關于的方程有兩個不同的實數解，則實數的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】將問題轉化為函數與的圖象的有兩個交點的問題，結合函數圖象求解即可.【詳解】解：令，得，由題意可知函數與的圖象有兩個交點，結合函數圖象（如圖），可知，.故答案：．【點睛】本題考查函數的零點問題，方法是數形結合法，把零點個數轉化為函數圖象與直線交點個數，本題屬于中檔題．13.在三棱錐中，底面是邊長為2的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，若二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為______.【答案】##【解析】【分析】取BC的中點H，連接AH，DH，則可得為二面角的平面角，過點H作與平面ABC垂直的直線，則球心O在該直線上，設球的半徑為R，連接OA，OD，然后在中利用余弦定理可求出R，從而可求得球的表面積.【詳解】如圖，取BC的中點H，連接AH，DH，由題意，，，所以，所以為二面角的平面角，所以，因為是以為斜邊的等腰直角三角形，且，所以，又是邊長為2的等邊三角形，所以，過點H作與平面ABC垂直的直線，則球心O在該直線上，設球的半徑為R，連接OA，OD，可得，在中，，利用余弦定理可得，所以，解得R2＝，所以其外接球的表面積為.故答案為：.14.設函數的最大值為，最小值為，那么________【答案】4021【解析】【分析】先把函數變形為,判斷函數的單調性,根據函數在定義域上為增函數以及函數的定義域就可求出函數的最大值與最小值,進而求出最大值與最小值之和.【詳解】函數

在上為增函數,在上為減函數

在上為增函數,

而在上也為增函數

在上為增函數

，

故答案為4021【點睛】本題主要考查了利用函數的單調性求函數的最大值與最小值,關鍵是把函數化簡成可以判斷單調性的形式.四、解答題（共77分）15.某中學為增強學生的環保意識，舉辦了“愛貴陽，護環境”的知識競賽活動，為了解本次知識競賽活動參賽學生的成績，從中抽取了名學生的分數（得分取正整數，滿分為100分，所有學生的得分都在區間中）作為樣本進行統計，按照，，，，的分組作出如圖甲所示的頻率分布直方圖，并作出如圖乙的樣本分數莖葉圖（圖中僅列出了得分在，的數據）.（1）求樣本容量和頻率分布直方圖中，的值；（2）在選取的樣本中，從競賽成績不低于80分的2組學生中按分層抽樣抽取了5名學生，再從抽取的這5名學生中隨機抽取2名學生到觀山湖公園參加環保知識宣傳活動，求抽到的2名學生成績均在的概率（將樣本頻率視為概率）.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）根據頻率分布直方圖和莖葉圖中的數據即可求出;（2）由古典概型列出事件的所有情況即可求得概率.【小問1詳解】由直方圖可知，分數在中的頻率為，根據莖葉圖可知，分數在中的頻數為3，所以樣本容量，根據莖葉圖可知，分數在中的頻數為1，所以分數在中的頻率為，所以，所以，由，得，綜上所述：，，．【小問2詳解】由題意，本次競賽成績樣本中分數在中的學生有名，分數在中的學生有名．抽取分數在中的學生有名，抽取分數在中的學生有名．設成績在分的學生為，，成績在的學生為，，．從成績在80分以上的學生中隨機抽取兩名學生，共有，，，，，，，，，共10種情況，其中2名同學均在共有，，共3種情況，設抽到的2名學生成績均在為事件，所以.16.如圖，在四棱錐中，底面，，，，，，是的中點.(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積；(3)求二面角的余弦值．【答案】(1)答案見解析；(2)；(3).【解析】【分析】(1)取AD中點N，連接MN，CN，推證平面CMN與平面BPA平行而得；(2)由于M是PD中點，點P，D到平面ACM等距離，利用等體積法轉化求得；(3)作出二面角M-AC-D的平面角，由直角三角形求解而得.【詳解】(1)在四棱錐P-ABCD中，取AD中點N，連接MN，CN，如圖，因M是PD中點，則MN//PA，MN平面PAB，所以MN//平面PAB，由已知得BC//AN且BC=AN，則ABCN為平行四邊形，則CN//AB，CN平面PAB，所以CN//平面PAB，而平面CMN，MN平面CMN，平面CMN//平面PAB，又CM平面CMN，CM//平面PAB；(2)由(1)知MN//PA，，而PA⊥平面ABCD，所以MN⊥平面ABCD，而AB⊥BC，則是矩形，CN⊥AD，平面ACM經過線段PD的中點，則點P，D到平面ACM距離相等，CN=AB=1，；(3)取AC中點O，連ON，OM，因CN=AN=1，CN⊥AN，則ON⊥AC，由(2)知MN⊥AC，所以AC⊥平面OMN，AC⊥OM，∠MON是二面角M-AC-D的平面角，中，MN⊥ON，MN=1，ON=，則，.【點睛】(1)三棱錐體積，可以利用等體積法轉化求解；(2)求二面角大小的方法，一是作出二面角的平面角解決，二是用空間向量方法解決.17.某公司為提高員工的綜合素質，聘請專業機構對員工進行專業技術培訓，其中培訓機構費用成本為12000元.公司每位員工的培訓費用按以下方式與該機構結算：若公司參加培訓的員工人數不超過30人時，每人的培訓費用為850元；若公司參加培訓的員工人數多于30人，則給予優惠：每多一人，培訓費減少10元.已知該公司最多有60位員工可參加培訓，設參加培訓的員工人數為人，每位員工的培訓費為元，培訓機構的利潤為元.（1）寫出與之間的函數關系式；（2）當公司參加培訓的員工為多少人時，培訓機構可獲得最大利潤？并求最大利潤.【答案】（1）；（2）【解析】【詳解】分析：（1）根據題意，只要注意超過30人時，每多1人才能減少10元，因此可分類，和（），在時，培訓費用為；（2）利潤是用每人的培訓費用乘以培訓人數減去成本1200