3.3.2拋物線的簡單幾何性質一、復習回顧

思考?類比用方程研究橢圓、雙曲線幾何性質的過程與方法,你認為應研究拋物線y2=2px(p>0)的哪些幾何性質?如何研究這些性質?二、拋物線的簡單幾何性質因為p>0，由方程y2=2px可知，對于拋物線上的點M(x,y)，x≥0，y∈R．當x>0時，拋物線在y軸的右側，開口方向與x軸正向相同；當x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.1.范圍以-y代y，方程y2=2px不變，拋物線關于x軸對稱.我們把拋物線的對稱軸叫拋物線的軸.2.對稱性3、頂點拋物線和它的軸的交點稱為拋物線的頂點.在方程y2=2px(p>0)中，當x=0時，y=0，因此拋物線的頂點就是坐標原點.

4、離心率由拋物線的定義，可知e=1.

連接拋物線上任意一點M(x0,y0)與焦點F的線段|MF|叫做拋物線的焦半徑.

下面請大家類比得出其余三種標準方程拋物線的幾何性質。

過焦點而垂直于對稱軸的弦AB，稱為拋物線的通徑.

利用拋物線的頂點、通徑的兩個端點可較準確畫出反映拋物線基本特征的草圖.|AB|=2p2p越大，拋物線張口越大.5、通徑ABxyOFy2=2px2p圖形方程焦點準線范圍頂點對稱軸ey2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x軸y軸1探究新知

四種拋物線的幾何性質的對比1.拋物線只位于半個坐標平面內,雖然它可以無限延伸,但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;3.拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準線;4.拋物線的離心率是確定的,為1;5.拋物線標準方程中的p對拋物線開口的影響.

解惑提高四種拋物線的幾何性質的特點

解：由已知可設拋物線的標準方程為y2=2px（p>0）因此所求方程為：y2=4x

解惑提高當焦點在x軸上,開口方向不定時,設為y2=2mx(m≠0),當焦點在y軸上,開口方向不定時,設為x2=2my(m≠0),可避免討論.

三、例題講解：求適合下列條件的拋物線的標準方程：（1）關于x軸對稱，并且經過點M(5,-4)；（2）關于y軸對稱，準線經過點E(5,-5)；

（3）準線在y軸右側，頂點到準線的距離是4；（4）焦點F在y軸負半軸上，經過橫坐標為16的點P，且FP平行于準線.

即時鞏固

例4斜率為1的直線l經過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長．分析:由拋物線的方程可以得到它的焦點坐標，又直線l的斜率為1，所以可以求出直線l的方程；與拋物線的方程聯立，可以求出A,B兩點的坐標；利用兩點間的距離公式可以求出|AB|.這種方法思路直接,具有一般性.請你用此方法求|AB|.解:由拋物線的標準方程得,焦點F坐標為

(1,0),所以直線AB的方程為y-0=x-1，即y=x-1．①將方程①代入拋物線方程y2=4x，得x2-6x+1=0．

例4斜率為1的直線l經過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長．解:直線AB的方程為y-0=x-1，即y=x-1．①將方程①代入拋物線方程y2=4x，得x2-6x+1=0．

例4斜率為1的直線l經過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長．另外一種方法——數形結合的方法.

例4斜率為1的直線l經過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長．

例4斜率為1的直線l經過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長．弦長公式

焦點弦長公式經過拋物線焦點的直線與拋物線交于A,B兩點，則稱弦AB為拋物線的焦點弦.設過拋物線y2=2px(p＞0)焦點的直線交拋物線于A，B兩點，設A(x1,y1)

，B(x2,y2)，則焦點弦|AB|＝

(x1＋x2)

＋p(x1,y1)(x2,y2)解惑提高過點M(2,0)作斜率為1的直線l，交拋物線y2=4x于兩點A、B，求焦點，求|AB|．

即時鞏固四、總結提升拋物線的簡單幾何性質1.拋物線的簡單幾何性質：范圍，對稱性，頂點，離心率；2.利用數形結合思想研究了幾何性質；3.用坐標法解決問題，幾何問題“翻譯”為代數問題——代數運算與推理——代數結論“翻譯”為幾何結論．方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=