1PAGE第1頁2024-2025學年度第一學期高二期中測試數學試題本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．答題前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型填涂在答題卡相應位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數z滿足，則（）A. B. C. D.2.已知平面上的兩個非零向量，滿足，則（）A B. C. D.3.函數在區間單調遞減，則實數取值范圍是（）A. B. C. D.4.（）A. B. C. D.5.已知四棱錐的底面是正方形，頂點在底面的射影是底面的中心，高為.若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，且該圓柱的體積為，則四棱錐的底面的邊長為（）A. B.6 C. D.96.已知向量，，且，則（）A. B.4 C. D.87.已知，且，則的最大值為（）A.9 B.12 C.36 D.488.已知圓D：與x軸相交于A、B兩點，且圓C：，點．若圓C與圓D相外切，則最大值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在正方體中，為中點，是正方形內部及邊界上一點，則下列說法正確的是（）A.平面平面B.當時，點的軌跡長度為C.平面內存在一條直線與直線成角D.將以邊所在的直線為軸旋轉一周，則在旋轉過程中，到平面的距離的取值范圍是10.如圖，四邊形為正方形，平面平面，且為正三角形，為的中點，則下列命題中正確的是（）A.平面B.C.直線與所成角余弦值為D.點到平面的距離為11.點A，B為圓上的兩點，點為直線上的一個動點，則下列說法正確的是（）A.當，且AB為圓的直徑時，面積的最大值為3B.從點P向圓M引兩條切線，切點分別為A，B，的最小值為C.A，B為圓M上的任意兩點，在直線l上存在一點P，使得D.當時，的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，角，，所對邊分別為，，，滿足則角_____.13.已知正四面體的邊長為2，點M，N為棱BC，AD的中點，點E，F分別為線段AM，CN上的動點，且滿足，則線段EF長度的最小值為__________.14.已知曲線與直線有且僅有一個公共點，那么實數的取值范圍是______.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.的內角的對邊分別為，已知．（1）求角；（2）若，的面積為，求．16.如圖，四棱錐的底面是正方形，側棱底面，，E是的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.17.文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創造者，某市為提高市民對文明城市創建的認識，舉辦了“創建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數）分成六段：40,50，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）求樣本成績的第75百分位數；18.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，是邊長為的正三角形，，平面平面.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19.已知直線的方程為：.（1）求證：不論為何值，直線必過定點；（2）過（1）中的點引直線交坐標軸正半軸于，兩點，求面積的最小值.2024-2025學年度第一學期高二期中測試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.【答案】ABD10.【答案】BD11.【答案】ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12【答案】##13.【答案】14.【答案】四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角，即可求得答案；（2）由三角形面積求出c，再利用余弦定理即可求得答案.【小問1詳解】由題意知，即，由于，故，即，結合，則；【小問2詳解】，，的面積為，則，則，故，故.16.【解析】【分析】（1）連接，交于點，根據中位線定理和線面平行的判定定理進行證明.（2）利用線面垂直的判定定理和性質定理及平面幾何的知識，證明得到是二面角的平面角，從而計算得到結果.【小問1詳解】連接，交于點，由底面是正方形，可知為的中點，又是的中點，是的中位線，，又平面，平面，平面.【小問2詳解】設，，底面，底面，，即是直角三角形，，又E是的中點，，同理可得，且，，平面，平面，，在直角中，，，，又，二面角的平面角為，.二面角的平面角的余弦值為.17.【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖各小矩形面積和為1求出即得.（2）利用第75百分位數的定義，結合頻率分布直方圖列式計算即得.【小問1詳解】由頻率分布直方圖中各小矩形的面積之和為1，得，所以.【小問2詳解】成績落在內的頻率為，落在內的頻率為，則樣本成績的第75百分位數為，由，得，所以樣本成績的第75百分位數為84.18.【解析】【分析】（1）取的中點，連接，根據條件得到，，由線面垂直的判定理得平面，再由線面垂直的性質定理，即可證明結果；（2）根據條件，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和，利用線面角的向量法，即可求解.【小問1詳解】如圖，取的中點，連接，因為是邊長為的正三角形，所以，在菱形中，，則為等邊三角形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以.【小問2詳解】由（1）得，因為平面平面，平面平面平面，所以平面，如圖，以點為原點，分別以為軸正方向建立空間直角坐標系.因，則.設平面的法向量為n=x,y,z，則有，令，則，所以，因為，記直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為.19.【解析】【分析】（1）把直線方程寫成，