第四章三角形第22課時相似三角形的性質(不含位似)

3.平行線分線段成比例(1)定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.(2)推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例.

2

（一）（二）(二)相似三角形和相似多邊形1.相似三角形的性質與判定(1)性質：①相似三角形的對應角相等，對應邊成比例；②相似三角形對應高的比、對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比；③相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.(2)判定：①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；②兩角分別相等的兩個三角形相似；③兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；④三邊成比例的兩個三角形相似.（一）（二）2.相似多邊形的性質(1)相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例(對應邊的比叫做相似比).(2)相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

（一）（二）

（一）（二）△ABC

4.如圖，四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，則相似比為______，a＝____，∠D＝_____°.（一）（二）1∶210135重點拓展：相似三角形的常見模型A字型（一）（二）A字型（一）（二）A字型（一）（二）A字型(4)雙垂直型已知：△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC結論：①AB2＝BD·BC②AC2＝CD·BC③AD2＝BD·CD（一）（二）8字型（一）（二）8字型（一）（二）旋轉型特征：有一個公共頂點的一組角相等.(1)旋轉不相交型已知：∠BAC＝∠DAE(或∠BAD＝∠CAE)，∠B＝∠D(或∠C＝∠E)結論：△ABC∽△ADE

（一）（二）旋轉型(2)旋轉相交型已知：∠BAC＝∠DAE(或∠BAD＝∠CAE)，∠B＝∠D(或∠C＝∠E)結論：△ABC∽△ADE（一）（二）K字型特征：兩個三角形的一條邊在一條直線上，并且有一個頂點重合.(1)一線三垂直型已知：∠B＝∠ACE＝∠D＝90°結論：①△ABC∽△CDE②AB·DE＝BC·CD

（一）（二）K字型(2)一線三等角型已知：∠B＝∠ACE＝∠D＝α結論：①△ABC∽△CDE②AB·DE＝BC·CD（一）（二）考點1考點2

A

考點1考點2A考點1考點2

C考點1考點2

A例5：如圖，在△ABC中，AB＞AC，點D在AB邊上，點E在AC邊上且AD＜AE.只需添加一個條件即可證明△ABC∽△AED，這個條件可以是________________________________(寫出一個即可).[2023福州一檢4分]考點1考點2答案不唯一，如∠ADE＝∠C

考點1考點2

例7：已知△ABC∽△DEF，它們的面積比為4∶9，AM是△ABC的角平分線，DN是△DEF的角平分線.(1)求證：△ABM∽△DEN；考點1考點2

考點1考點2

例8：如圖，在正三角形ABC中，D是邊BC上任意一點，且∠ADE＝60°.(1)求證：△ABD∽△DCE；考點1考點2證明：∵△ABC是正三角形，∴∠B＝∠C＝60°.又∵∠ADE＝60°，∴∠BAD＋∠BDA＝∠BDA＋∠EDC＝120°，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE.(2)若AB＝3，BD＝1，求AE的長.[2023廈門名校聯考二模8分]考點1考點2

考點1考點2例9：如圖，在△ABC與△ADE中，∠ABC＝∠ADE，且∠BAD＝∠CAE.(1)△ABC與△ADE相似嗎？如果相似，請說明理由；解：相似，理由如下：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.又∵∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE.考點1考點2(2)連接BD，若B、D、E三點共線，記AC與DE的交點為H，AE＝2，BC＝5，△AEH的面積為1，試求△BCH的面積.

考點1考點2

相似三角形判定的思路1.利用平行線、對頂角、公共角、公共邊，找等角、對應邊成比例.2.有一組等角，找：①另一組等角；②該角的兩鄰邊對應成比例.3.有兩組邊對應成比例，找：①夾角相等；②第三組邊對應成比例.123451.如圖，DE∥BC，BD∶CE＝3∶2，AD＝9，則AE的長為

[2023三明一檢4分]()A.3 B.4 C.6 D.9C12345

D12345

12345

5.如圖，一塊直角三角尺的直角頂點P放在正方形ABCD的BC邊上，并且使一條直角邊經過點D，另一條直角邊與AB交于點Q.請寫出一對相似三角形，并加以證明.(圖中不添加字母和線段)解：△BPQ