學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精本章整合知識網(wǎng)絡專題探究專題一指數(shù)、對數(shù)的運算問題指數(shù)與指數(shù)運算、對數(shù)與對數(shù)運算是兩個重要的知識點，不僅是本章考查的重要問題類型,也是高考的必考內容．指數(shù)式的運算首先注意化簡順序，一般負指數(shù)先轉化成正指數(shù),根式化為指數(shù)運算，其次若出現(xiàn)分式則要注意分子、分母因式分解以達到約分的目的，對數(shù)運算首先注意公式應用過程中范圍的變化，前后要等價,熟練地運用對數(shù)的三個運算性質并結合對數(shù)恒等式，換底公式是對數(shù)計算、化簡、證明常用的技巧．【應用1】已知2a＝3b＝k（k≠1）,且2a＋b＝ab，則實數(shù)k的值為（)A.6B．9C．12D．18解析：由2a＝3b＝k（k≠1)，知k〉0,且a＝log2k，b＝log3k,將它們代入2a＋b＝ab，得2log2k＋log3k＝log2k·log3k，即＋＝，所以2logk3＋logk2＝1,logk9＋logk2＝1，logk18＝1，因此k＝18。答案：D【應用2】（1)化簡÷×；(2)求值:lg－lg＋lg。提示：利用指數(shù)與對數(shù)的運算法則運算即可．解：（1）原式＝××＝××＝a。（2）方法一：lg－lg＋lg＝lg－lg4＋lg7＝lg＝lg＝lg10＝。方法二：原式＝(5lg2－2lg7)－·lg2＋（2lg7＋lg5）＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5＝lg2＋lg5＝(lg2＋lg5)＝lg10＝。專題二比較大小問題比較幾個數(shù)的大小關系是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的重要應用．常用的方法有：單調性法、圖象法、中間量法(搭橋法)、作差法、作商法、分析轉化法等．【應用1】比較下列各組數(shù)的大小:（1)422與333；（2）log0。57與log0.67.思路分析：利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象隨底數(shù)的變化規(guī)律比較大小．解:(1）422＝42×11＝(42）11＝1611,333＝33×11＝（33）11＝2711，因為y＝x11在x〉0時是增函數(shù)，又因為16〈27,所以1611〈2711，即422〈333。（2)在同一平面直角坐標系內作出對數(shù)函數(shù)y＝log0。5x和y＝log0。6x的圖象，可知log0。57>log0.67。【應用2】比較下列各組數(shù)的大小：(1)2－與0。3－；（2）log2與log3；(3)3與2。解：(1）∵〈20＝1,0.〉0。30＝1，∴<0..(2）∵log2＝log2＝log2＋log2＝－3＋log2，log3＝log3＝log3＋log3＝－2＋log3,又∵log2〈log22＝1，log3〉log31＝0，∴－3＋log2<－2，－2＋log3>－2，即log2<log3.(3)∵3<2＝－1，2>3＝－1，∴3<2。【應用3】已知0〈x<1，a〉0，a≠1,比較｜loga（1－x）｜與｜loga（1＋x）|的大小．解：方法一：（作差法）∵0〈x<1，∴0<1－x〈1,1〈1＋x<2，0〈1－x2〈1.當a〉1時，|loga（1－x）｜－|loga（1＋x)|＝－loga(1－x）－loga（1＋x）＝－［loga(1－x)＋loga（1＋x）］＝－loga(1－x2)>0,∴｜loga（1－x)｜〉|loga(1＋x)｜;當0<a<1時,｜loga（1－x)|－｜loga（1＋x）｜＝loga(1－x)＋loga(1＋x）＝loga(1－x2）〉0,∴|loga(1－x）|〉｜loga(1＋x）|.綜合可知，當0<x〈1，a〉0，a≠1時，有|loga（1－x）|〉|loga(1＋x)|。方法二：(作商法）∵0〈x〈1,∴0<1－x<1，1〈1＋x<2，0〈1－x2〈1。∴＝＝|log(1＋x）(1－x）｜＝－log（1＋x)（1－x）＝log(1＋x）＝log(1＋x）〉log（1＋x)（1＋x）＝1，∴|loga(1－x）｜>|loga（1＋x）｜.專題三函數(shù)性質的綜合應用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調性與奇偶性是函數(shù)的重要性質，同時也是高考的熱點，涉及函數(shù)定義域、值域以及解析式的求法，涉及大小比較以及含參數(shù)的取值(取值范圍)等，綜合性較強,解題方法靈活．應注意單調性、奇偶性的運用，以及等價轉化、數(shù)形結合和分類討論等數(shù)學思想的應用．【應用1】設a，b∈R,且a≠2,定義在區(qū)間（－b,b)內的函數(shù)f(x）＝lg是奇函數(shù)．(1）求b的取值范圍；(2)討論函數(shù)f(x)的單調性．思路分析：第(1）問中利用奇函數(shù)的定義求出參數(shù)a的值，再根據(jù)對數(shù)式中真數(shù)大于0，求出函數(shù)f（x）的定義域,所給區(qū)間（－b，b）應為定義域的子集，從而求出b的范圍．第（2)問中利用單調性定義判斷并證明函數(shù)f（x)在(－b，b）內是減函數(shù)．解：（1）f(x）＝lg(－b<x〈b)是奇函數(shù)等價于：對任意x∈（－b，b）都有①②①式即為lg＝lg，由此可得＝，也即a2x2＝4x2，此式對任意x∈（－b，b)都成立相當于a2＝4。因為a≠2，所以a＝－2，代入②式,得〉0，即－<x〈，此式對任意x∈(－b,b)都成立相當于－≤－b〈b≤，所以b的取值范圍為.（2）設任意的x1，x2∈(－b，b）,且x1<x2,由b∈，得－≤－b<x1<x2<b≤，所以0〈1－2x2〈1－2x1,0〈1＋2x1<1＋2x2，從而f（x2）－f(x1)＝lg－lg＝lg〈lg1＝0。因此f（x）在（－b，b）內是減函數(shù)．專題四數(shù)形結合思想的應用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是中學數(shù)學中重要的基本初等函數(shù)．它們的圖象與性質始終是高考考查的重點．由于指數(shù)函數(shù)y＝ax（a〉0，且a≠1)，對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1）的圖象與性質都與a的取值有密切的聯(lián)系,冪函數(shù)y＝xα(α為常數(shù)）的圖象與性質與α的取值有關,a，α變化時，函數(shù)的圖象與性質也隨之改變，因此,在a，α的值不確定時，要對它們進行分類討論，利用圖象可以很快捷、直觀地進行比較大小、求根等計算問題．【應用1】若0〈a2〈b2〈c2〈1，則()A.0<a〈b〈c<1B．a>b〉c〉1C．0〈b<a<c<1D．0<b〈c<a<1解析:首先通過構造思想把問題轉化為冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)問題,再結合指數(shù)函數(shù)的圖象與性質求解．方法一:將0<a2<b2〈c2<1化為02〈a2<b2〈c2〈12.因為y＝x2在［0,＋∞)上是增函數(shù),所以0<a<b〈c<1。方法二：將a2,b2，c2分別看作指數(shù)函數(shù)C1：y＝ax，C2：y＝bx，C3：y＝cx當x＝2時的函數(shù)值,由函數(shù)值小于1，得0〈a，b，c〈1，在同一平面直角坐標系下作出C1，C2，C3的圖象，如圖，作直線x＝1，與C1，C2,C3的交點縱坐標分別為a,b，c，易知0<a<b<c〈1.答案：A【應用2】當x∈（1，＋∞)時,冪函數(shù)y＝xα（α為不為1的常數(shù))的圖象恒在直線y＝x的下方，求α的取值范圍．思路分析：對α分0<α<1，α<0與α＝0進行分類討論，并結合圖象分析．解:當0〈α<1時,對于x∈(1,＋∞)，y＝xα的圖象在直線y＝x的下方，如圖(1）所示．當α〈0時，對于x∈（1，＋∞)，y＝xα的圖象也在直線y＝x的下方,如圖（2)所示．當α＝0時，對于x∈(1，＋∞)，y＝xα的圖象還在直線y＝x的下方,如圖(3）所示．當α〉1時顯然不合題意，如圖(4)所示．故α的取值范圍是(－∞,1)．【應用3】設a∈R，試討論關于x的方程lg（x－1）＋lg（3－x)＝lg(a－x)的實根的個數(shù)．思路分析：將原方程等價轉化,再結合圖象分析．解:原方程等價于?由①②，得1<x〈3,由③得－x2＋5x－3＝a（1〈x<3）．在同一平面直角坐標系中分別作出函數(shù)y＝a及y＝－x2＋5x－3，x∈（1，3)的圖象，如圖，當x＝1時，y＝1;當x＝3時，y＝3；當x＝時,y最大＝。由圖可知，當a〉或a≤1時，兩個函數(shù)圖象無交點，原方程無實數(shù)解；當a＝或1〈a≤3時,兩個函數(shù)圖象有一個交點,故原方程有一個解;當3<a〈時，兩個函數(shù)圖象有兩個交點，故原方程有兩個解．專題五分類討論思想的應用分類討論思想在人的思維發(fā)展中有著重要作用,分類討論事實上是一種化繁為簡，化整體為部分，分別對待、各個擊破的思想策略在數(shù)學解題中的體現(xiàn)，對培養(yǎng)學生思維的全面性、深刻性和條理性起著積極作用．在分類討論中要注意分類必須是完整的、不重不漏的，每一級分類標準是統(tǒng)一的．當指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)的底數(shù)a與1的大小關系不確定時，常用到分類討論思想，因為a的取值影響函數(shù)的單調性．【應用1】若－1〈loga〈1(a>0，a≠1），求a的取值范圍．思路分析：將對數(shù)不等式統(tǒng)一成同底的形式，再利用分類討論思想及函數(shù)的單調性進行轉化求解．解:－1＜loga<1?loga＝－1<loga〈1＝logaa.當a〉1時，y＝logax為增函數(shù),有〈<a.∴a>,結合a>1,故a〉。當0〈a<1時，y＝logax為減函數(shù)，有〉>a。∴a〈，結合0<a〈1，故0<a<。∴a的取值范圍是.【應用2】設a>0，a≠1，若P＝loga(a3＋1)，Q＝loga（a2＋1)，試比較P，Q的大小．思路分析：比較P,Q的大小，即比較同底的兩個對數(shù)loga（a3＋1）與loga（a2＋1)的大小,這只需根據(jù)真數(shù)的大小，就可結合對數(shù)函數(shù)y＝logax的單調性作出判斷．解：當0〈a〈1時,由y＝ax在R上是減函數(shù)可知，0<a3〈a2，故0〈a3＋1〈a2＋1。又∵y＝logax(0<a〈1)在(0,＋∞）上是減函數(shù)，∴l(xiāng)oga（a3＋1）〉loga(a2＋1），即P>Q。當a〉1時，由y＝ax在R上是增函數(shù)可知，a3>a2>0，故a3＋1>a2＋1〉0。又∵y＝logax(a>1）在（0，＋∞)上是增函數(shù)，∴l(xiāng)oga（a3＋1）>loga（a2＋1），即P>Q。綜上可知，當a>0，a≠1時，總有P〉Q。專題六等價轉化在討論函數(shù)問題中的應用轉化思想即在處理問題時，通過某種轉化過程,歸結為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題，最終求得原問題的解．轉化思想的應用非常普遍，如，未知向已知轉化，新知識向舊知識轉化，復雜問題向簡單問題轉化,不同數(shù)學問題之間的相互轉化，實際問題向數(shù)學問題轉化等．【應用1】指出函數(shù)f(x）＝的單調區(qū)間，并比較f（－π)與的大小．思路分析:可考慮把函數(shù)f（x）轉化為我們學過的冪函數(shù)的問題，然后考慮相關冪函數(shù)的性質,進一步比較函數(shù)的大小．解：f（x)==1+=1+（x+2)-2，其圖象可由冪函數(shù)y=x—2的圖象向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度得到，如圖所示，該函數(shù)在（-2,+∞）上是減函數(shù)，在(—∞，-2)上是增函數(shù)，且其圖象關于直線x=—2對稱．又∵—2-（-π）=π-2<--(-2）=2—，∴f（—π)〉f.專題七函數(shù)圖象的變換圖象變換題集數(shù)形結合的數(shù)學思想、運動變化的觀點于一體，考查了函數(shù)圖象的畫法和相關函數(shù)的性質，對于知識的轉化、數(shù)學能力的提升均起到促進的作用，故在教材乃至高考試題中均占有重要的地位，不容忽視．【應用1】畫出函數(shù)y＝2｜x－1|的圖象,并根據(jù)圖象說出其對稱性、單調性及值域．解：當x－1≥0，即x≥1時，y＝2x－1，當x－1<0，即x〈1時，y＝2－（x－1)＝。所以y＝2|x－1｜＝其圖象是由兩部分合成的,一是把y＝2x圖象向右平移1個單位長度，取x≥1的部分;二是把y＝的圖象向右平移1個單位長度，取x<1的部分，對接處的公共點為(1，1)，如圖所示．由圖象可知:①對稱性：對稱軸為直線x＝1；②單調性:在（－∞，1]上是減函數(shù)，在［1，＋∞）上是增函數(shù)；③函數(shù)的值域:［1，＋∞)．【應用2】（1)畫出函數(shù)y＝log2(x＋2)與y＝log2（x－2）的圖象,并指出兩個函數(shù)圖象之間的關系;(2）畫出函數(shù)y＝f(x）＝log2|x｜的圖象,并根據(jù)圖象指出它的單調區(qū)間．思路分析：畫函數(shù)圖象是研究函數(shù)變化規(guī)律的重要手段，可利用y＝log2x的圖象進行變換．解：(1)函數(shù)y＝log2x的圖象如果向右平移2個單位長度就得到y(tǒng)＝log2(x－2）的圖象；如果向左平移2個單位長度就得到