Page第五章：平面向量與解三角形（模塊綜合調(diào)研卷）（19題新高考新結(jié)構(gòu)）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并上交。一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知向量與能作為平面向量的一組基底，若與共線（），則k的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】引入?yún)?shù)，由平面向量基本定理建立方程組即可求解.【詳解】若與共線，則設(shè)，因為向量與能作為平面向量的一組基底，所以，所以，解得.故選：B.2．設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，則的外接圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理先求出，結(jié)合同角平方關(guān)系求出，再由正弦定理求出外接圓半徑為，即可得解．【詳解】因為，，，所以，所以，設(shè)的外接圓半徑為，則，則的外接圓的面積．故選：A．3．已知單位向量，滿足，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積的運算律可得，進而可得，，結(jié)合夾角公式分析求解.【詳解】由題意可知：，因為，解得，則，即，，可得，且，所以與的夾角為．故選：D．4．在中，，，，是邊一點，是的角平分線，則（

）A． B．1 C．2 D．【答案】A【分析】由余弦定理得到，由正弦定理和得，求出，進而得到，在中，由正弦定理得到答案.【詳解】在中，由余弦定理得，即，解得或（舍去），在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，其中，，所以，，故，又，所以，在中，由余弦定理得，故，在中，由正弦定理得，即，解得.故選：A5．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為．已知．則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用余弦定理，然后利用正弦定理化簡即可.【詳解】，因為，得又因為得整理得由正弦定理可得得得，因為所以所以故選:B6．在中，角A、B、C所對的邊為a、b、c若，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角、切化弦，再結(jié)合二倍角公式求解即得.【詳解】在中，由及正弦定理得，而，整理得，即，而，則，因此或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形.故選：C7．已知為單位向量，且，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．6【答案】B【分析】由，得，可得，由，當(dāng)?shù)忍柍闪r可得最小值.【詳解】為單位向量，有，得，由，得，有，所以，，，，有，則，當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反時“”成立，如取時，可使“”成立.所以.故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點是由已知條件得，這樣就能得到.8．已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.M為內(nèi)部的一點，且，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把已知等式中向量用表示后可求得，由余弦定理得的關(guān)系，求出的最值，再由不等式性質(zhì)得結(jié)論．【詳解】∵，∴，∴，又，∴，，由余弦定理得，由（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），得，∴，∴，即的最大值是．故選：A.【點睛】本題考查平面向量基本定理，考查余弦定理及基本不等式求最值．解題關(guān)鍵是由平面向量基本定理把用表示出來．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）9．已知向量，的夾角為，且，，則（

）A． B．C． D．在的方向上的投影向量為【答案】AB【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積、向量的模、向量的垂直和投影向量的運算性質(zhì)，對各個選項逐一判定即可．【詳解】，，故A正確；，所以，故B正確；，所以，又因為，所以，故C錯誤；在上的投影向量為，故D錯誤；故選：AB．10．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則（

）A．邊上的高為B．為定值C．的最小值為2D．若，則【答案】ABD【分析】對A，根據(jù)邊上的高為求解即可；對B，由正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡即可；對C，由正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡，結(jié)合B中，再根據(jù)基本不等式求解即可；對D，根據(jù)三角形內(nèi)角關(guān)系，結(jié)合兩角和差的正切公式與正弦定理判斷即可.【詳解】對A，邊上的高為，由題意，故A正確；對B，由正弦定理即，故，又銳角，故，即，故B正確；對C，，又，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，，與銳角矛盾，故C錯誤；對D，，即，又，即，故，解得，故.則，即，解得.故，，或，.不妨設(shè)，，則，，故，，，故，由正弦定理，故D正確.故選：ABD11．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（

）

A．若，則M為的重心B．若M為的內(nèi)心，則C．若，，M為的外心，則D．若M為的垂心，，則【答案】ABD【分析】A選項，，作出輔助線，得到，，三點共線，同理可得為的重心；B選項，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，將面積公式代入得到；C選項，設(shè)外接圓半徑，由三角形面積公式求出三個三角形的面積，得到比值；D選項，得到，作出輔助線，由面積關(guān)系得到線段比，設(shè)，，，表示出，，，結(jié)合三角函數(shù)得到，，進而求出余弦值；【詳解】對A選項，因為，所以，取的中點，則，所以，故，，三點共線，且，同理，取中點，中點，可得，，三點共線，，，三點共線，所以為的重心，A正確；

對B選項，若為的內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，，所以，即，B正確；對C選項，若，，為的外心，則，設(shè)的外接圓半徑為，故，，，故，，，所以，C錯誤；

對D選項，若為的垂心，，則，如圖，，，，相交于點，又，，即，，即，，即，設(shè)，，，則，，，因為，，所以，即，，則，D正確；故選：ABD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查向量與四心關(guān)系應(yīng)用，關(guān)鍵是利用三角形的幾何關(guān)系及向量數(shù)量積及向量線性表示逐項判斷.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．已知平面向量，，，若，，則.【答案】【分析】根據(jù)向量平行和垂直的坐標表示得出參數(shù)計算即可.【詳解】因為，所以,因為，所以,所以.故答案為：.13．我國著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》提出了一種求三角形面積的方法“三斜求積術(shù)”，即在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則的面積為.若，且的外接圓的半徑為，則面積的最大值為.【答案】【分析】先將化簡得，再由均值不等式得，最后代入面積共公式即可得出答案.【詳解】因為,所以由正弦定理得,所以,所以由余弦定理得,而,所以,所以,所以,由得,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以,故面積的最大值為.故答案為：14．已知A、B、C是半徑為1的圓上的三個不同的點，且，則的最小值是．【答案】【分析】根據(jù)題意，由正弦定理可得，然后分與討論，再由平面向量數(shù)量積的定義展開，結(jié)合三角恒等變換公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由正弦定理可得，所以，所以，且，則或，則或，當(dāng)時，，所以，，則，當(dāng)時，即時，取得最小值；當(dāng)時，，所以，，則，則無最值；綜上所述，的最小值是故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．在中，角所對的邊分別為，設(shè)向量，，，.(1)求函數(shù)的最大值；(2)若，，，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量數(shù)量積的坐標運算得，利用降冪公式和輔助角公式化簡，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求最大值；（2）解得，由利用正弦定理邊化角得，再結(jié)合余弦定理求得，面積公式求的面積．【詳解】（1）.因為，所以，所以當(dāng)，即時，有最大值；（2）因為，所以，所以，因為，所以，由正弦定理，所以，，又因為，所以，得，由余弦定理有：，即，所以，所以．16．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)若，求C；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先由題給條件求得，進而求得；（2）先利用正弦定理和題給條件求得和，再構(gòu)造函數(shù)，求得此函數(shù)值域即為的取值范圍【詳解】（1）由，可得，則整理得，解之得或又，則，則，則（2）A，B為的內(nèi)角，則則由，可得，則均為銳角又，則，則，則因為,則令，則又在單調(diào)遞增，，可得，則的取值范圍為，則的取值范圍為17．在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足：(1)求角的大小；(2)若，角與角的內(nèi)角平分線相交于點，求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦邊化角，并結(jié)合恒等變換得，再結(jié)合題意得，進而根據(jù)內(nèi)角和定理得答案；（2）由題，結(jié)合（1）得，設(shè)，則，進而根據(jù)銳角三角形得，在中，由正弦定理得，進而，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求范圍即可.【詳解】（1）解：因為所以，即所以，所以，即，因為在銳角中，，所以，即，因為，所以，解得所以（2）解：因為，角與角的內(nèi)角平分線相交于點，所以，所以所以，設(shè)，則，因為為銳角三角形，所，解得所以，在中，由正弦定理得，所以，面積因為，所以，所以，所以，所以，面積的取值范圍是.18．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.(1)若，證明：；(2)若，證明：.【答案】(1)見詳解；(2)見詳解.【分析】（1）根據(jù)正余弦定理角化邊，整理即可；（2）根據(jù)正弦定理推得，即可得到.通過分析，可得以及，代入，整理可得到，令，構(gòu)造，求導(dǎo)得到在上單調(diào)遞減.進而得到.【詳解】（1）證明：由正弦定理可得，，所以，由余弦定理及其推論可得，，，所以，由已知可得，，即，因為，所以.（2）證明：由已知得，，又由正弦定理可得，，因為，所以.由（1）知，，則，又由正弦定理可得，，又，則，將以及代入可得，，整理可得，，因為，，，所以，則.令，則，，則，所以，當(dāng)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減.所以，，即.綜上所述，.19．若內(nèi)一點滿足，則稱點為的布洛卡點，為的布洛卡角．如圖，已知中，，，，點為的布洛卡點，為的布洛卡角．(1)若，且滿足，求的大小．(2)若為銳角三角形．（ⅰ）證明：．（ⅱ）若平分，證明：．【答案】(1)(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析.【分析】（1）先判斷與相似，進而得到，應(yīng)用余弦定理求出的值即可；（2）（ⅰ）在內(nèi)，三次應(yīng)用余弦定理以及三角形的面積公式得：，針對分別在、和內(nèi)，三次應(yīng)用余弦定理以及三角形的面積公式，且表示出三角形的面積，由余弦定理形式相加，再化簡整理得：，即可得證；（ⅱ）得出與的等量關(guān)系，再利用余弦定理和三角形的面積公式，平分，將代入，化簡整理即可得證.【詳解】（1）若，即，得，點滿足，則，在和中，，，所以與相似，且