第27章圓與正多邊形單元綜合檢測（難點）一、單選題1．矩形中，，，點在邊上，且，如果圓是以點為圓心，為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（

）

A．點，均在圓外 B．點在圓外，點在圓內C．點在圓內，點在圓外 D．點，均在圓內2．如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=4，AD=，，圓O是以AB為直徑的圓．如果以點C為圓心作圓C與直線AD相交，與圓O沒有公共點，那么圓C的半徑長可以是（

）A．9 B． C．5 D．3．如圖，在等邊三角形中，，點為邊上一動點，連接，在左側構造三角形，使得，．當點由點運動到點的過程中，點的運動路徑長為（

）A． B． C． D．4．新定義：由邊長為1的小正方形構成的網格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點，如圖，已知在的網格圖形中，點A、B、C、D都在格點上，如果，那么圖中所有符合要求的格點D的個數是（

）．A．3 B．5 C．7 D．95．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，點O在邊AB上，且BO＝2OA．以點O為圓心，r為半徑作圓，如果⊙O與Rt△ABC的邊有3個公共點，那么下列各值中，半徑r不可以取的是（

）A．6 B．10 C．15 D．166．如圖，、是的兩條弦，且．，，垂足分別為點、，、的延長線交于點，連接．下列結論正確的個數是（

）①；②；③；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，點O是邊BC上一點，以O為圓心，OC為半徑的⊙O，與邊AD只有一個公共點，則OC的取值范圍是（）A．4＜OC≤ B．4≤OC≤ C．4＜OC D．4≤OC8．如圖，線段為的直徑，點在的延長線上，，，點是上一動點，連接，以為斜邊在的上方作，且使，連接，則長的最大值為（）A． B． C． D．9．如圖，在平面直角坐標系中，，點C在y軸正半軸上，點D在x軸正半軸上，且，以為直徑在第一象限作半圓，交線段于E、F，則線段的最大值為（）A． B． C． D．10．如圖，是等邊的外接圓，點D是弧上一動點（不與A，C重合），下列結論：①；②當最長時，；③；④當，時，；⑤當時，四邊形最大面積是．其中一定正確的結論有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、填空題11．如圖，在中，，，，點O在邊上，且，以點O為圓心，r為半徑作圓，如果與的邊共有4個公共點，那么半徑r取值范圍是.12．如圖，AB是的弦，D為半徑OA的中點，過D作交弦AB于點E，且．若，，那么的半徑為13．如圖，已知扇形AOB的半徑為6，圓心角為90°，E是半徑OA上一點，F是上一點．將扇形AOB沿EF對折，使得折疊后的圓弧恰好與半徑OB相切于點G，若OE＝5，則O到折痕EF的距離為．14．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝7，點E，F分別在邊AD、BC上，且B、F關于過點E的直線對稱，如果以CD為直徑的圓與EF相切，那么AE＝．15．如圖，在矩形ABCD中，過點A的圓O交邊AB于點E，交邊AD于點F，已知AD=5，AE=2，AF=4．如果以點D為圓心，r為半徑的圓D與圓O有兩個公共點，那么r的取值范圍是．16．如圖，以為圓心，半徑為2的圓與軸交于、兩點，與軸交于、兩點，點為上一動點，于，當點從點出發順時針運動到點時，點經過的路徑長為．17．新定義：在中，點D、E分別是邊的中點，如果上的所有點都在的內部或邊上，那么稱為的中內?。阎谥校?，點D、E分別是邊的中點，如果是的中內弧，那么長度的最大值等于．18．如圖，在直角梯形中，，E是上一定點，．點P是BC上一個動點，以P為圓心，PC為半徑作⊙P．若⊙P與以E為圓心，1為半徑的⊙E有公共點，且⊙P與線段AD只有一個交點，則PC長度的取值范圍是．三、解答題19．如圖1，四邊形ABCD內接于，BD為直徑，上點E，滿足，連接BE并延長交CD的延長線于點F，BE與AD交于點G，連接CE，．(1)求證：；(2)如圖2，連接CG，．若，求的周長．20．如圖，半圓的直徑，點是上一點（不與點、重合），點是的中點，分別連接、．

(1)當是圓的內接正六邊形的一邊時，求的長；(2)設，，求與之間的函數解析式，并寫出x的取值范圍；(3)定義：三角形一邊上的中線把這個三角形分成兩個小三角形，如果其中有一個小三角形是等腰三角形，且這條中線是這個小三角形的腰，那么這條中線就稱為這個三角形的中腰線．分別延長、相交于點，連接．是的中腰線，求的長．21．如圖，已知半圓O的直徑，C是圓外一點，的平分線交半圓O于點D，且，聯結交于點E．(1)當時，求的長；(2)當時，求的值；(3)當為直角三角形時，求的值．22．如圖1，在菱形中，，點在對角線上，，是的外接圓，點與點之間的距離記為．(1)如圖2，當時，聯結，求證：；(2)延長交射線于點，如果是直角三角形，求的長；(3)當圓心在菱形外部時，用含的代數式表示的半徑，并直接寫出的取值范圍．23．已知在矩形中，，點O是邊上的一點（不與點A重合），以點O為圓心，長為半徑作圓，交射線于點G．

(1)如圖1，當與直線相切時，求半徑的長；(2)當與的三邊有且只有兩個交點時，求半徑的取值范圍；(3)連接，過點A作，垂足為點H，延長交射線于點F，如果以點B為圓心，長為半徑的圓與相切，求的正切值．24．在平面直角坐標系中、的半徑為1，為上一點，點．對于點給出如下定義：將點繞點順時針旋轉，得到點，點關于點的對稱點為，稱點為點的“對應點”．(1)如圖，已知點，點，點為點的“對應點”．①在圖中畫出點；②求證：．(2)點在軸正半軸上，且，點為點的“對應點”，連接，當點在上運動時，直接寫出長的最大值與最小值的積（用含的式子表示）25．如圖，已知扇形的半徑，，點、分別在半徑、上（點不與點重合），聯結．點是弧上一點，．（1）當，以為半徑的圓與圓相切時，求的長；（2）當點與點重合，點為弧的中點時，求的度數；（3）如果，且四邊形是梯形，求的值．

圓與正多邊形單元綜合檢測（難點）一、單選題1．矩形中，，，點在邊上，且，如果圓是以點為圓心，為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（

）

A．點，均在圓外 B．點在圓外，點在圓內C．點在圓內，點在圓外 D．點，均在圓內【答案】C【分析】由，得到，，再根據勾股定理，在中計算出，在中計算出，則，然后根據點與圓的位置關系進行判斷．【解析】解：如圖，

四邊形為矩形，，，，，，在中，，，，在中，，，，，點在圓內，點在圓外．故選：．【點睛】本題考查了點與圓的位置：設的半徑為，點到圓心的距離，則有：點在圓外；點在圓上；點在圓內．2．如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=4，AD=，，圓O是以AB為直徑的圓．如果以點C為圓心作圓C與直線AD相交，與圓O沒有公共點，那么圓C的半徑長可以是（

）A．9 B． C．5 D．【答案】D【分析】根據直角三角形的邊角關系求出FC，進而求出BC，再根據勾股定理求出兩個圓心之間的距離OC，由⊙C與直線AD相交，⊙C與⊙O沒有公共點，確定⊙C半徑的取值范圍，進而得出答案．【解析】如圖，連接OC交⊙O于點E，過點D作DF⊥BC于點F，則DF＝AB＝4，BF＝AD＝2，在Rt△DCF中，DF＝4，cotC＝，∴FC＝cotC?DF＝，∴BC＝BF＋FC＝3，在Rt△BOC中，，由于⊙C與直線AD相交，因此⊙C的半徑要大于4，又⊙C與⊙O沒有公共點，因此⊙C與⊙O外離或內含，當⊙C與⊙O外離時，⊙C的半徑要小于CE＝7?2＝5，此時⊙C的半徑4＜r＜5；當⊙C與⊙O內含時，⊙C的半徑要大于7＋2＝9，此時⊙C的半徑r＞9；所以⊙C的半徑為4＜r＜5或r＞9，故選：D．【點睛】本題考查勾股定理，直線與圓的位置關系以及圓與圓的位置關系，掌握勾股定理，圓與圓的位置關系的判定方法是正確解答的前提．3．如圖，在等邊三角形中，，點為邊上一動點，連接，在左側構造三角形，使得，．當點由點運動到點的過程中，點的運動路徑長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圓內接四邊形的性質得出A，O，P，C四點共圓，根據圓周角定理得出點在的角平分線上運動，進而得出O點的運動軌跡為線段，當點在點時，，由∠OCB的正切值求出OB的長，當點在點時，△AOO′是等邊三角形，從而得出OO′的長；【解析】如圖，∵，，∴、、、四點共圓，∵，，∴，∵，∴，∴，∴點在的角平分線上運動，∴點的運動軌跡為線段，當點在點時，，當點在點時，，∴，∵，∴，∵，，∴△AOO′是等邊三角形，∴，∴點的運動路徑長為，故選：B．【點睛】本題考查圓內接四邊形的性質（對角互補），圓周角定理，等邊三角形的性質和判定，解直角三角形，由圓周角定理得出O點的運動軌跡為線段OO′是解題的關鍵．4．新定義：由邊長為1的小正方形構成的網格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點，如圖，已知在的網格圖形中，點A、B、C、D都在格點上，如果，那么圖中所有符合要求的格點D的個數是（

）．A．3 B．5 C．7 D．9【答案】D【分析】由勾股定理及其逆定理可知是等腰直角三角形，得，然后找出所有符合條件的點D即可．【解析】解：∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，如圖，由等腰直角三角形的性質可知，，由圓周角定理可知，頂點在圓周上的其余7個角的度數也是，∴符合條件的點D的個數是9個．故選D．【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性質，正方形的性質，以及圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解答本題的關鍵．5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，點O在邊AB上，且BO＝2OA．以點O為圓心，r為半徑作圓，如果⊙O與Rt△ABC的邊有3個公共點，那么下列各值中，半徑r不可以取的是（

）A．6 B．10 C．15 D．16【答案】C【分析】根據勾股定理得到，求得OA＝10，OB＝20，過O分別作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，根據相似三角形的性質即可得到結論．【解析】解：∵∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，∴，∵BO＝2OA，∴OA＝10，OB＝20，過O分別作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，∴∠BEO＝∠C＝∠ADO，∵∠A＝∠A，∠B＝∠B，∴△BEO∽△BCA，△AOD∽△ABC，∴，，∴，，∴OE＝16，OD＝6，當⊙O過點C時，連接OC，根據勾股定理得，如圖，∵以點O為圓心，r為半徑作圓，如果⊙O與Rt△ABC的邊有3個公共點，∴r＝6或10或16或，故選：C．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，相似三角形的判定和性質，正確的理解題意是解題的關鍵．6．如圖，、是的兩條弦，且．，，垂足分別為點、，、的延長線交于點，連接．下列結論正確的個數是（

）①；②；③；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】如圖連接OB、OD，只要證明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN即可解決問題．【解析】解：如圖連接OB、OD；∵AB=CD，∴，故①正確∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正確，∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正確，∵AM=CN，∴PA=PC，故③正確，故選：D．【點睛】本題考查垂徑定理、圓心角、弧、弦的關系、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．7．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，點O是邊BC上一點，以O為圓心，OC為半徑的⊙O，與邊AD只有一個公共點，則OC的取值范圍是（）A．4＜OC≤ B．4≤OC≤ C．4＜OC D．4≤OC【答案】B【分析】作DE⊥BC于E，當⊙O與邊AD相切時，圓心O與E重合，即OC＝4；當OA＝OC時，⊙O與AD交于點A，設OA＝OC＝x，則OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得出方程，解方程得出OC＝；即可得出結論．【解析】作DE⊥BC于E，如圖所示：則DE＝AB＝4，BE＝AD＝2，∴CE＝4＝DE，當⊙O與邊AD相切時，切點為D，圓心O與E重合，即OC＝4；當OA＝OC時，⊙O與AD交于點A，設OA＝OC＝x，則OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得：42+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝；∴以O為圓心，OC為半徑的⊙O，與邊AD只有一個公共點，則OC的取值范圍是4≤x≤；故選B．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系、直角梯形的性質、勾股定理等知識；熟練掌握直角梯形的性質，分情況討論是解題的關鍵．8．如圖，線段為的直徑，點在的延長線上，，，點是上一動點，連接，以為斜邊在的上方作，且使，連接，則長的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質、兩圓的位置關系；作，使得，，則，，，由，推出，即（定長），由點是定點，是定長，點在半徑為1的上，由此即可解決問題．【解析】解：如圖，作，使得，，則，，，，，，，，，即（定長），點是定點，是定長，點在半徑為1的上，，的最大值為，故選：C．9．如圖，在平面直角坐標系中，，點C在y軸正半軸上，點D在x軸正半軸上，且，以為直徑在第一象限作半圓，交線段于E、F，則線段的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過的中點G作的垂線與交于點M，過點O作于H，連接，先求出，進而求出，再根據等面積法求出，由直角三角形斜邊中線的性質得到，由垂徑定理得到，由，可知當最小時，最大，即最大，再由，得到，則，即可得到．【解析】解：過的中點G作的垂線與交于點M，過點O作于H，連接∵，∴，∴，∵，∴；∵，G為的中點，∴，∵，∴，∴，∴當最小時，最大，即最大，∵，∴，∴，即，∴，∴．故選B．【點睛】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理、坐標與圖形、直角三角形斜邊上的中線的性質等知識點，正確作出輔助線是解題的關鍵．10．如圖，是等邊的外接圓，點D是弧上一動點（不與A，C重合），下列結論：①；②當最長時，；③；④當，時，；⑤當時，四邊形最大面積是．其中一定正確的結論有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】由是等邊三角形，及同弧所對圓周角相等可得，即可判斷①正確；根據最長時，為直徑，可判定②正確；在上取一點E，使，可得是等邊三角形，從而，有，可判斷③正確；過點A作于點，根據直角三角形的性質以及勾股定理，即可判斷④是錯誤的；把繞點逆時針轉，使得與重合，點與點是對應點，因為，則，再結合②，即可作答．【解析】解：∵是等邊三角形，∴，∵，，∴，，∴，故①正確；因為當最長時，則為的直徑，∴，∵，∴，∴，故②正確；在上取一點E，使，如圖：∵，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故③正確；由③知，則，過點A作于點，如圖所示：在中，，則，因為所以在中，，∵是等邊三角形，，故④是錯誤的；把繞點逆時針轉，使得與重合，點與點是對應點，如圖所示：因為，所以是等邊三角形，易知所以則要使四邊形最大面積，則最大此時為的直徑由②知，則所以因為所以在，那么則，故⑤是正確的；∴正確的有①②③⑤，共4個，故選：C．【點睛】本題考查等邊三角形及外接圓，涉及三角形全等的判定與性質，直角三角形的性質，勾股定理等知識內容，解題的關鍵是正確作輔助線，構造三角形全等解決問題．二、填空題11．如圖，在中，，，，點O在邊上，且，以點O為圓心，r為半徑作圓，如果與的邊共有4個公共點，那么半徑r取值范圍是.【答案】【分析】利用勾股定理求出，，作交于點D，以O為圓心作圓，結合圖形可知：的時候，交點為4個．【解析】解：∵，，，∴，∵，∴，，作交于點D，以O為圓心作圓，如圖：∵，，∴，∴，即解得：，結合圖形可知：當半徑等于3的時候，交點為3個，當半徑等于5的時候，交點為A、E、F3個，當的時候，交點為4個，∴半徑r取值范圍是．故答案為：【點睛】本題考查勾股定理，相似三角形的判定及性質，圓的性質，解題的關鍵是作出圖形，結合圖形分析求解．12．如圖，AB是的弦，D為半徑OA的中點，過D作交弦AB于點E，且．若，，那么的半徑為【答案】【分析】連接OB、OC，作CH⊥BE于H點，根據條件證明△ADE∽△CHE，得到，設AE=m，DE=n，n(5-n)=m2，然后再推出∠OBC=∠ADE=90°，根據勾股定理建立等式，兩式聯立求解，從而求出AD長，即可解決問題．【解析】解：如圖，連接OB、OC，作CH⊥BE于H點，∵BC=EC，CH⊥BE，∴BH=HE，∵∠ADE=∠CHE=90°，∠AED=∠HEC，∴△ADE∽△CHE，∴，設AE=m，DE=n，∴n(5-n)=m2，在Rt△OBC中，∵OB2+BC2=OC2，∴OD2=AD2=m2-n2，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵CB=CE，又∴∠BEC=∠CBE=∠AED，∴，∴∠OBC=∠ADE=90°，∴∵，，,∴，將m2=n(5-n)代入整理得：，解得n=1或0（舍去），∴m=2，∴，∴，即的半徑為．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理，以及圓的基本知識，解題的關鍵是利用構建方程的方法解決幾何問題．13．如圖，已知扇形AOB的半徑為6，圓心角為90°，E是半徑OA上一點，F是上一點．將扇形AOB沿EF對折，使得折疊后的圓弧恰好與半徑OB相切于點G，若OE＝5，則O到折痕EF的距離為．【答案】【分析】過點G作OG的垂線，交的延長線于點，連接交EF于點H，連接，則點、G、F在以點為圓心，為半徑的圓上，證得四邊形為矩形，接著求得的長，再求得的長，又證得，從而得到，進而得到O到折痕EF的距離．【解析】解：如圖，過點G作OG的垂線，交的延長線于點，連接交EF于點H，連接，則點、G、F在以點為圓心，為半徑的圓上，∵與是等弧∴與是等圓∴∵∴∴四邊形為矩形∴∴∵∴若則∴∴連接，有∵∴∴∴∴∴即O到折痕EF的距離為故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱、三角形、矩形與圓的綜合問題，是填空題的壓軸題，懂得根據題意構造出等圓是解題的關鍵．14．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝7，點E，F分別在邊AD、BC上，且B、F關于過點E的直線對稱，如果以CD為直徑的圓與EF相切，那么AE＝．【答案】3.【分析】設⊙O與EF相切于M，連接EB，作EH⊥BC于H．由題意易知四邊形AEHB是矩形，設AE＝BH＝x，由切線長定理可知，ED＝EM，FC＝FM，由B、F關于EH對稱，推出HF＝BH＝x，ED＝EM＝7﹣x，FC＝FM＝7﹣2x，EF＝14﹣3x，在Rt△EFH中，根據EF2＝EH2+HF2，列出方程即可解決問題．【解析】解：如圖，設⊙O與EF相切于M，連接EB，作EH⊥BC于H．由題意易知四邊形AEHB是矩形，設AE＝BH＝x，由切線長定理可知，ED＝EM，FC＝FM，∵B、F關于EH對稱，∴HF＝BH＝x，ED＝EM＝7﹣x，FC＝FM＝7﹣2x，EF＝14﹣3x，在Rt△EFH中，∵EF2＝EH2+HF2，∴42+x2＝（14﹣3x）2，解得x＝3或（舍棄），∴AE＝3，故答案為3．【點睛】本題考查切線的性質、矩形的性質、軸對稱的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型．15．如圖，在矩形ABCD中，過點A的圓O交邊AB于點E，交邊AD于點F，已知AD=5，AE=2，AF=4．如果以點D為圓心，r為半徑的圓D與圓O有兩個公共點，那么r的取值范圍是．

【答案】【分析】因為以點D為圓心，r為半徑的圓D與圓O有兩個公共點，則圓D與圓O相交，圓心距滿足關系式：|R-r|<d<R+r，求得圓D與圓O的半徑代入計算即可.【解析】連接OA、OD，過O點作ON⊥AE，OM⊥AF.AN=AE=1，AM=AF=2，MD=AD-AM=3∵四邊形ABCD是矩形∴∠BAD=∠ANO=∠AMO=90°，∴四邊形OMAN是矩形∴OM=AN=1∴OA=,OD=∵以點D為圓心，r為半徑的圓D與圓O有兩個公共點，則圓D與圓O相交∴

【點睛】本題考查了圓與圓相交的條件，熟記圓與圓相交時圓的半徑與圓心距的關系是關鍵.16．如圖，以為圓心，半徑為2的圓與軸交于、兩點，與軸交于、兩點，點為上一動點，于，當點從點出發順時針運動到點時，點經過的路徑長為．【答案】【分析】連接，，由垂直于，利用垂徑定理得到為的中點，由的坐標確定出的長，在直角三角形中，由與的長，利用勾股定理求出的長，進而確定出的長，由求出的長，在直角三角形中，利用勾股定理求出的長，由垂直于，得到三角形始終為直角三角形，點的運動軌跡為以為直徑的半圓，如圖中紅線所示，當位于點時，，此時與重合；當位于時，，此時與重合，可得出當點從點出發順時針運動到點時，點所經過的路徑的長，在直角三角形中，利用銳角三角函數定義求出的度數，進而確定出所對圓心角的度數，再由的長求出半徑，利用弧長公式即可求出的長．【解析】解：連接，，，為的中點，即，，即，在中，根據勾股定理得：，，又，在中，根據勾股定理得：，，始終是直角三角形，點的運動軌跡為以為直徑的半圓，當位于點時，，此時與重合；當位于時，，此時與A重合，當點從點出發順時針運動到點時，點所經過的路徑長長，在中，，，度數為，直徑，的長為，則當點從點出發順時針運動到點時，點所經過的路徑長．故答案為：．【點睛】此題屬于圓的綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，勾股定理，銳角三角函數定義，弧長公式，以及圓周角定理，其中根據題意得到點從點出發順時針運動到點時，點所經過的路徑長是解本題的關鍵．17．新定義：在中，點D、E分別是邊的中點，如果上的所有點都在的內部或邊上，那么稱為的中內?。阎谥?，，，點D、E分別是邊的中點，如果是的中內弧，那么長度的最大值等于．【答案】【分析】首先根據題意可知：當DE為直徑時，長度取最大值，再根據圓的周長公式，即可求得【解析】解：由題知，在△ABC內部以DE為直徑的半圓弧，就是△ABC的最長中內弧，∵點D、E分別是邊的中點，∴DE是△ABC的中位線，∵∠A=90°，，∴，∴長度，故答案為：π．【點睛】本題主要考查了勾股定理，三角形中位線定理，弧長的計算，理解題意，得到當DE為直徑時，長度取最大值是解題的關鍵．18．如圖，在直角梯形中，，E是上一定點，．點P是BC上一個動點，以P為圓心，PC為半徑作⊙P．若⊙P與以E為圓心，1為半徑的⊙E有公共點，且⊙P與線段AD只有一個交點，則PC長度的取值范圍是．【答案】或【分析】根據題意可得的最小值為圓P與相切，切點為M；最大值為圓與圓E內切，切點為Q，由直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系即可解決問題．【解析】解：根據題意可知：的最小值為圓P與相切，切點為M，如圖所示：∴，在直角梯形中，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，最大值為圓與圓E內切，切點為Q，∴，當時，此時圓P與線段開始有2個交點，不符合題意，設，則，∴，∴，則長度的取值范圍是或．故答案為：或．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系，直角梯形，解決本題的關鍵是掌握直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系．三、解答題19．如圖1，四邊形ABCD內接于，BD為直徑，上點E，滿足，連接BE并延長交CD的延長線于點F，BE與AD交于點G，連接CE，．(1)求證：；(2)如圖2，連接CG，．若，求的周長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先根據圓周角定理可得，從而可得，再根據圓周角定理可得，從而可得，則，然后根據三角形全等的判定證出，根據全等三角形的性質即可得證；（2）先在中，解直角三角形和勾股定理可得，再根據可得，從而可得，然后根據解直角三角形和勾股定理分別求出的長，最后根據三角形的周長公式即可得．【解析】（1）證明：為的直徑，，，，，由圓周角定理得：，，，即，在和中，，，．（2）解：如圖，連接，，設，則，，解得，，，，即，，由（1）已證：，，，，，，，則的周長為．【點睛】本題考查了圓周角定理、三角形全等的判定與性質、解直角三角形、勾股定理等知識點，熟練掌握圓周角定理和解直角三角形的方法是解題關鍵．20．如圖，半圓的直徑，點是上一點（不與點、重合），點是的中點，分別連接、．

(1)當是圓的內接正六邊形的一邊時，求的長；(2)設，，求與之間的函數解析式，并寫出x的取值范圍；(3)定義：三角形一邊上的中線把這個三角形分成兩個小三角形，如果其中有一個小三角形是等腰三角形，且這條中線是這個小三角形的腰，那么這條中線就稱為這個三角形的中腰線．分別延長、相交于點，連接．是的中腰線，求的長．【答案】(1)(2)(3)的長為或【分析】（1）連接，，是圓的內接正六邊形的一邊時，進而判斷是等邊三角形，即可求解；（2）根據題意證明，得出則,，在，中，勾股定理即可求解；（3）分情況討論，①當時，如圖所示，過點作于點，則，②當時，分別畫出圖形，根據，解方程即可求解．【解析】（1）解：如圖所示，連接，，

∵半圓的直徑，∴，∵是圓的內接正六邊形的一邊時，∴,∴，∵是的中點，∴，∵，∴是等邊三角形，∴；（2）解：如圖所示，連接交于點，

∵是的中點，∴，∵是直徑，∴，∴，∴，∴，∵，，∴,∴，在中，，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：①當時，如圖所示，過點作于點，則，

設，由（2）可得，，∵，為的中點，∴，∴，在中，，∴，在中，，又∵∴，解得：，∴；②如圖所示，當時，

同理可得，則，,∴，解得：，∴，綜上所述，的長為或．【點睛】本題考查了正多邊形與圓，垂徑定理，函數關系式，等邊三角形的性質與判定，勾股定理，等腰三角形的性質與判定，熟練掌握是解題的關鍵．21．如圖，已知半圓O的直徑，C是圓外一點，的平分線交半圓O于點D，且，聯結交于點E．(1)當時，求的長；(2)當時，求的值；(3)當為直角三角形時，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)的值為或．【分析】（1）作于M，聯結，證明四邊形是矩形，求得，推出是等腰直角三角形，求得，再利用勾股定理即可求解；（2）同（1）作于M，聯結，可得四邊形是矩形，求得，由，求得，再求得，根據相似三角形的判定和性質即可求解；（3）分兩種情況討論，當時，同（1）可得四邊形是矩形，再證明，利用相似三角形的性質求得的長，即可求解；當時，求得，即可求解．【解析】（1）解：作于M，聯結，∵，∴，∵是的平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，又，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴；（2）解：作于M，聯結，同理四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：作于M，聯結，同理四邊形是矩形，∴，當時，∵，，∴，又，∴，∴，即，解得(負值已舍)，∴，∴；當時，由垂徑定理得，∴是線段的垂直平分線，∴，∴，∴；綜上，的值為或．【點睛】本題考查了垂徑定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．22．如圖1，在菱形中，，點在對角線上，，是的外接圓，點與點之間的距離記為．(1)如圖2，當時，聯結，求證：；(2)延長交射線于點，如果是直角三角形，求的長；(3)當圓心在菱形外部時，用含的代數式表示的半徑，并直接寫出的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)或；(3)【分析】（1）聯結、，交于，由，得出，根據垂徑定理得出，，則．由，得出．根據菱形的性質得出，則，（2）分當時，當時，如圖所示，設交于點，分別畫出圖形，解直角三角形，即可求解；（3）分點在，上，以及與點重合時，與點重合時，分別求得的值，結合圖形即可求解．【解析】（1）解：聯結、，交于，如圖，，，，，．，，．四邊形為菱形，，，；（2）解：當時，如圖所示，∵∴是的直徑，∵菱形中，，∴，，∴，∵，則，∴，∴，設，則，，在中，，∴，解得：或（舍去），∴，∴，∴，∴，當時，如圖所示，設交于點∵，，∴，又∵，則∴綜上所述，或；（3）解：由（2）可知，當時，此時點在上，則當在上時，如圖所示，過點作于點，∵，∴,∵設則∴∴,∴，當與重合時，如圖所示，∵∴∴∴即∴∴，當點與點重合時，同理可得，則時，圓心在菱形外部時，綜上所述，當時或時，即圓心在菱形外部．【點睛】本題考查了菱形的性質，解直角三角形，垂徑定理，圓周角定理，熟練掌握解直角三角形，與圓的相關性質是解題的關鍵．23．已知在矩形中，，點O是邊上的一點（不與點A重合），以點O為圓心，長為半徑作圓，交射線于點G．

(1)如圖1，當與直線相切時，求半徑的長；(2)當與的三邊有且只有兩個交點時，求半徑的取值范圍；(3)連接，過點A作，垂足為點H，延長交射線于點F，如果以點B為圓心，長為半徑的圓與相切，求的正切值．【答案】(1)(2)或(3)或1【分析】（1）設與直線的切點為點E，連接，根據全等三角形的判定和性質及勾股定理求解即可；（2）分三種臨界情況：①當與邊的切點為點E，連接，此時恰好有三個交點，②當恰好經過點C時，連接，③當點O與點B重合時，作出相應圖形求解即可；（3）根據題意，分兩種情況：①兩個圓外切時，②兩個圓內切時，作出圖形，然后利用相似三角形的判定和性質及正切函數的定義求解即可．【解析】（1）解：設與直線的切點為點E，連接，如圖所示：

∴，∵矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，設，則，∵，∴，解得：，∴半徑的長為；（2）①如圖所示：當與邊的切點為點E，連接，此時恰好有三個交點，∴，∴四邊形為矩形，∴，

∴由（1）得半徑的長為，恰好有一個交點，∴當時，滿足條件；②當恰好經過點C時，連接，如圖所示：

設，則，∵，∴，解得：，∴半徑的長為；∴當時，與的三邊的交點多于2個，不滿足條件；③當點O與點B重合時，如圖所示，滿足條件，

∴當時，滿足條件；綜上可得：或時，滿足條件；（3）①當兩個圓外切時，如圖所示：

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設，，∴，即，∵兩個圓相切，∴，即，

解得：，∴；②當兩個圓內切時，如圖所示：

∴，∴，∵，∴，∴，∴；綜上可得：的正切值為或1．【點睛】題目主要考查切線的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，矩形的性質及勾股定理解三角形，正切函數的定義等，理解題意，作出輔助線，綜合運用這些知識點是解題關鍵．24．在平面直角坐標系中、的半徑為1，為上一點，點．對于點給出如下定義：將點繞點順時針旋轉，得到點，點關于點的對稱點為，稱點為點的“對應點”．(1)如圖，已知點，點，點為點的“對應點”．①在圖中畫出點；②求證：．(2)點在軸正半軸上，且，點為點的“對應點”，連接，當點在上運動時，直接寫出長的最大值與最小值的積（用含的式子表示）【答案】(1)①見解析；②見解析(2)【分析】（1）①根據題意作圖即可；②如圖所示，過點作軸于T，證明，得到，進而求出，進一步求出，利用勾股定理求出的長即可得到結論；（2）如圖1所示，取，連接，證