學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1.2。4誘導公式第一課時誘導公式(1）基礎知識基本能力1．會借助單位圓的直觀性探索正弦、余弦和正切的誘導公式．(難點）2．掌握角α與α＋k·2π（k∈Z）、α與－α的三角函數間的關系．(重點、易錯點)能用公式解決簡單的三角函數的化簡、求值和有關三角函數命題的證明等問題．(重點)1．角α與α＋k·2π（k∈Z）的三角函數間的關系cos（α＋k·2π）＝cos_α，sin(α＋k·2π）＝sin_α，tan（α＋k·2π)＝tan_α.通常，稱上述公式為誘導公式（一)．名師點撥我們可以根據終邊相同的角的三角函數值相等來概括和理解誘導公式（一）．【自主測試1－1】(2012·江蘇鹽城期末)sin390°＝______。答案：eq\f（1，2）【自主測試1－2】tan405°＝__________。答案：12．角α與－α的三角函數間的關系cos（－α)＝cos_α，sin（－α)＝－sin_α，tan(－α)＝－tan_α.通常，稱上述公式為誘導公式（二)．名師點撥因為α與－α角的終邊關于x軸對稱，故結合三角函數線可得到誘導公式(二)．【自主測試2】已知cos（12π－3）＝p,用p表示tan（－3）＝__________.解析：∵cos(12π－3）＝cos（－3)＝cos3＝p，又∵eq\f（π，2）＜3＜π，∴sin3＝eq\r(1－cos23）＝eq\r(1－p2）。∴tan（－3)＝－tan3＝－eq\f(sin3,cos3)＝－eq\f(\r（1－p2)，p)。答案：－eq\f（\r(1－p2)，p)三角函數的誘導公式（一）與誘導公式（二)的作用剖析：（1)誘導公式(一)的作用是將任意角的三角函數求值問題轉化為0~2π之間角的三角函數求值問題．(2)誘導公式（二）的作用是將任意負角的三角函數求值問題轉化為正角的三角函數求值問題．名師點撥在運用誘導公式時,要注意角的合理拆分．解答三角函數問題的時候,除了掌握特殊角的三角函數值外，還要能夠把某些數值恰當地轉化成某個特殊角的三角函數的形式，以達到簡化問題的目的．如，求解sin(－300°）,可以用sin（－300°)＝－sin300°＝－sin(360°－60°）＝－sin(－60°)＝sin60°＝eq\f（\r（3)，2）；也可以用sin(－300°）＝sin(－360°＋60°）＝sin60°＝eq\f(\r(3),2）.題型一直接利用誘導公式化簡、求值【例題1】求下列各三角函數式的值：(1）msineq\f(7π，2）＋ntan（－4π）＋pcoseq\f（5π,2);(2)a2sin810°＋b2tan765°＋(a2－b2)tan1125°－2abcos360°。分析：利用誘導公式(一)、（二)求值即可．解：（1)∵sineq\f（7π，2）＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3π，2）＋2π））＝sineq\f（3π，2)＝－1，tan(－4π）＝tan0＝0，coseq\f(5π，2）＝coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π,2）＋2π）)＝coseq\f（π，2）＝0，∴原式＝－m.(2）∵sin810°＝sin(90°＋2×360°）＝sin90°＝1,tan765°＝tan（45°＋2×360°)＝tan45°＝1，tan1125°＝tan(45°＋3×360°)＝tan45°＝1,cos360°＝cos0°＝1,∴原式＝a2＋b2＋a2－b2－2ab＝2a2－2ab。反思求三角函數式的值時,一般先用誘導公式（二）把負角的三角函數值轉化為正角的三角函數值，再用誘導公式(一）將其轉化為[0，2π)內的角的三角函數值．題型二利用誘導公式證明三角恒等式【例題2】求證:tan(2π－α)sin（－2π－α）cos（6π－α）＝sin2α。分析：解答本題可直接利用誘導公式把等式左邊的式子進行化簡,直到推出右邊．證明:原式左邊＝tan(－α)·sin（－α）·cos(－α）＝（－tanα）·（－sinα）·cosα＝sin2α＝右邊．故原等式成立．反思利用誘導公式證明等式問題，關鍵在于公式的靈活應用．題型三給值求值問題【例題3】已知tan（2012π－α)＝eq\f(1,3），求下列各式的值．(1）eq\f（4sinα－2cosα，5cosα＋3sinα)；(2）eq\f（2sin2α＋cos2α，sin2α－cos2α）；（3)2sin2α－eq\f（3，2)sinαcosα＋5cos2α.解：由tan（2012π－α）＝eq\f(1,3)，得tanα＝－eq\f（1，3），且cosα≠0。（1）原式＝eq\f（4tanα－2,5＋3tanα)＝eq\f(4×\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(1，3)）)－2,5＋3×\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))）)＝eq\f(－\f(10,3),4)＝－eq\f(5,6）。（2）原式＝eq\f（2tan2α＋1，tan2α－1）＝eq\f（2×\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（1,3）))2＋1，\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（1，3)))2－1）＝－eq\f(11，8）。(3）原式＝eq\f（2sin2α－\f(3,2)sinαcosα＋5cos2α，sin2α＋cos2α）＝eq\f(2tan2α－\f（3，2）tanα＋5，tan2α＋1）＝eq\f（2×\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(1,3）））2－\f（3，2)×\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（1，3））)＋5,\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（1，3)））2＋1)＝eq\f(103,20）.反思已知tanα，求關于sinα，cosα的一次、二次齊次分式時，通常采用將分式的分子、分母同除以cosα，cos2α的方法化歸為關于tanα的函數式，然后求解；求關于sinα，cosα的二次齊次整式時，常將整式通過除以“1”（用sin2α＋cos2α替代1）轉化為二次齊次分式,然后求解．題型四易錯辨析【例題4】化簡eq\f(\r(1＋2sin－θcos2π－θ)，sin－6π＋θ－cos－θ＋4π).錯解：原式＝eq\f（\r（1－2sinθcosθ），sinθ－cosθ)＝eq\f（\r(sinθ－cosθ2),sinθ－cosθ）＝eq\f(sinθ－cosθ，sinθ－cosθ)＝1。錯因分析:沒有對sinθ－cosθ的正負進行分析，而認為eq\r(sinθ－cosθ2）＝sinθ－cosθ，其實eq\r(sinθ－cosθ2）＝|sinθ－cosθ|，如果繼續(xù)化簡，則需分類討論．正解:原式＝eq\f（\r(1－2sinθcosθ),sinθ－cosθ）＝eq\f（\r（sinθ－cosθ2），sinθ－cosθ）＝eq\f（|sinθ－cosθ｜,sinθ－cosθ)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（1,2kπ＋\f(π，4）<θ<2kπ＋\f（5π,4)，k∈Z，，－1，2kπ－\f(3π，4)<θ〈2kπ＋\f(π,4)，k∈Z.）)1．對于誘導公式中的角α，下列說法正確的是(）A．α一定是銳角B．0≤α＜2πC．α一定是正角D．α是使公式有意義的任意角答案：D2．cos315°＋tan420°＋sin（－60°)＋tan(－60°）的值是（)A．eq\f(\r（2)－\r(3），2）B．eq\f(\r(2）＋\r(3），2)C．eq\f(3\r（2)－\r(3)，6)D．eq\f（3\r（2)＋\r（3），6)解析：原式＝cos（360°－45°）＋tan（360°＋60°)－sin60°－tan60°＝cos45°＋tan60°－sin60°－tan60°＝cos45°－sin60°＝eq\f(\r(2）,2）－eq\f(\r(3），2)＝eq\f(\r（2)－\r（3）,2）.答案：A3．已知函數f（x)＝asin(πx＋α）＋bcos（πx＋β），其中a，b,α，β都是非零實數,且滿足f(2010)＝－1，則f（2012)等于()A．－1B．0C．1D．2解析：由已知，f（2010）＝asin（2010π＋α）＋bcos(2010π＋β）＝asinα＋bcosβ＝－1,則f(2012）＝asin（2012π＋α)＋bcos(2012π＋β)＝asinα＋bcosβ＝－1。答案:A4．已知sin(2π＋α)＝log8eq\f(1，4），且α∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(π,2)，0)),則tan（2π－α)的值為（）A．－eq\f（2\r(5），5)B．eq\f（2\r（5）,5）C．±eq\f（2\r(5)，5）D．eq\f(\r（5）,2）解析：因為sin（2π＋α)＝log8eq\f（1,4)＝－eq\f（2，3）,所以sinα＝－eq\f(2,3）。而α∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（π,2),0)），所以cosα＝eq\r（1－sin2α）＝eq\f（\r（5），3）,所以tanα＝eq\f（sinα,cosα）＝－eq\f(2\r(5），5）。所以tan(2π－α）＝－tanα＝eq\f（2\r（5），5)。答案：B5．cos(－1380°）＝__________。解析：cos(－1380°）＝cos（－4×360°＋60°)＝cos60°＝e