數學探究活動(一)：正方體截面探究 高二上學期數學北師大版（2019）選擇性必修第一冊_第1頁
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3.5數學探究活動(一)：正方體截面探究1.通過探究，了解正方體截面的形狀.2.了解凸多面體中頂點數、棱數和面數之間的關系.問題：用一個平面去截正方體，能否截出直角三角形呢？不能.用一個平面去截正方體，如果三角形截面的三邊在正方體共頂點的三個面上，那么三個頂點在正方體的三條棱上，如圖中的△ABC.∵△ABD是直角三角形，由勾股定理有BD2+AD2=AB2，問題：用一個平面去截正方體，能否截出直角三角形呢？又BC>BD，AC>AD，∴BC2+AC2>AB2，即△ABC不是直角三角形.∵上述△ABC是任意截得的三角形截面，∴用一個平面去截正方體，不能截出直角三角形.探究：用一個平面去截正方體，并在正方體中面出所有可能的截面示意圖.（1）如果截面是三角形，你認為可以截出幾類不同的三角形（分別按邊、角分類）？為什么？（2）指出最大面積的三角形截面，并說明理由.（3）你認為可以截出幾類不同的四邊形？為什么？（4）能否截出正五邊形？為什么？（5）是否存在正六邊形的截面？為什么？（6）邊數最多的截面是幾邊形？為什么？探究建議：（1）成立探究小組，一起討論研究，集思廣益.（2）可以利用計算機作圖軟件協助，也可以直接做模型，甚至切蘿卜塊來探究.（3）大膽猜想，小心求證.（4）梳理探究的結果，撰寫一個報告.歸納總結通過探究正方體的截面圖得到如下可能出現的結論:銳角三角形、等邊、等腰三角形、正方形、矩形、非矩形的平行四邊形、非等腰梯形、等腰梯形、五邊形、六邊形、正六邊形.不可能出現:鈍角三角形、直角三角形、直角梯形、正五邊形、七邊形或更多邊形.例1:已知凸多面體的各面都是四邊形，求證:該凸多面體的頂點數V、面數F有關系式F=V-2.

歸納總結1.五種正多面體的頂點數、面數及棱數:正多面體頂點數V面數F棱數E正四面體446正六面體8612正八面體6812正十二面體201230正二十面體122030歸納總結2.歐拉公式:簡單多面體的頂點數V、面數F及棱數E有關系式V+F-E=2.計算棱數E的常見方法:(1)E=V+F-2；(2)E=各面多邊形邊數和的一半；(3)E=頂點數與共頂點棱數積的一半.1.如圖，M，N為正方體中所在棱的中點，過兩點M，N作正方體的截面，則截面的形狀可能為（

）A．三角形 B．四邊形C．五邊形 D．六邊形BD2.瑞士著名數學家歐拉發現：簡單多面體的頂點數V、面數F及棱數E之間滿足有趣的關系式V+F-E=2，這個關系式被稱為歐拉公式.比如：正二十面體，是由20個等邊三角形組成的正多面體，已知每個頂點處有5條棱，則可以通過歐拉公式算出正二十面體的頂點有

個；如果一個簡單多面體的每個面都是

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