平面直角坐標系中的數形結合思想知識方法精講1．坐標確定位置平面內特殊位置的點的坐標特征（1）各象限內點P（a，b）的坐標特征：①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．（2）坐標軸上點P（a，b）的坐標特征：①x軸上：a為任意實數，b＝0；②y軸上：b為任意實數，a＝0；③坐標原點：a＝0，b＝0．（3）兩坐標軸夾角平分線上點P（a，b）的坐標特征：①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．2．軸對稱-最短路線問題1、最短路線問題在直線L上的同側有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點．2、凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合本節所學軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點．3．坐標與圖形變化-旋轉（1）關于原點對稱的點的坐標P（x，y）?P（﹣x，﹣y）（2）旋轉圖形的坐標圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角度和圖形的特殊性質來求出旋轉后的點的坐標．常見的是旋轉特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°.4.數形結合思想數形結合是數學解題中常用的思想方法，數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。2.所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想，實現數形結合，常與以下內容有關：（1）實數與HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"數軸上的點的對應關系；（2）函數與圖象的對應關系；（3）HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"線與方程的對應關系；（4）所給的HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"等式或HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"代數式的結構含有明顯的幾何意義。如等式。3.巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題，可起到事半功倍的效果，數形結合的重點是研究“以形助數”。4.數形結合的思想方法應用廣泛，常見的如在解方程和解HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"不等式問題中，在求函數的HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"值域、最值問題中，運用數形結思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優越，要注意培養這種思想意識，要爭取胸中有圖見數想圖，以開拓自己的思維視野。一．選擇題（共2小題）1．（2021秋?瑞安市月考）如圖，這是某所學校的部分平面示意圖，教學樓、實驗樓和圖書館的位置都在邊長為1的小正方形網格線的交點處，若教學樓位置的坐標是，實驗樓位置的坐標是，則圖書館位置的坐標是A． B． C． D．2．（2021春?姑蘇區校級月考）蘇州市“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑，“門”的造型是東方之門的立意基礎，“門”的內側曲線呈拋物線型，如圖1，兩棟建筑第八層由一條長的連橋連接，在該拋物線兩側距連橋處各有一窗戶，兩窗戶的水平距離為，如圖2，則此拋物線頂端到連橋距離為A． B． C． D．二．填空題（共10小題）3．（2020?賀州）某學生在一平地上推鉛球，鉛球出手時離地面的高度為米，出手后鉛球在空中運動的高度（米與水平距離（米之間的函數關系式為，當鉛球運行至與出手高度相等時，與出手點水平距離為8米，則該學生推鉛球的成績為米．4．（2021?二道區校級一模）如圖是某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內，與水平橋面相交于、兩點，拱橋最高點到的距離為，，，為拱橋底部的兩點，且，若的長為，則點到直線的距離為．5．（2020秋?瑞安市期末）如圖1是某校園運動場主席臺及遮陽棚，其側面結構示意圖如圖2所示．主席臺（矩形高米，直桿米，斜拉桿，起穩固作用，點處裝有一射燈．遮陽棚邊緣曲線可近似看成拋物線的一部分，為拋物線的最高點且位于主席臺邊緣的正上方，若點，，在同一直線上，且米，米，，則射燈離地面的高度為米．6．（2021?長春模擬）為了在校運會中取得更好的成績，小丁積極訓練，在某次試投中鉛球所經過的路線是如圖所示的拋物線的一部分．已知鉛球出手處距離地面的高度是1.68米，當鉛球運行的水平距離為2米時，達到最大高度2米的處，則小丁此次投擲的成績是米．7．（2020秋?路南區期末）一位籃球運動員在距離籃圈中心水平距離處起跳投籃，球沿一條拋物線運動，當球運動的水平距離為時，達到最大高度，然后準確落入籃框內．已知籃圈中心距離地面高度為，在如圖所示的平面直角坐標系中，則此拋物線的解析式為．8．（2020秋?江都區期末）道路的隔離欄通常會涂上醒目的顏色，呈拋物線形狀（如圖，圖2是一個長為2米，寬為1米的矩形隔離欄，中間被4根欄桿五等分，每根欄桿的下面一部分涂上醒目的藍色，顏色的分界處（點，點以及點，點落在同一條拋物線上，若第1根欄桿涂色部分與第2根欄桿未涂色部分長度相等，則的長度是．9．（2020?鹿城區二模）圖1是一個高腳杯截面圖，杯體呈拋物線狀（杯體厚度不計），點是拋物線的頂點，，，點是的中點，當高腳杯中裝滿液體時，液面，此時最大深度（液面到最低點的距離）為12，將高腳杯繞點緩緩傾斜倒出部分液體，當時停止，此時液面為，則液面到平面的距離是；此時杯體內液體的最大深度為．10．如圖是我省某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內，與水平橋面相交于、兩點，拱橋最高點到的距離為，，、為拱橋底部的兩點，且，點到直線的距離為，則的長為．11．（2020秋?興城市期末）某廣場有一噴水池，水從地面噴出，如圖，以水平地面為軸，出水點為原點，建立平面直角坐標系，水在空中劃出的曲線是拋物線（單位：米）的一部分，則水噴出的最大高度是米．12．（2020秋?甘南縣期末）在拋物線形拱橋中，以拋物線的對稱軸為軸，頂點為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，拋物線解析式為，水面寬，與軸交于點，，當水面上升時，水面寬為．三．解答題（共12小題）13．（2021秋?沭陽縣校級月考）如圖，在單位長度為1的正方形網格中建立一直角坐標系，一條圓弧經過網格點、、，請在網格圖中進行下列操作（以下結果保留根號）（1）利用網格找出該圓弧所在圓的圓心點的位置，寫出點的坐標為；（2）連接、，若扇形是一個圓錐的側面展開圖，則該圓錐底面半徑為；（3）連接，將線段繞點旋轉一周，求線段掃過的面積．14．（2021秋?薌城區校級期中）【初步探究】（1）如圖1，在四邊形中，，是邊上一點，，，連接、．請判斷的形狀，并說明理由．【問題解決】（2）若設，，．試利用圖1驗證勾股定理．【拓展應用】（3）如圖2，在平面直角坐標系中，已知點，點，點在第一象限內，若為等腰直角三角形，求點的坐標．15．（2021秋?孝南區月考）如圖，在平面直角坐標系中，點是軸上一點，點是軸上一點，且滿足．（1）求出，兩點坐標；（2）連接，以線段為直角邊，在右側作等腰直角三角形，點為直角頂點，連接，求的面積；（3）點是軸上一動點，點為軸上一動點，若、各自同時從原點出發沿軸正半軸、軸正半軸運動，點運動的速度是每秒1個單位，點運動的速度每秒2個單位；請求出多少秒時的面積正好是（2）中的面積的．16．（2021秋?荔城區校級期中）等腰中，，點、點分別是軸、軸兩個動點，直角邊交軸于點，斜邊交軸于點．（1）如圖（1），若，，求點的坐標；（2）如圖（2），當等腰運動到使點恰為中點時，連接，求證：；（3）如圖（3），在等腰不斷運動的過程中，若滿足始終是的平分線，試探究：線段、、三者之間是否存在確定的數量關系？若有，請直接寫出結論；若沒有，請說明理由．17．（2021秋?瑞安市月考）如圖，在平面直角坐標系中，點，，，于點，交軸于點．（1）求證：．（2）點在線段上，作交于點，連結．①若是的中點，求的面積．②連結，當是以為腰的等腰三角形時，求的長．18．（2021秋?諸暨市期中）【了解概念】在凸四邊形中（內角度數都小于，若一邊與它的兩條鄰邊組成的兩個內角相等，則稱該四邊形為鄰等四邊形，這條邊叫做這個四邊形的鄰等邊．【理解應用】（1）鄰等四邊形中，，，則的度數；（2）如圖，四邊形為鄰等四邊形，為鄰等邊，且，求證：；【拓展提升】（3）在平面直角坐標系中，為鄰等四邊形的鄰等邊，且邊與軸重合，已知，，，若在邊上使的點有且只有1個，求的值．19．（2021秋?吉安期中）畫出關于軸對稱的圖形△，求：（1）△三個頂點的坐標；（2）△的面積．（3）在軸上畫出點，值最小（不寫作法，保留作圖痕跡）．20．（2021?杭州模擬）如圖所示，某河面上有一座拋物線形拱橋，橋下水面在正常水位時，寬為，若水位上升，水面就會達到警戒線，這時水面寬為．（1）建立適當的平面直角坐標系并求出拋物線的解析式；（2）若洪水到來時，水位以每小時的速度上升，從警戒線開始，再持續多少小時就能到達拱橋的拱頂？21．（2020秋?肥西縣期末）某跳水運動員在進行跳水訓練時，身體（看成一點）在空中的運動路線是如圖所示的一條拋物線．已知跳板長為2米，跳板距水面高為3米，訓練時跳水曲線在離起跳點水平距離1米時達到距水面最大高度4米，現以為橫軸，為縱軸建立直角坐標系．（1）求這條拋物線的解析式；（2）求運動員落水點與點的距離．22．（2020秋?鄞州區期末）如圖1．游樂園要建造一個直徑為的圓形噴水池，計劃在噴水池周邊安裝一圈噴水頭．如圖2，以水平方向為軸，噴水池中心為原點建立平面直角坐標系，根據下表記錄的水柱高度與水柱距離噴水池中心的水平距離之間的關系畫出部分圖象．水柱距離噴水池中心的水平距離025810水柱的高度46.4740（1）位于第二象限的拋物線與第一象限的拋物線關于軸對稱，請你在所給的平面直角坐標系第二象限畫出它的圖象；（2）該種噴水頭噴水的最大高度是多少？（3）為了形成不同高度的噴水景觀，在地面上安裝了另一種噴水頭，它的位置在