6.1

周期函數分解為傅里葉級數

6.2

非正弦周期電流電路的計算

非正弦周期電流電路一T2T

t(s)一T0

T2N0

t(s)非正弦周期信號激勵為正弦周期信號

u(t),

i(t)激勵為直流信號

u(t),

i(t)f

(t)鋸齒波波形f

(t)脈沖波波形f

(t)矩形波波形0

t(s)uS

(t)t(s)t(s)002非正弦周期信號產生的原因電源輸出的電壓或電流本身就是非正弦周期函數。

多個不同頻率的電源同時作用于電路

電路中含有非線性元件

發電機的制造原因

0+u

一

RVD3

VD2f

(t)全波整流波形O

π

2π

t~220V50Hzu

U2u

U+u一t(s)f

(t)t(s)VD1VD40o2o2Ot3L222線性電路

uS

(t)

=

US0

+

[USkm

cos(kO1t

+

k

)]響應=響應0+響應1+響應2+…+響應nk=1

US0

f

(t)

=

f

(t

+

T)諧波分析法

USn

US2

US146.1

周期函數分解為傅里葉級數5f

(t)

=

f

(t

+

T)狄利赫利條件：1.

f

(t)

為單值周期函數；2.在一個周期內只能有有限個第一類間斷點；3.在一個周期內只有有限個極大值和極小值；4.積分j0

f

(t)

d

t

為有限值。|

6.1

周期函數分解為傅里葉級數

一、傅里葉級數T6f

(t)

=

+

[ak

cos(ko1t)+

bk

sin(ko1t)]

k

=

1,2,32冗a0

,ak

,bk

——系數

o1

=

Ta0

=

j0

f

(t)dt

=

j0

f

(t)do1tak

=

j0

f

(t)cos(ko1t)dt=

j0

f

(t)cos(ko1t)do1tbk

=

j0

f

(t)sin(ko1t)dt

=

j0

f

(t)sin(ko1t)do1tTTTTTTTTTTTTTTT2冗2T冗1TTTTTTTTTTTTTT2冗2T冗1TTTTTTTTTTT2冗2T冗1|

6.1

周期函數分解為傅里葉級數

7f

(t)

=

A0

+

[Akm

cos(kO1t

+vk

)]

f

(t)

=

A0

+

[Akm

sin(kO1t

+vk

)]A0

f

(t)的恒定分量,是f(t)在一個周期內的平均值

kkxw|

6.1

周期函數分解為傅里葉級數

f

(t)

=

+

[ak

cos(kO1t)

+

bk

sin(kO1t)]Akm

=

a

+

bvk

=

arctan(

)k2k2(ak

=

Akm

sinvkwa

bk

=1

a

Akm

cos(kO1t

+vk

)——諧波分量(ak

=

Akm

cosvkvk

=

arctan(

k

)〈lbk

=

_Akm

sinvk〈lbk

=

Akm

cosvk8k

=

2

A2m

cos(2o1t

+

2

)

二次諧波k

=

3

A3m

cos(3o1t

+

3

)

三次諧波k

=

n

Anm

cos(no1t

+

n

)

n次諧波

k≥2的諧波稱高次諧波角頻率是一次諧波角頻率的2倍角頻率是一次諧波角頻率的3倍角頻率是一次諧波角頻率的n倍|

6.1

周期函數分解為傅里葉級數

k

=

1

A1m

cos(o1t

+

1

)

一次諧波

具有和非正弦周期量相同的角頻率Akm

cos(ko1t

+

k

)——諧波分量9得到非正弦周期函數的幅度頻譜。2.相位頻譜：按照頻率由低到高，將相位用成比例的線段表示，

得到非正弦周期函數的相位頻譜。二、

頻譜1.幅度頻譜：按照頻率由低到高，將幅值用成比例的線段表示，|

6.1

周期函數分解為傅里葉級數

A1mA02mA3m

A4m5m0

o1

2o1

3o1

4o1

5o1

ko0o1

2o1

3o1

4o1

5o1

ko

3

5

4相位頻譜幅度頻譜(t)(t)

2

1ffAA10f

(t)

=

+

[ak

cos(ko1t)+

bk

sin(ko1t)]2

Tak

=

冗

j0

f

(t)cos(ko1t)do1t0

s

t

s

=

j0

Em

cos(ko1t)do1t

+

j

(-Em

)cos(ko1t)do1t

T

s

t

s

T冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗2冗1冗1|

6.1

周期函數分解為傅里葉級數

-T2T

t(s)-T0

T2a0

=

T

j0

f

(t)dt

=

01

2冗(|Emf

(t)

=〈|

E|l-

m【例6.1.1】求圖示非正弦周期函數的傅里葉級數展開式。2

ak

=

0f

(t)-EmEma11w=

j0

Em

sin(ko1t)do1t

+

j

(-Em

)sin(ko1t)do1t2Em

(|0

k為偶數bk

=

k冗

(1-

cosk冗)

=〈|

4Em

k為奇數冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗2冗1冗1|

6.1

周期函數分解為傅里葉級數

4E

(

1

1

)冗

\

3

5

)f

(t)

=

m

|

sino1t

+

sin3o1t

+

sin5o1t

+

|bk

=

冗

j0

f

(t)sin(ko1t)do1tl

k冗1

2冗12三、周期函數的波形對稱性欲傅里葉系數的關系

1.周期函數的波形在橫軸的上下部分包圍的面積相等0|

6.1

周期函數分解為傅里葉級數

a0

=

0f

(t)t(s)13周期函數f(t)的波形關于原點對稱f

(t)

=

一f

(一t)f

(t)

=

+

[ak

cos(kO1t)+

bk

sin(kO1t)]一f

(一t)

=

一

+

[一ak

cos(kO1t)+

bk

sin(kO1t)]

a0

=

0，ak

=

0|

6.1

周期函數分解為傅里葉級數

bk

=

j0

f

(t)sin(kO1t)dO1t

=

j0

f

(t)sin(kO1t)dO1t冗冗冗22冗冗2冗10f

(t)

=

bk

sin(kO1t)k=12.

奇對稱

f

(t)t(s)14

3.偶對稱偶函數f(t)的波形關于縱軸對稱f

(t)

=

f

(一t)f

(t)

=

+

[ak

cos(kO1t)+

bk

sin(kO1t)]

f

(一t)

=

+

[ak

cos(kO1t)一

bk

sin(kO1t)]ka0

=

T

j0

f

(t)dtak

=

j0

f

(t)cos(kO1t)dOt

=

j0

f

(t)cos(kO1t)dOt冗冗冗22冗冗2冗1|

6.1

周期函數分解為傅里葉級數

0

t(s)f

(t)

=

2

+

[ak

cos(kO1t)]a0

f

(t)b

=

02

T154.鏡像對稱函數f(t)的波形移動半周后與原波形關于橫軸對稱of

(t)

=

+

[ak

cos(ko1t)+

bk

sin(ko1t)]

0

t(s)2冗2冗2冗2冗2冗2冗2冗一f

(t

士

)

=

一

+

ak

cos(ko1t

士

k冗)+

bk

sin(ko1t

士

k冗)

|

6.1

周期函數分解為傅里葉級數

T

(

a0

w

T

T

)一f

(t

士

2)

=

一

|\

2

+

[ak

cosko1(t

士

2)+

bk

sinko1(t

士

2)])|T

f

(t)=f

(t)

=

一f

(t

士

2)T16k為偶數:-

f

(t

士

)

=

-

+

-ak

cos(ko1t)-

bk

sin(ko1t)f

(t)

=

+

[ak

cos(ko1t)+

bk

sin(ko1t)]0

k

kk為奇數:-

f

(t

士

)

=

-

+

ak

cos(ko1t)+

bk

sin(ko1t)f

(t)

=

+

[ak

cos(ko1t)+

bk

sin(ko1t)]a0

=

0

ak

=

冗

j0

f

(t)cos(ko1t)dot

bk

=

冗

j0

f

(t)sin(ko1t)dotwf

(t)

=

x

[ak

cos(ko1t)+

bk

sin(ko1t)]

(k

=

奇數)k

=1,3,5|

6.1

周期函數分解為傅里葉級數

2

冗

2

冗a

=

0，a

=

0，b

=

017|

6.1

周期函數分解為傅里葉級數

-T2T0

T2t(s)4E

(

1

1

)f

(t)

=

m

|

sino1t

+

sin3o1t

+

sin5o1t

+

|冗

\

3

5

)奇對稱和鏡像對稱f

(t)-EmEm-T186.2

非正弦周期電流電路的計算19|

6.2

非正弦周期電流電路的計算

f

(t)

=

A0

+

[Akm

cos(ko1t

+

k

)]k=1

j0

[A0

+

Akm

cos(kot

+

k

)]

dt2TTT1A

+

A

+

A

+221202F

=

T

j0

f

2

(t)dt

=

A

+

A

k=1k202T

j0

f

2

(t)dt一、有效值+

An2=1

T1

T=FF20=【例6.2.1】已知電壓u

=

[10

+

5

cos(ot

+

30

)

+

2

cos(3ot

+

60

)]V求此電壓的有效值。|

6.2

非正弦周期電流電路的計算

解：

U

=

U

+

U

+

U

=

102

+

52

+

22

=

11.36V32120221P

=

j0

pdt

=

U0I0

+

Uk

Ik

cos(

uk

ik

)

=

U0I0

+

Uk

Ik

cos(Qk

)

k=1TT

u

=

U0

+

Uk

cos(ko1t

+

uk

)k=1

i

=

I0

+

Ik

cos(ko1t

+

ik

)k=1|

6.2

非正弦周期電流電路的計算

=

U0I0

+

U1I1

cos(Q1

)

+

U2I2

cos(Q2

)

+頻率不同的諧波之間平均功率為零二、

非正弦周期電流電路的平均功率i

u22i

=

[10

+

5

cos(ot)

+

4

cos(3ot

+

30

)]A，計算一端口網絡吸收的平均功率。解：

P

=

U0I0

+

U1I1

cos(Q2

)

+

U3I3

cos(Q3

)=

0

10

+

5cos(60

)

+

5

4cos(

30

)

=17.82W【例6.2.2】已知u

=

[

cos(ot

+

60

)

+

5

cos(3ot)]V|

6.2

非正弦周期電流電路的計算

23(1)

將給定的非正弦周期信號分解成傅里葉級數，看作是各次諧波

分量串聯的結果；(2)

分別計算恒定分量和各諧波分量單獨作用時產生的響應

(諧

波分量單獨作用產生的響應可用相量法求解)

；三、

非正弦周期電流電路的計算步驟非正弦周期電流電路的分析計算方法是基于正弦交流電路的相量法

和疊加定理的基礎之上分析求解電路的，稱這種方法為諧波分析法。

可歸結為下列三個步驟：(3)

應用疊加定理，把響應的恒定分量和各諧波分量在時域內進行

疊加，得到用時間函數表示的總響應。|

6.2

非正弦周期電流電路的計算

24uS(t)

的傅里葉級數展開式：

uS

(t)

=

U0

+

Ukm

cos(ko1t

+

uk

)k

=1

U0

f

(t)

=

Ai(0t

[Akm

cos(ko1t

+

k

)]uS

(t)i(t)正弦穩態電路用相量法分析圖解：已知uS(t)為非正弦周期電壓源,求無源網絡N0

的i(t)的步驟。

直流電路

U0

0U1m

cos(o1t

+

u1)U2m

cos(2o1t

+

u2)Ukm

cos(ko1t

+

uk

)→Z(o1

)→Z(o2

)響應：i(t)

=

I0

+

i1

(t)

+

i2

(t)

+疊加定理傅里葉級數|

6.2

非正弦周期電流電路的計算Z(ok

)0I0Z(o1

=

0)等效變換k→iii+

ik

(t)

+12

IkUSk

S2

S1

2

1UUNNII25(1)

電感和電容元件對不同頻率的諧波分量表現出不同的感抗和容

抗值，對直流分量，電感看作短路，電容看作開路。(2)

求最終響應時，一定是在時域中疊加各次諧波的響應，若把不

同次諧波正弦量的相量進行加減是沒有意義的；(3)

不同頻率的電壓電流不構成平均功率。|

6.2

非正弦周期電流電路的計算

在分析與計算非正弦周期電流電路時應注意：26【例6.2.3】電路如圖所示，已知uS=[10+5cosωt+25cos(5ωt+60°)]V

，

ω=103rad/s

，

R1=

10Ω

，

R2

=5Ω

，

R3=2Ω

，

L=5mH

，

C=100μF。計算各支路電流及電源發出的平均功率。10VI1(

0

)10

I2

(

0

)5

LS1R12R2L|

6.2

非正弦周期電流電路的計算

I(0)

=

10

=2A5I(0)

=

3AI

=

=1AI(0)

=

0A1(0)(1)

直流分量單獨作用：3R3C2

CU(0)

=

10V解：I3

(

0

)I

(

0

)IuIII27S32I

=

I

+

I

+

I

=

0.5

+

0.707/

一

45

+

0.49/78.69

A=0.5+0.5

一

j0.5+0.096+j0.48=1.096

一

j0.02=1.096/

一

1.05

Am1)3(m1)2(m1)1(m(1)I

=

5/0

=

2

/

一

45

A=0.707/

一

45

AI

=

5/0

=

5/0

=

0.49/78.69

Am1)3(m1)2(5

2

10

一j10

5/0

VI(1)I(1)j5

|

6.2

非正弦周期電流電路的計算

(2)

一次諧波單獨作用：

U

=

5/0

Vm1)S(I

=

=0.5A0015/m1)1(2

一

j10

10.2/

一

78.695

+

j5

2Im(1)I(1)3m2m1m282

一j2

25/60

VI

(

5

)I

(

5

)j25

=(1.25+j2.17)

+

(0.93

一

j0.31)+(

一

2.29+j8.54)=

一0.11

+

j10.4

=10.4/90.6

A|

6.2

非正弦周期電流電路的計算

25/60=

=

0.98/

一

18.69

A25.5/78.69I(5)

=

25/60

1m

10I(5)

=

25/60

2m

5

+

j25I

=

25/60

=

25/60

=

8.84/105

Am5)3((3)

五次諧波單獨作用：

U

=

25/60

Vm5)S(I

=

I

+

I

+

I

=

2.5/60

m5)3(m5)2(m5)1(m(5)+

0.98/

一

18.69

+

8.84/105

A2

一

j2

2

2

/

一

45=2.5/60

A10

Im(

5

)I

(

5

)5

3m2m1m29i2

=

2

+

0.707cos(ot

-