緒論及預備知識

一、數學試卷形式結構及內容大綱

1、試卷滿分及考試時間

試卷滿分為200分，考試時間為180分鐘。

2、答題方式

答題方式為閉卷、筆試。不允許使用計算器。

3、試卷內容與題型結構

數學基礎75分，有以下兩種題型：

問題求解15小題，每小題3分，共45分

條件充分性判斷10小題，每小題3分，共30分

4、考查內容

綜合能力考試中的數學基礎部分主要考查考生的運算能力、邏輯推理能力、空間想象能力和數據處理

能力，通過問題求解和條件充分性判斷兩種形式來測試。

試題涉及的數學知識范圍有：

(一)算術

1、整數

(1)整數及其運算

(2)整除、公倍數、公約數

(3)奇數、偶數

(4)質數、合數

2、分數、小數、百分數

3、比與比例

4、數軸與絕對值

(二)代數

1、整式

(1)整式及其運算

(2)整式的因式與因式分解

2、分式及其運算

3、函數

(1)集合

1

(2)一元二次函數及其圖像

(3)指數函數、對數函數

4、代數方程

(1)一元一次方程

(2)一元二次方程

(3)二元一次方程組

5、不等式

(1)不等式的性質

(2)均值不等式

(3)不等式求解：一元一次不等式(組)，一元二次不等式，簡單絕對值不等式，簡單分式不等式。

6、數列、等差數列、等比數列

(三)幾何

1、平面圖形

(1)三角形

(2)四邊形(矩形、平行四邊形、梯形)

(3)圓與扇形

2、空間幾何體

(1)長方體

(2)圓柱體

(3)球體

3、平面解析幾何

(1)平面直角坐標系

(2)直線方程與圓的方程

(3)兩點間距離公式與點到直線的距離公式

(四)數據分析

1、計數原理

(1)加法原理、乘法原理

(2)排列與排列數

(3)組合與組合數

2、數據描述

(1)平均值

2

(2)方差與標準差

(3)數據的圖表表示

直方圖，餅圖，數表。

3、概率

(1)事件及其簡單運算

(2)加法公式

(3)乘法公式

(4)古典概型

(5)伯努利里概型

二'數學命題特點

數學考試大綱內容涵蓋初中和高中六年的知識，面大，量多，范圍廣，考生復習時很難抓住重點，同

時初數的解題技巧性極強，加大技巧的訓練越來越重要。

三'預備知識

1、基本公式

(1)(.a+b)2=a2+2ab+b2

(2)Ca+b)3±3a2b+3ab2+b3

(3)(a-b)(a+b)=a2-b1

(4)a3±Z>3=(a士份(片減力口"+/)

(5)(a+b+c)-=a~+Z?~+c?+2ab+2ac+2Z>c

(6)u~+b+c~+ab+ac+be=2(a~+b++ab+etc+be)

=g[(a+6)2+(a+c)2+(￡>+c)2]

2、指數相關知識

(1)平方根

(2)算術平方根

3、條件充分性判斷

從大綱要求上看，條件充分性判斷題主要考查考生對數學的基本概念、基本方法的熟練掌握程度，并

能夠迅速準確地判斷題干中陳述的結論可否由條件(1)或(2)推出。因而考生在備考時應對于充分條件

的有關概念、聯考題型的結構及其邏輯關系以及解題策略和應試技巧等有一個全面的理解和把握。

3

（1）、充分性命題定義

由條件A成立，就可以推出結論8成立（即AnB）,則稱A是8的充分條件。若由條件A,不能

推出結論8成立（即則稱A不是8的充分條件。

【注意】A是8的充分條件可巧妙地理解為：有A必有8,無A時8不定。

2、解題說明

本大題要求判斷所給的條件能否充分支持題干中陳述的結論，即只要分析條件是否充分即可，不必考

慮條件是否必要。閱讀條件（1）和（2）后選擇:

A條件（1）充分，但條件（2）不充分

B條件（2）充分，但條件（1）不充分

C條件（1）和條件（2）單獨都不充分，但條件（1）和條件（2）聯合起來充分

D條件（1）充分，條件（2）也充分

E條件（1）和條件（2）單獨都不充分，條件（1）和條件（2）聯合起來也不充分

▲以上規定全講義適用，以后不再重復說明。

3、常用求解方法

實際上，這類判斷題的求解即判斷下面三個命題的真假：

①條件（D成立，則題干結論成立；

②條件（2）成立，則題干結論成立；

③條件（1）和（2）都成立，則題干結論成立；

（1）解法一直接定義分析法（即由A推導8）

若由A可推導出則A是B的充分條件；若由A推導出與B矛盾的結論，則A不是B的充分條件。

該解法是解“條件充分性判斷”型題的最基本的解法，應熟練掌握。

【例1】方程%2一3%-4=0成立。

(1)x=-l(2)(x-4)2<O,xeR

（2）解法二題干等價推導法（尋找題干結論的充分必要條件）

要判斷A是否是8的充分條件，可找出B的充要條件C,再判斷A是否是C的充分條件。

即：若BoC,而則AnB。特殊地，當條件給定的參數范圍落入題干成立范圍時，即判斷

該條件是充分。

【例2】x-2是多項式/（%）=犬+2%2_辦+/,的因式。

（1）a=1,b=2（2）a=2,b=3

4

【例3】不等式|x—2|+|4—x|<s無解。

(1)s<2(2)s>2

x+1_vx+1

【例4】等式成立。

x-2Jx—2

(1)x>3(2)x<3

(3)解法三特殊反例法

由條件中的特殊值或條件的特殊情況入手，推導出與題干矛盾的結論，從而得到條件不充分的選擇。

【注】此方法不能用在條件具有充分性的肯定性的判斷上。

【例5】整數〃是140的倍數。

(1)〃是10的倍數(2)〃是14的倍數

【例6】a+6+c<0成立。

(1)實數”,dc在數軸上的位置如圖1-1所示

(2)實數a,A,c滿足條件a%c<0,且a<Z?<c

【例7】要使%〉1成立。

(1)a<l(2)a>l

第一章算術

【大綱考點】

1、整數

(1)整數及其運算(2)整除、公倍數、公約數(3)奇數、偶數(4)質數、合數

2、分數、小數、百分數3、比與比例4、數軸與絕對值

一、數的概念與性質

1、自然數N(非負整數)：0,1,2,-

5

整數Z：…，-2,-1,0,1,2,

分數：將單位1平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫做分數。

百分數：表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫做百分數。

2、數的整除

設。力是任意兩個整數，其中6/0,如果存在一個整數q,使得等式a=bq成立，則稱〃整除。或a

能被A整除，記作“a,此時我們把匕叫做。的因數，把。叫做b的倍數。如果這樣的4不存在，則稱6不

整除a,記做

3、整除的性質

(1)如果c|Z?,A|a,則c|a；

(2)如果c|Z?,c|a,則對任意的整數機，〃有c|("+〃b)；

4、常見整除的特點

能被2整除的數：個位為0,2,4,6,8。

能被3整除的數：各數位數字之和必能被3整除。

能被4整除的數：末兩位(個位和十位)數字必能被4整除。

能被5整除的數：個位為。或5。

能被6整除的數：同時滿足能被2和3整除的條件。

能被8整除的數：末三位(個位、十位和百位)數字必能被8整除。

能被9整除的數：各數位數字之和必能被9整除。

能被10整除的數：個位必為0。

能被11整除的數：從右向左，奇數位數字之和減去偶數位數字之和能被11整除(包括0)。

能被12整除的數：同時滿足能被3和4整除的條件。

連續k個正整數的乘積能被左!整除。

5、帶余除法

設a力是任意兩個整數，其中6>0,則存在整數4/使得a=匕4+r,0<r〈人成立，而且4/都是唯

一的。g叫做。被b除所得的不完全商，一叫做。被b除所得到的余數。

6、奇數與偶數

不能被2整除的數稱為奇數；能被2整除的數稱為偶數。

【注】0屬于偶數。

6

7、質數與合數

一個大于1的整數，如果它的正因數只有1和它本身，則稱這個整數是質數(或素數)；一個大于1

的整數，如果除了1和它本身，還有其他的正因數，則稱這個整數是合數(或復合數)。

1

正整數＜質數

、合數

【質數、合數的判斷方法】對于一個不大的自然數”(〃＞1,〃非完全平方數)，可用下面的方法判斷它

是質數還是合數，先找出一個大于〃的最小完全平方數42,再寫出女內的所有質數，若這些質數都不能整

除〃，則〃是質數；若這些質數中有一個質數能整除〃，則“為合數。

8、質數與合數的重要性質

(1)質數和合數都在正整數范圍，且有無數多個。

(2)2是唯一的既是質數又是偶數的整數，即是唯一的偶質數。大于2的質數必為奇數。質數中只有一個

偶數是2,最小的質數也是2。

(3)若p是一質數，。是任一整數，則。能被p整除或p與。互質(p與。的最大公因數是1)。

(4)設0是一質數，a,6是整數，若p|a為，則必有或p|Z＞。

(5)推廣：設p是一質數，q,a2，L是〃個整數，若pl"?用，L?q,則0一定能整除其中一個為。

(6)若正整數a1的積是質數0,則必有a=/2或6=p。

(7)1既不是質數也不是合數。

(8)如果兩個質數的和或差是奇數，那么其中必有一個是2；如果兩個質數的積是偶數，那么其中也必有

一個是2o

(9)最小的合數是4。任何合數都可以分解為幾個質數的積，能寫成幾個質數的積的正整數是合數。

9、最大公約(因)數與最小公倍數

設。力是兩個整數，若整數c滿足c|a,c|。，則c稱為。和b的公約數。a和匕的所有公約數中的最大

者稱為a和匕的最大公約數，記為(。/)。

分子與分母互質的分數稱為最簡分數或既約分數。

設。力是兩個整數，若整數c滿足。卜力卜，則c稱為a和b的公倍數。a和匕的所有公倍數中的最小

者稱為。和匕的最小公倍數記為［a,b］。

10、互質數

7

公約數只有1的兩個數稱為互質數。即若(a/)=1,則稱。力互質。

11、公倍數與公因數的性質

設。力是任意兩個正整數，則有：

(1)a/的所有公倍數就是切的所有倍數，即若a|d且b|d,則一，句|d；

nh

(2)[a,b]=----。特別地，當(a,A)=l時，有[a,A]=a)。

(a,b)

【典型例題】

【例1】從1到120的自然數中，能被3整除或能被5整除的數的個數是()個。

(A)64(B)48(C)56(D)46(E)72

【例2】若"是一個大于100的正整數，則“一定有約數()

(A)5(B)6(C)7(D)8(E)以上結論均不正確

[例3]一班同學圍成一圈，每位同學的一側是一位同性同學，而另一側是兩位異性同學，則這班的同學

人數()

(A)一定是4的倍數(B)不一定是4的倍數(C)一定不是4的倍數

(D)一定是2的倍數，不一定是4的倍數(E)以上結論均不正確

【例4】某人左右兩手分別握了若干顆石子，左手中石子數乘3加上右手中石子數乘4之和為29,則右手

中石子數為()

(A)奇數(B)偶數(C)質數(D)合數(E)以上結論均不正確

【例5】正整數N的8倍與5倍之和，除以10的余數為9,則N的最末一位數字為()

(A)2(B)3(C)5(D)9(E)以上結論均不正確

【例6】9121除以某質數，余數得13,這個質數是()

(A)7(B)11(C)17(D)23(E)以上結論均不正確

8

1661

【例7】已知3個質數的倒數和為-----，則這三個質數的和為（）

1986

（A）334（B）335（C）336（D）338（E）不存在滿足條件的三個質數

【例8】有5個最簡正分數的和為1,其中的三個是士!一，其余兩個分數的分母為兩位整數，且這兩個

379

分母的最大公約數是21,則這兩個分數的積的所有不同值的個數為（）

（A）2個（B）3個（C）4個（D）5個（E）無數多個

【例9】兩個正整數的最大公約數是6,最小公倍數是90,滿足條件的兩個正整數組成的大數在前的數對

共有（）

（A）1對（B）2對（C）3對（D）4對（E）5對

【例10】三名小孩中有一名學齡前兒童（年齡不足6歲），他們的年齡都是質數（素數），且依次相差6歲，

他們的年齡之和為（）

（A）21（B）27（C）33（D）39（E）51

【例11】三個質數之積恰好等于它們和的5倍，則這三個質數之和為（）

(A)11(B)12(C)13(D)14(15)15

【例12】條件充分性判斷

1、x=翳成立

1

198+()°

(1)x=23.456

(2002+2000+1998+L+4+2)—(2001+1999+1997+L+3+1)

/、1111

(2)X—1H-----1------l-TLH--------

1x22x399x100

2、自然數n的各位數字之積為6

（1）n是除以5余3,且除以7余2的最小自然數

（2）n是形如2”（m是正整數）的最小自然數

3、龍皿+爐似可取兩個不同的值

9

（1）實數x,y滿足條件（尤+y）99=T

（2）實數x,y滿足條件（尤—y）i°°=l

4、(?,b)=30,[?,Z?]=18900

(1)a=2100,b=270(2)a=140,Z?=810

5、機為偶數

（1）設”.為整數，771="（77+1）

（2）在1,2,3,L,1998這1998個自然數中的相鄰兩個數之間任意添加一個加號或減號，設這樣組成

的運算式的結果是相。

6、有偶數位來賓（）

（1）聚會時所有來賓都在一張圓桌周圍，且每位來賓與鄰座性別不同。

（2）聚會時，男賓是女賓的2倍。

二、數的分類

1、實數包括有理數和無理數

r正整數］

r正有理數1正分數有限小數，無限循環小數

「有理數0J負整數

I負有理數t負分數

實數「正無理數］

無理數｛\無限不循環小數

〔負無理數J

<11>按性質符號分類

J正整數

/正有理數1正分數

r正實數t正無理數

實數oj負整數

負實數［負有理數1負分數

I負無理數

2、數軸

數軸是規定了原點、正方向和單位長度的一條直線。

-10

實數與數軸上的點——對應。

10

數軸上的點從左到右的順序，就是對應的實數從小到大的順序。

對于任意實數X,用［X］表示不超過X的最大整數；令｛%｝=%-［幻，稱［X］是X的整數部分，度｝是X

的小數部分。

3、實數的基本性質

(1)若Pa,beR,則在a<da=仇。>心中有且只有一個成立；

(2)\/a,則/NO。

4、實數的運算

任意兩個實數的和、差、積、商(除數不等于零)仍然是實數。

(1)四則運算

加法交換律a+b+

加法結合律(a+b)+c=a+(b+

乘法交換律ab=b)

乘法結合律(?b)G=<b

分配率a(b+c)=ab+ac

。與—a互為相反數

a(aw0)與1互為倒數

a

(2)乘方與開方運算

若x"=a,則a稱為x的幾次方(或〃次幕)，x稱為a的九次方根。a的正的〃次方根記作樂。

【性質】正數的任何次方都是正數；

0的正數次方都是0；

負數的奇次方是負數；負數的偶次方是正數；

正數的奇次方根是正數；

正數有兩個偶次方根，它們互為相反數；

0的幾次方根為0；

負數的奇次方根是負數；負數沒有偶次方根；

【運算規律】

①a°=l(a#0)②「=——③疝@aman=am+n

an

11

mn

⑤>=""一"@(am)n=anm⑦(")"=a?"⑧(q)，=勺

anbbn

5、集合

(1)集合的概念

集合：將能夠確切指定的一些對象看成一個整體，這個整體就叫做集合，簡稱集。

元素：集合中各個對象叫做這個集合的元素。

(2)常用數集及記法

非負整數集(自然數集)：全體非負整數的集合，記作N。

正整數集：非負整數集內除0的集合，記作N*或Z+。

整數集：全體整數的集合，記作Z。

有理數集：全體有理數的集合，記作。。

實數集：全體實數的集合，記作及。

【注】①自然數集與非負整數集是相同的，也就是說，自然數集包括數0。

②非負整數集內排除0的集，記作N*,Q,Z,R等其它數集內排除0的集，也是這樣的表示，例如，整

數集內排除0的集，表示成Z*。

(3)集合的分類

有限集：含有有限個元素的集合。

無限集：含有無限個元素的集合。

規定：空集是不含任何元素的集合。

(4)元素與集合的關系

屬于：如果。是集合A的元素，就說。屬于A,記作aeA；

不屬于：如果。不是集合A的元素，就說a不屬于A,記作a/A；

(5)集合中元素的特性

確定性：按照明確的判斷標準給定一個元素或者在這個集合里或者不在，不能模棱兩可；

互異性：集合中的元素沒有重復；

無序性：集合中的元素沒有一定的順序(通常用正常的順序寫出)；

【注】①集合通常用大寫的拉丁字母表示，如A&CRQ等，元素通常用小寫的拉丁字母表示，如

a,b,c,p,q等;

②"e"的開口方向，不能把awA顛倒過來寫。

12

【典型例題】

【例13】一輛出租車有段時間的營運全在東西走向的一條大道上，若規定向東為正、向西為負，且知該車

的行駛公里數依次為一10，+6,+5,—8,+9,-15,+12,則將最后一名乘客送到目的地時，該車的

位置()

(A)在首次出發地的東面1公里處(B)在首次出發地的西面1公里處

(C)在首次出發地的東面2公里處(D)在首次出發地的西面2公里處

(E)仍在首次出發地

【例14］下列各式正確的是()

(A)兩個無理數的和是無理數(B)兩個無理數的乘積是無理數

(C)兩個無理數的乘積是有理數(D)一個有理數和一個無理數的乘積是無理數

(E)一個有理數和一個無理數相加減,其結果是無理數

(T)")(T)LQ—；)的值是(,

【例15】

0.1+0.2+0.3+L+0.9

213

(A)—(B)(C)()(E)

81iIDTV

［例16］(1+—)(1--)(1+—)(1--)L(1+—)(1——)=()

22339999

、50/、47、4750

(A)—(C)——(D)——(E)

97⑻H989999

【例17］已知a＜0,—1＜人＜0,那么()

(A)ab2<ab<a(B)a<ab<ab1(C)ab~<a<ab

(D)a<ab~<ab(E)以上結論均不正確

【例18】有一個正的既約分數，如果其分子加上24,分母加上54后，其分數值不變，那么此既約分數

的分子與分母的乘積等于()

(A)24(B)30(C)32(D)36(E)38

【例19】把無理數逐記作a,它的小數部分記作b,則等于()

b

(A)1(B)-1(C)2(D)-2(E)以上答案均不正確

13

【例20】等式j?=(?y成立的條件是(

)

(A)。是任意實數(B)?>0(C)?<0(D)?>0(E)?<0

【例21]已知a=3+2應力=3—20，貝|]"匕—必2的值為()

(A)4應(B)3A/2(C)-4A/2(D)-372(E)-1

且等式a+b?+c0=45+2娓成立,貝qa+6+c的值等于(

【例22】a,b,c為有理數,)

(A)0(B)1(C)2(D)3(E)以上結論均不正確

【例23】條件充分性判斷

1、x=^-l

(1)x=18+2岳(2)彳="_疝

2、a=b=0

(1)ab>0,(^)a+b=1(2)。力是有理數，a是無理數，S.a+ba=Q

3、[劃,[川,口]分別表示不超過蒼-2的最大整數，則[x-y-z]可以取值的個數是3個

(1)[%]=5[y]=3[z]=l(2)[x]=5[y]=-3[z]=-l

三、絕對值

1、絕對值的定義

,,[a(.a>

實數a的絕對值定義為：a=\0)

11[-a(tz<0).

即：正數的絕對值是它本身、負數的絕對值是它的相反數、零的絕對值還是零

2、絕對值的幾何意義

實數a的絕對值的幾何意義：數軸上實數a所對應的點到原點的距離(如圖1-2所示)。

14

3、絕對值的性質

a,a>0

①問二<0,a—Q

-a.a<0

②同>0,a1>0,y[a>0

③M=同

④同2=〃2,^J~^2=同

同=〃n%=±a

⑤W<〃n%<a

⑥@=；=±l(aw0)

a\a\

⑦琲H崗，年用sw°)

\b\

⑧一|a區aV|a|

4、絕對值不等式(三角不等式)

(1)|a|-|Z?|<|a+Z?|<|?|+|/?|：

當且僅當"<0且同》同時，左邊等號成立；

當且僅當20時，右邊等號成立。

(2)|a|-|Z?|<|a-Z?|<|a|+|Z?|：

當且僅當帥NO且同習母時，左邊等號成立；

當且僅當。6<0時，右邊等號成立。

(3)||<7|-|z?||<|o+z?|<|<7|+|z?|：

當且僅當ab<0時，左邊等號成立；

當且僅當ab20時，右邊等號成立，

【典型例題】

【例24】已知是實數，43x+4+y2-6y+9=0,若axy—3x=y,則。等于()

1177c

(A)-(B)--(C)-(D)--(E)0

4444

15

【例25]已知|%—y+l|+(2x—y)2=0,求log/。

【例26】求適合下列條件的所有x的值

(1)|x-3|=8(2)|x-3|<8(3)|x-3|>8

【例27]已知|%—々區1,|y-x\<l,則有()

(A)|y-a\<2(B)|y-a\<1(C)|y+a\<2

(D)|y+a\<l(E)A、B、C、D都不正確

—11—2無

【例28]已知土一=二上,則x的取值范圍是()

33

(A)(-co,--](B)[―,+co)(C)(D)(-oo^—](E)(-oo,不)

【例29]若|。—c|<M|("cwO),則下列不等式成立的是()

(A)a>c-b(B)a<b+c(C)\a\<]b\+\c\(。)5|>|加—|c|(E)\a\>]b\+\c\

【例30】x,y,z滿足條件|x2+4^+5y2|+Jz+g=_2y-l,則(4x-10疔等于()

(A)l(3)0(C書(D)2(E)以上均不正確

6

17I/IjI\2013z、

■-ba\b\c\abc\beac〃人./士位/、

[例31]已1矢口---H-----1--=1A,貝！J--------+-；-：?-.—7---的值為()

\a\b\c\abcJ(口.口ca,

(A)1(B)-1(C)±1(D)-(E)不能確定

3

【例32]設y=|x—2|+|x+2],則下列結論正確的是()

(A)y沒有最小值(B)只有一個x使y取到最小值

(C)有無窮多個x使y取到最大值(D)有無窮多個x使y取到最小值

16

(E)以上結論均不正確

【例33)條件充分性判斷

1、\y-d\<2成立。

(1)(2)|2x-y|<1

凹-皿=-2成立

2、

ab

(1)a<0(2)b>0

3、函數/(x)的最小值為g

21

X-------

(1)/(%)=+x+—⑵/(%)=.~胃

1212卜一4

4,方程/(x)=l有且僅有一個實根

(I)f(x)=\x-l\(2)/(x)^x-l|+l

5、y/c^b=-ay/b

(1)a>0,b<0(2)a<0,b>0

6、方程k+l|+N=2無根

(1)xe(-oo,-l)(2)xe(-l,0)

四、比、比例、均值

1、比

兩個數相除，又稱為這兩個數的比。即。：6=@.其中a叫做比的前項，b叫做比的后項。相除所得商

b

叫做比值。記作。：6=。/人=左，在實際應用中，常將比值表示成百分數，稱為百分比，如3：4=75%o

2、幾個重要關系

17

原值。增長了p%＞現值?(1+P%);

原值a.降」”一＞現值a(l-p%)；

o

甲比乙大P%=甲乙=p°/oO甲=乙?(1+P%)；甲是乙的p°/oO甲=乙-P/o；

乙

【注】甲比乙大「％不等于乙比甲小0%,不要混淆。先減小.％,再增加0%并不能等于原數值。

3、比例

相等的比稱為比例，記作a:b=c:d或幺=￡。其中。和d稱為比例外項，〃和c稱為比例內項。

bd

當a:b=6:c時，稱卜為a和c的比例中項，顯然當a,dc均為正數時，匕是a和c的幾何平均值。

4、正比

若y=(左不為零)，則稱y與x成正比，%稱為比例系數。

【注】并不是尤和y同時增大或減小才稱為正比。比如當左＜0時，x增大時，y反而減小。

5、反比

若y=k/x(左不為零)，則稱y與九成反比，上稱為比例系數。

【注】同正比也不是反向增大或減小才稱為反比，如左＜0。

6、比例的基本性質

(1)a;b=c:doad=bc

(2)a;b=c:dob:a=d:cob:d=a:cod:b=c;a

(3)(反比性質)-==-

bdac

(4)(更比性質)—=—＜^—=—

bdcd

…ca+bc+d

(5)(合比性質)一=一0------=-------

bdbd

/、/l、〃ca-bc-d

(6)(分比性質)一=一=----=-----

bdbd

(7)(合分比性質)@=￡=些絲，特別地，當機=i時，有q=f=±_(；或者可寫成

bdb±mdbdbhc

-a=—ca+b=c+d

bda-bc-d

“、zA-A-rracema+c+e+La_,,八

(8)(等比性質)一=—=—=L=一=＞----------------=—,其中67+d+/r+LT+〃w0

bdfnZ7+d+/+L+nb

7、增減性變化關系(a,b,m＞0)

18

...cicima、、*l、—:、、、、.

右7>1,則-----<—o注思，反之不一定成反。

bb+mb

1卜CClI51〃+〃/U、、*L、T.v>.

右0<一<1,則----->—o注思，反之不一定成立O

bb+mb

8、平均值

(1)算術平均值

n

設幾個數和x,,L,無“，稱元=*+々+L+-為這n個數的算術平均值,簡記為元=上上

nn

(2)幾何平均值

設〃個正數%,%2，L,乙，稱”《玉—乙為這〃個數的幾何平均值，簡記為％=

【注意】幾何平均值是對于正數而言。

(3)基本不等式

①當為,々,……，/為n個正數時，它們的算術平均值不小于它們的幾何平均值，即

X+X9+...+XM/--------------/\八.Y、

------------->-x2...xn(%>0,z=l,,n)

n

當且僅當x1=x2=...=%八時，等號成立。

特別地，當n=2時，有％之小X[X?(eR+),此時玉,馬的幾何平均值稱為X，/的

比例中項。

②。+422(。〉0),即對于正數而言，互為倒數的兩個數之和不小于2,且當。=1時取得最小值時2。

a

【例34】設!」：1=4:5:6,則使x+y+z=74成立的y值是(

)

xyz

(A)24(B)36(C)74/3(D)37/2(E)以上結論均不正確

13

【例35】已知y=%—%且％與M成反比例，%與k■成正比例。當％=。時，y=-3,又當x=l

時，y=l,那么y的無表達式是()

3r236

(A)y=—(B)y=3/———(C)y=3/+

2x+2x+2x+2

/、3x23

(￡?y=-------+-------(E)y=-3x2--—

2x+2x+2

19

【例36】求3、8、9這三個數的算術平均值和幾何平均值。

【例37】將一條長為a的線段截成長為x和a—%的兩條線段，使x恰是。與a—%的幾何平均值。我們

稱對任意一個量。的這種分割為黃金分割，試求x。

【例38】三個實數1,x-2和x的幾何平均值等于4,5和-3的算術平均值，則x的值為()

(A)-2(B)4(C)2(D)—2或4(E)2或4

11

【例39】的算術平均值是2,幾何平均值也是2,則的幾何平均值是(

(A)2(B)A/2(C)與⑷4(E)以上結論均不正確

【例40】如果石,X,三個數的算術平均值為5,則為+2,%-3,七+6與8的算術平均值為()

(A)3-(B)6-(C)7(D)9-(E)以上結論均不正確

423

【例41】直角邊之和為12的直角三角形的面積的最大值為()

(A)16(B)18(C)20(D)22(E)不能確定

【例42】條件充分性判斷

1、用ab表示十位是a,個位是人的一個兩位數，有aZ?:8a=(a+l)：S+l)成立

(1)拓是3的倍數

(2)拓是9的倍數

2、某公司得到一筆貸款共68萬元，用于下屬三個工廠的設備改造。結果甲、乙、丙三個工廠按比例分別

得到36萬元、24萬元和8萬元。

(1)甲、乙、丙三個工廠按工：工：，的比例分配貸款

239

(2)乙廠所得款額恰是甲廠所得款額與丙廠所得款額的2倍的比例中項

20

a+b+

3、=乎口成立

2

c+dy)c+d-

⑴/=三，且均為正數

ba

(2):=三,且。,d均為負數

ba

4、兩數a力的幾何平均值的3倍大于它的算術平均值

(1)滿足a?+〃<34必

(2)a力均為正數

5、某班學生的平均身高是1.66米

(1)該班有30名男生，他們的平均身高為1.70米

(2)該班有20名女生，她們的平均身高為1.60米

6、a力的算術平均值為8

(1)a/為不等的正整數，且的算術平均值為1

ab6

(2)。力為正整數，且工」的算術平均值為L

ab6

7、已知a=log,,,力=gQ°g"，%+l°g，,丁)，。=glogm(x+y),則c〉Z?Na。

(1)x>2,y>2(2)0<m<1

8、a,b,。的算術平均值是14/3,而幾何平均值是4

(1)。力,。是滿足〃>/?>。>1的三個整數，b=4

(2)〃,反(?是滿足〃>力>。>1的三個整數，b=2

第二章應用題

【備注】初數中最容易出錯的地方就是應用題，因為應用題的解題技巧很強，稍不留神就會掉入命題者的

陷阱里。關于初等數學的應用題有許多內容，比如：百分比問題，溶液問題，工程問題等等，要總結有很

21

多，在這里只是選擇了幾個有代表性的應用題內容進行講解。

常用的應用題的解法有：

▲轉化法：改變思考的方式和角度，使復雜問題，轉化為熟悉的、簡單的基本問題，或將題中條件，加以

轉化，或重新組合，以便得到明確的解題思路，另外把復雜的數量關系中不同的單位制，轉化為統一單位

制下的簡單數量關系；

▲窮舉法：這是樸素且實用的方法，對討論對象加以分類，使問題簡單化

▲圖解法：以圖形表達命題，幫助我們理解題意，發現隱含條件，找到解題途徑；

▲代數法：設未知量找等量關系分別方程。

除了這幾種常用的解法外，還有逆推法、綜合法、歸納法等等，可依據題目的類型和特點選擇使用。

一'比和比例'百分比

MBA聯考數學試題，每年都會出有關百分比的應用題，并且相對較難，同時，還存在著百分比的標準量

不明確，或同一題中不同百分比各自有不同標準量，使應試者難于判斷，失誤率高于其他應用題的實際情

況，也說明百分比問題是應用類題型的一個難點。

知識點：1.比例性質（略）

2.變化率=冬始x100%

變刖量

1、打折問題

基本公式：售價=成本+利潤

甲比乙多p%W乙比甲少p%

甲=乙（1+p%）甲=乙錯誤!未找到引用源。

1-p%

【解題提示】要選對基準量，注意折扣的變化與利潤的關系。解題之關鍵是要分清成本價，原銷售價、“優

惠價”和利潤這幾個概念，有些題目還會給出利潤所占的百分比，此時要注意，通常情況下毛利率這一百分比

的標準量是銷售價而不是成本價，這是在工商管理學的教材上明確定義的，但具體題目還是會有指明以成本

價計算利潤率的情況，只能具體問題具體分析了，此題是已知最終售價即“優惠價”，由此逆推，依所給條件去求

原價,即可知盈虧。

【例1】某商品單價上調20%后，再降為原價的90%,則降價率為（）

A、30%B、2