第六章

總體平均數的估計一、概率與概率分布隨機事件:

在一定條件下有可能發生也有可能不發生的事件。例如：投擲一枚硬幣，出現正面；隨機抽一張撲克牌，抽出來是紅桃概率的定義概率是用來描述一隨機事件出現可能性大小的統計指標，其值介于0和1之間，值越大表示這一隨機事件發生的可能性越大。

概率的定義概率的兩種定義：

（1）統計定義：對隨機事件進行n次觀測，其中某一事件A出現的次數m與n的比值，當n趨于無窮大時，這一比值趨于以固定的常數P，將這一常數P稱為事件A發生的概率。（2）古典定義：在下列條件下（a）試驗的每一種可能結果是有限的；（b）每一個基本事件出現的可能性相等；如果基本事件的總數為n，事件A包含m個基本事件，則事件A的概率為m/n。概率的基本性質任何一個事件出現的概率都是非負的；必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0；任何一個隨機事件的概率介于0和1之間。概率的基本定理大數定律在隨機現象中每次出現的結果具有偶然性，但在大量重復中往往出現必然的結果。由于大數定律的作用，在統計時必須把教育現象作為一個整體來研究，選取大量數據，才能從數量上反映事物變化的規律。

小概率原理概率很小的隨機事件在一次試驗中幾乎不可能發生。一般認為概率在.05以下的隨機事件是概率很小的隨機事件。加法定理：兩個互不相容的事件A、B之和的概率等于兩個事件概率之和，即：

P(A+B)=P(A)+P(B)

互不相容事件：如果A發生，則B一定不發生，如果B發生，則A一定不發生，乘法定理：兩個獨立事件同時出現的概率等于兩事件概率的乘積。獨立事件：一個事件是否出現對另外一個事件不產生影響。

二、正態分布1、正態分布曲線的特點兩邊對稱；中央最高；永不和底相交2、正態分布又稱為常態分布，是連續隨機變量概率分布的一種，其密度函數為：

正態分布的形態取決于兩個參數，即平均數和標準差。正態分布曲線頂峰的位置在平均數上，平均數的決定正態分布的位置；標準差決定正態分布曲線的形狀。正態分布對稱分布，算術平均數、中數和眾數相等正態分布下數據與標準差有一定數量關系：

包含所有數據的68.26％

包含所有數據的95％

包含所有數據的99％

3、標準正態分布平均數＝0標準差＝1標準正態分布曲線表的查找（1）從z值查面積（2）從面積查z值三、總體平均數的估計（一）區間估計的理論用數軸上的一段距離表示未知參數可能落入的范圍，并指出落入該范圍的概率有多大的一類參數估計的方法。區間估計是根據樣本分布的理論，解釋總體參數某置信區間可能的概率樣本平均數的次數分布中心極限定理總體平均數的區間估計－1.96<<+1.96

－2.58<<+2.58/nXZsm-=（二）大樣本總體平均數區間估計的過程置信區間

＋1.96

＋2.581.96：.05顯著性水平的置信區間所需的z的臨界值，記為z0.05/22.58：.01顯著性水平的置信區間所需的z的臨界值，記為z0.01/2區間估計計算步驟（1）計算樣本平均數和樣本標準差（如果總體標準差已知，則不用計算樣本標準差）；（2）計算標準誤：（總體方差已知）

或（總體方差未知）（3）確定置信區間或顯著性水平（0.05或

0.01）（4）查表得到臨界值（5）計算置信區間：

樣本標準差越大，樣本容量越小，平均數的誤差就越大，置信區間就越長，估計就越不準確；樣本標準差越小，樣本容量越大，平均數的誤差就越小，置信區間就越短，估計就越準確；樣本容量在30以上，即大樣本，才能使用以上方法進行總體平均數的區間估計。（三）小樣本平均數的分布t分布也是一種理論分布，這種分布，當樣本容量接近無窮大時，它是正態分布；當n>30時接近正態分布；當n<30時不接近正態分布，而是左右對稱，高狹峰的分布，且是分布形狀隨樣本容量n-1的變化而變化的一族分布；n-1是指t分布的自由度；t分布以t值為橫坐標，分布曲線兩邊對稱，中央點是t＝0點，在此點曲線最高，兩側逐漸下降，無限延長最終不與底相交。t值表的使用小樣本總體平均數區間估計的步驟：兩個置信區間：＋t0.05/2

＋t0.01/2樣本平均數的區間估計例1：已知某校的一次考試全體考生成績總體方差＝100，從中抽得5位考生的成績為65，83，94，70，88，試求全體考生成績均值的95％和99％的置信區間。95%的置信區間[71.23,88.77]99%的置信區間[68.46,91.54]例2：某校對高中一年級學生進行英語水平測試，測試后從中抽取的9個考生的