項目二點、直線、平面的投影機械制圖【蒙日與畫法幾何】Page

2蒙日是19世紀著名的幾何學家，他創立了畫法幾何學，推動了空間解析幾何學的獨立發展，為工程設計及其圖樣制作提供了一種切實有效的科學方法。理論知識2.1三視圖的形成2.2點的投影2.3直線的投影123Page

32.4平面的投影42.1三視圖的形成2.1.1投影的形成投射線通過物體，向選定的面投射，并在該面上得到圖形的方法，稱為投影法。2.1.2投影法的分類2.平行投影法2.1.3三視圖的形成1.三面投影體系垂直于正立投影面的水平的投影面稱為水平投影面，用H表示正立的投影面稱為正立投影面，用V表示垂直于正立投影面和水平投影面的投影面稱為側立投影面，用W表示三投影面體系由三個相互垂直的投影面組成。

2.三視圖形成將物體放入由V、H、W面組成的投影體系中，用正投影的方法分別得到物體的三個投影，在V面上的投影稱為主視圖，在H面上的投影稱為俯視圖，在W面上的投影稱為左視圖。將三個視圖面展平到一個平面內，即得到物體的三視圖。3.三視圖之間的關系三個視圖之間的投影關系為：主視圖和俯視圖長相等，主視圖和左視圖高相等，俯視圖和左視圖寬相等。即三視圖之間的投影規律為：主、俯視圖長對正，主、左視圖高平齊，俯、左視圖寬相等。在繪制三視圖時要符合這一投影規律（簡稱“三等”規律）。2.2點的投影1.點的三面投影

點A分別向V、H、W面投射，得到A點的三面投影。V面上的投影稱為正面投影，記為a′；H面上的投影稱為水平投影，記為a；W面上的投影稱為側面投影，記為a″。將三投影面展平到得到點的三面投影圖2.點的投影與直角坐標的關系點A的三面投影與其坐標間的關系如下：空間點的任一投影，均反映了該點的某兩個坐標值，即a（XA，YA），a′（XA，ZA），a″（YA，ZA）。空間點的每一個坐標值，反映了該點到某投影面的距離XA＝aaYH

＝a′aZ＝A到Ｗ面的距離；YA＝aaX＝a″aＺ＝A到Ｖ面的距離；ZA＝a′aＸ＝a″aYＷ＝A到Ｈ面的距離。由上可知，點Ａ的任意兩個投影反映了點的三個坐標值。有了點Ａ的一組坐標（XA，YA

，ZA），就能唯一確定該點的三面投影（a，a′，a″）。

3.點的投影規律：

（1）點的正面投影與水平投影的連線垂直于OX軸；

（2）點的正面投影與側面投影的連線垂直于OZ軸；

（3）點的水平投影與側面投影具有相同的Y坐標。4.兩點的相對位置兩點間的相對位置是指空間兩點之間上下、左右、前后的位置關系。根據兩點的坐標，可判斷空間兩點間的相對位置。兩點中，x坐標值大的在左；y坐標值大的在前；z坐標值大的在上。2.3直線的投影直線的投影可由屬于該直線的兩點的投影來確定。一般用直線段的投影表示直線的投影，即作出直線段上兩端點的投影，則兩點的同面投影連線為直線段的同面投影。

一、直線的投影特性AMB●a≡b≡m●●●AB●●●●ab●●AB●●abα直線垂直于投影面投影重合為一點。

積聚性直線平行于投影面投影反映線段實長。ab=AB實形性直線傾斜于投影面投影比空間線段短。ab=ABcosα二、不同位置直線投影關系

根據直線在投影面體系中對三個投影面所處的位置不同，可將直線分為投影面平行線、投影面垂直線和一般位置直線三類。其中前兩類統稱為特殊位置直線。直線對H、V、W三投影面的傾角，分別用α、β、γ表示，如下圖所示：三、各種位置直線的投影特性1、投影面平行線投影面平行線與一個投影面平行，與另外兩個投影面傾斜。與H面平行的直線稱為水平線，與V面平行的直線稱為正平線，與W面平行的直線稱為側平線。規定直線（或平面）對H、V、W面的傾角分別用α、β、γ表示。

投影面平行線的投影特性（見下頁），從表中可概括出投影面平行線的投影特性：（1）投影面平行線在其所平行的投影面上的投影，反映實長；它與投影軸的夾角，分別反映直線對另外兩個投影面的夾角。（2）在另外兩個投影面上的投影，分別平行于相應的投影軸。投影面平行線名稱立體圖投影舉例水平線正平線側平線投影特性1．水平投影反映實長，與X軸夾角為β，與Y軸夾角為α2．正面投影平行X軸3．側面投影平行Y軸1．正面投影反映實長，與X軸夾角為α，與Z軸夾角為γ2．水平投影平行X軸3．側面投影平行Z軸1．側面投影反映實長，與Y軸夾角為α，與Z軸夾角為β2．正面投影平行Z軸3．水平投影平行Y軸2、投影面垂直線投影面垂直線與一個投影面垂直，與另外兩個投影面平行。與H面垂直的直線稱為鉛垂線，與V面垂直的直線稱為正垂線，與W面垂直的直線稱為側垂線。

投影面垂直線的投影特性（見下頁），從表中可概括出投影面垂直線的投影特性：（1）投影面垂直線在其所垂直的投影面上的投影，積聚成一點。（2）在另外兩個投影面上的投影，分別垂直于相應的投影軸，且反映實長。投影面垂直線名稱立體圖投影舉例投影特性鉛垂線1．水平投影積聚為一點2．正面投影和側面投影分別垂直于OX軸和OY軸，并反映實長正垂線1．正面投影積聚為一點2．水平投影和側面投影分別垂直于OX軸和OZ軸，并反映實長側垂線1．側面投影積聚為一點2．正面投影和水平投影分別垂直于OZ軸和OY軸，并反映實長3、一般位置直線一般位置直線與三個投影面都傾斜，因此在三個投影面上的投影都不反映實長，投影與投影軸之間的夾角也不反映直線與投影面之間的傾角，如圖所示。一般位置直線的投影特性是：三個投影都傾斜于投影軸的直線，其長度小于實長。四、直線上的點直線上的點的投影特性如下：（1）直線上的點的投影必定在直線的同面投影上，如圖中，直線AB上的點K的投影k、k′、k〞分別在ab、a′b′、a〞b〞上。（2）點分線段之比等于點的投影分線段的投影之比，如圖中，線段AK和KB的比例關系，等于同面投影中兩線段的比例關系，即五、兩直線相對位置1、兩直線平行兩如果空間兩直線相互平行，則它們的同面投影必定相互平行，且符合定比性。如圖，由于AB‖CD，則ab‖cd，a′b′‖c′d′,a〞b〞‖c〞d〞；且反之，如果兩直線的各同面投影相互平行，則兩直線在空間一定相互平行。2、兩直線相交如果空間兩直線相交，則它們的同面投影必定相交，且投影的交點符合點的投影規律。如圖，由于直線AB與直線CD相交于點K，則ab與cd交于k，a′b′與c′d′交于k′，a〞b〞與c〞d〞交于k〞。反之，如果空間兩直線的同面投影均相交，且交點符合空間點的投影規律，則這兩條直線在空間一定相交。3、兩直線交叉既不平行也不相交的直線稱為交叉兩直線。交叉直線在空間是不相交的,可是它們的投影卻有可能相交。交叉直線的投影的交點僅僅是這兩條直線對該投影面的重影點。2.4平面的投影通常用平面上的點、直線或平面圖形等幾何元素的投影表示平面的投影。一、平面的表示法二、各種位置平面的投影特性根據平面在三投影面體系中對三個投影面所處的位置不同，可將平面分為一般位置平面、投影面垂直面和投影面平行面三類。其中，后兩類統稱為特殊位置平面。

平面相對于投影面位置不同時的投影特性：1、投影面平行面平行于一個投影面的平面稱為投影面平行面。與H面平行的平面稱為水平面，與V面平行的平面稱為正平面，與W面平行的平面稱為側平面。投影面平行面的投影特性：（1）投影面平行面在其所平行的投影面上的投影，反映實形。（2）在另外兩個投影面上的投影，分別積聚為平行于相應投影軸的直線。投影面平行面名稱立體圖投影投影特性水平面1．水平投影反映實形。2．正面投影積聚成平行于X軸的直線。3．側面投影積聚成平行于Y軸的直線。正平面1．正面投影反映實形。2．水平投影積聚成平行于X軸的直線。3．側面投影積聚成平行于Z軸的直線。側平面1．側面投影反映實形。2．正面投影積聚成平行于Z軸的直線。3．水平投影積聚成平行于Y軸的直線。2、投影面垂直面投影面垂直面名稱立體圖投影投影特性鉛垂面1．水平投影積聚成直線，與X軸夾角為β，與Y軸夾角為γ。2．正面投影和側面投影為該平面的類似形。正垂面1．正面投影積聚成直線，與X軸夾角為α，與Z軸夾角為γ。2．水平投影和側面投影為該平面的類似形。側垂面1．側面投影積聚成直線，與Y軸夾角為α，與Z軸夾角為β。2．正面投影和水平投影為該平面的類似形。3、一般位置平面一般位置平面與三個投影面都傾斜，因此在三個投影面上的投影都不反映實形，而是縮小了的類似形。三、平面上的點和直線由初等幾何可知，屬于平面的點和直線