【9份】高中數學人教A版選修1-1試題：

第3章常用邏輯用語教師用書章節練習章末測試

目錄

高中數學人教AJ8選修1-1試題第3章導數及其應用3-1-1、3-1-2

高中數字人教AKg選修1-1試題第3章導數及其應用3-1-3

高中數學人教AJ扳選修1-1試題第3章導數及其應用3-2-1、3-2-2

高中數字人教A版選修1-1試題第3章導數及其應用3-3-1

高中數字人教A版選修1-1試題第3章導數及其應用3-3-2

高中數學人數A）K選修1-1試題第3章導數及其應用3-3-3

高中數字人教AJ扳選修1-1試題第3章導數及其應用3-4

高中數學人教-1摩第3章導數及其應用教師用書第3章

高中數學人教A）扳選修1-1試題第3章導數及其應用章未達標測試⑶

311、3-1-2

綜合提升案?核心素養達成

［限時40分鐘；滿分80分］

一、選擇題（每小題5分，共30分）

1.質點運動規律為S=2/+5,則在時間（3,3+A。中，相應的平均速度等

9

A.6+B.12+A/4--

C.12+2AfD.12

As[2（3+△/）2+5]—（2X3?+5）

解+析

△「kt=12+2A/.

答案C

..f（xo+/l）—f（Xo）

2.於）在*=x（）處可導，貝！|--------H-------

A.與x（）、h有關

B.僅與*o有關，而與人無關

C.僅與人有關，而與Xo無關

D.與xo、人均無關

L(+/iL()

解+析--\"----=r(xo),因此僅與x。有關.

答案B

3.質點M按規律s=2*+3做直線運動(位移單位：m,時間單位：s),則

質點M在f=2s時的瞬時速度是

A.2m/sB.6m/sC.4m/sD.8m/s

-w2(2+AO2+3—(2X22+3)

解+析v=--------------------r--------------------

8AH?2“

=(8+2Az)=8(m/s).

△t

答案D

4.函數在x()到*o+Ax之間的平均變化率為品，在刈一到xo之

間的平均變化率為公，則心與心的大小關系為

A.k\>kiB.k\<kz

C.kl=k2D.不確定

初+c,/Go+Ax)—f(x)(xo+Ax)2—xo

解+析”0=瓦

/(Xo)-/(Xo-Ax)x；一(x。-Ax)2

-=2*0—Ax.因為A"可大于零也可小

△x△x

于零，所以心與心的大小不確定.

答案D

f(1+Ax)—f(1)

5.設函數在X=1處存在導數，則八十:」

A.f(1)B.3f(1)

C-f'(1)D.f⑶

/(1+Ax)-j⑴1f(1+Ax)~~j⑴

解+析=3=V(1)

答案C

6.在曲線y=￥+l上取一點(1,2)及鄰近一點(1+△%，2+Aj),則W為

Ax+B.Ax-r—-2

A，Ax+2△x

C.Ax+2D.2+Ax—

解+析Ay=/U+Ax)—八1)=(1+AX)2+1—(12+I)=(AX)2+2AX.，^^

=Ax+2.

答案C

二、填空題(每小題5分，共15分)

7.設函數_/U)=ax+3,若/(1)=3,則a等于.

5g,,f(x+Ax)—f(x)

解+析V/(x)==------------屋1-------

a(x+Ax)+3—(ar+3)

=Tx=a,

：.f(1)=?=3.

答案3

8.將半徑為R的球加熱，若半徑從/?=1到7?=機時球的體積膨脹率(體積

2sJT

的變化量與半徑的變化量之比)為弓一，則m的值為.

解+析VA丫=乎機3_苧乂13=乎(山3—1),

4n,

.Ay亍(〃L1)28n

：

'TR=m-1=^-'

即m2+機+1=7,解得/M=2或/?=—3(舍去).

答案2

9.如圖是函數y=/(x)的圖像，則函數f(x)在區間［0,2］上的平均變化率為

解+析由函數f(x)的圖像知,

x+3

-------［1

fix)-2''所以，函數f（x）在區間［0,2］上的平均變化率為

x+1,l<x<3.

/(2)—/■(())343

2-02-=4-

答案I

三、解答題（共35分）

10.（10分）在曲線9=八*）=爐+3上取一點P（l,4）及附近一點（1+Ax,4

+△》）?

求：⑴篝Q）尸⑴.

Ay/(1+Ax)一/⑴

解+析（）

1△xAx

(1+Ax)2+3-(l2+3)

=2+Ax.

△x

f(1+Ax)—/(1)

（）（）=(2+Ax)=2.

2ri=△x

IL（10分）若函數_/（x）=2x2+4x在x=xo處的導數是8,求*（）的值.

解+析根據導數的定義：

'**△y=Ax0+Ax)—y(xo)

=[2(x()+AX)2+4(X()+AX)]—(2XXO+4X())

=2(AX)2+4X()AX+4AX,

,△J

:?/(x0)=lim(

2(Ax)2+4XOAX+4AX

=lim

△x

=lim（2Ax+4xo+4）=4xo+4.

?V（XO）=4*O+4=8,解得X0=1.

12.（15分）設質點做直線運動，已知路程s是時間，的函數：

s=3?+2/+l.

⑴求從f=2到f=2+At的平均速度，并求當Af=LAf=（）.l與Af=0.01

時的平均速度；

（2）求當，=2時的瞬時速度.

解+析（1）從f=2到，=2+Al內的平均速度為:

Ass（2+At）-s（2）

3(2+At)2+2(2+△/)+1-3><4-2><2—1

一Lt

14AH~3⑶)2

-=14+3At

Lt

當At=l時，平均速度為14+3X1=17.

當Af=0.1時，平均速度為14+3X0.1=14.3.

當Ar=0.01時,平均速度為14+3X0.01=14.03.

△s

(2*=2時的瞬時速度為：0=石=(14+3A0=14.

3-1-3

綜合提升案?核心素養達成

［限時40分鐘；滿分80分］

一、選擇題（每小題5分，共30分）

1.函數y=f（x）在x=x（）處的導數/（孫）的幾何意義是

A.在點x=x0處的函數值

B.在點（xo,f（xo））處的切線與x軸所夾銳角的正切值

C.曲線y=/（x）在點（xo,f（xo））處的切線的斜率

D.點（%,/（必））與點（0,0）連線的斜率

解+析根據導數的幾何意義可知選項C正確.

答案c

2.曲線y=V—2x+4在點（1,3）處的切線的斜率為

A.0B.1C.-1D.1

liny(i+Ax)-f⑴

解+析k=f(l)=AxrI--------------------------

△x

linii+2Ax+(Ax)2—2—2Ax+4-31im

=△1-1------------------------------7--------------------------------=Ax-()Ax=O.

△x

答案A

3.已知曲線y=2f—7在點P處的切線方程為8%-y-15=0,則切點P的

坐標為

A.(-2,1)B.(0,-7)

C.(2,1)D.(3,11)

解+析設P點坐標為(xo,2焉一7),

lim/(xo+Ax)―于(Xo)

則，(孫)=

AL0△x

11Hl2[xo+2x()△x+(Ax)2]-7—2xo+7

=△工.；1--------------------------------------------

△x

lim

=△/?()(4xo+2Ax)=4xo.

?'?4x0=8,x()=2.1).

答案c

4.若曲線y=/(x)在點(xo，f(xo))處的切線方程為3x+y+5=0,貝!J

A.f'(x0)>0B.f(x0)<0

C.f(x)=0D.f(xo)不存在

解+析由y=-3x—5知,[(Xo)=—3<0.

答案B

5.若曲線上的點P處的切線與直線y=—$+l垂直，則在點尸處的

切線方程為

A.2x—j—1=0B.2x—j—2=0

C.x+2j+2=0D.2x-j+l=0

解+析與直線y=—；x+l垂直的直線的斜率為女=2.

,lim(x+Ax)2_ylim

由知，yr=4L()-------.....=ALO(2X+AX)=2X.

設點P的坐標為(Xo,jo),則2xo=2,即x()=l,故y()=L

所以在點尸處的切線方程為y—l=2(x—1),即y=2x—L

答案A

6.曲線y=/(x)=x3在點尸處切線的斜率為上當A=3時點P的坐標為

A.(-2,-8)B.(-1,-1)或(1,1)

C.(2,8)D.(―2>—1)

解+析設點尸的坐標為(M),jo),

__h(xo+Ax)—fGo)(xo+Ax)3—xo

則k=f(xa)=-------------------------=A^-X)-------------------

lim

=AZ-H{(AX)2+3XO+3XO,Ax]=3謚

k=3,3xo=3,?*.x()=1或x()=—1,

.,.必=1或y0=—1.

.?.點P的坐標為(一1,一1)或(1,1).

答案B

二、填空題(每小題5分，共15分)

7.曲線y=1-l在點4(2,一，處的切線的斜率為.

5士匚.(1(12—(2+Ax)—Ax

解+析Ay=Q+&x-,_丘-1J=2(2+Ax)=2(2+Ax)*

△y1limAjlim「i11

，刀=-2(2+Ax)'即k-陽=[-2(2+Ax)_=~4'

1

答案-

4

8.已知直線y=3x+l與曲線曠=/+如+3相切于點(1,4),則“=.

解+析由于切點(1,4)在曲線y=j?+ax+3上，

/.4=l3+a+3,,*.a=0.

答案0

9.已知函數y=/Q)在點Q,1)處的切線與直線3x—y—2=0平行，則Iy%=2

等于.

解+析因為直線3x-j-2=0的斜率為3,所以由導數的幾何意義可知曠卜

=3.

答案3

三、解答題(共35分)

10.(10分)已知拋物線y=f(x)=x2+3與直線y=2x+2相交，求它們交點

處的切線方程.

y=x2+3

解+析由方程組《J'得/-2%+1=0,解得x=l,y=4,所以交

[y=2x+2,

點坐標為(1,4),

(Ax+1)2+3—(12+3)

又=Ax+2.

△x

當&x趨于0時Ax+2趨于2.所以在點(1,4)處的切線斜率k=2.

所以切線方程為y-4=2(x-l),即y=2x+2.

11.(10分)求拋物線丁=0?上的一點到直線x—y—2=0的最短距離.

解+析根據題意可得，與直線x-y—2=0平行的拋物線y=*2的切線對應

的切點到直線x-y—2=0的距離最短，設切點坐標為(必，xo).

根據定義可求導數,y,|x=xo:=2x|x=xo=2x()=1,

所以*o=；,所以切點坐標為

1

-

-

4

切點到直線%一,一2=0的距離d=也

所以拋物線上的點到直線x-j-2=0的最短距離為斗.

O

12.(15分)已知點M(0,-1),F(0,1),過點M的直線，與曲線y=53-

4x+4在x=2處的切線平行.

(1)求直線/的方程；

(2)求以點F為焦點，/為準線的拋物線。的方程.

解+析(l)y=/(x)=$3—4x+4,

Hmy(2+Ax)-/(2)

(2)=A^(/------------晨1-------

11TTI3(2+Ax)3—4(2+Ax)+4—gx23—4X2+4)

=-1------------------砥------------------

lim「,3)2］

=dL()2Ax+-----------=°，

曲線y=/3—姓+4在x=2處的切線斜率為0,

而/與此切線平行，故/的斜率也為0.

又/過點M(0,-1),.?.直線/的方程為y=-l.

(2)因為拋物線以點尸(0,1)為焦點，丁=一1為準線，

設拋物線方程為工2=2力3>0),則g=l,p=2.

故拋物線C的方程為X2=4J.

3-2-1>3-2-2

綜合提升案?核心素養達成

［限時40分鐘；滿分80分］

一、選擇題(每小題5分，共30分)

1.已知f(x)=lnx+f,則尸(x)等于

A.lnx+1B.R1C±+f

解+析V/(x)=^+lnx,.".f(x)=(ln

答案D

2.函數/(*)=(2nx)2的導數是

A.f(x)=4JixB.f(x)=4Jt2x

C.f(x)=83t2xD.f(x)=16nx

解+析V/(x)=(2nx)2=4n2x2,

:(x)=(4n2x2)'=4n2(x2),=8n2x.

答案C

3.下列結論：

①(sinx)'=-cosx；②g)'=p；③(e*lnx)'=e6+lnJ；@(lnx2),=p(x

>0).

其中正確的個數有

A.0B.1C.2D.3

解+析利用導數公式(sinx)，=cosx,①錯；

&=_4=_5②錯；

(exlnx),=(ex),lnx+ex(lnr),=exlnx+^ex=eJ0+lnJ,③正確；

(Inx2),=(21nx),=",④錯.故應選B.

答案B

4.若函數,人幻=0?+加？+。滿足/(i)=2,則/(一1)等于

A.-1B.-2C.2D.0

解+析^f(x)=4ax3+2bx,：.f(l)=4a+26=2,

：.f(-1)=一4。一2)=一(4。+2方)=一2.故選B.

答案B

5.曲線7=1+11在點p(L12)處的切線與y軸交點的縱坐標是

A.-9B.-3C.9D.15

解+析,.*j=x3+ll,/.j7=3x2,

.?.切線斜率女=V錯誤!錯誤!=3,

，切線方程為y=3x+9,它與y軸交點的縱坐標為9.

答案C

6.若函數/(幻=￡在x=x0處的導數值與函數值互為相反數，則W的值等

于

A.0B.1C.1D.不存在

解+析由于式X)=，，.../(xo)=詈，

exo(xo1)

Xo

依題意知/(xo)+/(xo)=0,

.ex0,ex()(工()-1)人

??十I?—0,

Xv。工0

ex(2x—1)八

即一0二0--------=0,

.,.2x0—1=0,得Xo=；.

答案c

二、填空題(每小題5分，共15分)

7.曲線y=—-4x在點(1,一3)處的切線的傾斜角為

解+析V=3f—4,k=y'\)_=—1,

X-1

,3TT

即tana=-1,:.a=~^-.

3n

答案v

8.已知函數/(x)=axlnx,xG(0,+00),其中a為實數，/(x)為f(x)的導

函數.若/(1)=3,則。的值為.

解+析先求/(x),再求字母a的值.

f(x)=a(lnx+xf=a(l+lnx).

由于r(l)=a(l+lnl)=a,又/(1)=3,所以a=3.

答案3

9.設曲線y=x"+i(〃￡N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為%,

令a?=lgx?,則ai+a2-\-----Fa99的值為.

解+析:/(1)=〃+1,?力=x/i在點(1,1)處的切線方程為y=(〃+l)(x-

1)+1.令y=0,得，斯=3〃一lg(〃+l),，。1+。2+…+。99=吆1-1g

答案一2

三'解答題(共35分)

10.(15分)求下列函數的導(函)數.

(l)j=x-5；(2)J=4X；

(3)y=\jx\lx^x；(4)j=log3X；

fTIAJr

(5)j=sinly+xl；(6)j=cosy；

(7)j=cos(2Ji—x).

解+析(1)曠=(*-5)，=-5*-6.

(2)y'=(4")'=4"ln4.

111771

(3)Vj=x2?x4?x8=x8,.R=產一R

(4?=Qog?=+

fnA

(5)Vj=sinl-+xl=cosx,Aj="sinx.

(6)y，=(cos=0.

(7)'..y=cos(2TI—x)=cosx,.,.y'=—sinx.

11.(10分)已知曲線C：曠=/一3f+2*,直線/：y=b,且直線/與曲線。

相切于點(xo，%)(XoWO),求直線/的方程及切點坐標.

解+析?.?直線/過原點，

直線I的斜率上=加(即)手0).

X。

由點(Xo,則)在曲線。上，得jo=Xo—3xo+2x(),

.，.1?=4—3x+2.

Xo0

又V=3R2—6X+2,..k=yf\)_=3/-6孫+2.

x=x()

3xo—6xo+2=焉—3x()+2,

整理得2高一3xo=O.

331

Vx()=#0,AX0=2，此時邦=一介左=_彳

因此直線/的方程為y=一切點坐標為g,—])?

12.(10分)已知拋物線)=人幻=依2+加:+。過點(1,1),且在點(2,—1)處

與直線7=%—3相切，求a,b9c的值.

解+析因為=所以a+5+c=l.①

又/(x)=2ax+A,f(2)=1,所以4。+5=1.②

又切點(2,—1)在拋物線上，所以4a+2b+c=-l.③

'a+b+c=l,

把①②③聯立得方程組《4a+)=l,

、4a+2)+c=—1.

"a=3,

解得<Z>=—11,即4=3,b=—ll,c=9.

、c=9,

3-3-1

綜合提升案?核心素養達成

［限時40分鐘；滿分80分］

一、選擇題(每小題5分，共30分)

1.函數/(x)=l+x—sinx在(0,2")上是

A.增函數

B.減函數

C.在(0,冗)上增，在("，2")上減

D.在(0,n)上減，在(n,2n)上增

解+析/(x)=l-cosx>0,工於)在(0,2n)上遞增.故選A.

答案A

2.函數y=(3—x2)e*的單調遞增區間是

A.(—8,0)B.(0,+8)

C.(一8,—3)和(1,+°o)D.(-3,1)

解+析j,=-2xex+(3-x2)ex=(-x2-2x+3)e\令(—一—2x+3)e*>0,由

于e*>0,則一/一2*+3>0,解得一3a<1,所以函數的單調遞增區間是(一3,1).

答案D

3.已知函數/(x)=，i+lnx,則有

A./(2)</(e)</-(3)B./(e)勺⑵勺⑶

C./(3)</(e)</,(2)D./(e)勺?(3)。(2)

解+析因為在定義域(0,+8)上八%)=;上+；>0,所以式工)在(0,+?>)

上是增函數，所以有H2)<f(e)勺(3).

答案A

4.函數/(x)的圖像如圖所示，則導函數7=/(幻的圖像可能是

解+析從原函數y=f(x)的圖像可以看出，其在區間(一8,0)上是減函數,

f(x)<0;在區間(0,肛)上是增函數，f(x)>0;在區間(Xi,必)上是減函數，f

(x)<0;在區間(X2,+8)上是增函數，f(x)>o.

結合選項可知，只有D項滿足.

答案D

5.已知對任意實數x,有/(—x)=-/U),且當x>0時，有，(x)>0,則當

x<0時，有

A.f(x)>0B.f(x)>0

C.f(x)W0D.f(x)<0

解+析???/(-X)=-/U),.7/u)為奇函數，圖像關于原點對稱，

■:當x>0時，r(x)>0,.7/U)為增函數，當x<0時，/(x)也為增函數，

(x)>0.

答案B

6.已知函數1Ax),g(x)在區間［a,們上均有/(x)<g'(x),則下列關系式中正

確的是

A./(x)+f(b)^g(x)+g(Z>)

B./(x)~f(b)^g(x)—g(b)

C./(x)^g(x)

D.f(a)—f(b)^g(b)~g(a)

解+析據題意，由尸(x)<g，(x)得尸(x)—g，(x)<0,故F(x)=/(x)—g(x)在［%

加上為減函數，由單調性知識知，必有F(x)^F(b),即f(x)~g(x)^f(b)—g(b),

移項整理得：f(x)~f(b)^g(x)—g(b).

答案B

二、填空題(每小題5分，共15分)

7.函數f(x)=2x3+3x2—12x的單調遞增區間是.

解+析函數的定義域為(-8,+8),

f(X)=6X2+6X-12=6(X+2)(X-1).

令/(x)>0,得xV—2或x>l,

所以函數人幻=2丁+3X2—12工的單調遞增區間為

(一8,-2),(1,+8).

答案(一8,-2),(1,+~)

8.如果函數y=f(x)=2x2—Inx在定義域內的一個子區間(A-1,〃+1)上不

是單調函數，那么實數A的取值范圍是.

14x2—1

解+析顯然函數/(x)的定義域為(0,+°°),yr=4x--=―--.由曠>0,

又由題意知此函數在區間/一1,上+1)上不是單調函數，故0<4一1<1,*+1>1,

解得1<無<|.

答案(1，

9.在下列命題中，真命題是(填序號).

①若犬x)在3,份內是增函數，則對任意xW(a,b),都應有/(x)>0；

②若在(a,與內/(x)存在，則/(*)必為單調函數；

③若在3,田內對任意x都有則/(x)在(a,用內是增函數；

④若可導函數在(a,5)內有/(x)<0,則在(a,?內有人無)<0.

解+析對于①，可以存在孫，使/3?)=0不影響區間內函數的單調性；對

于②，導數/(*)符號不確定，函數不一定是單調函數；對于④，r(x)<o只能得

到1AX)單調遞減.

答案③

三、解答題(共35分)

10.(10分)求函數/(x)=x+?a>0)的單調區間.

解+析函數的定義域為{x|xW0}.

.a(x—va')(x+va)

當o。>0時，f(x)=l—？=----------------------N-,

令尸(x)>0,解得x<一g或

令/(x)<0,解得一g<x<0,或0<x<^/a.

因此，函數/(*)的單調遞增區間是(一8,—g)和(g,+℃>)；

單調遞減區間是(一g,0)和(0,\[a).

11.(10分)設函數式幻=1一/2+6%—①

(1)求函數/(X)的單調區間；

(2)對于任意實數x,/'(*)Nzn恒成立，求/〃的最大值.

解+析(l)f(x)=3(x-l)(x-2),令八x)>0,所以xe(—8,1)U(2,+°o),

故函數/(x)的單調增區間為(一8,1)和(2,+°°);令/(x)<0,得x￡(l,2),故

函數,/U)的單調減區間為(1,2).

(2)由題意可知帆旬(X)min,

又因為尸(x)=3(x_g_江一(，

3

所以/%<—1

故機的最大值為一本3

12.(15分)(2018?全國卷H)已知函數/(幻=53—4(%2+%+1).

(1)若a=3,求f(x)的單調區間；

(2)證明：/lx)只有一個零點.

解+析⑴當a—3時，f(x)=^xi-3x2—3x—3,f(x)=x2—6x—3.

令F(x)=o解得*=3—2由或x=3+2巾.

當XG(-8,3-2^3)0(3+2^3,+8)時，f(x)>0;

當出3—25，3+25)時，f(x)<0.

故/U)在(一8,3—2啊,(3+2小，+8)單調遞增，在(3—2小，3+273)

單調遞減.

⑵由于f+x+l>0,

x3

所以/U)=0等價于<+x+［—3a=0.

x3

設g(x尸正同一3a,

x2(X2+2X+3)

則g'(x)=—(*2+工+1)220,僅當x=o時g(r)=0,

所以g(x)在(一8,+8)單調遞增.

故g(x)至多有一個零點，從而/(x)至多有一個零點.

又欠3。-1)=—6。2+2〃一；=—6(a—/—1<0,大3。+1)=；>0,故1/U)有一

個零點.

綜上，f(x)只有一個零點.

3-3-2

綜合提升案?核心素養達成

［限時40分鐘；滿分80分］

一、選擇題(每小題5分，共30分)

1.函數/(%)=必-3*2+7的極大值是

A.-7B.7

C.3D.-3

解+析f(x)=3x2~6x,令/(x)=0,得x=0或x=2.

當(—8,0)時，f(x)>0；

當x￡(0,2)時，f(x)<0;

當x￡(2,+8)時，f(X)>O.

所以，當x=0時，_/U)取極大值*0)=7.

答案B

2.已知函數/(x)的導數為/(X)=4X3—4X,且_/U)的圖像過點(1,-6),當

函數Ax)取得極大值一5時，x的值應為

A.1B.0

C.-5D.5

解+析設f(x)=x4-2J?+C,

又f(x)的圖像過點(1,-6),

J.c=-5.:.f(x)=x4_2x2—5.

又/(x)=0時，x=0或1或一1,

當函數/(x)取得極大值一5,即汽用=一5時，x=0.

答案B

2

3.設函數/(x)=(+lnx,貝！]

A.工=；為/(幻的極大值點

B.x=：為/(x)的極小值點

C.x=2為人幻的極大值點

D.x=2為/(*)的極小值點

解+析V/(x)=|+lnx,：.fU)="p+^令人*)=0，

即一j+[=：^=0,解得x=2.

當xV2時，f(x)<0;當x>2時，f(x)>0,所以x=2為<x)的極小值

點.

答案D

4.對二次函數/(》)=研2+歷;+c(。為非零整數)，四位同學分別給出下列結

論，其中有且只有一個結論是錯誤的，則錯誤的結論是

A.一1是大X)的零點B.1是,/U)的極值點

C.3是/(x)的極值D.點(2,8)在曲線y=/(x)上

解+析結合二次函數圖像，根據零點、極值與極值點、點在函數圖像上的

定義與性質將各結論轉化為關于a,b,c的方程，看是否有符合條件的解，從而

進行判斷.

A中一1是/（x）的零點，則有a—Z>+c=O.①

B中1是/（X）的極值點，則有8=—2久②

/lac~~h~

C中3是八x）的極值，則有4a…=3.③

D中點（2,8）在曲線y=_Ax）上，則有4a+2）+c=8.④

?339

聯立①②③解得。=-W，b=j,C=￡.

聯立②③④解得a=5,b=-10,c=8,從而可判斷A錯誤，故選A.

答案A

5.設aCR,若函數y=*+3x,xCR有大于零的極值點，貝！J

A.。>—3B.“V—3

C.d>一：D.a<—1

解+析/（x）=3+ae",若函數有大于零的極值點，則/（x）=0有正根.當

/（幻=3+碇"*=0成立時，顯然有aVO,此時x=5n（一習，由x>0得aV—3.

答案B

y

6.如圖是函數/（%）=/+加?+cx+d的大致圖像，則等于

A.|4C.|c12

BR.3D.*y

解+析函數昨x)=/+foc2+cx+d圖像過點(O,0),(1,0),(2,0),得d

=0,方+c+l=O,48+2c+8=0,貝寸b=—3,c=2,f(x)=3x2+26x+c=3x2

—6x+2,且Xi,X2是函數式》)=—+加？+以+4的兩個極值點，即Xi,應是方

24—4=8

程3J?—6x+2=0的實根，/.Xi+x2=(xi+x2)—2xix2=33,

答案C

二、填空題（每小題5分，共15分）

7.函數y=xe”在其極值點處的切線方程為.

解+析由題知曠=/+m。令曠=0,解得工=-1,代入函數解+析式可得

極值點的坐標為(一1,一：)，又極值點處的切線為平行于x軸的直線，故方程為

1

V=-

Je

答案y=一^

8.函數/(x)=x3+機/+x+i在R上無極值點，則m的取值范圍是.

解+析,.?/F(X)=3X2+2WIX+1,

/(x)=x34-/nx2+x4-l在R上無極值點，

：,f(x)20對xGR恒成立，

:.△=(2機『-4X3X1WO=一巾

答案[一小,6]

9.已知函數/(X)=OX3+》X2+C,其導數尸(x)的圖像如圖所示，則函數的極

小值是.

解+析依題意F(x)=3ax2+2bx.

由圖像可知，當xVO時，f(x)<0,

當0VxV2時，f(x)>0,

故x=o時函數y(x)取極小值y(o)=c.

答案c

三、解答題(共35分)

10.(10分)設函數/(x)=/+/>/+cx(xWR),已知g(x)=f(x)一『(x)是奇函數.

(1)求A,c的值；

(2)求g(x)的單調區間與極值.

解+析(11/T(X)=3X2+2/>X4-C,所以g(x)=/(x)—(x)=x3+bx2+cx~(3x2

+26x+c)=x3+(6-3)x2+(c-26)x—c.

又g(x)是奇函數，所以g(0)=-c=0,

g(—x)=-g(x),得)一3=0,

所以)=3,c=0.

(2)由(1)知，g(x)=x3—6x,

2

所以g'(x)=3x—6f

令g'(x)=0,得x=±\/i,

令g'(x)>0,得x<一也或x>\[2;

令g'(x)<0,得一也<x<a.

所以(一8,(y[2,+8)是函數g(x)的遞增區間，(一也，心)是函數

g(x)的遞減區間，函數g(x)在x=一&處取得極大值為4&;在處，取得

極小值為一46.

11.(10分)已知函數式x)=x—alnx(aGR).

⑴當a=2時，求曲線y=/U)在點A(L/⑴)處的切線方程；

⑵求函數/(幻的極值.

解+析函數八*)的定義域為(0,+°°),f(x)=l—p

2

⑴當a=2時，f(x)=x-2lnx,f(x)=l—~(x>0),

所以yu)=i,f(i)=-i,

所以y=/(x)在點A(l,犬1))處的切線方程為y—1=—(x—1),即x+y-2=

0.

,ax-a一,

(2)由尸(x)=l=1—,x>0可知：

①當aWO時,/'(x)>0,函數大幻為(0,+8)上的增函數，函數/(x)無極值.

②當a>0時，由尸(x)=0,解得x=a.

因為無￡(0,a)時，f(x)<0,xE(a,+8)時，f(x)>0,

所以/(x)在x=a處取得極小值，且極小值為#a)=a—alna,無極大值.

綜上：當aWO時，函數/(x)無極值，

當a>0時，函數人幻在x=a處取得極小值a—alna,無極大值.

12.(15分)已知函數/(幻=*3—“2—X.

(1)求人X)的極值；

⑵畫出它的大致圖像；

⑶指出y=/(x)零點的個數.

解+析⑴由已知得/(%)=3*2—2x—1,令/(x)=0,解得“i=—x2=l.

當x變化時，f(*)、大幻的變化情況如下表：

(-8,-31

X-3H】)1(1,+00)

r(x)+0—0+

f(x)/極大值\極小值

所以加)的極大值是一步條

極小值是/(1)=-1.

⑵當—8時，犬X)—-8;

當X-十8時，A*)f+8.

y

5

27.

0.

X

令_/U)=o得x=o或省巨結合函數的單調性及極值可畫出巾)的大致圖像,

如圖.

(3)由圖像可知函數/(x)圖像與x軸有3個交點，即y=/U)有3個零點.

3-3-3

綜合提升案?核心素養達成

［限時40分鐘；滿分80分］

一、選擇題(每小題5分，共30分)

1.函數y=2——3f-12x+5在［0,3］上的最大值和最小值分別是

A.5,15B.5,-4

C.5,-16D.5,-15

解+析y'=6x2—6x—12,

.,.令曠=0得x=-1(舍去)或x=2.

故函數y=ya)=2x3-3*2-i2x+5在［0,3］上的最值可能是x取0,2,3時

的函數值，

而火0)=5,/(2)=-15,/(3)=-4,

故最大值為5,最小值為一15.

答案D

2.已知/(幻=2爐-6?十機”〃為常數)在［-2,2］上有最大值3,那么此函數

在［-2,2］上的最小值為

A.-37B.-29

C.-5D.-11

解+析由尸(x)=6f—12x=6x(x—2)=0,解得x=0或x=2,

又A0)=/M,j(2)=m—8,/(—2)=/n—40,所以1Ax)max=m=3,

/(x)min=/(—2)=771—40=3—40=—37.

答案A

3.函數/(x)=2x—cosx在(一8,十8)上

A.無最值B.有極值

C.有最大值D.有最小值

解+析/(x)=2+sinx>0恒成立，所以?r)在(一8,十8)上單調遞增，無

極值，也無最值.

答案A

4.函數/U)=2"x￡(0,5］的最小值為

A.2B.3

C.￥D.2收+1

3

工11x2—l

解+析由/Q)=4_?=飛~=°'得x=l,且xG(0,1)時，f(x)<0;

x￡(l,5］時，r(x)>0,...x=l時/(x)最小，最小值為HD=3.

答案B

JI

5.函數y=x+2cosx在0,行上取最大值時，x的值為

nJT

A.0BTDT

解+析Vjr=l—2sinx,解V>0得sinxV；,故OWxV?,

/o

八一1,nn

解V<0得sinx>7，故N_VxW丁，

...原函數在o,日上單調遞增，在修，費■上單調遞減，

當x=%"時函數取極大值，同時也為最大值.

答案B

6.已知函數/(x)、g(x)均為口,加上的可導函數，在［a,們上連續且r(x)<g，(x),

則/(幻一g(*)的最大值為

A.f(a)~g(a)B.f(b)~g(b)

C.f(a)—g(b)D.f(b)-g(a)

解+析令“(%)=</(*)—g(x),則1?(幻=/(工)一g'(x)<0,.'."(x)在［a,加上為

減函數，

.?.“(X)的最大值為u(a)=f(a)—g(a).

答案A

二、填空題(每小題5分，共15分)

7.函數/(丈)=喜+》(工6［1,3］)的值域為.

1.x(x+2)

解+析f(x)=-(x+1)2+1=(x+1)2,

當xW［l,3］時,1f(x)>0.故［x)在［1,3］上為增函數，

313「313

又/(1)=爹，大3)=了，；.函數,/U)的值域為代，彳.

答小案一［「亍3~143］

8.已知：/(x)=x-e\xG［-2,2］的最大值為M,最小值為機，則M+m=

解+析/(x)=e*+re*=e*(x+l),

令/(x)=0得：x=—1.

2

/(-2)=-2Xe-=-?-,

/l-l)=-lXe_1=-1,

-2)=2*

所以M=2?e?,m=~~.Af+zn=2e2—A

答案2e2-1

9.已知函數/(x)=5+21nx,若當a>0時，f(x)N2恒成立，則實數。的取

值范圍是.

解+析函數的定義域為(0,+°°),f(x)=?—§+：=2?).由/(x)<0

得0cxeg,由尸(x)>0得x>\］，.7/U)在(0,3)上單調遞減，在(W，+8)上

單調遞增，.,j(x)min=/(W)=l+2In,=l+lna.,.,/(x)，2恒成立，.,./(Wmin

22,即l+lna，2,'.a^e.

答案［e,+°°)

三'解答題(共35分)

10.(10分)已知函數/(x)=x3+af+2,且/(好的導函數八幻的圖像關于直

線X—1對稱.

⑴求導函數尸(x)及實數a的值；

(2)求函數y=_/U)在［-1,2］上的最大值和最小值.

解+析⑴由式*)=/+4*2+2得：f(x)=3x2+2ax.

'：f(x)的圖像關于直線x=l對稱，

：?a=-3,f(x)=3x2—6x.

(2)由(1)知大幻=1-3%2+2,f(X)=3X2-6X.

令/(了)=