《4.4數學歸納法》學習任務單“蘇教版（2019）選擇性必修第一冊第4章數列4.4數學歸納法”學習任務單【學習內容】蘇教版（2019）選擇性必修第一冊第4章數列中4.4數學歸納法相關內容。【我的目標】1、理解數學歸納法的原理，就像理解一個魔法公式的奧秘一樣。2、能夠用數學歸納法證明一些與自然數有關的簡單命題，就像掌握一種新的解題魔法。【重難點】重點：掌握數學歸納法的證題步驟，知道每個步驟都像魔法儀式中的關鍵環節。難點：理解數學歸納法的原理，為什么這樣就能證明對所有自然數都成立呢，這就像解開一個神秘的魔法邏輯。【我的研究】1、先來看看簡單的例子：求1＋2＋3＋．．．＋n的和。我們先猜猜這個和的表達式可能是什么。可以試著算幾個小的n的值，比如n＝1時，和是1；n＝2時，和是1+2＝3；n＝3時，和是1＋2+3＝6。你能猜出這個和的表達式嗎？假如我們猜這個和是n(n＋1)／2，那怎么證明這個式子對所有的自然數n都成立呢？這時候數學歸納法就該登場啦。第一步：當n＝1時，左邊是1，右邊是1×（1＋1)／2＝1，左邊等于右邊，這就像打開魔法大門的第一把鑰匙。第二步：假設當n＝k（k是一個自然數）時，這個式子成立，也就是1+2+3+．．．＋k＝k(k＋1)／2。這就像我們站在了一個魔法臺階上。第三步：我們要證明當n＝k＋1時，式子也成立。那1+2+3+．．．＋k+（k＋1)就等于k(k＋1)／2+（k＋1)，經過一些簡單的魔法變形（化簡），會發現它等于(k＋1)（k＋2)／2，這就說明當n＝k+1時式子也成立啦。就像我們從一個魔法臺階邁向了更高的一個臺階。2、再試試用數學歸納法證明這個命題：對于所有的自然數n，n^2n是偶數。第一步：當n＝1時，n^2n＝1^21＝0，0是偶數，這是我們的第一步驗證。第二步：假設當n＝k時，k^2k是偶數，我們可以設k^2k＝2m（m是整數），這是我們的假設魔法。第三步：當n＝k＋1時，（k＋1)＾2-（k＋1)＝k^2＋2k+1k1＝k^2＋k＝（k^2k)＋2k。因為我們假設k^2k是偶數，2k也是偶數，偶數加偶數還是偶數，所以當n＝k＋1時，式子也成立。3、自己找一個與自然數有關的簡單命題，然后試著用數學歸納法來證明它。在這個過程中，你可能會遇到一些小怪獸（困難），把它們記下來哦。【組內過關】（課內完成）1、用數學歸納法證明：1＋3+5+．．．＋（2n1)＝n^2。第一步：當n＝1時，左邊是1，右邊是1^2＝1，左邊等于右邊。第二步：假設當n＝k時，1+3+5+．．．＋（2k1)＝k^2。第三步：當n＝k＋1時，1+3+5+．．．＋（2k1)＋（2(k＋1)－1)＝k^2+（2k＋1)，經過化簡后看是否等于(k＋1)＾2。2、用數學歸納法證明：2＋4+6+．．．＋2n=n(n＋1)。第一步：當n＝1時，左邊是2，右邊是1×（1＋1)＝2，左邊等于右邊。第二步：假設當n＝k時，2＋4+6+．．．＋2k=k(k＋1)。第三步：當n＝k＋1時，2+4+6+．．．＋2k+2(k＋1)，將其化簡看是否等于(k＋1)（k＋2)。【當堂檢測】（課內完成）1、用數學歸納法證明：1×2+2×3+3×4+．．．＋n(n＋1)＝n(n＋1)（n＋2)／3。第一步：當n＝1時，左邊是1×2＝2，右邊是1×（1＋1)×（1+2)／3＝2，左邊等于右邊。第二步：假設當n＝k時，1×2+2×3+3×4+．．．＋k(k＋1)＝k(k＋1)（k＋2)／3。第三步：當n＝k＋1時，1×2+2×3+3×4+．．．＋k(k＋1)＋（k＋1)（k＋2)，將其化簡看是否等于(k＋1)（k＋2)（k＋3)／3。2、試著找出下面這個用數學歸納法證明過程中的錯誤：命題：對于所有的自然數n，n=n＋1。證明：第一步：當n＝1時，左邊是1，右邊是1+1＝2，好像不太對，但是我們先按照錯誤的思路走下去。第二步：假設當n＝k時，k＝k＋1成立。第三步：當n＝k＋1時，左邊是k＋1，右邊是(k＋1)＋1＝k＋2。因為我們假設k＝k＋1，那么k+1=（k＋1)＋1，所以當n＝k＋1時也成立。（這里的錯誤在哪里呢？大家好好思考一下）答案：【組內過關】1、當n＝k＋1時，1+3+5+．．．＋（2k1)＋（2(k＋1)－1)＝k^2+（2k＋1)＝（k＋1)＾2，證明成立。2、當n＝k＋1時，2+4+6+．．．＋2k+2(k＋1)＝k(k＋1)＋2(k＋1)＝（k＋1)（k＋2)，證明成立。【當堂檢測】1、當n＝k＋1時，1×2+2×3+3×4+．．．＋k(k＋1)＋（k＋1)（k＋2)＝k(k＋1)