2024初中數學競賽七年級競賽輔導講義專題10多變的行程問題

閱讀與思考

行程問題的三要素是：距離（5）、速度（I，）、時間（f）,基本關系是：S=Vt,V=-,t=~.

tV

行程問題按運動方向可分為相遇問題、追及問題；按運動路線可分為直線形問題、環形句題等.其

中相遇問題、追及問題是最基本的類型，它們的特點與常用的等量關系如下：

1.相遇問題

其特點是：兩人（或物）從兩地沿同一路線相向而行，而最終相遇，一般地，甲行的路程十乙行的

路程=兩地之間的距離.

2.追及問題

其特點是：兩人（或物）沿同一路線、同一方向運動，由于位置或者出發時間不同，造成一前一后，

又因為速度的差異使得后者最終能追及前者.一般地快者行的路程一慢者行的路程=兩地之間的距離.

例題與求解

【例1】在公路上，汽車A、B、C分別以80千米/時，70千米/時，50千米/時的速度勻速行駛，

4從甲站開往乙站，同時，8、C從乙站開往甲站.A在與B相遇后兩小時又與C相遇，則甲、乙兩

站相距千米.

（“希望杯”競賽試題）

解題思路：本例為直線上的相遇問題，可依據時間關系列方程.

【例2】如圖，某人沿著邊長為90來的正方形，按A-B-C-O-A…方向，甲從4以65

米/分的速度，乙從B以72米/分的速度行走，當乙第一次追上甲時在正方形的（）.

A.A3邊上B.D4邊上C.BC邊上D.CO邊上

（安徽省競賽試題）

解題思路：本例是一個特殊的環形追及問題，注意甲實際在乙的前面3x90=270（米）處.

【例3】亞州鐵人三項賽在徐州市風光秀麗的云龍湖畔舉行.比賽程序是：運動員先同時下水游泳

15千米到第一換頂點，在第一換頂點整理服裝后，接著騎自行車40千米到第二換項點，再跑步10千

米到終點.下表是亞洲鐵人三項賽女子組（19歲以下）三名運動員在比賽中的成績（游泳成績即游泳所

用時間，其他類推，表內時間單位為秒）.

第一換項點第二換項點

運動員號碼游泳成績白行車成績長跑成績

所用時間所用時間

1911997754927403220

19415031105686573652

1951354745351443195

（1）填空（精確到0.01）：

第191號運動員騎自行車的平均速度是__________米/秒；

第194號運動員騎自行車的平均速度是米/秒：

第195號運動員騎自行車的平均速摩是__________米/秒；

（2）如果運動員騎自行車都是勻速的，那么在騎自行車的途中，191號運動員會追上195號或194

號嗎？如果會，那么追上時離第一換項點有多少米（精確到001）?如果不會，為什么？

（3）如果運動員長跑也都是勻速的，那么在長跑途中這三名運動員有可能某人追上某人嗎？為什

么？

（江蘇省徐州市中考試題）

解題思路：從表格中獲取信息，注意速度、時間的比較是解本例的關鍵.

【例4】一小船由A港到B港順流需行6小時，由B港到A港逆流需行8小時.一天，小船從早

晨6點由A港出發順流行至B港時，發現一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小時后找到救生圈，

問：

（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港時需多少小時？

（2）救生圈是何時掠人水中的？

（天津市中考試題）

解題思路：要求小船按水流速度由A港漂流到8港時所需時間，需求兩港間的距離及水流速度，考

慮增設輔助未知數.

【例5】某鄉鎮小學到縣城參觀，規定汽車從縣城出發于上午7時到達學校后，接參觀的師生立即

HI發去縣城，由于汽車在赴校的途中發生故障，不得不停車修理，學校師生等到7時10分，仍未見汽

車來接，就步行走向縣城.在行進途中遇到了已經修理好的汽車，立即上車趕赴縣城，結果比預定到達

縣城的時間晚了半小時，如果汽車的速度是步行速度的6倍，汽車在途中排除故障花了多少時間？

（山東省中考試題）

解題思路：從題中比原定時間晚到半小時入手，選好未知量，找出汽車所用時間與師生步趕所用時

間之間的關系.依時間、速度和路程之間的關系列出方程.

【例6】甲、乙兩人分別從A,8兩地同時出發，在距離8地6千米處相遇，相遇后兩人又繼續

按原方向、原速度前進，當他們分別到達8地、A地后，立刻返回，又在距A地4千米處相遇，求4,

8兩地相距多少千米？

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

解題思路：本例有多種解法，可借助圖形輔助分析.

能力訓練

A級

1.某人以4千米/小時的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小時的速度從乙地返回甲地，那

么某人往返一次的平均速度是千米/小時.

2.汽車以每小時72千米的速度筆直地開向寂靜的山谷，駕駛員按一聲喇叭，4秒后聽到回響，已

知聲音的速度是每秒340米，聽到回響時汽車離山谷的距離是__________米.

（江蘇省競賽試題）

3.甲、乙兩地相距70千米，有兩輛汽車同時從兩地相向出發，并連續往返于甲、乙兩地，從甲地

開出的為第一?輛汽車，每小時行30千米，從乙地開出的為第二輛汽車，每小時行40千米.當從甲地開

出的第一輛汽車第二次從甲地出發后與第二輛汽車相遇，這兩輛汽車分別行駛了千米和

__________千米.

（武漢市選拔賽試題）

4.上午9時整，時計與分針成直角，那么下一次時針與分針成直角的時間是（）.

58

A.9時30分B.10時5分C.10時5—分D.9時32—分

1111

（“希望杯”競賽試題）

5.甲、乙兩人同時從4地到8地，如果乙的速度y保持不變，而甲先用2u的速度到達中點，再用

1

7u的速度到達B地，則下列結論中正確的是（).

A.甲、乙同時到達B地B.甲先到8地

C.乙先到8地D.無法確定誰先到

6.甲與乙比賽登樓，他倆從36層的長江大廈底層出發，當甲到達6樓時，乙剛到達5樓，按此速

度，當甲到達頂層時，乙可到達（）.

A.31層B.30層C.29層D.28層

7.如圖，甲、乙兩動點分別從正方形A3CO的頂點A,C同時沿正方形的邊開始移動.甲點依順

時針方向環行，乙點依逆時針方向環行，若乙的速度是甲的速度的4倍，則它們的第2007次相遇在邊

（）上.

A.ABB.BCC.CDD.DA

（湖北省黃岡市競賽試題）

8.甲、乙兩列火車同時從相距120千米的兩地相向行駛，甲速為每小時84千米，乙速為每小時60

千米，則當兩車相距24千米時行駛的時間為（）.

A.40分鐘B.1小時C.1小時或20分鐘D.40分鐘或1小時

9.有一個只允許單向通過的窄道口，通常情況下，每分鐘可以通過9人，一天王老師到達道口時，

發現由于擁擠，每分鐘只能有3人通過道口，此時自己前面還有36人等待通過（假定先到的先過，王

老師過道口的時間忽略不計）.通過道口后，還需7分鐘到達學校：

（1）此時，若繞道而行，要15分鐘到達學校，從節省時間考慮，王老師應繞道去學校，還是選擇

通過擁擠的道口去學校？

（2）若在王老師等人的維持下，幾分鐘后，秩序恢復正常（維持秩序期間，每分鐘仍有3人通過

道口），結果王老師比擁擠的情況下提前了6分鐘通過進口，求維持秩序的時間.

（江西省中考試題）

6.某商場有一部自動扶梯勻速由下而_L運動，甲、乙二人都急于，樓辦事，囚此在乘扶梯的同時

勻速登梯，甲登了55級后到達樓上，乙登梯速度是甲的2倍（單位時間內乙登樓級數是甲的2倍），他

登了60級后到達樓上，那么，由樓下到樓上的自動扶梯級數為.

（北京市競賽試題）

7.甲、乙兩同學從400米的環形跑道上的某一點背向出發，分別以每秒2米和每秒3米的速度慢

跑.6秒鐘后，一只小狗從甲處以每秒6米的速度向乙跑，遇到乙后，又從乙處以每秒6米的速度向甲

跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了米.

8.某風景區的旅游線路如右圖所示，其中A為入口處，B,C,。為風景點，E為三岔路的交匯

點，圖中所給的數據為相應兩點間的路程（單位：千米）.某游客從A處出發，以每小時2千米的速度

步行游覽，每到一個景點逗留的時間均為半小時.

（1）若該游客沿跨線“A-。一。一E-A”游覽回到A處，共用去3小時，求C,E兩點間

的路程.

（2）若該游客從A處出發，打算在最短時間內游完三個景點并返回A處（仍按上述步行速度和在

景點的逗留時間，不考慮其他因素），請你為他設計一個步行路線，并對路線設計的合理性予以說明.

（江蘇省競賽試題）

9.某人沿電車路行走，每12分鐘有一輛電車從后面追上，每4分鐘有一輛電車迎面開來，假定此

人和電車都是勻速前進，則電車是每隔多少分鐘從起點站開出一輛？

（湖北省黃岡市競賽試題）

10.如圖，甲、乙兩人分別在A,8兩地同時相向而行，于E1處相遇后，甲繼續向3地行走，乙

則休息了14分鐘，再繼續向A地行走，甲和乙到達B和A后立即折返，仍在E處相遇，己如甲每分鐘

行走60米，乙每分鐘行走80米，則A和8兩地相距多少千米？

AEB

?__________?_______________?

甲一一乙

（“華羅庚金杯”競賽試題）專題10多變的行程問題

例11950提示:設甲乙兩站相距S千米，則=一+2=——，解得S=1950千米

80+7080+50

例2B提示:乙第一次追上甲用了」分鐘.72x4"=7x36（）+2?x9（）

777

例3⑴8.127.037.48

（2）191號能追上194號,這時離第一換項點有24037.96米⑼號不會追上195號

（3）從笫二換項點出發時,195號比191號提前216秒,口長跑速度比191號快，所以195號在長跑

時始終在191號前面，而191號在長跑時始終在194前面，故在長跑時，誰也追不上誰.

例4⑴設小船在靜水中的速度為a,水流的速度為力,由題意，得6m+〃尸8小”解得a=7A.故小船按水流

速度由

“6（67+/?）6（7Z?+Z?）48b/cIQ

A港漂流到B港所需的時間為二-----=---------=——=48小時

hhb

（2）設小船行駛x小時后救生圈掉入水中，則小船找到救生圈即小船與救生圈相遇，他們行駛的路

程如圖所示：

.

:效明■j---------------61小船J

（il）XA，--------

rfr）XI

由題意得（67+1）匕+小6岡=（6/）（白+〃）,將〃=7〃代入上式，解得x=5故救生圈是在上午II點掉入水中的.

例5如圖，設點A為縣城所在地，點B為學校所在地，但C為師生途中與汽車相遇之處.汽車晚到的的半

小時一方面是因晚出發了10分鐘,另一方面是從B到C由于步行代替乘車而多花了20分鐘.若設汽車從

C到B需要X分鐘，則師生從B到C應花（盧20）分鐘，由于汽車日C到B與師生從B到C的路程相等由時

間與速度成反比可得」一=」解得I

x+206

??B

C

故排除故障花的時間為4x2+30=38分鐘

例6解法一:第一次相遇時，甲乙兩人所走的路程之和，正好是A4兩地相距的路程，即當甲乙合走完44

間的全部路程

（甲M四（乙）

時，乙走了6千米.第二次相遇時，兩人合走的路程恰為兩地間距離的3倍（如圖，圖中實線表示甲走的

路程，虛線表示乙走的路程），因此，這時乙走的路程應為6x3=18千米.考慮到乙從B地走到A地后

又返回了4千米，所以A,B兩地間的距離為18-4=14千米.

解法二:甲、乙兩人同時出發，相向而行，到相遇時兩人所走時間相等，又因為兩人都做勻速運動，應有:

兩人速度之比等于他們所走路程之比，且相同時間走過的路程亦成正比例.到第一次相遇，甲走了（全程

-6）千米，乙走了6千米;到第二次相遇，甲走了（2x全程-4）千米，乙走了（全程+4）千米.

設全程為S,則可列方程無9二蘭二士.

6S+4

解得加=14,S2=0（舍去）.

故A,B兩地相距14千米.

解法三:設全程為S千米，甲、乙兩人速度分別為h為v,

工色①

則1%%

J2s-4S+4小

------=------②

匕打

①?②得-9=)一,解得S=14或5=0(舍去)

2S-4S+4

故A.B兩地相距14千米.

A級

1.4.82.640

3.150200提示：設第一輛車行駛了(140十X)千米，則第二輛車行駛了

(l40+x)xg=140+(46|+qJ千米，由題意得

A+f46-+-x|=70,解得x=10.

I33J

4D提示:因為分針每分鐘轉6°,時針每分鐘轉(g),設兩針從上午9時開始，工分鐘后兩針成直角，

由題意知61+90+(90-，二|二360解得工=32色.

I2)11

QVs

5C6.C提示：-=—=7.C8.D

S乙V乙4

9.(1)因至+7=19>15，故王老師應選擇繞道去學校.

3

⑵設維持秩序時間為t,則+葛3)=6,解得t=3(分鐘).

10.設此人從家里出發到火車開車的時間為X小時，由題意得30(x15、(15、

--=18x+—,解得x=l.

60)(60)

'15](15)

30xx----30x1--

、60；160J

此人打算在火車前10分鐘到達火車站，騎摩托車的速度應為——_10=_10=271

X

.60—60

時.

11.設火車的速度為X米/秒，由題意得(?1)x22=(x-3)x26,解得k14.

故火車的車身長為(14-1)x22=286米.

B級

b+a

1------

b-a

27.5提示：先求出甲、乙兩車速度和為料=20米/秒.

10

9()

3.20或3

3

4.D提示:設三個等長路段的路程均為S,則平均速度為

3S

SSS

——F---1----

H%匕

5D提示:考慮兩船同時先順水航行的情形，設想乙船在靜水中的速度接近水流的速度，則它將遲遲難以

返航.而甲先返回A港，類似的可考慮兩船同時先逆水航行的情形.

6667.444

8(l)CE=0.6千米.(2)基本的行走路線有兩條:一是A—D—C—B—ETA(或A—E-B—C-D—A)，總時

間為4小時;二是A—D—C—ETB—E—A(或E-C-D-A),總時間為3.9小時.

9設電車速度為九人速為X,目車每隔，分鐘開出一輛，則每兩輛電車之間的距離W，對于迎面來的電

車，這個距離是人與電車共同走4分鐘完成的，對于后面追上的電車，兩輛電車之間的距離是電車在12

分鐘追上起始時的距離，由題意得4u+4x=i〃=12u-12x,解得仁6分鐘.

+4x7Y

10.AE:BE=60:80=3:4,設AE=3乂BE=4x,從而AB=7x(米).由題意得一----=—~~—+14,解得

6080

x=240,故AB=7戶7x240=1680米.

專題11設元的技巧

閱讀與思考

應用數學知識和方法解決實際問題是學習數學的重要目的之一.應用題聯系實際，

反映現實生活中的數量關系，通過解應用題可以培養運用數學知識去分析和解決問題的能

力.

列方程解應用題，一般有審題、設元、布列方程、解方程、作答等幾個步驟.恰當

地設元是列方程解應用題的關鍵步驟之一，常見的設元技巧有：

1.直接設元

題目要求什么量，就設什么量為未知數，或有幾個要求的量，而設其中的某一個量

為未知數.

2.間接設元

即所沒的不是所求的，適當地選擇與題目要求的未知數有關的某個量為未知數，則

易找出符合題意的數量關系，從而列出方程.

3.輔助設元

有些應用題中隱含一些未知的常量，這些量對于求解無直接聯系，但如果不指明這

些量的存在，則難求其解，因而需把這些未知的常量設為參數，作為橋梁幫助思考，這就

是輔助設元.

4.整體設元

有些應用題未知量太多而已知關系又少，如果在未知數的某一部分存在一個整體

關系，可設這一部分為一個未知數，這樣就減少了設元的個數，這就是整體設元.

例題與求解

［例1］某編輯用0?9這10個數字給一本書的各頁標上頁碼，若共寫了636個數

字，則該書有一頁.

解題思路：依題意可知該書頁碼的數字組成有三種：一個數字、兩個數字、三個

數字.一共有636個數字，可設直接未知數，列方程求解.

找出能夠表示應用題全部含義的一個相等關系是列方程解應用題又一關鍵.尋找

相等關系常用方法有：

①從關鍵詞中尋找相等關系；

②利用基本公式尋找相等關系；

③利用不變量尋找相等關系；

④對一種“量”，從不同的角度進行表述（即計算兩次），形成一種相等關系.

行程問題、工程問題、勞力分配問題、濃度問題、數字問題等是列方程解應用題

的基本類型，此外，還有趣味問題（如年齡、時鐘等）、經濟問題（如銀行存款、銷售利潤

等），盡管形式多變，但是解題實質未變，需要我們用數學觀點，理清數量關系，恰當設未

知數，準確列方程.

【例2】某服裝廠生產某種定型冬裝，9月份銷售冬裝的利潤（每件冬裝的利潤=

出廠價一成本）是出廠價的25%,10月份將每件冬裝的出廠價調低10%（每件冬裝的成本

不變），銷售件數比9月份增加80%,那么該廠10月份銷售這種冬裝的利潤總額比9月份

的利潤總額增長（）。

A.2%B.8%C.40.0%D.62%

（江蘇省競賽試題）

解題思路：設出與總額相關的量：出廠價、銷售件數.

解決以實際生活為情景的應用題時，需要具備一定的優化意識和估算決策能力.

［例3］某音樂廳決定月初在暑假期間舉辦學生專場音樂會，入場券分為團體票

和零售票，其中團體票占總票數的二，若提前購票，則給予不同程度的優惠，在五月份內，

3

團體票每張12元，共售出團體票數的|；零售票每張16元，共售出零售票數的一半，如

果在六月份內，團體票按每張16元出售，并計劃在六月份內售出全部余票，那么零售票應

按每張多少元定價才能使這兩個月的票款收入持平？

（北京市東城區中考試題）

解題思路：票款與票數、票價有關，故既要用字母表示六月份零售價，乂要用字

母表示總票數.

與商品利潤相關的基本知識：

①利潤率=X100%；

進貨價

②利潤=售出價一進貨價；

③售出價=利潤+進貨價=進貸價X（1+利澗率）.

［例4］為了加強公民的節水意識，合理利用水資源，某市采用價格調控的手段達到

節水的目的，該市自來水收費價格見價目表.

價目表

每月用水量單價

不超過6/的部分2元//

超過3—不超出10—的部

4元/背

分

超出10萬的部分8元//

注：水費按月結算.

若某居民1月份用水8人則應收水費2X6+4X（8-6）=20（元）.

（1）若該戶居民2月份用水12.5則應收水費元.

（2）若該戶居民3,4月份共用水15/6月份用水量超過3月份），共交水費44元，

則該居民3,4月份各用水多少立方米？

（江蘇省揚州市中考試題）

解題思路：第（1）問須分段計費；第⑵問設3月扮用水量為x/,則4月份用水量為

（15-x）/,分兩種情況進行討論.

【例5】4屬。三個微型機器人圍繞一個圓形軌道高速運動，它們順時針同時同

地出發后，力在2秒鐘時追上8,2.5秒鐘時追上C,當。追上8時，C和8的運動路程之

匕是3：2,問第1分鐘時，力圍繞這個圓形軌道運動了多少圈？

（“華羅庚金杯”競賽試題）

解題思路：要充分運用問題中的等量關系，需設出48C三個微型機器人的速

度、圓形軌道長等多個未知數.

【例6】有一片牧場，草每天都在勻速地生長（即草每天增長的量相等），如果放

牧24頭牛，則6天吃完牧草；如果放牧21頭牛，則B天吃完牧草.設每頭牛每天吃草的

星是相等的，問：

（1）如果放牧16頭牛，幾天可以吃完牧草？

（2）要使牧草永遠吃不完，至多放牧幾頭牛？

（全國數學通訊賽試題）

解題思路：此題可采取設定多個間接未知數的解決方法.

能力訓練

A組

1.光明中學七年級一、二、三班，向希望學校共捐書385本，一班與二班捐書的本數

之比為4：3,一班與三班捐書的本數之比為6：7,那么二班捐書______本.

（北京市“迎春杯”競賽試題）

2.一個六位數1abcde的3倍等于abedel,則這個六位數為.

（黑龍江省競賽試題）

3.某種電器產品，每件若以原定價的9.5折銷售，可獲利150元，若以原定價的7.5

折銷售，則虧損50元.該種商品每件的進價為元.

（“希望杯”競賽試題）

4.某出租汽車的車費是這樣計算的：路程在4公里以內（含4公里）為10.40元；達

到4公里以后，每增加1公里加1.60元；達到15公里后，每增加1公里加2.40元.增

加不足1公里時按四舍五人計算.則乘坐15公里該種出租車應交車費一元.某乘客乘坐

該種出租車交了車費95.20元，則這個乘客乘該出租車行駛的路程為公里.（精確

到兩位小數）

（“希望杯”邀請賽試題）

5.甲、乙兩種茶葉，以（重量比）相混合制成一種混合茶，甲種茶葉的價格每千

克50元，乙種茶葉的價格每千克40元，現在甲種茶葉的價格上調了10版乙種茶葉的價

格下調了10%,但混合茶的價格不變，則等于（）.

A.1:1B.5:4C.4:5D.5:6

（北京市競賽試題）

6.某城市按以下規定收取每月煤氣費：用煤氣如果不超過60立方米.按每立方米0.8

元收費；如果超過60立方米，超過部分接每立方米1.2元收費.己知某用戶4月份的煤氣

費平均每立方米0.88元，那么，4月份這用戶應交煤氣費（）.

A.60元B.66元C.75元D.78元

（全國初中數學聯賽試題）

7.植樹節時，某班平均每人植樹6棵，如果只由女同學完成，每人應植樹15棵；如

果只由男同學完成，每人應植樹（）棵.

A.9B.10C.12D.14

（四川省競賽試題）

8.某服裝商販同時賣出兩套服裝，每套均賣168元，以成本計算，其中一套盈利20%,

另一套虧本20%則這次出售中商販（）.

A.不賺不賠B.賺37.2元C.賺14元D.賠14元

9.從兩塊重量分別為6千克和4千克且含銀的百分數不同的合金上切下重量相等的兩

塊，把所切下的每塊分別和另一塊切剩的合金放在一起，熔煉后，兩塊合金的含銀的百分

數相同，求所切下的合金的重量是多少？

10.陳老師為學校購買運動會的獎品后，回學校向后勤處王老師交賬說：“我買了兩種

書，共105本，單價分別為8元和12元，買書前我領了15。。元，現在還余418元，”王老

師算了一下，說：“你肯定弄錯了

（1）王老師為什么說他弄錯了？試用方程的知識加以解釋；

（2）陳老師連忙拿出購物發票，發現的確弄錯了，因為他還買了一個筆記本，但筆記本

的單價已模糊不清，只能辨認出應是小于10的整數，筆記本的單價可能為多少元？

（四川省資陽市中考試題）

B級

1.一幢樓房內住有6家住戶，分別姓趙、錢、孫、李、周、吳，這幢樓住戶共訂有人

B,C,D,E,尸六種報紙，每戶至少訂了一種報紙，已知趙、錢、孫、李、周分別訂了其

中2,2,4,3,5種報紙.而4B,QD,￡五種報紙在這幢樓里分別有1,4,2,2,2家

訂戶，那么吳姓住戶訂有一種報紙，報紙產在這幢樓里有一家訂戶.

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

2.某人購買鋼筆和圓珠筆各若干支，鋼筆的價格是圓珠筆價格的2倍，付款時，發現

所買兩種筆的數量是顛倒了，因此，比計劃支出增加了50%,則此人原計劃購買鋼筆與圓

珠筆數量的比為.

（天津市競賽試題）

3.為使某項工程提前20天完成任務，需將原定工作效率提高25%,則原計劃完成這

項工程需要_______天.

（“希望杯”邀請賽試題）

4.右邊算式中，每個漢字代表1個數字，不同的漢字代表不同的數字，已知“神”一

。,那么被乘數是.

神舟十號飛天

x神

飛天神舟五號

5.一艘輪船從月港到6港順水航行，需6小時，從6港到力港逆水需8小時，若在

靜水條件下，從力港到6港需（）小時.

A.7B.7-C.6-D.6-

272

（五城市聯賽試題）

6.某商品連續兩次提價10%,又提價5樂要恢復原價，至少應降價X％（x為整數），則

4=（）.

A.20B.21C.22D.23

7.如圖，是一塊在電腦屏幕上出現的矩形色塊圖，由6個不同顏色的正方形組成，已

知中間最小的一個正方形的邊長為1,那么這個長方形色塊圖的面積為多少？

（山東省濟南市中考試題）

8.自行車輪胎，安裝在后輪上，只能行駛3000就就要報廢，安裝在前輪上，則行駛

5000筋才報廢.為使一對輪胎能在行駛盡可能多的路程后才報廢，在自行車行駛一定路

程后，就將前后輪調整，這樣安裝在自行車上的一對輪胎最多可行駛多少千米？

（《時代學習報》數學文化節試題）

9.山腳下有一池塘，ill泉以固定的流量（即單位時間里流入池中的水量相同）不停地

向池塘內流淌，現池塘中有一定深度的水，若用一臺.4型抽水機，1小時后正好能把池塘

中的水抽憲，若用兩臺力型抽水機20分鐘正好把池塘中水抽完。問若用三臺/型抽水機同

時抽水，則需要多長時間恰好把池塘中的水抽完？

（江蘇省競賽試題）

專題11設元的技巧

例1248提示:設該書有X頁，則可列方程（x-99）x3+90x2+9=636,解得x=248頁.

例2B提示:設9月份每件冬裝的出廠價為x元，9月份銷售冬裝m件，則

0.15xx1.8〃?一0.2547〃

---------------------------------=0/0?

0.25x〃z

例3設總票數為。張，六月份零售票應按每張1元定價，

748641

則一a+—a——a+—ax,解得x=19.2元.

53156

例4（1）應收水費2、6+4乂（10-6）+8、（12.5—10）=48元.

⑵設三月份用水量為x",則四月份用水量為(i5?x)nr?.若x<6,15-x<10時，則

2x+[2x64-4(15-x-6)]=44,解得，x=2(舍去)；若x<6,15-x>10時，則

2X+[2X6+4X4+8(15-A:-I0)]=44,解得x=4；

若x>6,由題意知x<10,則15-xvlO,則2x6-4x(x-6)+12x6+4(15—工-〃)]=44,無解.

所以三月份用水4加3,四月份用水ll//.例542圈提示：設4,B,C三個微型機器人的速度分

S55

-s__s_

-2,2

別為u,v和圓形軌道周長是S,『

w,-VM2-2.5

3S

有

代

中

又

-入757S

22---V

②.解①和②，得得〃=To,Iox60=42S.

故第一分鐘時，A圍繞這個圓形軌道運動了42圈.

例6(1)設牧場原有草量為〃，每天生長出的草量為兒每頭牛每天吃草量為c,16頭牛x天吃完草，由

題意得：

。+68=24x6c?①

?〃+80=21x8c②.

a+bx=16ct③

②一①得〃=12。④，

③一②得(x—8)b=(16.r-168)c⑤，

將④代人⑤得(”―8)?12c=(16x-168)c,解得x=18.

(2)設至多放牧)，頭牛，牧草才永遠吃不完，則有c)W),即每天吃的草不能多于生長的草，)4=12.

A級

199

2.142857提示：設abcde=%,則3(100000+x)=/0x+l,解得％=42857.故這個六位數為142857.

9575

3800提示：設該商品的原定價為x元，由題意有：TQX—I50=TT-X4-50,解得X=1000.

故該商品每件的進價為1OOOx-j^+50=8007E.

430.4043提示：(1)注意，到15千米時剛好跳表，所以要加上2.4元，不要漏了.(2)設所行路程

為x公里，則2.40x。-15)+28.00=95.20.

5.C6.B

7.B提示：設分別有男、女同學x,y人,則15y=6(x+y),x=|y.則男同學完成每人應植樹6(x+yHx

=10棵.

8.D

/>X+(/Lx)a

9.設所切下的合金重量為x千克，重6千克，4千克的合金含銀的百分數分別為〃，伙a處),

6

at+(4—x)6

=4解得x=2.4.

10.(1)設單價為8元的課外書為x本，由8x+l2(IO5-x)=1500-418,解得x=44.5(不合題意)，所

以陳老師肯定弄錯了.

⑵設單價為8元的課外書為)，本，筆記本的單價為。元，則8)，+(105—)，)xl2=1500—418—〃,即178

+o=4.y,178+a應被4整除，?=2,4,6,8,經討論。=2或6.

B級

I.16提示：設吳姓住戶訂有工種報紙，報紙尸在這幢樓里有)，家訂戶，其中x,y為啟1,.怯6的

整數，由題意得2+2+4+3+5+x=1+4+2+2+2+y,解得x=l,y=6.

2.1：4提示：設原計劃賄買鋼筆x支，圓珠筆)，支，圓珠筆的價格為k元，由題意得(2kx+ky)x(l

+50%)=2心，+丘，解得y=4x.

3.100

4.307692提示：設“神舟十號”=A,“飛天”=4則3x(1004+8)=100004+A,得234=769&又

(23,769)=1,故/3=23〃，A=769〃，〃為自然數且29".經討論〃=4可行，從而4=3076,5

=92.

5.C提示：設A港到8港路程為5,靜水速度和水流速度分別為V船，V水.則

SSI

v=6……①，v，-/=8……②，則6(丫制+丫水)=8(丫儡一"水)，得丫嫡=7丫水.把V水=:yV

船代入①中'得—=6,故*=6*

%+飆47

6.C

7.143提示：設C,。的邊長為X,貝ijE,F,6的邊長分別為％十1,x十2,2x~1,由題意得(x+1)

+(x+2)=x+(2.x—1),解得x=4.也可用x+3表示出8的邊長，則X+3=2A—1,更易求得X

=4.

8.設自行車行駛了xkm后，互換前、后輪胎再行駛，致使兩只輪胎同時報廢，因此，前輪胎還可行駛

3

(5000—x)km.后輪胎還可行駛(3000—x)km.當前后輪胎互換后，還可行駛，并有(5000—x)x§=(3000

-A)X|.解此方程，有《一,)x=2000,解得X=1875.這就是說，當自行車行駛了1875km后，互

換前后輪胎，這樣還可行駛(5(X)0—1875)x,=1875km.故最多可行駛3750km.

9.設流水的速度為工米3/分，池塘原有水)，米3,每臺A型抽水機抽水效率為Z米3/分，三臺A型抽

水機需t分鐘把池塘中水抽完，由題意得

>'+60.v=60z①

<>'+20.v=40z②.

.y+/x=3/2③

②一①，得z-=2-x…④

③一②，得(20-t)x=(40-3/)