人教B版(2019)必修第一冊數學

期中考點大串講串講03函數考場練兵典例剖析010203目

錄考點透視01考點透視考點1.函數的概念,函數的定義域和值域1．函數的概念一般地，給定兩個非空實數集A與B，以及對應關系f，如果對于集合A中的每一個實數x，按照對應關系f，在集合B(集合B一般默認為實數集R，因此常常略去不寫．)中都有唯一確定的實數y＝f(x)與x對應，則稱f為定義在集合A上的一個函數，記作y＝f(x)，x∈A.2．函數的定義域和值域函數y＝f(x)中x稱為自變量，y稱為因變量，自變量取值的范圍(即數集A)稱為這個函數的定義域，所有函數值組成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}稱為函數的值域．考點2.同一函數

一般地，如果兩個函數的定義域相同，對應關系也相同(即對自變量的每一個值，兩個函數對應的函數值都相等)，則稱這兩個函數就是同一個函數．考點3.函數的表示方法

數學表達式圖象表格考點4.分段函數

如果一個函數，在其定義域內，對于自變量的不同取值區(qū)間，有不同的對應方式，則稱其為分段函數．考點5.定義域為A的函數f(x)的單調性

f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)增函數減函數考點6.單調性與單調區(qū)間

如果函數y＝f(x)在區(qū)間M上是單調遞增或單調遞減，那么就說函數y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)________，區(qū)間M叫做y＝f(x)的________．單調性單調區(qū)間考點7.函數的最值

考點8.直線的斜率,函數的平均變化率

x1＝x2＞＜平均變化率考點9.二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的單調性

(1)當a＞0時，f(x)在____________上單調遞減，在______________上單調遞增，函數沒有最大值，但有最小值________________；(2)當a＜0時，f(x)在____________________上單調遞增，在____________________上單調遞減，函數沒有最小值，但有最大值____________________.

考點10.偶、奇函數

1．偶函數一般地，設函數y＝f(x)的定義域為D，如果對D內的任意一個x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，則稱y＝f(x)為偶函數．2．奇函數一般地，設函數y＝f(x)的定義域為D，如果對D內的任意一個x，都有________，且___________，則稱y＝f(x)為奇函數．3．奇、偶函數的圖像特征(1)奇函數的圖像關于________成中心對稱圖形；反之，如果一個函數的圖像是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數是奇函數．(2)偶函數的圖像關于________對稱；反之，如果一個函數的圖像關于y軸對稱，則這個函數是偶函數．－x∈Df(－x)＝－f(x)原點y軸考點11.函數的零點

1．零點的定義一般地，如果函數y＝f(x)在實數α處的函數值等于零，即f(α)＝0，則稱α為函數y＝f(x)的零點．2．方程的根與函數零點的關系交點的橫坐標零點考點12.二次函數的零點及其與對應方程、不等式解集之間的關系

判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖像一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實根x1＝x2＝－沒有實數根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集____________________Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集______________________________{x|x<x1或x>x2}

{x|x1<x<x2}??考點13.幾類常見函數模型

名稱解析式條件一次函數模型y＝kx＋bk≠0反比例函數模型y＝＋bk≠0二次函數模型一般式：y＝ax2＋bx＋c頂點式：y＝a＋a≠0考點14.函數模型

知識點(1)一次函數模型解析式：________．(2)二次函數模型①一般式：__________．②頂點式：_____________，其中頂點坐標為________．(3)分段函數模型有些實際問題，在事物的某個階段對應的變化規(guī)律不盡相同，此時我們可以選擇利用分段函數模型來刻畫它，由于分段函數在不同的區(qū)間中具有不同的解析式，因此分段函數在研究條件變化的實際問題中，或者在某一特定條件下的實際問題中具有廣泛的應用．y＝kx＋by＝ax2＋bx＋cy＝a(x－h(huán))2＋k(h，k)02典例透析考點1.函數的定義【例題1】(1)設M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列四個圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數關系的有(

)(1)①x∈[0，1]取不到[1，2].③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范圍．④可取一個x值，y有2個對應，不符合題意．

(2)關鍵是否符合函數定義．答案：(1)B

(2)①是函數②不是函數考點1.函數的定義解析：(1)圖號正誤原因

①×x＝2時，在N中無元素與之對應，不滿足任意性②√同時滿足任意性與唯一性③×x＝2時，對應元素y＝3?N，不滿足任意性④×x＝1時，在N中有兩個元素與之對應，不滿足唯一性

考點2.求函數的定義域

考點2.求函數的定義域

考點3.同一函數

判斷兩個函數是否為同一函數，要看三要素是否對應相同．函數的值域可由定義域及對應關系來確定，因而只要判斷定義域和對應關系是否對應相同即可．考點3.同一函數

解析：序號是否相同原因(1)不同定義域不同，f(x)的定義域為{x|x≠0}，g(x)的定義域為R(2)不同對應關系不同，f(x)＝，g(x)＝(3)不同定義域相同，對應關系不同(4)相同定義域和對應關系相同考點4.求函數值域

考點4.求函數值域

考點5.函數的表示方法

【例題5】某商場新進了10臺彩電，每臺售價3000元，試求售出臺數x(x為正整數)與收款數y之間的函數關系，分別用列表法、圖像法、解析法表示出來．解析：(1)列表法：x/臺12345678910y/元30006000900012000150001800021000240002700030000(2)圖像法：如圖所示．(3)解析法：y＝3000x，x∈{1，2，3，…，10}．考點6.求函數的解析式

【例題6】(1)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，則f(x)的解析式為________________；(2)已知f(x)是一次函數，且f(f(x))＝4x－1，則f(x)＝_____________.(1)換元法設x2＋2＝t.(2)待定系數法設f(x)＝ax＋b.f(x)＝x2－4(x≥2)

考點7.求分段函數的函數值

解析：∵－1<0，∴f(－1)＝0，∴f(f(－1))＝f(0)＝π，∴f(f(f(－1)))＝f(π)＝π＋1.考點8.函數圖像

【例題8】作出下列函數的圖像：(2)先求對稱軸及頂點，再注意x的取值(部分圖像)．(1)y＝－x＋1，x∈Z；(2)y＝2x2－4x－3，0≤x＜3；(3)關鍵是根據x的取值去絕對值．(3)y＝|1－x|.考點8.函數圖像

考點9.利用函數圖像求單調區(qū)間

【例題9】函數f(x)的圖像如圖所示，則(

)

A．函數f(x)在[－1，2]上是增函數B．函數f(x)在[－1，2]上是減函數C．函數f(x)在[－1，4]上是減函數D．函數f(x)在[2，4]上是增函數圖像上升或下降趨勢判斷．答案：A解析：函數單調性反映在函數圖像上就是圖像上升對應增函數，圖像下降對應減函數，故選A.考點10.函數的單調性判斷與證明

考點11.利用函數的單調性求最值

(1)判斷函數的單調性．(2)利用單調性求出最大(小)值．

考點12.由函數的單調性求參數的取值范圍

【例題12】已知函數f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，4]上是減函數，求實數a的取值范圍．【解析】

∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2

＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的減區(qū)間是(－∞，1－a].∵f(x)在(－∞，4]上是減函數，∴對稱軸x＝1－a必須在直線x＝4的右側或與其重合．∴1－a≥4，解得a≤－3.故a的取值范圍為(－∞，－3].考點13.三點共線問題

【例題13】(1)已知直線經過點A(0，4)和點B(1，2)，則直線AB的斜率為(

)A．3

B．－2C．2D．不存在(2)求證：A(－3，－5)，B(1，3)，C(5，11)三點共線．答案：(1)B

(2)見解析

考點14.求函數的平均變化率

【例題14】函數f(x)＝－2x2＋5在區(qū)間[2，2＋Δx]上的平均變化率為________．－8－2Δx

考點15.用函數的平均變化率判斷單調性

考點16.函數奇偶性的判斷

先求函數定義域，再根據函數奇偶性定義判斷．考點16.函數奇偶性的判斷

考點17.函數奇偶性的圖像特征【例題17】如圖，給出了偶函數y＝f(x)的局部圖像，試比較f(1)與f(3)的大小．方法一利用偶函數補全圖像，再比較f(1)與f(3)的大小；方法二f(1)＝f(－1)，f(3)＝f(－3)，觀察圖像判斷大小．考點17.函數奇偶性的圖像特征解析：方法一因函數f(x)是偶函數，所以其圖像關于y軸對稱，補全圖如圖．由圖像可知f(1)<f(3)．方法二由圖像可知f(－1)<f(－3)．又函數y＝f(x)是偶函數，所以f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，故f(1)<f(3)．考點18.利用函數奇偶性求參數【例題18】(1)若函數f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數，定義域為[a－2，2a]，則a＝________，b＝________；(2)已知函數f(x)＝ax2＋2x是奇函數，則實數a＝________．(1)函數具有奇偶性，定義域必須關于(0，0)對稱．(2)f(0)＝0？

00考點18.利用函數奇偶性求參數

考點19.函數的奇偶性和單調性的綜合應用【例題19】(1)已知函數y＝f(x)在定義域[－1，1]上是奇函數，又是減函數，若f(1－a2)＋f(1－a)＜0，求實數a的取值范圍．(2)定義在[－2，2]上的偶函數f(x)在區(qū)間[0，2]上單調遞減，若f(1－m)＜f(m)，求實數m的取值范圍．考點19.函數的奇偶性和單調性的綜合應用

考點1函數零點的概念及求法

跟蹤訓練1

若函數f(x)＝x2＋x－a的一個零點是－3，求實數a的值，并求函數f(x)其余的零點．由函數f(x)的零點是－3，得f(－3)＝0，求a.解析：由題意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6.所以f(x)＝x2＋x－6.解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.所以函數f(x)其余的零點是2.考點20.確定函數零點的個數

答案：(1)B

(2)一個考點20.確定函數零點的個數

考點21.判斷函數的零點所在的大致區(qū)間【例題21】函數f(x)＝2x－1＋x－5的零點所在的區(qū)間為(

)A.(0，1)

B．(1，2)C．(2，3)

D．(3，4)利用f(a)·f(b)＜0求零點區(qū)間．答案：C解析：f(2)＝22－1＋2－5＜0，f(3)＝23－1＋3－5＞0，故f(2)·f(3)＜0，又f(x)在定義域內是增函數，則函數f(x)＝2x－1＋x－5只有一個零點，且零點所在的區(qū)間為(2，3)．考點22.函數零點的應用

【例題22】

已知關于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三個不相等的實數根，則實數a的值是________．1解析：如圖，由圖像知直線y＝1與y＝|x2－4x＋3|的圖像有三個交點，則方程|x2－4x＋3|＝1有三個不相等的實數根，因此a＝1.考點22.函數零點的應用

3．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為(

)A．45.606萬元

B．45.6萬元C．45.56萬元

D．45.51萬元答案：B

考點23.一次、二次函數模型

【例題23】某列火車從北京西站開往石家莊，全程277km.火車出發(fā)10min開出13km，之后以120km/h的速度勻速行駛．試寫出火車行駛的總路程s與勻速行駛的時間t之間的函數關系式，并求離開北京2h時火車行駛的路程．求出火車勻速行駛的總時間，可得定義域，再建立總路程關于時間的函數模型．

考點24.分段函數

【例題24】為了迎接世博會，某旅游區(qū)提倡低碳生活，在景區(qū)提供自行車出租．該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元．根據經驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數，并且要求出租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(日凈收入＝一日出租自行車的總收入－管理費用)．(1)求函數y＝f(x)的解析式及其定義域．(2)試問當每輛自行車的日租金定為多少元時，才能使日凈收入最多？(1)利用函數關系建立各個取值范圍內的凈收入與日租金的關系式，寫出分段函數，注意實際問題中自變量的取值范圍．(2)利用一次函數的單調性及二次函數的性質分別求分段函數各段上的最大值，取其最大的即可．考點24.分段函數

考點25.一次函數模型的應用

【例題25】若一根蠟燭長20cm，點燃后每小時燃燒5cm，則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時間t(h)的函數關系用圖像表示為圖中的(

)答案：B解析：蠟燭剩下的長度隨時間增加而縮短，根據實際意義不可能是D項，更不可能是A、C兩項．故選B項．考點26.二次函數模型的應用

【例題26】有A，B兩城相距100km，在A，B兩城之間距A城xkm的D地建一核電站給這兩城供電．為保證城市安全，核電站與城市距離不得少于10km.已知供電費用與供電距離的平方和供電量之積成正比，比例系數λ＝0.25.若A城供電量為20億度/月，B城供電量為10億度/月．(1)把月供電總費用y表示成x的函數，并求定義域；(2)核電站建在距A城多遠時，才能使供電費用最小？考點26.二次函數模型的應用

考點27.分段函數模型的應用

考點27.分段函數模型的應用

考點27.分段函數模型的應用

03考場練兵

答案：D

答案：A

3．已知函數f(2x＋1)＝6x＋5，則f(x)的解析式是(

)A．3x＋2B．3x＋1C．3x－1D．3x＋4答案：A

4．函數f(x)＝x3－x的零點個數是(

)A．0B．1C．2D．3答案：D解析：f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0，x＝1，x＝－1，即函數的零點為－1，0，1，共3個．5．某生產廠家的生產總成本y(萬元)與產量x(件)之間的關系式為y＝x2－80x，若每件產品的售價為25萬元，則該廠獲得最大利潤時，生產的產品件數為(

)A．52B．52.5