考點11圓錐曲線11.2雙曲線及其性質1．（2022·全國高三）設雙曲線：的左焦點和右焦點分別是，，點是右支上的一點，則的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據雙曲線的方程求出的值，由雙曲線的定義可得，由雙曲線的性質可知，利用函數的單調性即可求得最小值.【詳解】由雙曲線：可得，，所以，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，所以，由雙曲線的性質可知：，令，則，所以在上單調遞增，所以當時，取得最小值，此時點為雙曲線的右頂點，即的最小值為，故選：C.2．（2021·吉林長春市·高三（理））若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用，轉化，即得解【詳解】由，可得可解的，故雙曲線的漸近線方程為，故選：A.3．（2021·江西科技學院附屬中學高二月考（理））已知橢圓和雙曲線有相同的焦點，它們的離心率分別為，是它們的一個公共點，且.若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用橢圓和雙曲線的定義把，用長半軸長和實半軸長表示，再用余弦定理求得與的關系，從而得的等式，結合已知可求得．【詳解】設，橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，焦點為，不妨設在第一象限，則，解得，中由余弦定理得，即，所以，，，又，，所以，，所以．故選：B．4．（2021·全國）設雙曲線：的左、右焦點分別是，，過作漸近線的垂線，垂足為．若的面積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由雙曲線性質知，，，由得，，代入求得a，b，c的關系，從而求得離心率.【詳解】由雙曲線性質知，，，由得，，解得，，所以雙曲線的離心率，故選：D．5．（2021·全國高三（理））將雙曲線x2﹣y2＝2繞原點逆時針旋轉45°后可得到雙曲線y，據此類推可求得雙曲線y的焦距為（）A．2 B．2 C．4 D．4【答案】D【分析】雙曲線的圖象與雙曲線的圖象全等，它們的焦距相同，又根據題意得：將雙曲線繞原點逆時針旋轉后可得到雙曲線，故只須求出雙曲線的焦距即可．【詳解】解：雙曲線y的圖象可由y進行形狀不變的變換而得，∴雙曲線y的圖象與雙曲線y的圖象全等，它們的焦距相同，根據題意：“將雙曲線x2﹣y2＝2繞原點逆時針旋轉45°后可得到雙曲線y”類比可得：將雙曲線x2﹣y2＝6繞原點逆時針旋轉45°后可得到雙曲線y，而雙曲線x2﹣y2＝6的a＝b，c＝2，∴焦距為2c＝4．故選：D．6．（2020·北京高三）設，為雙曲線：的兩個焦點，若雙曲線的兩個頂點恰好將線段三等分，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由雙曲線的兩個頂點恰好將線段三等分得到求解.【詳解】因為雙曲線的兩個頂點恰好將線段三等分點，所以，則，所以，所以，所以雙曲線的漸近線的方程為，故選：A．7．（2021·肥城市教學研究中心高三）已知?分別是雙曲線的左、右焦點，雙曲線的右支上一點滿足，直線與該雙曲線的左支交于點，且恰好為線段的中點，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據給定條件導出，再利用雙曲線定義結合勾股定理計算作答.【詳解】依題意，令，則有，令，由雙曲線定義得，而點P是QF1中點且在雙曲線左支上，則，在中，，即，解得，則，，在中，，即，，于是得，，所以雙曲線C的漸近線方程為.故選：C8．（2022·浙江高三專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過點作傾斜角為θ的直線交雙曲線的右支于、兩點，其中點在第一象限，且．若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，可得出，，在中，利用余弦定理可得出關于的方程，結合可求得該雙曲線的離心率.【詳解】如下圖所示，設，由雙曲線的定義可得，則，所以，，

在中，，整理可得，即，，解得.故選：D.9．（2021·安徽（文））已知雙曲線：的左、右焦點分別為、，、分別為雙曲線的左、右頂點，過作直線，在直線上存在點，使得，則雙曲線的離心率的最大值為（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由關于的方程有實數解，轉化為一元二次方程，利用得的范圍，在此范圍內取最大值時，求方程的解，滿足題意即可得．【詳解】由已知，，，整理得，令，則（*），由題意此方程有正數解．首先，，解得，，當時，方程（*）化為，，滿足題意．所以的最大值為．故選：D．10．（2021·云南曲靖·（文））已知雙曲線的右焦點為，直線?是雙曲線的兩漸近線，，是垂足.點在雙曲線上，經過分別與?平行的直線與?相交于?兩點，是坐標原點，的面積為，四邊形的面積為.則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由雙曲線方程求出兩條漸近線方程，設，得出兩條與漸近線平行的直線方程，聯立直線方程求出A、B的坐標，可得與的值，即可求出四邊形OAMB的面積，再求出的面積即可.【詳解】由題意知，雙曲線的漸近線方程為，不妨設，則，設，所以過M與平行的直線方程為：，過M與平行的直線方程為：；所以，解得，同理，解得，所以，，得；又，為等腰三角形，所以，所以，所以.故選：A11．（2021·四川成都·高三（文））已知雙曲線的一個焦點到其中一條漸近線的距離為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由一個焦點到一條漸近線的距離等于焦距的，可得，進而可得結果.【詳解】因為一個焦點到一條漸近線的距離等于焦距的，設焦點為，漸近線為所以，即，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A.12．（2021·四川眉山市·仁壽一中高三開學考試（理））若雙曲線的離心率為，則（）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】首先將雙曲線化為標準式，即可表示出，，再根據及離心率為得到方程，解得即可；【詳解】解：因為，所以，即，，所以，因為離心率為，即，解得故選：D13．（2021·湖南益陽市箴言中學高三）已知雙曲線，為坐標原點，為的右焦點，過的直線與的兩條漸近線的交點分別為，.若，且在，之間，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出焦點坐標，利用面積比得是線段的中點，設，則可得點坐標，由在另一漸近線上求得值，從而可得線段長．【詳解】解：雙曲線中，，所以，設，因為，所以點為線段的中點，則．又點在直線，則，解得，所以，此時，．故選：B．【點睛】方法點睛：本題考查雙曲線的幾何性質，漸近線方程，焦點坐標等等．解題關鍵是由面積比得出點為線段的中點，這樣設出一個點的坐標，由另一點在另一漸近線上，求得（或）坐標，從而易得線段長．14．（2022·全國（理））在平面直角坐標系中，若雙曲線經過點，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】把點代入雙曲線方程求出的值，從而根據雙曲線的漸近線方程公式求出答案.【詳解】因為雙曲線經過點，所以代入得，解得，即，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A.15．（2021·南京師范大學附屬中學秦淮科技高中高三開學考試）已知雙曲線的離心率為，雙曲線上的點到焦點的最小距離為，則雙曲線上的點到點的最小距離為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用已知條件求得、的值，可得出的值，求得雙曲線的標準方程，然后利用兩點間的距離公式并結合二次函數的基本性質可求得雙曲線上的點到點的最小距離.【詳解】由已知可得，，可得，，，所以，雙曲線的方程為，設是雙曲線上的點，則，且或，則，所以當時，.故選：B.16．（2021·福建高三）已知雙曲線，為坐標原點，為的左焦點，過的直線與的兩條漸近線的交點分別為，．若，且在，之間，則（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】求出焦點坐標，利用面積比得是線段的中點，設，則可得點坐標，由在另一漸近線上求得值，從而可得線段長．【詳解】解：雙曲線中，以，所以，設，因為，所以點為線段的中點，則．又點在直線，則，解得，所以，此時，．故選：B．【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質，漸近線方程，焦點坐標等等．解題關鍵是由面積比得出點為線段的中點，這樣設出一個點的坐標，由另一點在另一漸近線上，求得（或）坐標，從而易得線段長．17．（2021·陜西西安·高新一中（文））已知雙曲線：(，)的一條漸近線被圓截得的線段長不小于8，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得雙曲線的一條漸近線方程，求得圓心和半徑，運用點到直線的距離公式和弦長公式，可得，的關系，即可得到所求的離心率．【詳解】雙曲線的一條漸近線方程設為，由題得圓的圓心為，半徑，可得圓心到漸近線的距離為，則由題意可知，解得：所以雙曲線的離心率，即故選：D．【點睛】方法點睛：本題考查求雙曲線的離心率，求解離心率在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出；②構造的齊次式，求出；③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解；④根據圓錐曲線的統一定義求解．18．（2021·全國高三專題練習（文））已知雙曲線的左?右焦點分別為，，點，則的平分線的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先依題意判斷，設的平分線交x軸于M，設，計算，求得，即得角平分線所在直線的斜率，再根據點斜式寫直線方程即可.【詳解】如圖，依題意知，，而點在雙曲線上，故，，.設的平分線交x軸于M，設，則，有，即，，化簡解得，故的平分線所在直線的斜率，所以的平分線的方程為，即.故選：A.19．（2022·全國高三專題練習（理））已知橢圓和雙曲線有公共焦點，，和在第一象限的交點為，且雙曲線的虛軸長為實軸長的倍，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設雙曲線的實半軸長為，虛半軸長為，橢圓長半軸長為，由雙曲線定義和橢圓定義可求得關系，從而得離心率．【詳解】設雙曲線的實半軸長為，虛半軸長為，橢圓長半軸長為，設，則，，又，所以，，由余弦定理得，即，，，所以，，所以橢圓離心率為．故選：B．20．（2021·全國高三（理））已知直線被中心在坐標原點，焦點在坐標軸上的雙曲線所截得的線段長為6，被該雙曲線的兩條漸近線截得的線段長為，則該雙曲線的標準方程為（）A．或 B．或C． D．【答案】C【分析】先判斷焦點位置，再利用當時，，當時，，即解方程組求解【詳解】由直線被雙曲線截得的線段長為6，被該雙曲線的兩條漸近線截得的線段長為，可得雙曲線的焦點在軸上，不妨設雙曲線方程為，直線被雙曲線截得的線段長為6，所以當時，，①由雙曲線的漸近線方程為，直線被該雙曲線的兩條漸近線截得的線段長為，所以對于，當時，，即，②由①②解得，故雙曲線方程為，故選：．21．（2021·全國高二課時練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F2，過F1且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A，B兩點，AF2，BF2分別交y軸于P，Q兩點，若△PQF2的周長為4，則的取值范圍為__．【答案】.

【分析】依題意結合雙曲線定義得，進而可得，換元之后由對勾函數的單調性可得結果.【詳解】設F1（﹣c，0），F2（c，0），令x＝﹣c，可得y＝＝±，則|AB|＝，因為PQ為△ABF2的中位線，且△PQF2的周長為4，所以△ABF2的周長為8，即|AF2|+|BF2|+|AB|＝8，由雙曲線的定義可得|AF2|+|BF2|﹣|AB|＝4a，兩式相減可得，所以＝8﹣4a，即，所以＝＝，由可知，設2﹣a＝t（0＜t＜2），設，則在（0，2）遞減，所以.故的取值范圍為．故答案為：．22．（2020·陜西高三（理））已知雙曲線的右焦點為F，以（O為原點）為直徑的圓與雙曲線E的兩條漸近線分別交于點M，N（M，N異于點O）．若，則雙曲線E的離心率為___________．【答案】【分析】利用圓的對稱性，求出，即可求出漸近線的斜率，轉化為離心率即可.【詳解】因為為直徑，點在圓上，所以，且，即,那么，漸近線的斜率為，所以離心率為.故答案為：23．（2021·全國高三專題練習（理））已知雙曲線E：＝1（m，n＞0）的焦距為4，則m+n＝___.【答案】4【分析】根據焦距為4，可求得半焦距c，根據雙曲線中a，b，c的關系，即可得答案.【詳解】由題意得，解得，且，因此所以，即，故答案為：424．（2021·重慶市第七中學校高三）已知、分別是雙曲線的左右焦點，點在雙曲線右支上且不與頂點重合，過作的角平分線的垂線，垂足為，為坐標原點，若，則該雙曲線的離心率為_____________．【答案】【分析】延長交于點，利用角平分線結合中位線和雙曲線定義求得的關系，然后利用求得結果.【詳解】延長交于點，∵是的平分線，，，又是中點，所以，且，又，，，．故答案為：.25．（2021·江蘇高二專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，斜率大于0的直線經過點與的右支交于，兩點，若與的內切圓面積之比為9，則直線的斜率為______．【答案】【分析】設與的內切圓圓心分別為，，的內切圓與三邊分別切于點，，，利用內切圓的性質得．設直線的傾斜角為，在中，，在中，，由題得得，再由二倍角公式可得答案．【詳解】設與的內切圓圓心分別為，，連接，，，的內切圓與三邊分別切于點，，，如圖，則，所以，即，同理，所以，設直線的傾斜角為，則，在中，，在中，，由題得，所以，解得，所以．故答案為：﹒26．（2021·江蘇）已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過右焦點的直線交該雙曲線的右支于，兩點（點位于第一象限），的內切圓半徑為，的內切圓半徑為，且滿足，則直線的斜率___________.【答案】【分析】設，，，利用雙曲線的定義可得，作出圖形，結合圖形分析，可知與直線的傾斜角相等，利用直角三角形中的邊角關系，求出，即可得到直線的斜率【詳解】解：設的內切圓為圓，與三邊的切點分別為，如圖所示，設，，，設的內切圓為圓，由雙曲線的定義可得，得，由引可知，在中，軸于點，同理可得軸于點，所以軸，過圓心作的垂線，垂足為，因為，所以與直線的傾斜角相等，因為，不妨設,則,在中，，所以所以直線的斜率為，故答案為：【點睛】此題考查直線與雙曲線的位置關系，直線與圓的位置關系的綜合應用，直線的斜率與傾斜角的關系的應用，解題的關鍵是將直線的傾斜角轉化為進行求解，考查數形結合的思想和計算能力，屬于中檔題

27．（2021·全國高二課時練習）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，（為坐標原點）．若直線與的左支有交點，則的離心率的取值范圍為______．【答案】【分析】設位于第四象限，可知，設，由和在雙曲線上可構造方程組求得點坐標，由此表示出，由化簡可得，根據可求得結果.【詳解】由雙曲線方程知其漸近線方程為：；不妨設位于第四象限，則若直線與的左支有交點，則；設，由得：，又，，，，，即，，整理可得：，即，，，即的離心率的取值范圍為.故答案為：.【點睛】思路點睛：求解圓錐曲線離心率或離心率取值范圍問題的基本思路有兩種：（1）根據已知條件，求解得到的值或取值范圍，由求得結果；（2）根據已知的等量關系或不等關系，構造關于的齊次方程或齊次不等式，配湊出離心率，從而得到結果.28．（2021·正陽縣高級中學高三（理））已知，是雙曲線的左?右焦點，過的直線交雙曲線的右支于，兩點，且，，則雙曲線的離心率為___________.【答案】2【分析】由雙曲線的定義知，，再根據得，進而根據相似關系得，，，再結合雙曲線的定義得，故，進而得答案.【詳解】由雙曲線的性質，可知，.因為，所以，.又，且，所以，所以，所以，.因為，所以.又，所以，所以，所以.故答案為：【點睛】方法點睛：本題考查直線與雙曲線的位置關系的綜合問題，考查學生的轉化和計算能力，屬于中檔題型，求離心率是圓錐曲線常考題型，涉及的方法包含1.根據直接求，2.根據條件建立關于的齊次方程求解，3.根據幾何關系找到的等量關系求解.29．（2021·南京師范大學附屬揚子中學）設O為坐標原點，直線x=a與雙曲線的兩條漸近線分別交于D，E兩點，若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為___________.【答案】【分析】寫出雙曲線C的漸近線方程，求出D，E坐標，由三角形面積建立a，b的關系，借助均值不等式即可作答.【詳解】雙曲線C的漸近線方程為，不妨令點D為在第一象限，E在第四象限，由解得，同理，，所以的面積，于是，雙曲線的焦距，當且僅當時取等號，所以的焦距的最小值為故答案為：830．（2021·全國高二課時練習）已知雙曲線：的左?右焦點分別為,，點，分別為漸近線和雙曲線左支上的動點，當取得最小值時，面積為___________.【答案】【分析】根據雙曲線的定義把求的最小值轉化為求的最小值；然后再判斷出當，，三點共線且垂直于漸近線時，取得最小值.【詳解】由題意知，，，不妨取其中一條浙近線，由雙曲線定義知，所以，所以，所以當，，三點共線且垂直于漸近線時，取得最小值，此時，直線方程為，由，得，故點，.故答案為：.31．（2021·全國高三（理））已知雙曲線的左?右焦點為，點是圓上且在軸上方的任一點，若的面積為則雙曲線離心率的取值范圍是___________.【答案】【分析】根據題意利用點縱坐標表示出的面積，根據條件可得滿足的不等式關系結合的取值范圍求解出離心率的取值范圍.【詳解】因為，所以，又因為，所以，所以，所以，所以且，所以，故答案為：.32．（2021·全國高二課時練習）過雙曲線的右焦點F引一條漸近線的垂線，垂足為點A?在第二象限交另一條漸近線于點B，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是___________．【答案】【分析】由垂線與另一條漸近線交于第二象限，所以1，所以；由已知可求得、，從而根據即可建立關于的方程，又，即可建立離心率的不等關系，從而可解.【詳解】解：因為垂線與另一條漸近線交于第二象限，所以，所以1，所以．在直角中，，所以，即，聯立，得，因為，所以，故，因為，所以，解得綜上，可得

故答案為：33．（2021·全國高三專題練習（理））已知雙曲線C與雙曲線有共同的漸進線，則雙曲線C的離心率是________.【答案】或.【分析】根據題意得到雙曲線的漸進線方程，從而得到雙曲線C的漸近線方程，討論雙曲線C的焦點位置，從而應用離心率公式可求得答案.【詳解】易知雙曲線的漸進線方程為，所以若雙曲線C的焦點在軸上，則，所以離心率為；若雙曲線C的焦點在軸上，則，所以離心率為.故答案為或.34．（2021·全國高三專題練習（理））已知雙曲線的右焦點為F，O為坐標原點，P為雙曲線右支上異于右頂點的一點，若的平分線垂直于x軸，則雙曲線C的離心率的取值范圍是_________.【答案】【分析】根據的平分線垂直于x軸得到，由此求得也即雙曲線離心率的取值范圍.【詳解】由題意可知，為等腰三角形，.設的平分線與x軸交于點H，則點H為線段的中點，所以.因為P為雙曲線C右支上異于右頂點的點，所以，即，故雙曲線C的離心率e的取值范圍是.故答案為：.35．（2021·重慶高三）已知雙曲線的右焦點為F，焦距為4，雙曲線C的一條漸近線將以F為圓心，OF為半徑的圓的圓周分成兩段長度之比為的弧，其中為坐標原點，則雙曲線C的離心率是___________.【答案】【分析】畫出圖形，結合題意計算圓心到直線的距離，即可計算出雙曲線的離心率.【詳解】設雙曲線的一條漸近線與圓交、兩點，因為漸近線將圓周分為兩份，所以，設點為過點向漸近線作垂線的垂足，則漸近線為，且點為雙曲線的焦點，，則焦點到漸近線的距離，，為等腰三角形，也是的角平分線，，則，故，又因為雙曲線焦距為，即，，故，，則離心率.故答案為：36．（2022·全國高三專題練習（理））過作與雙曲線（，的兩條漸近線平行的直線，分別交兩漸近線于、兩點，若四點共圓（為坐標原點），則雙曲線的離心率為______．【答案】【分析】聯立直線、與直線，求出點的坐標，聯立直線、與直線，求出點的坐標，觀察坐標可知，四邊形為菱形，其外接圓圓心在、的交點處，再結合的數量積為0，即可求解．【詳解】解：由題意可得，∵直線、都平行于漸近線，∴可設直線的方程為，直線的方程為，∴過點平行與的直線的方程為，過點平行與的直線的方程為，分別聯立方程，，解得，，即線段與互相垂直平分，則四邊形為菱形，其外接圓圓心在、的交點處，∴，則即，∵，，∴雙曲線的離心率，故答案為：．37．（2021·全國高三專題練習（文））設，分別為雙曲線的左、右焦點，若雙曲線上存在點，使，且，則__