PAGE課時規范練33空間點、直線、平面之間的位置關系基礎鞏固組1.(多選)下列說法中正確的是()A.空間中三條直線交于一點,則這三條直線共面B.平行四邊形可以確定一個平面C.若一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊,則這兩個角相等D.若A∈α,A∈β,且α∩β=l,則A在l上2.如圖,E,F分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1D1與AA1的中點,則下列推斷正確的是()A.直線AC與BF是相交直線B.直線C1E與AC相互平行C.直線C1E與BF是異面直線D.直線DB與AC相互垂直3.(2024甘肅靖遠高三模擬)設P1,P2,P3,P4為空間中的四個不同點,則“P1,P2,P3,P4中有三點在同一條直線上”是“P1,P2,P3,P4在同一個平面上”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.(多選)(2024江蘇響水中學高三月考)已知A,B,C表示不同的點,l表示直線,α,β表示不同的平面,則下列推理正確的是()A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?αB.l?α,A∈l?A?αC.A∈α,A∈l,l?α?l∩α=AD.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=AB5.(2024江蘇揚州江都大橋高級中學月考)l1,l2,l3是空間三條不同的直線,則下列命題正確的是()A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共點?l1,l2,l3共面6.(2024黑龍江哈爾濱三中高三調研)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E是棱B1C1的中點,則平面AD1E截該正方體所得的截面面積為()A.42 B.22 C.4 D.97.(2024北京通州高三段考)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D中,點E,F分別是棱C1D1,A1D1上的動點.給出下面四個命題:①若直線AF與直線CE共面,則直線AF與直線CE相交;②若直線AF與直線CE相交,則交點肯定在直線DD1上;③若直線AF與直線CE相交,則直線DD1與平面ACE所成角的正切值最大為22④直線AF與直線CE所成角的最大值是π3其中,全部正確命題的序號是()A.①④ B.②④C.①②④ D.②③④8.在四面體A-BCD中,E,F分別是AB,CD的中點.若BD,AC所成的角為60°,且BD=AC=1,則EF的長為.

9.矩形ABCD中,AB=3,BC=1,將△ABC與△ADC沿AC所在的直線進行隨意翻折,在翻折過程中直線AD與直線BC成的角范圍(包含初始狀態)為.

10.如圖,點A在平面α外,△BCD在平面α內,E,F,G,H分別是線段BC,AB,AD,DC的中點.(1)求證:E,F,G,H四點在同一平面上;(2)若AC=6,BD=8,異面直線AC與BD所成角為60°,求EG的長.綜合提升組11.(2024河南新鄉第一中學二模)如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AA1,E,F分別為AB,BC的中點,異面直線AB1與C1F所成角的余弦值為m,則()A.直線A1E與直線C1F異面,且m=2B.直線A1E與直線C1F共面,且m=2C.直線A1E與直線C1F異面,且m=3D.直線A1E與直線C1F共面,且m=312.(2024吉林樺甸高三月考)我國古代的數學著作《九章算術·商功》中,將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.在如圖所示的“塹堵”ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,M,N分別是BB1和A1C1的中點,則平面AMN截“塹堵”ABC-A1B1C1所得截面圖形的面積為()A.2213 BC.273 D13.(多選)(2024海南瓊山海南中學高三月考)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,N為底面ABCD的中心,P為線段A1D1上的動點(不包括兩個端點),M為線段AP的中點,則下列說法中正確的是()A.CM與PN是異面直線B.CM>PNC.平面PAN⊥平面BB1D1DD.過P,A,C三點的正方體的截面肯定是等腰梯形14.(2024貴州貴陽一中高三月考)如圖,在多面體ABCDE中,平面ACD⊥平面ABC,AC⊥BC,BC=2AC=4,DA=DC=3,F是BC的中點,EF⊥平面ABC,EF=22.(1)證明:A,B,E,D四點共面;(2)求三棱錐B-CDE的體積.創新應用組15.(2024新疆烏魯木齊一中高三月考)蜂巢是由工蜂分泌蜂蠟建成的.從正面看,蜂巢口是由很多正六邊形的中空柱狀體連接而成,中空柱狀體的底部是由三個全等的菱形面構成,菱形的一個角度是109°28'.用數學的眼光去看蜂巢的結構,如圖,在正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'(圖1)的三個頂點A,C,E處分別用平面BFM,平面BDO,平面DFN截掉三個相等的三棱錐M-ABF,O-BCD,N-DEF,平面BFM,平面BDO,平面DFN交于點P(圖2),就形成了蜂巢的結構.如圖,以下四個結論:①△BDF≌△MON;②BF<MN;③B,M,N,D四點共面;④異面直線DO與FP所成角的大小為70°32'.其中正確的個數是()A.1 B.2 C.3 D.416.(2024山東濰坊高三期末)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,點K在棱A1B1上運動,過A,C,K三點作正方體的截面,若K為棱A1B1的中點,則截面面積為,若截面把正方體分成體積之比為2∶1的兩部分,則A1KKB參考答案課時規范練33空間點、直線、平面之間的位置關系1.BD對于A,兩兩相交的三條直線,若相交于同一點,則不肯定共面,故A不正確;對于B,平行四邊形兩組對邊分別平行,則平行四邊形是平面圖形,故B正確;對于C,若一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊,則這兩個角相等或互補,故C不正確;對于D,由基本領實3可得,若A∈α,A∈β,α∩β=l,則A∈l,故D正確.故選BD.2.D由題知,AC?平面ABCD,BF與平面ABCD交于點B,B?AC,所以直線AC與BF是異面直線,故A錯誤;AC?平面ACC1A1,EC1與平面ACC1A1交于點C1,C1?AC,所以直線C1E與AC是異面直線,故B錯誤;依據正方體性質EF∥AD1∥BC1,所以E,F,B,C1四點共面,所以直線C1E與BF不是異面直線,故C錯誤;正方體各個表面均為正方形,所以直線DB與AC相互垂直,故D正確.故選D.3.A由推論1:經過一條直線和這條直線外一點,有且只有一個平面,可得P1,P2,P3,P4在同一平面,故充分條件成立;由推論3:經過兩條平行直線,有且只有一個平面,可得,當P1∈l1,P2∈l1,P3∈l2,P4∈l2,l1∥l2時,P1,P2,P3,P4在同一個平面上,但P1,P2,P3,P4中無三點共線,故必要條件不成立.故選A.4.ACD由點A,B,C表示不同的點,l表示直線,α,β表示不同的平面,對于A,由A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,可得l?α,所以A正確;對于B,由l?α,A∈l,依據直線與平面的位置關系,則A?α或A∈α,所以B不正確;對于C,由A∈α,A∈l,l?α,依據直線與平面的位置關系,則l∩α=A,所以C正確;對于D,由A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,可得α∩β=AB,所以D正確.故選ACD.5.B對于A,通過常見的正方體,從同一個頂點動身的三條棱兩兩垂直,故A錯誤;對于B,因為l1⊥l2,所以l1,l2所成的角是90°,又因為l2∥l3,所以l1,l3所成的角是90°,所以l1⊥l3,故B正確;對于C,如三棱柱中的三條側棱平行,但不共面,故C錯誤;對于D,如三棱錐的三條側棱共點,但不共面,故D錯誤.故選B.6.D由題意可得,如圖所示,因為E,F分別是B1C1,BB1的中點,所以BC1∥EF,在正方體中,AD1∥BC1,所以AD1∥EF,所以A,D1,E,F在同一平面內,所以平面AD1E截該正方體所得的截面為平面AD1EF.因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,所以EF=2,AD1=22,等腰梯形的高為32,所以四邊形AD1EF的面積S=(2+227.D在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別是棱C1D1,A1D1上的動點.①假如點E在C1處,F在A1處時,直線AF與直線CE平行,可得直線AF與直線CE共面,但直線AF與直線CE不相交,①不正確;②因為空間3個平面兩兩相交有3條交線,要么相互平行,要么相交于一點,因為直線AF與直線CE相交,所以交點肯定在直線DD1上,所以②正確;③若直線AF與直線CE相交,則直線DD1與平面ACE所成角的正切值最大時,應當是E,F與D1重合,此時直線DD1與平面ACE所成角的正切值最大為12BDDD1④直線AF與直線CE所成角的最大值就是E,F與D1重合時取得,此時夾角是π3,所以④正確.故選D8.12或32如圖,取BC的中點O,因為OE∥AC,OF∥BD,所以OE與OF所成的角即為AC與BD所成的角,而AC,BD所成角為60°,所以∠EOF=60°或∠EOF=120°.當∠EOF=60°時,EF=OE=OF=12.當∠EOF=120°時,取EF的中點M,則OM⊥EF,EF=2EM=9.0,π2依據題意,初始狀態,直線AD與直線BC成的角為0,當BD=2時,AD⊥DB,AD⊥DC,且DB∩DC=D,所以AD⊥平面DBC.又BC?平面DBC,故AD⊥BC,直線AD與BC成的角為π2,所以在翻折過程中直線AD與直線BC成的角范圍(包含初始狀態)為0,π2.10.(1)證明因為E,F,G,H分別是線段BC,AB,AD,DC的中點.故FG∥BD,且FG=12BD,同理EH∥BD,且EH=12BD,故FG∥EH,且FG=EH.故四邊形EFGH為平行四邊形.故E,F,G,H(2)解由(1)知四邊形EFGH為平行四邊形,且FG=12BD=4,FE=12AC=3.又異面直線AC與BD所成角為60°,故∠GFE=60°或120當∠GFE=60°時,EG2=FE2+FG2-2FE·FGcos60°=25-12=13.此時EG=13;當∠GFE=120°時,EG2=FE2+FG2-2FE·FGcos120°=25+12=37.此時EG=37,所以EG的長為1311.B如圖所示,連接EF,A1C1,C1D,DF,由正方體的特征得EF∥A1C1,所以直線A1E與直線C1F共面.由正四棱柱的特征得AB1∥C1D,所以異面直線AB1與C1F所成角為∠DC1F(或其補角).設AA1=2,則AB=2AA1=2,則DF=5,C1F=3,C1D=6,由余弦定理,得m=cos∠DC1F=3+6-52×12.A延長AN,與CC1的延長線交于點P,則P∈平面BB1C1C.連接PM,與B1C1交于點E,連接NE,得到的四邊形AMEN就是平面AMN截“塹堵”ABC-A1B1C1所得截面圖形.由已知可求得AM=AN=22+1=5,B1C因為N是A1C1的中點,所以PC1PC=C1NAC=12,即又M=BB1的中點,所以B1M=12PC1由△PC1E∽△MB1E,得B1EEC1=12,可得B1E=13B1CME=(2NE=(423MN=A=(四邊形AMEN的面積S=12×6×(513.BCD由題知,點C,N,A共線,即CN,PM交于點A,所以A,N,C,P,M共面,因此CM,PN共面,故A錯誤;記∠PAC=θ,則PN2=AP2+AN2-2AP·ANcosθ=AP2+14AC2-AP·ACcosθ,CM2=AC2+AM2-2AC·AMcosθ=AC2+14AP2-AP·ACcosθ,又CM2-PN2=34(AC2-AP2)>0,CM2>PN2,即CM>PN,故B正確在正方體中,AN⊥BD,BB1⊥平面ABCD,則BB1⊥AN,BB1∩BD=B,可得AN⊥平面BB1D1D,AN?平面PAN,從而可得平面PAN⊥平面BB1D1D,故C正確;過P,A,C三點的正方體的截面與C1D1相交于點Q,則AC∥PQ,且PQ<AC,因此肯定是等腰梯形,故D正確,故選BCD.14.(1)證明如圖,取AC的中點M,連接DM,MF,因為DA=DC=3,AC=2,M為AC的中點,所以DM⊥AC,且DM=22,因為平面ACD⊥平面ABC,交線為AC,DM?平面ACD,所以DM⊥平面ABC,又EF⊥平面ABC,所以DM∥EF,且DM=EF=22,所以四邊形DEFM是平行四邊形,從而DE∥MF.在△ABC中,M,F分別是AC,BC的中點,所以MF∥AB,所以DE∥AB,從而A,B,E,D四點共面.(2)由(1)DM∥EF,DM?平面BCE,EF?平面BCE,所以DM∥平面BCE,所以點D到平面BCE的距離等于點M到平面BCE的距離,則三棱錐D-BCE與三棱錐M-BCE的體積相等.因為AC⊥BC,BC=2AC=4,M為AC的中點,所以△BCM的面積為S△BCM=12CM·BC=又EF⊥平面ABC,且EF=22,所以VB-CDE=VD-BCE=VM-BCE=VE-BCM=13S△BCM·EF=15.C由題意,不妨設正六邊形的底面邊長為1,①由△BDF與△MON都是邊長為3的等邊三角形,所以△BDF≌△MON,故①正確;②由①可知BF=MN,故②不正確;③由已知可得四邊形BMND是平行四邊形,因此B,M,N,D四點共面,故③正確;④因為DO∥PB,所以PB與FB所成的角就是DO與FP所成的角,因為∠FPB=109°28',所以PB與FP所成的角