PAGE課時作業(十三)向量的數量積一、選擇題1．已知兩個非零向量a，b滿意|a＋b|＝|a－b|，則下面結論正確的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b2．在△ABC中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，則eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝()A．20B．－20C．20eq\r(3)D．－20eq\r(3)3．已知向量a，b滿意|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝eq\r(7)，則a與b的夾角θ為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,3)D.eq\f(5π,6)4．[2024·全國卷Ⅰ]已知非零向量a，b滿意|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)二、填空題5．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝1，且3a＋2b與λa－b垂直，則λ等于________．6．已知|a|＝4，e為單位向量，a在e方向上的投影為－2，則a與e的夾角為________．7．已知i與j為相互垂直的單位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a與b的夾角為銳角，則實數λ的取值范圍是________．三、解答題8．已知|a|＝4，|b|＝2.(1)若a與b的夾角為120°，求|3a－4b|；(2)若|a＋b|＝2eq\r(3)，求a與b的夾角θ.9．已知a·b＝20，|a|＝5，求b在a方向上的正射影的數量．[尖子生題庫]10．若△ABC外接圓的半徑為1，圓心為O,2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，則eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))等于________．課時作業(十三)向量的數量積1．解析：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，∴a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，∴a·b＝0.即a⊥b.答案：B2．解析：eq\o(BC,\s\up12(→))·eq\o(CA,\s\up12(→))＝|eq\o(BC,\s\up12(→))||eq\o(CA,\s\up12(→))|cos120°＝5×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－20.答案：B3．解析：∵|2a＋b|2＝4＋9＋4a·b＝7，∴a·b＝－eq\f(3,2)，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(2π,3).答案：B4．解析：設a與b的夾角為α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cosα＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cosα＝eq\f(1,2)，∵α∈[0，π]，∴α＝eq\f(π,3).故選B.答案：B5．解析：∵(3a＋2b)⊥(λa－b)，∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0，∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.又∵|a|＝2，|b|＝1，a⊥b，∴12λ＋(2λ－3)×2×1×cos90°－2＝0，∴12λ－2＝0，∴λ＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)6．解析：因為a在e方向上的投影為－2，即|a|cos〈a，e〉＝－2，所以cos〈a，e〉＝eq\f(－2,|a|)＝－eq\f(1,2)，又〈a，e〉∈[0，π]，所以〈a，e〉＝120°.答案：120°7．解析：由題意cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)>0，即1－2λ>0，得λ<eq\f(1,2).∵a，b不能共線，即a≠b，∴λ≠－2.∴λ∈(－∞，－2)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2))).答案：(－∞，－2)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))8．解析：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝4×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4.又|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304，∴|3a－4b|＝4eq\r(19).(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝42＋2a·b＋22＝(2eq\r(3))2，∴a·b＝－4，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－4,4×2)＝－eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(2π,3).9．解析：設a，b的夾角為θ，則b在a方向上的正射影的數量就是|b|cosθ，因為|a||b|cosθ＝a·b＝20，所以|b|cosθ＝eq\f(20,|a|)＝eq\f(20,5)＝4，即b在a方向上的正射影的數量是4.10．解析：∵2eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))＝0，∴eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))＝0，即eq\o(OB,\s\up12(→))＝－eq\o(OC,\s\up12(→)).∴O，B，C共線，BC為圓的直徑．∴AB⊥AC.又|eq\o(OA,\s\up12(→))|＝|eq\o(AB,\s\up12(→))|，∴|eq\o(OA,\s\up12(→))|＝|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝1，|eq\o(BC,\s\