第二章隨機(jī)變量及其分布在隨機(jī)試驗(yàn)中，人們除對(duì)某些特定事件發(fā)生的概率感興趣外，往往還關(guān)心某個(gè)與隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果相聯(lián)系的變量.由于這一變量的取值依賴于隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果，因而被稱為隨機(jī)變量.與普通的變量不同，對(duì)于隨機(jī)變量，人們無法事先預(yù)知其確切取值，但可以研究其取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.本章將介紹兩類隨機(jī)變量及描述隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的分布.第一節(jié)隨機(jī)變量的概念內(nèi)容要點(diǎn):一、隨機(jī)變量概念的引入為全面研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果,揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,需將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，即把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來.1.在有些隨機(jī)試驗(yàn)中,試驗(yàn)的結(jié)果本身就由數(shù)量來表示.2.在另一些隨機(jī)試驗(yàn)中,試驗(yàn)結(jié)果看起來與數(shù)量無關(guān),但可以指定一個(gè)數(shù)量來表示之.二、隨機(jī)變量的定義定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為,稱定義在樣本空間上的實(shí)值單值函數(shù)為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量與高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的比較:(1)它們都是實(shí)值函數(shù),但前者在試驗(yàn)前只知道它可能取值的范圍,而不能預(yù)先肯定它將取哪個(gè)值;(2)因試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率,故前者取每個(gè)值和每個(gè)確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.三、引入隨機(jī)變量的意義隨機(jī)變量的引入,使得隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件可通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來.由此可見,隨機(jī)事件這個(gè)概念實(shí)際上是包容在隨機(jī)變量這個(gè)更廣的概念內(nèi).也可以說,隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象,而隨機(jī)變量則以動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來研究之.其關(guān)系類似高等數(shù)學(xué)中常量與變量的關(guān)系.隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機(jī)變量后,對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究,就由對(duì)事件及事件概率的研究轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究,使人們可利用數(shù)學(xué)分析的方法對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行廣泛而深入的研究.隨機(jī)變量因其取值方式不同,通常分為離散型和非離散型兩類.而非非離散型隨機(jī)變量中最重要的是連續(xù)型隨機(jī)變量.今后，我們主要討論離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量.例題選講：例1(講義例1)在拋擲一枚硬幣進(jìn)行打賭時(shí),若規(guī)定出現(xiàn)正面時(shí)拋擲者贏1元錢,出現(xiàn)反面時(shí)輸1元錢,則其樣本空間為{正面,反面},記贏錢數(shù)為隨機(jī)變量,則作為樣本空間的實(shí)值函數(shù)定義為例2(講義例2)在將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面、反面出現(xiàn)情況的試驗(yàn)中,其樣本空間記每次試驗(yàn)出現(xiàn)正面的總次數(shù)為隨機(jī)變量,則作為樣本空間上的函數(shù)定義為易見,使取值為的樣本點(diǎn)構(gòu)成的子集為故類似地，有例3(講義例3)在測試燈泡壽命的試驗(yàn)中,每一個(gè)燈泡的實(shí)際使用壽命可能是中任何一個(gè)實(shí)數(shù),若用表示燈泡的壽命（小時(shí)），則是定義在樣本空間上的函數(shù)，即，是隨機(jī)變量.課堂練習(xí)1.一報(bào)童賣報(bào),每份0.15元,其成本為0.10元.報(bào)館每天給報(bào)童1000份報(bào),并規(guī)定他不得把賣不出的報(bào)紙退回.設(shè)為報(bào)童每天賣出的報(bào)紙份數(shù),試將報(bào)童賠錢這一事件用隨機(jī)變量的表達(dá)式表示.第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布函數(shù)內(nèi)容要點(diǎn):一、離散型隨機(jī)變量及其概率分布定義設(shè)離散型隨機(jī)變量的所有可能取值為,稱為的概率分布或分布律,也稱概率函數(shù).常用表格形式來表示的概率分布:二、常用離散分布退化分布兩點(diǎn)分布個(gè)點(diǎn)上的均勻分布二項(xiàng)分布幾何分布超幾何分布泊松分布：泊松分布是概率論中最重要的幾個(gè)分布之一.實(shí)際問題中許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從泊松分布.三、二項(xiàng)分布的泊松近似定理1(泊松定理)在重伯努利試驗(yàn)中,事件在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為(注意這與試驗(yàn)的次數(shù)有關(guān)),如果時(shí),(為常數(shù)),則對(duì)任意給定的,有.例題選講：離散型隨機(jī)變量及其概率分布例1(講義例1)某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈的概率是0.9,求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)的概率分布.例2(講義例2)設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為:.試確定常數(shù).二項(xiàng)分布例3(講義例3)已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品,現(xiàn)從中有放回地取3次,每次任取1個(gè),求在所取的3個(gè)中恰有2個(gè)次品的概率.例4(講義例4)某人進(jìn)行射擊,設(shè)每次射擊的命中率為0.02,獨(dú)立射擊400次,試求至少擊中兩次的概率.例5(講義例5)設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備,各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理.考慮兩種配備維修工人的方法,其一是由4人維護(hù),每人負(fù)責(zé)20臺(tái);其二是由3人共同維護(hù)80臺(tái).試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小.幾何分布例6(講義例6)某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊,直到命中為止,已知他每發(fā)命中的概率是,求所需射擊發(fā)數(shù)的概率分布.泊松分布例7(講義例7)某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X服從參數(shù)的泊松分布,求該城市一天內(nèi)發(fā)生3次或3次以上火災(zāi)的概率.二項(xiàng)分布的泊松近似例8(講義例8)某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品300件.根據(jù)歷史生產(chǎn)記錄知廢品率為0.01.問現(xiàn)在這300件產(chǎn)品經(jīng)檢驗(yàn)廢品數(shù)大于5的概率是多少?例9(講義例9)一家商店采用科學(xué)管理,由該商店過去的銷售記錄知道,某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)的泊松分布來描述,為了以95%以上的把握保證不脫銷,問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件?例10(講義例10)自1875年至1955年中的某63年間,上海市夏季(5—9月)共發(fā)生大暴雨180次,試建立上海市夏季暴雨發(fā)生次數(shù)的概率分布模型.課堂練習(xí)1.某類燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率是0.2,求三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)以后最多只有一個(gè)壞了的概率.2.一汽車沿一街道行駛,需要通過三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口,每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其它信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立,且紅綠兩種信號(hào)燈顯示的時(shí)間相等.以表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個(gè)數(shù),求的概率分布.第三節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)當(dāng)我們要描述一個(gè)隨機(jī)變量時(shí)，不僅要說明它能夠取哪些值，而且還要指出它取這些值的概率.只有這樣，才能真正完整地刻畫一個(gè)隨機(jī)變量,為此，我們引入隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念.內(nèi)容要點(diǎn)：一.隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量,稱為的分布函數(shù).有時(shí)記作或.分布函數(shù)的性質(zhì)1.單調(diào)非減.若,則；2.3.右連續(xù)性.即二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為則的分布函數(shù)為.例題選講：隨機(jī)變量的分布函數(shù)例1（講義例1）等可能地在數(shù)軸上的有界區(qū)間上投點(diǎn),記為落點(diǎn)的位置(數(shù)軸上的坐標(biāo)),求隨機(jī)變量的分布函數(shù).例2（講義例2）判別下列函數(shù)是否為某隨機(jī)變量的分布函數(shù)?離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)例3（講義例3）設(shè)求.例4具有離散均勻分布,即求的分布函數(shù).例5（講義例4）設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為求的概率分布.課堂練習(xí)1．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為,求的的分布函數(shù)，并求第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度內(nèi)容要點(diǎn)：一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義如果對(duì)隨機(jī)變量的分布函數(shù),存在非負(fù)可積函數(shù),使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)有則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量,稱為的概率密度函數(shù),簡稱為概率密度或密度函數(shù).關(guān)于概率密度的說明1.對(duì)一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量,若已知其密度函數(shù),則根據(jù)定義,可求得其分布函數(shù),同時(shí),還可求得的取值落在任意區(qū)間上的概率:2.連續(xù)型隨機(jī)變量取任一指定值的概率為0.3.若在點(diǎn)處連續(xù),則(1)二、常用連續(xù)型分布均勻分布定義若連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為則稱在區(qū)間上服從均勻分布,記為.指數(shù)分布定義若隨機(jī)變量的概率密度為則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布.簡記為正態(tài)分布定義若隨機(jī)變量的概率密度為其中和都是常數(shù),則稱服從參數(shù)為和的正態(tài)分布.記為注:正態(tài)分布是概率論中最重要的連續(xù)型分布,在十九世紀(jì)前葉由高斯加以推廣,故又常稱為高斯分布.一般來說，一個(gè)隨機(jī)變量如果受到許多隨機(jī)因素的影響，而其中每一個(gè)因素都不起主導(dǎo)作用（作用微小），則它服從正態(tài)分布.這是正態(tài)分布在實(shí)踐中得以廣泛應(yīng)用的原因.例如,產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo),元件的尺寸,某地區(qū)成年男子的身高、體重,測量誤差,射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差,信號(hào)噪聲、農(nóng)作物的產(chǎn)量等等,都服從或近似服從正態(tài)分布.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布當(dāng)時(shí)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,此時(shí),其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用和表示:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于,任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.定理設(shè)則標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用：（1）表中給出了時(shí)的數(shù)值,當(dāng)時(shí),利用正態(tài)分布的對(duì)稱性,易見有（2）若則（3）若,則故的分布函數(shù)例題選講：連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度例1設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求其分布函數(shù).例2（講義例1）設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度例3（講義例2）設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求(1)概率;(2)X的密度函數(shù).常用連續(xù)型分布均勻分布例4（講義例3）某公共汽車站從上午7時(shí)起,每15分鐘來一班車,即7:00,7:15,7:30,7:45等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站,如果乘客到達(dá)此站時(shí)間是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量,試求他候車時(shí)間少于5分鐘的概率.指數(shù)分布例5（講義例4）某元件的壽命服從指數(shù)分布,已知其平均壽命為1000小時(shí)，求3個(gè)這樣的元件使用1000小時(shí),至少已有一個(gè)損壞的概率.正態(tài)分布例6（講義例5）設(shè),求例7設(shè)某項(xiàng)競賽成績（65,100），若按參賽人數(shù)的10%發(fā)獎(jiǎng)，問獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線應(yīng)定為多少？例8（講義例6）將一溫度調(diào)節(jié)器放置在內(nèi)，調(diào)節(jié)器整定在℃，液體的溫度（以℃計(jì)）是一個(gè)隨機(jī)變量，且(1)若℃，求小于89℃的概率；(2)若要求保持液體的溫度至少為80℃的概率不低于0.99，問至少為多少？例9（講義例7）某企業(yè)準(zhǔn)備通過招聘考試招收300名職工,其中正式工280人,臨時(shí)工20人;報(bào)考的人數(shù)是1657人,考試滿分是400分.考試后得知,考試總平均成績,即分,360分以上的高分考生31人.某考生B得256分,問他能否被錄取?能否被聘為正式工?例10（講義例8）在電源電壓不超過200伏，在200~240伏和超過240伏三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2.假設(shè)電源電壓服從正態(tài)分布(220，25)，試求：(1)該電子元件損壞的概率;(2)該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在200~240伏的概率.課堂練習(xí)1.已知，求(1) (2);(3) (4)2.某種型號(hào)電池的壽命近似服從正態(tài)分布,已知其壽命在250小時(shí)以上的概率和壽命不超過350小時(shí)的概率均為92.36%,為使其壽命在和之間的概率不小于0.9,至少為多少?第五節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布講解注意：一、隨機(jī)變量的函數(shù)定義如果存在一個(gè)函數(shù),使得隨機(jī)變量滿足:,則稱隨機(jī)變量是隨機(jī)變量的函數(shù).注:在微積分中,我們討論變量間的函數(shù)關(guān)系時(shí),主要研究函數(shù)關(guān)系的確定性特征,例如:導(dǎo)數(shù)、積分等.而在概率論中,我們主要研究是隨機(jī)變量函數(shù)的隨機(jī)性特征,即由自變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性出發(fā)研究因變量的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律.一般地,對(duì)任意區(qū)間,令,則注:隨機(jī)變量與的函數(shù)關(guān)系確定,為從的分布出發(fā)導(dǎo)出的分布提供了可能.二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為易見,的函數(shù)顯然還是離散型隨機(jī)變量.如何由的概率分布出發(fā)導(dǎo)出的概率分布?其一般方法是：先根據(jù)自變量的可能取值確定因變量的所有可能取值,然后對(duì)的每一個(gè)可能取值確定相應(yīng)的于是從而求得的概率分布.三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布一般地,連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)不一定是連續(xù)型隨機(jī)變量,但我們主要討論連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)還是連續(xù)型隨機(jī)變量的情形,此時(shí)我們不僅希望求出隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù),而且還希望求出其概率密度函數(shù).設(shè)已知的分布函數(shù)或概率密度函數(shù),則隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù)可按如下方法求得:其中而常常可由的分布函數(shù)來表達(dá)或用其概率密度函數(shù)的積分來表達(dá):進(jìn)而可通過的分布函數(shù),求出的密度函數(shù).定理1設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度,又設(shè)處處可導(dǎo)且恒有(或恒有),則是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為其中是的反函數(shù),且例題選講：離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例1（講義例1）設(shè)隨機(jī)變量具有以下的分布律,試求的分布律.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例2（講義例2）對(duì)一圓片直徑進(jìn)行測量,其值在[5,6]上均勻分布,求圓片面積的概率分布密度.例3（講義例3）設(shè),求的概率密度.例4設(shè),求的密度函數(shù).例5（講義例4）已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù),證明服從上的均勻分布.例6（講義例5）也服從正態(tài)分布.例7（講義例6）設(shè)隨機(jī)變量在上服從均勻分布,求的概率密度.例8（講義例8）(對(duì)數(shù)正態(tài)分布)隨機(jī)變量稱為服從參數(shù)為的對(duì)數(shù)正態(tài)分布,如果服從正態(tài)分布.試求對(duì)數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù).注：在實(shí)際中,通常用對(duì)數(shù)正態(tài)分布來描述價(jià)格的分布,特別是在金融市場的理論