湖南省長沙市望城區第一中學2025屆高三上學期開學考試數學試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合4=B={0,2},則4CB=()

A.{0,1,2}B.{1}C.{0}D.{0,1}

2.設i是虛數單位，則復數Z=Q-?i)2的共輾復數2=()

3.某班統計一次數學測驗成績的平均分與方差，計算完畢才發現有個同學的分數還未錄入，只好重算一次.

已知原平均分和原方差分別為禮s2,新平均分和新方差分別為制，sf,若此同學的得分恰好為禮貝1|()

22

A.x=s—siB.x—x1,s<si

22

C.x=x1,s>siD.%<s=si

4.甲、乙、丙、丁四個學生站成一排照相，要求學生甲必須站在學生乙的左邊(兩人可以不相鄰)，則不同

的站法有()

A.24種B.12種C.18種D.9種

5.將函數y=sin(2x)的圖象沿x軸向右平移R(0>0)個單位長度，得到函數y=sin(2無一勻的圖象，則⑴

的最小值為()

717T=2兀卜57r

AA.0=zB.(p=-C.<p=-D.(p=-

6.設函數/(久)的定義域為R,且f(x+l)是奇函數，f(2%+3)是偶函數，則/(5)=()

A.0B.-1C.1D.2

7.在數學史上，中國古代數學名著倜髀算經》仇章算術少好L子經》侏邱建算經》等，對等差級數(數

列)a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)4—+[a+(?t—l)d]和等比級數(數列)a+ccq+ctq?+aq?4—

+aq"T,都有列舉出計算的例子，說明中國古代對數列的研究曾作出一定的貢獻.請同學們根據所學數列

&。12&。13

及有關知識求解下列問題.數陣a21&a22&a23中，每行的3個數依次成等差數列，每列的3個數依次成等比

。3]&。32&。33-

數列，若d22=4,則這9個數和的最小值為()

A.64B.49C.36D.16

8.已知函數/⑺=片累1,若對"1"-")=-4)恒成立，則加=()

A.-16B.16C.-4D.4

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知實數a,b,c滿足a<b<c,ac<0,則()

A.ab2<b2c

C.-+-<-2D.c-a>2yj(c—/))(/?—a)

ac

10.已知函數/(%)=X4-X2,則()

A./(%)的圖象關于y軸對稱B.方程/(%)=0的解的個數為2

C./(%)在。+8)上單調遞增D"(x)的最小值為—1

11.已知曲線C(如圖所示)過坐標原點0,且C上的點P(x,y)滿足到兩個定點Fi(a,0),尸2(-d0)(a>0)的距

離之積為4,則下列結論正確的是()

A.a=2B.-2y/~2<x<2-\/~2

C.周長的最小值為8D.APFiF2的面積最大值為2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

10210

12.已知(2光—I)—a0+arx+a2x+—Fa10x,則a。+a1+2cz2+3a3+—I-10alo=

13.直線尤+y—1=0與圓Q—I/+(y+1)2=4相交于力、B兩點，則|4B|=

14.已知函數〃久)=卜久+磯；+1114)，工20是減函數，貝b的取值范圍是

\.xex,x<a

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

設公比不為1的等比數列｛5｝的前n項和為無,且S3=3a「

(1)求｛an｝的公比；

(2)若的=2,求數列｛a/n+i｝的前幾項和七.

16.(本小題12分)

已知△ABC中，內角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,(a+6)：(6+c)：(c+a)=5：7：6.

(1)求cosA-,

(2)若點D為的中點，且CD=，IU,求AABC的面積.

17.(本小題12分)

已知雙曲線C:'-，=1缶>。,6>0)的離心率為，^,右焦點到雙曲線C的一條漸近線的距離為1,兩動

點4,B在雙曲線C上，線段48的中點為M(2zn,m)(mK0).

(1)證明：直線4B的斜率k為定值；

(2)0為坐標原點，若AOTIB的面積為5求直線48的方程.

18.(本小題12分)

如圖，在四棱臺4BCD—4B1GD1中，底面48CD為等腰梯形，AB//CD,AB=2&1B］=4,ADCD=

2,AD1BBi，BB］=DD1=B1D1.

(1)證明：平面ABC。1平面。1。8當；

(2)求該四棱臺的體積；

(3)求平面44BB1與平面/BCG夾角的余弦值.

19.(本小題12分)

若函數f(x)的定義域為D,集合MUD,若存在非零實數t使得任意xCM都有久+tCD,且f(x+t)>

/(%),則稱/(久)為M上的t一增長函數.

(1)已知函數g(x)=x,函數h(x)=%2,判斷g(x)和h(x)是否為區間［-1,0］上的￡-增長函數，并說明理

由；

(2)已知函數/(K)=|x|,且/(X)是區間［-4,一2］上的n-增長函數，求正整數n的最小值；

(3)如果/'(久)是定義域為R的奇函數，當xNO時，/(x)=\x-a2\-a2,且/(久)為R上的4一增長函數，求

實數a的取值范圍.

參考答案

l.c

2.X

3.C

4.B

5.4

6.A

7￡

8.F

9.BC

10.ACD

11.ABD

12.21

13.714

14.-21n2<a<-1

6解:(1)設數列｛%｝的公比為q,

因為S3=3a］，所以a［(l+q+q2)=3a1，

因為a1豐0,所以q2+q—2=0,

又因為q力1,所以q=—2；

(2)因為的=2,

所以廝=2x(一2尸-1=-(-2)n,(或廝=(-I)71-1x2"),

所以anan+1=—(―2)乜一(―2)n+】］=(-2)21+】，

所以

16.解:(1)因為(a+b)：(b+因：(c+a)=5：7：6,設a+b=5t(t>0),則b+c=7t,c+a=63

聯立解得a=23b=33c=4t,

所以34=*9產+16產-4產_7

24?—8

(2)在△4GD中，cosA=l，CD=>A10,AC=3t,AD=2t,

o

由余弦定理得10=9t2+4/_2x3t?2t，，解得t=2（負值舍去）,

o

所以力=3t=6,c=4t=8,

因為0<A<兀，所以sinA=V1-cos2X=2^，

o

所以S—BC=WbcsinX=^x6x8x=3V15.

LLo

17J?：(1)右焦點的坐標為(c,0),C的一條漸近線方程為y=gx.

即b%—ay=0,所以,如=g=6=1.

卜+(-爐,

又￡=y/~2ya2+b2=c2,解得a=1.

a

所以雙曲線C的方程為/—y2=1.

x1—yl—1

設4(xi，%),B(x,y)>則

22龍一禿=1’

兩式相減并整理得，(%1-%2)(^1+久2)-(為一%)(為+%)=。?

因為線段4B的中點為M(2m,m)(ni中0),貝山：】：，:

171十丫2—

所以47noi-％2)—2zn(yi—丫2)=0，因為租。0，所以二產=2,

所以直線的斜率k為定值2.

(2)設直線48:y=2%+t,聯立｛1_1J，消去y得到3/+4tx+t2+1=0.

因為△=16t2-12(y+1)>0,所以tG(—8,-V-3)U(y/~3,H-oo).

,4,xx=t2+l

久i+%2=-§ai2—

22

\AB\=V1+fc-I%!-x2|=7-5?J(X1+叼尸_4XI12=t—3.

點。到直線ZB的距離為d=騫

所以SAOAB=g|4B|.d=^I-3.裊=|.

整理得/-3t2-4=0,解得嚴=4(/=一1舍去)，t=+2.

又因為±2￡(-8,-OU(4,+8),

所以直線48的方程為y=2x±2.

18.解：(1)取力B的中點E,連接DE,

因為4B=4,

所以BE=2,又CD=2,

所以BE=CD=2,

又AB“CD,

所以四邊形CDEB為平行四邊形，

所以BC〃DE,BC=DE,

因為底面48CD為等腰梯形，

AB//CD,AD=2,

所以8c=2,

所以DE=2=AE=BE,

所以團ADB為直角三角形，力B為其斜邊，

故2D1DB,

又2。±BB],DB,BB]u平面D/BBi，DBnBB1=B,

所以AD1平面

又4。u平面4BCD,

所以平面2BCD1平面DLDBBI；

因為平面ABC。1平面

平面48CDC平面。1。幽=DB,

D±Hu平面D/BBi，

所以。擔_L平面ZBGD,

故為四棱臺力BCD-ABiGDi的高,

由（1）力D1DB,又力D=2,AB=4,

所以08=2<3,

又AB=24/1，故D/i=73,

所以外=DD]=BR=<3,

所以“/=/(Op—(注色)=|,

取力E的中點F,連接OF,

由⑴=0E=4E=2,

所以DF14E,DF=6,

又48=4,

所以梯形2BCD的面積為生產=373,

由棱臺的性質可得梯形4BCD與梯形力/1的。1相似，AB=2&B】=4,

所以梯形a/iGDi的面積為

所以棱臺ABC。—a/iGA的體積

展/⑶苧+甯x|=竽

(3)過。作Oz〃D]H,

因為。1”！_平面4BCD,

所以Dzl平面ABCD,AD1DB,

如圖以D為原點，成，麗，而為x,y,z軸正方向，建立空間直角坐標系,

所以4(2,0,0),B(0,2<3,0),

/(0苧|),C(-l,73,0),

所以卷=(-2,20,0),

西0,一？,|),BC=(—1,—\/~3,0),

設平面的法向量為沅=(x,y,z),

則何.匣=0,

[m.BB]=0

—2x+2V^y=0

所以:/33>

(一彳y+產=o

取x=3,可得y=z=1,

故沅=(3,73,1)為平面44BB1的一個法向量，

設平面B/CG的法向量為元=(a,4c),

則打堂0

(n-BB1=0

—CL-y/~3b=0

所以1/3,3，

——D+-C=0

ZZ

取a=3,可得6=-\/-3,z=-1,

所以元=(3,-1)為平面8/CG的一個法向量,

設平面4A881與平面8/CG夾角為仇

則cos0=|cos(rnfn)\=點帶

5_5

^A13x/I3—13

所以平面4遇B8i與平面B/CG夾角的余弦值為福.

19.解：(l)g(%)定義域R,v%e(%+2)eR,g(%+,)-g(%)=(%+*-％=2>0，g(%)是,

取x=-1,h(—1+|)=h?)=[<1=h(—1),h(x)不是，

函數gQ)=x是區間[—1,0]上的5—增長函數，函數何嗎=/不是；

(2)依題意,VxG[—4,—2],/(x+n)>/(%)<=>|x+n|>|%|=2nx+n2>0,