第9課概率的簡單應用

號目標導航

學習目標

1.體驗概率計算在生產、生活和科學研究中的廣泛應用.

2.能用初步的概率知識解決如中獎預測、人壽保險等方面的問題.

呂笈知識精講

知識點01用概率判斷游戲的公平性

游戲是否公平的關鍵在于參加游戲的人獲勝的概率是否相等.修改游戲規則是指修改規則的制定，而不

是修改整個活動方案.

知識點02概率與統計的綜合應用

解決統計圖表與概率的綜合應用問題的關鍵在于熟練處理統計圖表中的信息，靈活運用公式來求概率.

能力拓展

考點01用概率判斷游戲的公平性

【典例1］如圖是小麗設計可自由的均勻轉盤，將其等分為12個扇形，每個扇形有1個有理數，轉得下列

各數的概率是多少？

(1)轉得非負數的概率是多少？

(2)轉得整數的概率是多少？

(3)若小麗和媽媽做游戲，轉得負整數小麗獲勝；若轉得的數絕對值大于等于8媽媽獲勝，這個游戲公

平嗎？請說明理由.

【即學即練1】小明和小亮做游戲，規則如下：將正面分別寫有數字1,2,3,4的4張卡片背面朝上，洗

勻.先從中任意抽取1張（不放回），再從余下的3張中任意抽取1張，若抽得的2張卡片上的數字之

和為2的倍數則小明勝,若抽得的2張卡片上的數字之和為3的倍數則小亮勝.這個游戲對雙方公平嗎？

請說明理由.

考點02概率與統計的綜合應用

【典例2】近日，教育部發布《義務教育勞動課程標準（2022年版）》.2022年秋季開學起，勞動課將成

為中小學生的一門獨立課程.消息一出，引發了不少家長和老師的關注和熱議.某校為了解學生對“勞

動課”重視程度，隨機在校內調查了部分學生，調查結果分為“非常重視”“重視”“比較重視”“不

重視”四類，并將結果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統計圖：根據圖中信息，解答下列問題：

（1）在扇形統計圖中，“比較重視”所占的圓心角的度數為,并補全條形統計圖；

（2）該校共有學生2400人，請你估計該校對“勞動課”“非常重視”的學生人數；

（3）對“勞動課”“非常重視”的4人有一名男生，三名女生，若從中隨機抽取兩人作為“勞動教育宣

傳大使”，請利用樹狀圖或列表法，求出恰好抽到都是女生的概率.

【即學即練2】某中學為慶祝“世界讀書日”，響應“書香校園”的號召，開展了“閱讀伴我成長”的讀書

活動.為了解學生在此次活動中的讀書情況，從全校學生中隨機抽取一部分學生進行調查，將收集到的

數據整理并繪制成如圖所示不完整的折線統計圖和扇形統計圖.

（1）隨機抽取學生共名，2本所在扇形的圓心角度數是度，并補全折線統計圖;

（2）抽取的學生讀書數量的平均數。=—,中位數b=,眾數c=—；

（3）根據調查情況，學校決定在抽取的學生讀書數量為1本和4本的學生中任選兩名學生進行交流，請

用樹狀圖或列表法求這兩名學生讀書數量均為4本的概率.

fii分層提分

題組A基礎過關練

1.甲和乙一起做游戲，下列游戲規則對雙方公平的是（）

A.在一個裝有2個紅球和3個白球（每個球除顏色外都相同）的袋中任意摸出一球，摸到紅球甲獲勝,

摸到白球乙獲勝；

B.從標有號數1至IJ100的100張卡片中，隨意抽取一張，抽到號數為奇數甲獲勝，否則乙獲勝；

C.任意擲一枚質地均勻的骰子，擲出的點數小于4則甲獲勝，擲出的點數大于4則乙獲勝；

D.讓小球在如圖所示的地板上自由地滾動，并隨機地停在某塊方塊上，若小球停在黑色區域則甲獲勝,

若停在白色區域則乙獲勝

2.現有五張卡片依次寫有“一”“起”“向"“未"''來"五個字（五張卡片除字不同外，其他均相同），

把五張卡片背面向上洗勻后，從中抽取兩張，則抽到漢字恰好是“未”和“來”的概率是（）

A.2B.￡C.D.A

1020205

3.現有甲、乙兩個不透明的盒子，甲盒子里有4張卡片，分別寫著1,2,3,4；乙盒子里有3張卡片，分

別寫著1,2,3,這些卡片除數字外其他都相同，小麗從兩個盒子里各隨機取出一張卡片，則兩張卡片

上的數字相同的概率是（）

A.AB.Ac.2D.3

4234

4.在課后服務時間，甲乙兩班進行籃球比賽，在選擇比賽場地時，裁判員采用了同時拋擲枚完全相同硬幣

的方法：如果兩枚硬幣朝上的面不同，則甲班優先選擇場地；否則乙班優先選擇場地.這種選擇場地的

方法對兩個班級（填“公平”或“不公平”）.

5.某商場假日期間舉行有獎促銷活動，凡購買一定金額的商品可參與轉盤抽獎.如圖，轉盤分為“A”“2”

“C”四個區域，自由轉動轉盤，若指針落在字母“8”所在的區域內，則顧客中獎（轉到公共線

位置時重新轉動）.若某顧客轉動一次轉盤，則其中獎的概率為.

6.如圖，現有5張卡片，正面分別印有冬奧會體育項目簡筆畫，它們除圖案不同外其他完全相同，把這5

張卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取兩張，則這兩張卡片的正面恰好是“冰壺”和“速度滑冰”圖案的

概率是—.

7.學校舉辦了書法比賽.小明和小張都想參加，但現在只有一個名額.小明想出了一個辦法，他將一個轉

盤（質地均勻）平均分成6份，如圖所示.游戲規定：隨意轉動轉盤，若指針指到1,2,3中任一個數,

則小明去；若指針指到其它數，則小張去.這個游戲規定對雙方公平嗎？為什么？若不公平，請修改游

戲規定，使這個游戲對雙方公平.

8.“六一”兒童節期間，某商廈為了吸引顧客，設立了一個可以自由轉動的轉盤（轉盤被平均分成16份），

并規定：顧客每購買100元的商品，就能獲得一次轉動轉盤的機會.如果轉盤停止后，指針正好對準哪

個區域，顧客就可以獲得相應的獎品.

顏色獎品

紅色玩具熊

黃色童話書

綠色彩筆

無色無獎品

小明和媽媽購買了125元的商品，請你分析計算:

（1）小明獲得獎品的概率是多少？

（2）小明獲得童話書的概率是多少？

題組B能力提升練

9.有6張無差別的卡片，上面分別寫著1,2,3,4,5,6,隨機抽取1張后，放回并混在一起，再隨機抽

取1張，那么第二次取出的數字能夠整除第一次取出的數字的概率是（）

A.AB.J—C.2D.-L

318515

10.小林和小華在進行摸球游戲.在不透明的袋子里有4個分別標有數字1、2、3、4的小球，這些小球除

數字外完全一樣.小林先摸，將摸到的小球數字記為m,然后將小球放回.再由小華摸球，小華摸到的

小球數字記為加如果機，"滿足川W1,就稱小林、小華兩人''心有靈犀".則小林、小華兩人“心

有靈犀”的概率是（）

A.AB.3C.AD.包

4828

11.如圖，隨機閉合4個開關Si,S2,S3,S4中的兩個開關，能使電路接通的概率為（）

rL^-rL^-ri

s2s4

A.AB.Ac.2D.3

3234

12.如圖，兩個相同的可以自由轉動的轉盤A和3,轉盤A被三等分，分別標有數字2,0,-1；轉盤B

被四等分，分別標有數字3,2,-2,-3.如果同時轉動轉盤A,B,轉盤停止時，兩個指針指向轉盤A,

B上的對應數字分別為x,y（當指針指在兩個扇形的交線時，需重新轉動轉盤），那么點（尤，y）落在

直角坐標系第二象限的概率是—.

13.如圖，一個均勻的轉盤被平均分成8等份，分別標有“我”“驕”“傲”“我”“是”“中”“國”

“人”這8個漢字，轉動轉盤，當轉盤停止后，指針指向的漢字即為轉出的漢字.

（1）轉動轉盤，當轉盤停止時，指針指向“我”的概率是—，指針指向漢字的筆畫數是偶數的概率

是;

（2）小明和小華利用該轉盤做游戲，當轉出的漢字筆畫不小于8畫時小明獲勝，否則小華獲勝.請你判

斷這個游戲是否公平？并說明理由.

14.清新寧靜，福瑞祥和.某市因優美的人居環境而榮登國家級“幸福城市”榜單，2021年，該市城市空

氣質量位居全國168個城市前列.表1是氣象臺發布的該市2022年7月1日至7月10日空氣質量指數

（AQI）的預報情況.

日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日

空氣質量指數（AQ/）5348442930374457676

根據《環境空氣質量標準》（G83095-2012）,空氣質量指數（AQ/）的數值被劃分為六檔，如表2.

表2：

AQI0?5050?100100—150150?200200?300>300

空氣質量狀況優良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染

（1）在表1中，因變量隨著自變量的變化而變化；

（2）結合表2分析，該市2022年7月6日空氣質量狀況是；

（3）小王計劃從今年7月1日至10日中隨機選擇一天去該市旅游，求他到達該市當天空氣質量狀況是

“優”的概率.

15.暑假將至，某大賣場為回饋新老顧客，進行有獎促銷活動，活動規定：購買滿500元的商品就可以獲

得一次轉轉盤的機會（轉盤質地均勻，且被分為五個區域，分別是特等獎、一等獎、二等獎、三等獎、

不獲獎），轉盤指針停在哪個獲獎區域就可以得到該區域相應等級獎品一件，（如果指針恰好停在分割

線上，那么重轉一次，直到指針指向某一區域為止）.大賣場工作人員在制作轉盤時，將各扇形區域圓

心角分配如下表：

獎次特等獎一等獎二等獎三等獎不獲獎

圓心角10°30°80°120°120°

獎品山地車一輛雙肩包一個洗衣液一桶紙抽一盒無獎品

根據以上信息，解答下列問題：

（1）若某顧客購物300元，則他獲獎的概率為一；

（2）若甲顧客購物520元并參與活動，求他獲得雙肩包的概率；

（3）若乙顧客購物600元并參與活動，求他獲獎的概率.

題組C培優拔尖練

16.在聯歡會上，有A、B、C三名選手站在一個三角形的三個頂點的位置上，他們在玩搶凳子游戲，要求

在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應放的最適當的位置是在AABC

的（）

A.三邊中線的交點B.三邊垂直平分線的交點

C.三條角平分線的交點D.三邊上高的交點

17.《田忌賽馬》原文：忌數與齊諸公子馳逐重射.孫子見其馬足不甚相遠，馬有上、中、下輩.于是孫

子謂田忌日：“君弟重射，臣能令君勝."田忌信然之，與王及諸公子逐射千金.及臨質，孫子曰：“今

以君之下駟與彼上駟，取君上駟與彼中駟，取君中駟與彼下駟.”既馳三輩畢，而田忌一不勝而再勝，

卒得王千金.

小建同學用數學模型來分析:齊王與田忌的上中下三個等級的三匹馬的戰斗力分別用數字標記如下表.每

匹馬只賽一場，兩數相比，大數為勝，三場兩勝則贏.若齊王的三匹馬和田忌的三匹馬都隨機出場，則

田忌能贏得比賽的概率為（）

馬匹等級下等馬中等馬上等馬

齊王6810

田忌579

A.1B.AC.1D.-1

2346

18.如圖，有8張標記數字1-8的卡片.甲、乙兩人玩一個游戲，規則是：甲、乙兩人輪流從中取走卡片；

每次可以取1張，也可以取2張，還可以取3張卡片（取2張或3張卡片時，卡片上標記的數字必須連

續）；最后一個將卡片取完的人獲勝.

12345678

若甲先取走標記2,3的卡片，乙又取走標記7,8的卡片，接著甲取走兩張卡片，則（填“甲”

或“乙”）一定獲勝；若甲首次取走標記數字1,2,3的卡片，乙要保證一定獲勝，則乙首次取卡片的

方案是.（只填一種方案即可）

19.如圖，小明和小春制作了兩個質地均勻、可以自由轉動的轉盤，A盤被等分為四個扇形，上面分別標有

數字1,2,4,5；8盤中圓心角為120°的扇形上面標有數字3,其余部分上面標有數字4.

（1）小明轉動一次A盤，求指針指向數字為2的概率；

（2）小明和小春用如圖所示的兩個轉盤做游戲，游戲規則如下：分別旋轉兩個轉盤，將A盤轉出的數字

作為被減數，B盤轉出的數字作為減數；如果差為負數則小春勝；若差為正數，則小明勝.這個游戲對

雙方公平嗎？如果不公平，說明理由，并請設計一個公平的規則.

AH6^

A盤B盤

20.某可樂公司利用周末搞促銷活動：每購買一瓶可樂，便可參加搖獎一次,搖獎牌是平均分成8個扇形

的轉盤，如圖所示.

（1）中獎的概率是多少？

(2)中獎得4瓶可樂的概率是多少？

(3)如果促銷活動當天能賣出可樂1000瓶，那么該促銷點當天應準備獎品可樂多少瓶？

(4)已知一瓶可樂的成本是1元，售價是2元，攤位費每天100元，在周末兩天的促銷活動中，每天能

賣出可樂1000瓶，公司是賠錢還是賺錢？金額是多少？

第9課概率的簡單應用

號目標導航

學習目標

1.體驗概率計算在生產、生活和科學研究中的廣泛應用.

2.能用初步的概率知識解決如中獎預測、人壽保險等方面的問題.

琬知識精講

知識點01用概率判斷游戲的公平性

游戲是否公平的關鍵在于參加游戲的人獲勝的概率是否相等.修改游戲規則是指修改規

則的制定，而不是修改整個活動方案.

知識點02概率與統計的綜合應用

解決統計圖表與概率的綜合應用問題的關鍵在于熟練處理統計圖表中的信息，靈活運用公

式來求概率.

能力拓展

考點01~~用概率判斷游戲的公平性

【典例1】如圖是小麗設計可自由的均勻轉盤，將其等分為12個扇形，每個扇形有1個有

理數，轉得下列各數的概率是多少？

（1）轉得非負數的概率是多少？

（2）轉得整數的概率是多少？

（3）若小麗和媽媽做游戲，轉得負整數小麗獲勝；若轉得的數絕對值大于等于8媽媽獲

勝，這個游戲公平嗎？請說明理由.

【思路點撥】（1）由轉盤中有12個數，其中非負數為：0,15,8,11,6,5,2,這7

3

個，根據概率公式求解即可；

（2）由轉盤中有12個數，其中整數為：-1,0,15,-17,8,11,6,-10,5,這9

個，根據概率公式求解即可；

（3）根據概率公式分別計算出小麗和媽媽銳獲勝的概率，比較是否相等即可得出答案.

【解析】解：（1）由題意可知，轉盤中有12個數，其中非負數為：0,15,8,11,6,

5,2,這7個，

3

所以轉得非負數的概率為二.

12

（2）由題意可知，轉盤中有12個數，其中整數為：-1,0,15,-17,8,11,6,-

10,5,這9個，

所以轉得整數的概率為2=3.

124

（3）由題意可知，轉盤中有12個數，其中負整數為：-1,-17,-10,這3個，轉得

負整數的概率為5-=工，故小麗獲勝的概率為：.1;

1244

這12個數中轉得的數絕對值大于等于8為：15,-17,8,11,-10,這5個，轉得絕

對值大于等于8的數的概率為巨，故媽媽獲勝的概率為：區；

1212

因為工

412

故這個游戲不公平.

【點睛】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計算每個人取勝的概率,

概率相等就公平，否則就不公平.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

【即學即練1】小明和小亮做游戲，規則如下：將正面分別寫有數字1,2,3,4的4張卡

片背面朝上，洗勻.先從中任意抽取1張（不放回），再從余下的3張中任意抽取1張,

若抽得的2張卡片上的數字之和為2的倍數則小明勝，若抽得的2張卡片上的數字之和

為3的倍數則小亮勝.這個游戲對雙方公平嗎？請說明理由.

【思路點撥】這個游戲對雙方公平，理由為：列表得出所有等可能的情況數，分別找出

抽得2張卡片上的數字之和為2的倍數和抽得2張卡片上的數字之和為3的倍數的情況

數，求出小明與小亮獲勝的概率，判斷即可.

【解析】解：這個游戲對雙方公平，理由為：

根據題意列表如下：

1234

1(1,2)之和3(1,3)之和4(1,4)之和5

---

2(2,1)之和3(2,3)之和5(2,4)之和6

---

3(3,1)之和4(3,2)之和5(3,4)之和7

----

4(4,1)之和5(4,2)之和6(4,3)之和7

---

所有等可能的情況有12種，其中抽得2張卡片上的數字之和為2的倍數有4種，抽得2

張卡片之和是3的倍數有4種，

：.p（小明獲勝）=P（小亮獲勝）

123

則這個游戲對雙方公平.

【點睛】此題考查了游戲的公平性，以及列表法與樹狀圖法，判斷游戲公平性就要計算

每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平.用到的知識點為：概率=所求情況

數與總情況數之比.

考點02概率與統計的綜合應用

【典例2］近日，教育部發布《義務教育勞動課程標準（2022年版）》.2022年秋季開學

起，勞動課將成為中小學生的一門獨立課程.消息一出，引發了不少家長和老師的關注

和熱議.某校為了解學生對“勞動課”重視程度，隨機在校內調查了部分學生，調查結

果分為“非常重視”“重視”“比較重視”“不重視”四類，并將結果繪制成如圖所示

的兩幅不完整的統計圖：根據圖中信息，解答下列問題：

（1）在扇形統計圖中,“比較重視”所占的圓心角的度數為162。，并補全條形統

計圖；

（2）該校共有學生2400人，請你估計該校對“勞動課”“非常重視”的學生人數；

（3）對“勞動課”“非常重視”的4人有一名男生，三名女生，若從中隨機抽取兩人作

為“勞動教育宣傳大使”，請利用樹狀圖或列表法，求出恰好抽到都是女生的概率.

【思路點撥】(1)先計算出調查的總人數，再用360°乘以樣本中“比較重視”的人數

所占的百分比得到“比較重視”所占的圓心角的度數，然后計算出“重視”的人數后補

全條形統計圖；

(2)畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果，再找出兩名都是女生的結果數，然后根據

概率公式求解.

【解析】解:(1)調查的總人數為：16+20%=80(人)，

所以在扇形統計圖中，“比較重視”所占的圓心角的度數為360。義選=162。，

80

“重視”的人數為80X30%=24(人)，

補全條形統計圖為:

重視重視

故答案為：162°；

(2)2400X-￡=120(人)，

80

所以估計該校對“勞動課”“非常重視”的學生人數為120人;

(3)畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結果，其中抽到都是女生的結果數為6,

所以恰好抽到都是女生的概率=旦=

122

【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法:利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結果求出",

再從中選出符合事件A或8的結果數目m,然后利用概率公式求出事件A或8的概率.也

考查了統計圖.

【即學即練2】某中學為慶祝“世界讀書日”，響應“書香校園”的號召，開展了“閱讀伴

我成長”的讀書活動.為了解學生在此次活動中的讀書情況，從全校學生中隨機抽取一

部分學生進行調查，將收集到的數據整理并繪制成如圖所示不完整的折線統計圖和扇形

統計圖.

(1)隨機抽取學生共50名,2本所在扇形的圓心角度數是216度,并補全折線

統計圖；

(2)抽取的學生讀書數量的平均數。=2.36,中位數》=」,眾數c=2；

(3)根據調查情況，學校決定在抽取的學生讀書數量為1本和4本的學生中任選兩名學

生進行交流，請用樹狀圖或列表法求這兩名學生讀書數量均為4本的概率.

【思路點撥】(1)用讀書數量為3本的人數除以它所占的百分比得到調查的總人數；用

360°乘以讀書數量為2本的人數的所占的百分比得到2本所在扇形的圓心角度數；然后

計算出讀書數量為2本的人數后補全折線統計圖；

(2)根據平均數的計算公式和中位數、眾數的定義即可得出答案；

(3)畫樹狀圖(用1、4分別表示讀書數量為1本和4本的學生)展示所有12種等可能

的結果數，找出這兩名學生讀書數量均為4本的結果數，然后根據概率公式求解.

【解析】解:(1)隨機抽取的學生人數有：16?32%=50(名)，

所以隨機抽取學生共50名，

2本所在扇形的圓心角度數=360°X30=216°；

50

4本的人數為50-2-16-30=2(人)，

(2)抽取的學生讀書數量的平均數。=2><1+30X2+16X3+2X4=2.36,

?.?共有50名學生，中位數是第25、26個數的平均數,

中位數b=2!Z=2,

2

眾數c=2；

故答案為：2.36,2,2；

（3）畫樹狀圖為：（用1、4分別表示讀書數量為1本和4本的學生），

共有12種等可能的結果數，其中這兩名學生讀書數量均為4本的結果數為2,

所以這兩名學生讀書數量均為4本的概率=2=工.

126

【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法:利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果",

再從中選出符合事件A或B的結果數目m,然后利用概率公式計算事件A或事件B的概

率.也考查了統計圖.

M分層提分

題組A基礎過關練

1.甲和乙一起做游戲，下列游戲規則對雙方公平的是（）

A.在一個裝有2個紅球和3個白球（每個球除顏色外都相同）的袋中任意摸出一球，摸

到紅球甲獲勝，摸到白球乙獲勝；

B.從標有號數1到100的100張卡片中，隨意抽取一張，抽到號數為奇數甲獲勝，否則

乙獲勝；

C.任意擲一枚質地均勻的骰子，擲出的點數小于4則甲獲勝，擲出的點數大于4則乙獲

勝；

D.讓小球在如圖所示的地板上自由地滾動，并隨機地停在某塊方塊上，若小球停在黑色

區域則甲獲勝，若停在白色區域則乙獲勝

【思路點撥】根據概率公式分別計算出A、&C選項中甲獲勝和乙獲勝的概率，利用幾

何概率的計算方法計算出D選項中甲獲勝和乙獲勝的概率，然后比較兩概率的大小判斷

游戲的公平性.

【解析】解：A、甲獲勝的概率=2,乙獲勝的概率=3,而所以游戲規則對雙

5555

方不公平，所以A選項錯誤；

B、甲獲勝的概率=為=工，乙獲勝的概率=&_=工，所以游戲規則對雙方公平，所

10021002

以B選項正確；

c、甲獲勝的概率=3=工，乙獲勝的概率=2=工，而工＞工，所以游戲規則對雙方不

626323

公平，所以C選項錯誤；

D、甲獲勝的概率=2,乙獲勝的概率=5,而所以游戲規則對雙方不公平，所

9999

以。選項錯誤.

故選：B.

【點睛】本題考查了游戲的公平性：判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后

比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平.

2.現有五張卡片依次寫有“一”“起”“向”“未”“來”五個字（五張卡片除字不同外，

其他均相同），把五張卡片背面向上洗勻后，從中抽取兩張，則抽到漢字恰好是“未”

和“來”的概率是（）

A.-LB.2c.-LD.A

1020205

【思路點撥】畫樹狀圖，共有20種等可能的結果，其中抽到漢字恰好是“未”和“來”的

結果有2種，再由概率公式求解即可.

【解析】解：畫樹狀圖如下：

共有20種等可能的結果，其中抽到漢字恰好是“未”和“來”的結果有2種，

抽到漢字恰好是“未”和“來”的概率為2=。，

2010

故選：A.

【點睛】此題考查的是用樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能

的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情

況數之比.

3.現有甲、乙兩個不透明的盒子，甲盒子里有4張卡片，分別寫著1,2,3,4；乙盒子里

有3張卡片，分別寫著1,2,3,這些卡片除數字外其他都相同，小麗從兩個盒子里各隨

機取出一張卡片，則兩張卡片上的數字相同的概率是（）

A.AB.AC.2D.3

4234

【思路點撥】列表得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式

求解即可.

【解析】解：列表如下：

1|2|34

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)

由表可知，共有12種等可能結果，其中兩張卡片上的數字相同的有3種結果,

所以兩張卡片上的數字相同的概率為避-=1，

124

故選：A.

【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況

數之比.

4.在課后服務時間，甲乙兩班進行籃球比賽，在選擇比賽場地時，裁判員采用了同時拋擲

枚完全相同硬幣的方法：如果兩枚硬幣朝上的面不同，則甲班優先選擇場地；否則乙班

優先選擇場地.這種選擇場地的方法對兩個班級公平（填“公平”或“不公平”）.

【思路點撥】根據概率公式先求出甲班優先選擇場地概率和乙班優先選擇場地概率，然

后進行比較，即可得出答案.

【解析】解:列表:

正反

正正，正正，反

反反，正反，反

共有4種等可能事件，其中兩枚硬幣朝上的面不同的有2種，

則甲班優先選擇場地的概率是2=工，乙班優先選擇場地概率也是工，

422

所以這種選擇場地的方法對兩個班級公平；

故答案為：公平.

【點睛】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，

概率相等就公平，否則就不公平.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

5.某商場假日期間舉行有獎促銷活動，凡購買一定金額的商品可參與轉盤抽獎.如圖，轉

盤分為“A”“8”“C”四個區域，自由轉動轉盤，若指針落在字母“8”所在的

區域內，則顧客中獎（轉到公共線位置時重新轉動）.若某顧客轉動一次轉盤，則其中

獎的概率為11.

-36―

【思路點撥】先根據四個區域的圓心角度數之和為360°求出字母“2”所在區域的圓心

角度數，再除以360。即可得出答案.

【解析】解：由圖可知，字母“B”所在區域的圓心角度數為360°-（60°+100°+90

°）=110°,

指針落在字母"B”所在的區域內的概率為衛9』，

36036

即中獎概率為旦.

36

故答案為：11.

36

【點睛】本題考查概率公式，注意：隨機事件A的概率PG4）=事件A可能出現的結果

數小所有可能出現的結果數.

6.如圖，現有5張卡片，正面分別印有冬奧會體育項目簡筆畫，它們除圖案不同外其他完

全相同，把這5張卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取兩張，則這兩張卡片的正面恰好是

“冰壺”和“速度滑冰”圖案的概率是.X

-10-

高山滑雪速度滑冰冰球單板滑雪冰壺

【思路點撥】畫樹狀圖（用1、2、3、4、5分別表示高山滑雪、速度滑冰、冰球、單板

滑雪、冰壺）展示所有20種等可能的結果，再找出這兩張卡片的正面恰好是“冰壺”和

“速度滑冰”圖案的結果數，然后根據概率公式計算.

【解析】解：畫樹狀圖為：（用1、2、3、4、5分別表示高山滑雪、速度滑冰、冰球、

單板滑雪、冰壺）

共有20種等可能的結果，其中這兩張卡片的正面恰好是“冰壺”和“速度滑冰”圖案的

結果數為2,

所以這兩張卡片的正面恰好是“冰壺”和“速度滑冰”圖案的概率=2=_L.

2010

故答案為：J_.

10

【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法:利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結果求出小

再從中選出符合事件A或B的結果數目m,然后利用概率公式求出事件A或8的概率.

7.學校舉辦了書法比賽.小明和小張都想參加，但現在只有一個名額.小明想出了一個辦

法，他將一個轉盤（質地均勻）平均分成6份，如圖所示.游戲規定：隨意轉動轉盤，

若指針指到1,2,3中任一個數，則小明去；若指針指到其它數，則小張去.這個游戲

規定對雙方公平嗎？為什么？若不公平，請修改游戲規定，使這個游戲對雙方公平.

【思路點撥】根據概率公式求出小明去和小張去的概率，再進行比較，即可得出這個游

戲不公平，然后將轉盤中的3改成5,使這個游戲變得公平.

【解析】解：這個游戲不公平，理由如下：

?..小明去的概率=2=2,小張去的概率=2=工，

6363

,33

小明去的可能性大，

這個游戲不公平，

將轉盤中的數字可這樣修改，將其中的一個3改成5,

則小明去的概率=3=工，小張去的概率=3=1,

6262

小明去的概率=小張去的概率，

???游戲就公平了.

【點睛】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，

概率相等就公平，否則就不公平.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

8.“六一”兒童節期間，某商廈為了吸引顧客，設立了一個可以自由轉動的轉盤（轉盤被

平均分成16份），并規定：顧客每購買100元的商品，就能獲得一次轉動轉盤的機會.如

果轉盤停止后，指針正好對準哪個區域，顧客就可以獲得相應的獎品.

陋頁色獎品

紅色玩具熊

Mfe童話書

綠色彩筆

無色無獎品

小明和媽媽購買了125元的商品，請你分析計算:

（1）小明獲得獎品的概率是多少？

（2）小明獲得童話書的概率是多少？

【思路點撥】（1）看有顏色部分的面積占總面積的多少即為所求的概率.

（2）看黃色部分的面積占總面積的多少即為所求的概率.

【解析】解：（1）二.轉盤被平均分成16份，其中有顏色部分占6份，

，小明獲得獎品的概率=g=旦.

168

（2）..?轉盤被平均分成16份，其中黃色部分占2份，

，小明獲得童話書的概率=2=工.

168

【點睛】本題將概率的求解設置于轉動轉盤游戲中，考查學生對簡單幾何概率的掌握情

況，既避免了單純依靠公式機械計算的做法，又體現了數學知識在現實生活、甚至娛樂

中的運用，體現了數學學科的基礎性.用到的知識點為：概率=相應的面積與總面積之

比.

題組B能力提升練

9.有6張無差別的卡片，上面分別寫著1,2,3,4,5,6,隨機抽取1張后，放回并混在

一起，再隨機抽取1張，那么第二次取出的數字能夠整除第一次取出的數字的概率是

（）

A.AB.J-C.2D..A.

318515

【思路點撥】列舉出所有情況，看第二次取出的數字能夠整除第一次取出的數字的情況

數占總情況數的多少即可.

【解析】解：如圖所示：

123456123456123456123456123456123456

共有36種等可能情況，第二次取出的數字能夠整除第一次取出的數字的情況數有14種，

所以第二次取出的數字能夠整除第一次取出的數字的概率是」居=工，

3618

故選：B.

【點睛】考查概率的求法及列表法與樹狀圖法；用到的知識點為：概率=所求情況數與

總情況數之比.得到第二次取出的數字能夠整除第一次取出的數字的情況數是解決本題

的關鍵.

10.小林和小華在進行摸球游戲.在不透明的袋子里有4個分別標有數字1、2、3、4的小

球，這些小球除數字外完全一樣.小林先摸，將摸到的小球數字記為m,然后將小球放

回.再由小華摸球，小華摸到的小球數字記為〃.如果加，〃滿足川W1,就稱小林、

小華兩人“心有靈犀”.則小林、小華兩人“心有靈犀”的概率是（）

A.AB.3C.AD.在

4828

【思路點撥】根據題意，可以畫出相應的樹狀圖，然后即可求出小林、小華兩人“心有

靈犀”的概率.

【解析】解：樹狀圖如下所示，

由上可得，一共有16種可能性，其中依-川W1的可能性有10種，

小林、小華兩人“心有靈犀”的概率是兇=5,

168

故選：D.

【點睛】本題考查列表法與樹狀圖法，解答本題的關鍵是明確題意，畫出相應的樹狀圖.

11.如圖，隨機閉合4個開關Si,S2,S3,S4中的兩個開關，能使電路接通的概率為（）

A.AB.Ac.2D.3

3234

【思路點撥】Si、S2、S3、S4分別用1、2、3、4表示，畫樹狀圖得出所有等可能結果,

從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式求解即可.

【解析】解：51、52、S3、S4分別用1、2、3、4表示，

畫樹狀圖得：

???共有12種等可能的結果，能使電路接通的有8種結果,

，能使電路接通的概率為且=2,

123

故選：C.

【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復

不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上

完成的事件；注意概率=所求情況數與總情況數之比.

12.如圖，兩個相同的可以自由轉動的轉盤A和8,轉盤A被三等分，分別標有數字2,0,

-1;轉盤B被四等分，分別標有數字3,2,-2,-3.如果同時轉動轉盤A,B,轉盤

停止時，兩個指針指向轉盤A,8上的對應數字分別為x,y（當指針指在兩個扇形的交

線時，需重新轉動轉盤），那么點y）落在直角坐標系第二象限的概率是1.

-6-

AB

【思路點撥】列表得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式

求解即可.

【解析】解：列表如下：

20-1

3(2,3)(0,3)(-1,3)

2(2,2)(0,2)(-1,2)

-2(2,-2)(0,-2)(-1,-2)

-3(2,-3)(0,-3)(-1,-3)

由表可知，共有12種等可能，其中點（x,y）落在直角坐標系第二象限的有2種,

所以點（x,y）落在直角坐標系第二象限的概率是2=工，

126

故答案為：1.

6

【點睛】本題主要考查列表法與樹狀圖法，列舉法（樹形圖法）求概率的關鍵在于列舉

出所有可能的結果，列表法是一種，但當一個事件涉及三個或更多元素時，為不重不漏

地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖.

13.如圖，一個均勻的轉盤被平均分成8等份，分別標有“我”“驕”“傲”“我”“是”

“中”“國”“人”這8個漢字，轉動轉盤，當轉盤停止后，指針指向的漢字即為轉出

的漢字.

（1）轉動轉盤，當轉盤停止時，指針指向“我”的概率是1,指針指向漢字的筆

—4―

畫數是偶數的概率是1；

一2一

（2）小明和小華利用該轉盤做游戲，當轉出的漢字筆畫不