專題01數(shù)與式

易錯(cuò)點(diǎn)1:分母有理化

易錯(cuò)點(diǎn)2:分式新定義

分式與二次根式易錯(cuò)點(diǎn)3:分式中的倒數(shù)

易錯(cuò)點(diǎn)4:根式有理化

易錯(cuò)點(diǎn)5:復(fù)合二次根式

有理數(shù)專題

易錯(cuò)點(diǎn):

1.混淆有理數(shù)和無(wú)理數(shù)：學(xué)生可能難以區(qū)分有理數(shù)和無(wú)理數(shù)。例如，無(wú)法正確識(shí)別無(wú)

限不循環(huán)小數(shù)(如m和J2)為無(wú)理數(shù)。

2.運(yùn)算錯(cuò)誤：在進(jìn)行有理數(shù)的加、減、乘、除等運(yùn)算時(shí)，學(xué)生可能會(huì)犯錯(cuò)誤，如忽視

運(yùn)算順序、運(yùn)算符號(hào)錯(cuò)誤或處理復(fù)雜表達(dá)式時(shí)出錯(cuò)。

3.對(duì)絕對(duì)值理解不足：學(xué)生可能對(duì)絕對(duì)值的定義和性質(zhì)理解不足，例如將負(fù)數(shù)的絕對(duì)

值理解為負(fù)數(shù)，或在處理涉及絕對(duì)值的復(fù)雜問(wèn)題時(shí)出錯(cuò)。

4.對(duì)分?jǐn)?shù)運(yùn)算不熟悉：學(xué)生可能對(duì)分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除等運(yùn)算不太熟悉，導(dǎo)致在處

理涉及分?jǐn)?shù)的問(wèn)題時(shí)出錯(cuò)。

5.對(duì)數(shù)軸理解有誤：數(shù)軸是有理數(shù)的重要表示工具，但學(xué)生可能無(wú)法正確理解和使用

數(shù)軸，如無(wú)法正確標(biāo)記有理數(shù)、無(wú)法理解數(shù)軸上的相對(duì)位置關(guān)系等。

6.對(duì)有理數(shù)的混合運(yùn)算順序不熟悉：在進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，學(xué)生可能不清楚運(yùn)

算的優(yōu)先級(jí)，導(dǎo)致運(yùn)算順序錯(cuò)誤。

7.忽視未知數(shù)的取值范圍：在進(jìn)行有理數(shù)的函數(shù)運(yùn)算時(shí)，學(xué)生可能忽視位置上的取值

范圍的重要性，導(dǎo)致答案不準(zhǔn)確。

8.對(duì)概念理解不足：學(xué)生可能對(duì)有理數(shù)的某些概念理解不足，例如不清楚什么是整數(shù)、

什么是負(fù)數(shù)等。

易錯(cuò)點(diǎn)1：絕對(duì)值化簡(jiǎn)

例：若有理數(shù)°、6、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則卜+"+上一4=()

[I[]?

caob

A.bcB.—b—cC.—2。—bcD.b—c

變式1：如果。，6都是有理數(shù)(MwO),那么回+工=—.

x,x>0

變式2：閱讀下列材料：國(guó)=0,尤=0，即當(dāng)x>0時(shí)，忖=±=1,當(dāng)'<0時(shí)，忖=三=一1,

?XXXX

-x,x<0

運(yùn)用以上結(jié)論解決下面問(wèn)題：

(1)已知加，兒是有理數(shù)，當(dāng)加〃〉0時(shí)，則回一@=；

mn

(2)已知/w,”，才是有理數(shù)，當(dāng)？w"<0時(shí)，求㈣■-?-也■的值；

mnt

(3)已知機(jī)，"，/是有理數(shù)，m+〃+f=0,且機(jī)〃f<0,求上^----@-----—的值.

n+tm+tm+n

易錯(cuò)點(diǎn)2：絕對(duì)值最值

例：式子|x-2|+|x—4|+|x-6|+|x—8|的最小值是()

A.2B.4C.6D.8

變式1：當(dāng)*=時(shí),|x—l|+|x+2|+|x—3]+|X+4|H----bk+l()O|+|x—1。11的值最小,

最小值為.

變式2：學(xué)習(xí)“一次函數(shù)”時(shí)，我們從“數(shù)”和“形”兩方面研究一次函數(shù)的性質(zhì)，并積累了

一些經(jīng)驗(yàn)和方法.小聰同學(xué)嘗試運(yùn)用積累的經(jīng)驗(yàn)和方法對(duì)函數(shù)了=舊-1|-3的圖象與性

質(zhì)進(jìn)行探究，下面是小聰同學(xué)的探究過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整.

⑴列表:

X2101234

y012a2b0

則",b=____

(2)描點(diǎn)并畫(huà)出該函數(shù)的圖象;

(3)①判斷：函數(shù)了=卜-1|-3的圖象(填“是”或“不是”)軸對(duì)稱圖形;

②觀察函數(shù)圖象，當(dāng)-3“<-1時(shí)，x的取值范圍是.

③觀察函數(shù)圖象，試判斷函數(shù)V=|xT|-3是否存在最小值？若存在，直接寫(xiě)出最小值.

易錯(cuò)點(diǎn)3：絕對(duì)值方程

例：若同=2機(jī)+6,則僅2+4優(yōu)的值為()

A.12B.-4C.5D.-3

變式1：已知：?jiǎn)?3,例=2,且卜+可<同+網(wǎng)，則0+6=

變式2：“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，它可以把抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的幾

何圖形結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題.

探究：方程卜-1|=2,可以用兩種方法求解，將探究過(guò)程補(bǔ)充完整.

方法一、當(dāng)x-l>0時(shí)，|x-l|=x-l=2；

當(dāng)x-lVO時(shí)，

|x-l|==2.

方法二、卜-1|=2的意義是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與表示的點(diǎn)之間的距離是2.

-3-2-10123

上述兩種方法，都可以求得方程卜-1|=2的解是.

應(yīng)用：根據(jù)探究中的方法，求得方程|xT|+|x+3|=9的解是.

拓展：方程卜_1|_卜》一3|=；的解是.

易錯(cuò)點(diǎn)4：數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)

例：如圖1,圓的周長(zhǎng)為4個(gè)單位.在該圓的4等分點(diǎn)處分別標(biāo)上字母/、n、p、q.如

圖2,先將圓周上表示p的點(diǎn)與數(shù)軸原點(diǎn)重合，然后將該圓沿著數(shù)軸的負(fù)方向滾動(dòng)，則

數(shù)軸上表示-2024的點(diǎn)與圓周上重合的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的字母是（）

A.mB.nC.pD.q

變式1：如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形/BCD的邊在數(shù)軸上，數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為

-4.將正方形/BCD在數(shù)軸上水平移動(dòng)，移動(dòng)后的正方形記為43'C'D',點(diǎn)A、3、C、

。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為H、B',C、點(diǎn)E是線段44,的中點(diǎn)，當(dāng)△BED面積為15時(shí),

點(diǎn)/表示的數(shù)為.

DC

AB01

變式2：【背景知識(shí)】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地

結(jié)合.研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點(diǎn)/、點(diǎn)3表示的數(shù)分別為0、

b,則4,2兩點(diǎn)之間的距離/3=|。-耳，線段N8的中點(diǎn)表示的數(shù)為審.

【問(wèn)題情境】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)/表示的數(shù)為-3,點(diǎn)8表示的數(shù)為7,點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā),

以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)2出發(fā)，以每秒3個(gè)

單位長(zhǎng)度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng).

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒G>0).

【綜合運(yùn)用】

ABAB

I1_____________________________________I1_____________________________________

-307-307

備用圖

(1)填空：

①/、3兩點(diǎn)間的距離48=,線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為；

②用含f的代數(shù)式表示：/秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為_(kāi)_____；點(diǎn)。表示的數(shù)為.

⑵求當(dāng)，為何值時(shí)，尸、0兩點(diǎn)相遇，并寫(xiě)出相遇點(diǎn)所表示的數(shù)；

⑶求當(dāng)/為何值時(shí)，PQ=^AB；

(4)若點(diǎn)"為尸N的中點(diǎn)，點(diǎn)N為的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度是否

發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出線段的長(zhǎng).

易錯(cuò)點(diǎn)5：數(shù)軸新定義

例：已知數(shù)軸上兩點(diǎn)/,2對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為-2,4,點(diǎn)尸為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)

為Xp.

AOB

―?-1---1--1--1-1--1--1--1--1--1~>

-5-4-3-2-1012345

(1)若點(diǎn)尸為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)與=；

(2)點(diǎn)P在移動(dòng)的過(guò)程中，其到點(diǎn)/、點(diǎn)8的距離之和為10,求此時(shí)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)%的

值;

(3)對(duì)于數(shù)軸上的三點(diǎn)，給出如下定義：若當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)與其他兩個(gè)點(diǎn)的距離恰好滿足2

倍關(guān)系時(shí)，則稱該點(diǎn)是其他兩個(gè)點(diǎn)的“友好點(diǎn)”.如圖，原點(diǎn)。是點(diǎn)4,2的友好點(diǎn).現(xiàn)

在，點(diǎn)/、點(diǎn)3分別以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)，同

時(shí)點(diǎn)尸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從表示數(shù)5的點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng).設(shè)出發(fā)，秒后，點(diǎn)尸恰好

是點(diǎn)4,8的“友好點(diǎn)”,求此時(shí)的f值.

變式1：【定義新知】在數(shù)軸上點(diǎn)”和點(diǎn)N表示的數(shù)為〃?、"，則可以用絕對(duì)值表示點(diǎn)

M和點(diǎn)N之間的距離d(M,N),即

【初步應(yīng)用】

(1)在數(shù)軸上，點(diǎn)/、B、C分別表示的數(shù)為-2、1、x,解答下列問(wèn)題：

①d(A,B)=；

②若dQ,C)=2,則x的值為；

③若d(4C)+d(2,C)=d(48),且x為負(fù)整數(shù)，則x的值為.

【綜合應(yīng)用】

(2)在數(shù)軸上，點(diǎn)。、E、尸分別表示數(shù)-3、5、12,動(dòng)點(diǎn)尸沿?cái)?shù)軸以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)

度從點(diǎn)。開(kāi)始向點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)，到達(dá)尸點(diǎn)后立刻原速返回到。點(diǎn)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。沿?cái)?shù)軸以

每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度從點(diǎn)￡開(kāi)始向點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)，到達(dá)廠點(diǎn)后停止.設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f

秒，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若4(尸,。)=：/(。,￡),求:的值.

O

變式2：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P,點(diǎn)河給出如下定義：如果點(diǎn)P與原點(diǎn)O

的距離為。，點(diǎn)W與點(diǎn)尸的距離是。的左倍(后為整數(shù))，那么稱點(diǎn)W為點(diǎn)尸的“左倍關(guān)

⑴當(dāng)月(-1.5,0)時(shí),

①如果點(diǎn)月的3倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)M在x軸上，那么點(diǎn)W的坐標(biāo)為_(kāi)_______.

②如果點(diǎn)M（x,y）是點(diǎn)月的左倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)，且滿足尤=-1.5,-20W4,那么整數(shù)上的最大

值為_(kāi)_______.

（2）已知在Rt^4BC中,ZABC=90°,ZACB=3O°,A（b,O）,B（b+l,O）.若巴（-1,0）,且

在“3C的邊上存在點(diǎn)鳥(niǎo)的2倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)。，求6的取值范圍.

實(shí)數(shù)專題

易錯(cuò)點(diǎn)：

I.混淆有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的概念：

有理數(shù)是可以表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，而無(wú)理數(shù)則無(wú)法表示為有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)

小數(shù)。

2.混淆實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：

（1）實(shí)數(shù)具有加法、減法、乘法和除法的運(yùn)算性質(zhì)，例如結(jié)合律、交換律等。

（2）容易忽視實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，導(dǎo)致在運(yùn)算中出現(xiàn)錯(cuò)誤。

3.對(duì)絕對(duì)值的理解不足：

（1）絕對(duì)值表示一個(gè)數(shù)距離0的距離，正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的

相反數(shù)。

（2）容易忽略絕對(duì)值的定義，導(dǎo)致在處理絕對(duì)值時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

4.對(duì)平方根的理解不足：

（1）平方根是一個(gè)數(shù)的非負(fù)值，即正平方根和零的平方根。

（2）容易忽略平方根的定義，導(dǎo)致在處理平方根時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

5.對(duì)無(wú)理數(shù)近似表示的誤解：

（1）無(wú)理數(shù)可以用有理數(shù)進(jìn)行近似表示，例如“可以使用分?jǐn)?shù)進(jìn)行近似表示。

（2）容易將無(wú)理數(shù)的近似表示誤認(rèn)為是無(wú)理數(shù)的準(zhǔn)確值，導(dǎo)致在計(jì)算中出現(xiàn)錯(cuò)誤。

6.對(duì)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系理解不足：

（1）實(shí)數(shù)的大小關(guān)系可以通過(guò)數(shù)軸來(lái)表示，正數(shù)大于0,負(fù)數(shù)小于0,正數(shù)大于一切

負(fù)數(shù)。

(2)容易忽略實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，導(dǎo)致在比較實(shí)數(shù)大小時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

易錯(cuò)點(diǎn)1：算術(shù)平方根與立方根的規(guī)律

例：已知：VK6=4.858,而％=1.536,則J0.00236=()

A.0.1536B.15.36C.0.04858D.48.58

變式1：小明用計(jì)算器求了一些正數(shù)的平方，記錄如下表.

X1515.115.215.315.415.515.615.715.815.916

X2225228.01231.04234.09237.16240.25243.36246.49249.64252.81256

下面有四個(gè)推斷:

①(2.2801=1.51

②一定有3個(gè)整數(shù)的算術(shù)平方根在15.5?15.6之間

③對(duì)于小于15的兩個(gè)正數(shù)，若它們的差等于0.1,則它們的平方的差小于3.01

④16.22比16.『大3.23

所有合理推斷的序號(hào)是.

變式2：愛(ài)學(xué)習(xí)愛(ài)思考的小明，在家利用計(jì)算器計(jì)算得到下列數(shù)據(jù)：

V0.0324,0.324V324V324V324V3240,32400

0.180.5691.85.691856.9180

(1)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是被開(kāi)方數(shù)擴(kuò)大100倍，它的算術(shù)平方根擴(kuò)大」

⑵已知百。1.732(精確到0.001),并用上述規(guī)律直接寫(xiě)出各式的值：Vo^3

V300

(3)已知V10404=102,4=102,6=1020,則x=_,y=_.

(4)類似小明的探究，把表中所有平方根換成立方根，你能根據(jù)3。1.442,直接說(shuō)出

V300和W3000的近似值嗎？

易錯(cuò)點(diǎn)2：整數(shù)部分與小數(shù)部分

例：已知〃〈莊＜〃+1,且〃是整數(shù)，貝!|〃=（）

A.4B.5C.6D.7

變式1:定義因?yàn)椴淮笥趚的最大整數(shù)，如閉=2,[曰=1,[4』=4,則滿足[6]=5,

則n的最大整數(shù)為.

變式2：閱讀下面的對(duì)話，解答問(wèn)題.

小紅：正是無(wú)理數(shù)，是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此它的小數(shù)部分我們不可能表示出來(lái)，對(duì)

嗎？

小高：你說(shuō)的不對(duì)，我們知道，它住2和3之間，它的整數(shù)部分是2,用它本身減去整

數(shù)部分2就可以表示它的小數(shù)部分.

（1）、歷的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是；

⑵若5+退的小數(shù)部分為4-石的整數(shù)部分為6,求a-回的值；

（3）若4a+1的算術(shù)平方根是7,36-2的立方根是-5,c是的整數(shù)部分，求4a+6+3c

的平方根.

易錯(cuò)點(diǎn)3：無(wú)理數(shù)的估算

例：估計(jì)Gx（省+百）的值應(yīng)在（）

A.4和5之間B.5和6之間C.6和7之間D.7和8之間

變式1:已知1r=133L123=1728,133=2197,=2744.若〃為整數(shù)，且〃＜獨(dú)而＜〃+1

則n=.

變式2：任意一個(gè)無(wú)理數(shù)介于兩個(gè)整數(shù)之間，我們定義，若無(wú)理數(shù)T：掰＜T＜",（其

中加、〃為建綾的整數(shù)），則稱無(wú)理數(shù)的“美好區(qū)間”為（私"），如1＜后＜2，所以及的

“美好區(qū)間”為（1,2）.

⑴無(wú)理數(shù)-舊的“美好區(qū)間”是；

⑵若一個(gè)無(wú)理數(shù)的“美好區(qū)間”為（加,〃），且滿足10（加+血＜20,其中廠“二是關(guān)于x，

[y=y/n

y的二元一次方程5-行=。的一組正擎戮解，求C的值.

（3）實(shí)數(shù)x,V,加滿足如下關(guān)系式：

(2x+3y+m)2+(3x+2y-3m)2=yly-2024^2024-x-y,求加的算術(shù)平方根的“美

好區(qū)間

代數(shù)式專題

易錯(cuò)點(diǎn)：

1.對(duì)代數(shù)式的理解不深刻：有些學(xué)生可能對(duì)代數(shù)式的概念和表示方法理解不夠深入，

導(dǎo)致在解題時(shí)出現(xiàn)混淆或錯(cuò)誤。

2.變量與常數(shù)混淆：在代數(shù)式中，學(xué)生有時(shí)會(huì)將變量與常數(shù)混淆，影響解題的正確性。

3.運(yùn)算順序錯(cuò)誤：在復(fù)雜的代數(shù)式中，運(yùn)算的順序（如先乘除后加減）容易被忽略，

導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。

4.括號(hào)處理不當(dāng)：括號(hào)在代數(shù)式中具有優(yōu)先級(jí)。學(xué)生在處理括號(hào)時(shí)，可能會(huì)忽略或錯(cuò)

誤地處理，導(dǎo)致答案不正確。

5.對(duì)函數(shù)表達(dá)式的理解偏差：有些學(xué)生可能對(duì)函數(shù)表達(dá)式和其對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像理解不

清晰，影響后續(xù)的分析和應(yīng)用。

6.忽略實(shí)際意義：在某些問(wèn)題中，代數(shù)式的取值范圍或?qū)嶋H意義可能受到限制。學(xué)生

如果不注意這一點(diǎn)，可能會(huì)導(dǎo)致答案不合理或錯(cuò)誤。

7.化簡(jiǎn)過(guò)程中出錯(cuò)：在化簡(jiǎn)代數(shù)式的過(guò)程中，學(xué)生可能會(huì)因?yàn)榇中幕蛴?jì)算錯(cuò)誤而導(dǎo)致

結(jié)果不正確。

8.對(duì)代數(shù)式的變換不熟悉：對(duì)于一些常用的代數(shù)式變換技巧，如提公因式、分組分解

等，有些學(xué)生可能還不夠熟練，導(dǎo)致解題效率低下或出錯(cuò)。

9.對(duì)代數(shù)式的應(yīng)用場(chǎng)景不明確：代數(shù)式在不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際應(yīng)用中有不同的作用

和意義。學(xué)生如果對(duì)應(yīng)用場(chǎng)景不明確，可能會(huì)誤解題意或應(yīng)用不當(dāng)。

易錯(cuò)點(diǎn)1：整式中的整體代入

例：已知代數(shù)式尤-2y的值是一3,則代數(shù)式4y-2x+5的值是（）

A.-1B.2C.11D.8

變式1:若加是方程/-2x-4=0的一個(gè)根，則代數(shù)式2032-2/+4m的值為.

變式2：閱讀材料：我們知道，4尤-2x+x=（4-2+l）x=3x,類似地，我們把（。+6）看

成一個(gè)整體，貝1」4（。+6）-2（。+9+（。+6）=（4-2+1）（。+9=3（。+6）.“整體思想”是

中學(xué)教學(xué)解題中的一種重要的思想方法，它在多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)與求值中應(yīng)用極為廣泛.

嘗試應(yīng)用：

(1)把(。―6)看成一■個(gè)整體，合并-6(a-b)+2(Q-b)=；

(2)已知％2-2y=4,求-6>-21的值；

拓廣探索：

(3)已知Q-5b=3,5b—3c=—5,3c—d=10,求(a-3c)+(56-d)-(56-3c)的值.

易錯(cuò)點(diǎn)2：代數(shù)式中的規(guī)律

例：一個(gè)容器裝有1升水，按照如下方法把水倒出：第1次倒出J升水，第2次倒出

水量是;升的《，第3次倒出水量是（升的第4次倒出水量是1升的!，…，第"次

233445

倒出水量是，升的工.按照這種倒水的方法，〃次倒出的水量共為（）

n〃+1

nf〃2+〃—1f

A.1升BQ升c需升D.2升

n+n

變式1:已知a>0,E=,，&=一鳥(niǎo)一1,8=$4=-$3-1…當(dāng)〃為

a>

大于1的奇數(shù)時(shí)，5.=一一；當(dāng)"為大于1的偶數(shù)時(shí)，

3〃-1

（1）§3=；（用含。的代數(shù)式表示）

（2）52024=.（用含。的代數(shù)式表示）

變式2：【問(wèn)題提出】

如果從1,2,3……m,加個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中選擇"個(gè)連續(xù)的自然數(shù)加），有多少

種不同的選擇方法？

【問(wèn)題探究】

為發(fā)現(xiàn)規(guī)律，我們采用一般問(wèn)題特殊化的策略，先從最簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，再逐次遞進(jìn),

最后得出一般性的結(jié)論.

探究一：

如果從1,2,3……m,加個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中選擇2個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，會(huì)有多少種不

同的選擇方法？

如圖1,當(dāng)機(jī)=3,力=2時(shí)，顯然有2種不同的選擇方法；

如圖2,當(dāng)加=4,〃=2時(shí)，有1,2；2,3；3,4這3種不同的選擇方法；

如圖3,當(dāng)機(jī)=5,〃=2時(shí)，有種不同的選擇方法；

由上可知：從加個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中選擇2個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，有一種不同的選擇方法.

探究二：

如果從1,2,3……50,50個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中選擇3個(gè)，4個(gè)……”(”《50)個(gè)連續(xù)的自

然數(shù)，分別有多少種不同的選擇方法？

我們借助下面的框圖繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并應(yīng)用規(guī)律完成填空

123...43444546474950

從50個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中選擇3個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，有-----種不同的選擇方法；

從50個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中選擇4個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，有-----種不同的選擇方法；

由上可知：如果從1,2,3……50,50個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中選擇〃("450)個(gè)連續(xù)的自然

數(shù)，有種不同的選擇方法.

【問(wèn)題解決】

如果從1,2,3……m,加個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中選擇〃個(gè)連續(xù)的自然數(shù)有

種不同的選擇方法.

【實(shí)際應(yīng)用】

我們運(yùn)用上面探究得到的結(jié)論，可以解決生活中的一些實(shí)際問(wèn)題.

(1)今年國(guó)慶七天長(zhǎng)假期間，小亮想?yún)⒓幽陈眯猩缃M織的青島兩日游，在出行日期上，他

共有種不同的選擇.

(2)星期天，小明、小強(qiáng)和小華三個(gè)好朋友去電影院觀看《我和我的祖國(guó)》，售票員李阿

姨為他們提供了第七排3號(hào)到16號(hào)的電影票讓他們選擇，如果他們想拿三張連號(hào)票，則

一共有種不同的選擇方法.

易錯(cuò)點(diǎn)3：代數(shù)式中的新定義

例：定義：對(duì)于一個(gè)兩位自然數(shù)，如果它的個(gè)位數(shù)字不為零，且它正好等于其個(gè)位和十

位上數(shù)字和的"倍("為正整數(shù))，我們就說(shuō)這個(gè)自然數(shù)是一個(gè)“〃喜數(shù)”.例如：27就

是一個(gè)“3喜數(shù)，，，因?yàn)?7=3x(2+7)；25就不是一個(gè)“"喜數(shù)”，因?yàn)?5H(2+5)”.小暉

發(fā)現(xiàn)十位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字2倍的兩位數(shù)都是“"喜數(shù)”，則〃的值為()

A.3B.7C.3或7D.21

變式1：定義：若。+6=",則稱。與b是關(guān)于數(shù)〃的“平衡數(shù)”.比如3與-4是關(guān)于T

的“平衡數(shù)”，5與12是關(guān)于17的“平衡數(shù)”.現(xiàn)有a=6/一8代+4與6=-2(3/一2丫+人)

(左為常數(shù))始終是數(shù)〃的“平衡數(shù)”，則它們是關(guān)于—的“平衡數(shù)”.

變式2：定義：對(duì)于一個(gè)兩位數(shù)x,如果x滿足個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字耳不相回，且都不

為零，那么稱這個(gè)兩位數(shù)為“相異數(shù)”.將一個(gè)“相異數(shù)”的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)后得

到一個(gè)新的兩位數(shù)，將這個(gè)新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的求和，再除以11所得的商記為S(x).

例如，。=13,對(duì)調(diào)個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字得到的新兩位數(shù)31,新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和

為13+31=44,和44除以11的商為44+11=4,所以S(13)=4.

(1)下列兩位數(shù)：40,51,77中，“相異數(shù)”為；

⑵計(jì)算：5(65)的值；

(3)若一個(gè)“相異數(shù)勺的十位數(shù)字是左，個(gè)位數(shù)字是2人-1,且S(y)=8,求相異數(shù)分

易錯(cuò)點(diǎn)4：整式與幾何應(yīng)用

例：現(xiàn)有/、8、C三種不同的矩形紙片若干張(邊長(zhǎng)如圖)，小智要用這三種紙片無(wú)

重合無(wú)縫隙拼接成一個(gè)大正方形，先取/紙片9張，再取2紙片1張，還需取C紙片

的張數(shù)是()

A.2B.4C.6D.8

變式1：如圖所示的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，

它是由4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若大正方形的邊長(zhǎng)

為5,小正方形的邊長(zhǎng)為2.

（1）如圖1,若用正數(shù)a、b表示直角三角形的兩條直角邊（。＜6）,貝!|9=；

（2）如圖2,若拼成的大正方形為正方形48CD,中間的小正方形為正方形跖，

連結(jié)/C,交3G于點(diǎn)尸，交。E于點(diǎn)則S^?-SACGP=

變式2：現(xiàn)有如圖1的8張大小形狀相同的直角三角形紙片，三邊長(zhǎng)分別是。、b、J用

其中4張紙片拼成如圖2的大正方形（空白部分是邊長(zhǎng)分別為。和b的正方形）；用另外

4張紙片拼成如圖3的大正方形（中間的空白部分是邊長(zhǎng)為c的正方形）.

（1）觀察：從整體看，整個(gè)圖形的面積等于各部分面積的和.所以圖2和圖3的大正方形

的面積都可以表示為（。+6）2,結(jié)論①;

圖2中的大正方形的面積又可以用含字母“、6的代數(shù)式表示為：,結(jié)論②

圖3中的大正方形的面積又可以用含字母。、b、。的代數(shù)式表示為：,結(jié)論③.

⑵思考：

結(jié)合結(jié)論①和結(jié)論②，可以得到個(gè)等式

結(jié)合結(jié)論②和結(jié)論③，可以得到個(gè)等式

（3）應(yīng)用：若分別以直角三角形三邊為直徑，向外作半圓（如圖4）,三個(gè)半圓的面積分

別記作E、邑、$3,且.1+邑+號(hào)=20,求邑的值.

（4）延伸：若分別以直角三角形三邊為直徑，向上作三個(gè)半圓（如圖5）,直角邊。=3,6=4,

斜邊c=5,求圖中陰影部分面積和.

因式分解專題

易錯(cuò)點(diǎn)：

1.未能正確理解因式分解的定義：因式分解是將一個(gè)多項(xiàng)式表示為幾個(gè)整式的積的形式。

學(xué)生需要明確理解這一概念，才能正確進(jìn)行因式分解。

2.提公因式時(shí)系數(shù)提取錯(cuò)誤：在進(jìn)行因式分解時(shí)，需要找出各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)，并

提取出來(lái)作為公因式。如果學(xué)生在此過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤，就會(huì)影響因式分解的結(jié)果。

3.漏掉常數(shù)項(xiàng)：在進(jìn)行提公因式時(shí)，學(xué)生可能會(huì)忽略常數(shù)項(xiàng)。這是常見(jiàn)的錯(cuò)誤，因?yàn)槌?/p>

數(shù)項(xiàng)在多項(xiàng)式中容易被忽視。

4.未能正確應(yīng)用公式：在因式分解中，一些特定的多項(xiàng)式可以通過(guò)應(yīng)用公式進(jìn)行分解。

如果學(xué)生未能正確應(yīng)用這些公式，就會(huì)導(dǎo)致因式分解的結(jié)果不正確。

5.混淆了因式分解與整式的乘法：因式分解與整式的乘法是兩個(gè)不同的概念。學(xué)生需要

明確區(qū)分兩者，以免在解題過(guò)程中出現(xiàn)混淆。

6.未能正確判斷能否進(jìn)行因式分解：對(duì)于一些多項(xiàng)式，可能無(wú)法進(jìn)行因式分解。學(xué)生需

要學(xué)會(huì)判斷哪些多項(xiàng)式可以進(jìn)行因式分解，哪些不能。

易錯(cuò)點(diǎn)1：分組分解法

例：因式分解/+.%一a/一/的值為（）

A.（a-bp+6）B.（Q+b）2（q-b）C.ab^a+b^D.ab^a-b^

變式1:分組分解法指通過(guò)分組分解的方式來(lái)分解用提公因式法和公式法無(wú)法直接分解

多項(xiàng)式.

例如：

m2+n2-2mn+m-n=（m2-2mn+w2）+（m-w）=（加一〃/+（加一〃）=（冽一〃）（冽一〃+1）.

根據(jù)上述方法，解決問(wèn)題：已知a、b、。是AZSC的三邊，且滿足/一/+qc-6c=0,

則“3C的形狀是.

變式2：先閱讀下面的材料，再完成后面的任務(wù).

材料一材料二

如果把一個(gè)多項(xiàng)式各個(gè)項(xiàng)分

組并提出公因式后，它們的另在因式分解中，把多項(xiàng)式中某些部分看作一個(gè)整體，用

一個(gè)因式正好相同，那么這個(gè)一個(gè)新的字母代替，不僅可以簡(jiǎn)化要分解的多項(xiàng)式的結(jié)

多項(xiàng)式就可以利用分組的方構(gòu)，而且能使式子的特點(diǎn)更加明顯，便于觀察如何進(jìn)行

法來(lái)分解因式，這種因式分解因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”.例

的方法叫做分組分解法.（X2+2川/+2工+3）-4進(jìn)行因式分解的過(guò)程：

例am+an+bm+bn

^x2+2x=y,原式=y（y+3）-4=j2+3y-4

=Q（加+幾）+6（加+〃）

二（y-1）（y+4）=，+2x-1）（J+2x+4）

=（加+〃）（a+6）

（1）填空：因式分解加2+=；

22

⑵因式分解（寫(xiě)出詳細(xì)步驟）：（a-a）（a-a-2）-24;

⑶若AABC三邊分別為a,6,c,其中a=3,b2+c2-6b-6c+l8=0,判斷力3C的形

狀，并說(shuō)明理由.

易錯(cuò)點(diǎn)2：因式分解的應(yīng)用

例：對(duì)于一個(gè)幾何拼接圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算它的面積，可以解釋一些數(shù)學(xué)等式.如

圖b先單個(gè)計(jì)算閱覽室（正方形）、衛(wèi)生間尸（正方形）和圖書(shū)室（長(zhǎng)方形）的面積，

然后整體計(jì)算面積，可以得到數(shù)學(xué)等式：，+2如心（“+吃

,教學(xué)樓墻

圖

圖

書(shū)AF..D

書(shū)

閱覽室室閱覽室//

G-室

門(mén)：

圖書(shū)室PBC

圖4

（1）觀察圖2,填空（。+6）（。+26）=；

（2）因式分解：a2+ab-2b2,圖3表示面積為1+尤-2/的幾何拼接圖，請(qǐng)你補(bǔ)布宛擘

（涂上陰影）；

（3）學(xué)校準(zhǔn)備利用現(xiàn)有教學(xué)樓墻重建圖書(shū)館，重建資金額定（即墻厚度和總長(zhǎng)度為定

值).圖4是圖書(shū)館地面一層的平面設(shè)計(jì)圖，由1個(gè)長(zhǎng)方形閱覽室和2個(gè)正方形圖書(shū)室

組成，各開(kāi)了一個(gè)1米寬的門(mén)相通.若計(jì)算面積時(shí)不考慮墻體厚度，用總長(zhǎng)67米的墻

重建長(zhǎng)方形/BCD圖書(shū)館的地面一層.問(wèn)重建后，圖書(shū)館地面一層最大面積是多少平方

米？

變式1：【實(shí)踐探究】

小青同學(xué)在學(xué)習(xí)“因式分解”時(shí)，用如圖1所示編號(hào)為①②③④的四種長(zhǎng)方體各若干塊,

進(jìn)行實(shí)踐探究:

?

①②

(1)現(xiàn)取其中兩個(gè)拼成如圖2所示的大長(zhǎng)方體，請(qǐng)根據(jù)體積的不同表示方法，寫(xiě)出一個(gè)代

數(shù)恒等式:

(2)【問(wèn)題解決】

若要用這四種長(zhǎng)方體拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為x+2y的正方體，其中②號(hào)長(zhǎng)方體和③號(hào)長(zhǎng)方體

各需要多少個(gè)?試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由;

(3)【拓展延伸】

如圖3,在一個(gè)棱長(zhǎng)為了的正方體中挖出一個(gè)棱長(zhǎng)為x的正方體，請(qǐng)根據(jù)體積的不同表

示方法，直接寫(xiě)出/一尤3因式分解的結(jié)果，并利用此結(jié)果解決問(wèn)題：已知。與2〃分別

是兩個(gè)大小不同正方體的棱長(zhǎng)，且。3-8〃3=(a-2〃乂4-4的)，當(dāng)"2〃為整數(shù)時(shí)，求助

的值.

變式2：學(xué)習(xí)整式的乘法時(shí)可以發(fā)現(xiàn)：用兩種不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積，可以

得到一個(gè)等式，進(jìn)而可以利用得到的等式解決問(wèn)題.

材料：如圖1,圖形面積的兩種計(jì)算方法如下，

第一種方法：

看成2個(gè)正方形和2個(gè)長(zhǎng)方形的面積和，化簡(jiǎn)得?2+2ab+b2.

第二種方法：

看成一個(gè)大的正方形計(jì)算面積+，

得到一個(gè)等式a2+2ab+b2=(a+Z))~.

根據(jù)上述材料的解題方法解決下列問(wèn)題：

⑴如圖2是由邊長(zhǎng)分別為加，"的正方形和長(zhǎng)為〃、寬為加的長(zhǎng)方形拼成的大長(zhǎng)方形，

根據(jù)圖形的面積，可以把1+2/+3〃?〃因式分解：l+zmz+sm”一；

(2)①如圖3是由幾個(gè)小正方形和小長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b+m的大正方形，用不

同的方法表示這個(gè)大正方形的面積，得到的等式為「(求多個(gè)圖形的面積和的式子要化

簡(jiǎn))

②已知a+b+%=10,a2+b2+m2=64,利用①中所得到的等式，求代數(shù)式。6+加1+。加

的值.

分式與二次根式專題

易錯(cuò)點(diǎn)：

1.分母不為零：分式的分母不能為零，這一點(diǎn)學(xué)生常常會(huì)忽略。在解決分式問(wèn)題時(shí)，

一定要確保分母不為零。

2.二次根式的有意義：對(duì)于二次根式，被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)。學(xué)生常常會(huì)忽略這一

點(diǎn)，導(dǎo)致解答錯(cuò)誤。

3.分式與整式的混淆：分式和整式在結(jié)構(gòu)上有很大的不同，分式的特點(diǎn)是分母中含有字

母。學(xué)生有時(shí)會(huì)混淆這兩者，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。

4.運(yùn)算順序：在復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)式中，運(yùn)算的順序（先乘除后加減，先括號(hào)后根式等）

非常重要。學(xué)生有時(shí)會(huì)因?yàn)檫\(yùn)算順序的錯(cuò)誤而導(dǎo)致答案錯(cuò)誤。

5.負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算：對(duì)于負(fù)整數(shù)指數(shù)早，學(xué)生常常會(huì)忘記除以相應(yīng)的基數(shù)的正整數(shù)

指數(shù)幕，導(dǎo)致答案錯(cuò)誤。

6.最簡(jiǎn)二次根式的判斷：最簡(jiǎn)二次根式是指被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，

以及分母中不含有根號(hào)的分式。學(xué)生常常會(huì)忽略這一點(diǎn)，導(dǎo)致答案錯(cuò)誤。

7.二次根式的化簡(jiǎn)：二次根式需要化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)形式，但學(xué)生常常在這一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，比

如忘記開(kāi)方或者合并同類項(xiàng)等。

易錯(cuò)點(diǎn)1：分母有理化

例：已知X—一。22=。，則代數(shù)式""的值為（）

A.2021B.2024C.2027D.2030

變式1：已知。是方程2024x+l=0一個(gè)根，則/—2023a+一1的值為_(kāi)_____

a+1

變式2：探究題：觀察下列各式的變化規(guī)律，然后解答下列問(wèn)題：

1_111_111_111_11

U2--292^3-2-3,7^4-3-4?4^5-_4_5；

1

⑴計(jì)算：若〃為正整數(shù)，猜想“〃+1)=

1111

，xx(x+1)(x+1)(%+2)(x+2014)(%+2015)

(3)若|。6-2|+0-1]=0,求々+;---1二人八+71cl的值

1111ab(〃+1)(6+1)(〃+2)

易錯(cuò)點(diǎn)2：分式新定義

例：對(duì)于任意實(shí)數(shù)Q,b,我們定義新運(yùn)算“*"：a^b=a2+2ab-b\例如:

3*5=32+2X3X5-52=14.若加，〃是方程（x+2）*3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則工+工的值

mn

為（）

A,3110

B.3C.一D.——

777

m+n—6

變式1：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“※”：冽※〃二(加〃。0).請(qǐng)解決下歹！J問(wèn)題:

mn

(1)3X2=；

AR

(2)若(x-+2)=H-------,貝!)2/-8=.

變式2：通過(guò)小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假分?jǐn)?shù)”，而假分?jǐn)?shù)都可化

oA-I-?79

為帶分?jǐn)?shù).如：r—=2+r2-.我們定義：在分式中,對(duì)于只含有一個(gè)字母的

分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”;當(dāng)分子的次數(shù)小

于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”.

V—1丫23

如刀,上這樣的分式就是假分式；)K這樣的分式就是真分式?類似地，

假分式也可以化為帶分式(即：整式與真分式的和的形式).

如：口=(》+1)-2=1_2；上=--1)心7+1-+1」.

x+1x+1x+1x-1x-1X-.

解決下列問(wèn)題：

(1)分式20嗎24是分式(填“真”或"假”)；

X

(2)將假分式=x+3化為帶分式；

x+2

(3)求所有符合條件的整數(shù)x的值，使得更上1一曰+二?L的值為整數(shù).

x+1xx+3%

易錯(cuò)點(diǎn)3：分式中的倒數(shù)

、的值是(

例：已知小r則？

X+1

11

A.-B.8C.-D.6

86

什。bcr/2。+26+。心/+、r

變式1:若;一=——=-則——K的值為_(kāi)____.

b+cc+aa+ba+b-3c

變式2：閱讀理解：

1