專(zhuān)題15函數(shù)的奇偶性【題型歸納目錄】題型一：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明題型二：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式題型三：已知函數(shù)的奇偶性求值題型四：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)題型五：已知奇函數(shù)+M題型六：抽象函數(shù)的奇偶性問(wèn)題題型七：奇偶性與單調(diào)性的綜合運(yùn)用題型八：利用函數(shù)奇偶性識(shí)別圖像題型九：對(duì)稱(chēng)性與奇偶性的綜合應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)的奇偶性概念及判斷步驟1、函數(shù)奇偶性的概念偶函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有，那么稱(chēng)為偶函數(shù)．奇函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有，那么稱(chēng)為奇函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）奇偶性是整體性質(zhì)；（2）在定義域中，那么在定義域中嗎？具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的；（3）的等價(jià)形式為：，的等價(jià)形式為：；（4）由定義不難得出若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)且在原點(diǎn)有定義，則必有；（5）若既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則必有．2、奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)．（2）如果一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)，則它的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．3、用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟（1）求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則進(jìn)行下一步；（2）結(jié)合函數(shù)的定義域，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；（3）求，可根據(jù)與之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的奇偶性．若，則是奇函數(shù)；若=，則是偶函數(shù)；若，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；若且，則既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)知識(shí)點(diǎn)二、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法（1）定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，再判斷與之一是否相等．（2）驗(yàn)證法：在判斷與的關(guān)系時(shí)，只需驗(yàn)證及是否成立即可．（3）圖象法：奇（偶）函數(shù)等價(jià)于它的圖象關(guān)于原點(diǎn)（軸）對(duì)稱(chēng)．（4）性質(zhì)法：兩個(gè)奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)．（5）分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，通常利用定義法判斷．在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)自變量的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)不是幾個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù)．因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，然后判斷與的關(guān)系．首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達(dá)式中，與對(duì)應(yīng)不同的表達(dá)式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行比較．知識(shí)點(diǎn)三、關(guān)于函數(shù)奇偶性的常見(jiàn)結(jié)論（1）函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．（2）奇偶函數(shù)的圖象特征．函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)．（3）若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿(mǎn)足．（4）偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同．（5）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式．記，，則．（6）運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)（或多個(gè)）函數(shù)式通過(guò)加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如．對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來(lái)：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇．【典例例題】題型一：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明例1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）對(duì)于兩個(gè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)和在它們的公共定義域內(nèi)，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若和都是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)B．若和都是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)C．若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)D．若和都是奇函數(shù)，則不一定是奇函數(shù)【答案】B【解析】對(duì)于A，因?yàn)楹投际瞧婧瘮?shù)，所以，，令，則，所以是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)楹投际桥己瘮?shù)，所以，，令，則，所以是偶函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以，，令，則，所以是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)楹投际瞧婧瘮?shù)，所以，，令，則，所以是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B例2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，不是偶函數(shù)，A不是；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，不是偶函數(shù)，B不是；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，是偶函數(shù)，C是；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，不是偶函數(shù)，D不是.故選：C例3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對(duì)于A，的定義域?yàn)镽，，函數(shù)是奇函數(shù)，A是；對(duì)于B，的定義域?yàn)镽，，函數(shù)不是奇函數(shù)，B不是；對(duì)于C，的定義域?yàn)镽，，函數(shù)不是奇函數(shù)，C不是；對(duì)于D，的定義域?yàn)镽，，函數(shù)不是奇函數(shù)，D不是.故選：A變式1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的奇偶性是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．既奇又偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)【答案】D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋魂P(guān)于數(shù)0對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù).故選：D變式2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，證明是定義域上的奇函數(shù)；【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋忠驗(yàn)椋裕矗詾槠婧瘮?shù)．變式3．（2023·云南曲靖·高一會(huì)澤縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)的奇偶性；(2)求，的值；(3)證明：為定值.【解析】（1）由題可知的定義域是，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因?yàn)椋允桥己瘮?shù).（2）因?yàn)椋裕?（3）因?yàn)椋允嵌ㄖ?題型二：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式例4．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式為_(kāi)________．【答案】/【解析】是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式為.故答案為：例5．（2023·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式是_____________．【答案】【解析】函數(shù)在上為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，故答案為：.例6．（2023·北京·高一校考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且時(shí)，，求的解析式___________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，由于是定義在R上的奇函數(shù)，，=；故答案為：=.變式4．（2023·上海楊浦·高一校考期末）若函數(shù)是上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，__________.【答案】【解析】由題意函數(shù)是上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，故答案為：變式5．（2023·山西大同·高一大同一中校考期中）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式__________.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以；當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，則，當(dāng)時(shí)，上式也滿(mǎn)足，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為，故答案為：.變式6．（2023·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)校考期末）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，則__．【答案】【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以.當(dāng)時(shí)，．故答案為:.題型三：已知函數(shù)的奇偶性求值例7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）己知是定義在上的奇函數(shù)，且，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因?yàn)椋粤睿瑒t，因?yàn)椋裕睿瑒t.故選：D.例8．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．4 B． C．7 D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以，所以.故選：A.例9．（2023·云南·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．1 B．－1 C．5 D．－5【答案】B【解析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可知；而，所以，所以.故選：B變式7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則等于（

）A．8 B． C． D．10【答案】C【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，令函數(shù)，顯然，即函數(shù)是R上的奇函數(shù)，因此，即，而，所以.故選：C變式8．（2023·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，則＝（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，即，且，故，所以，所以，則.故選：B.變式9．（2023·高一單元測(cè)試）奇函數(shù)在上是增函數(shù)，在上的最大值是8，最小值為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)槠婧瘮?shù)在上是增函數(shù)，故在上是增函數(shù)，因?yàn)樵谏系淖畲笾凳?，最小值為，所以在上最小值是8，最大值為1，即，故.故選：C題型四：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)例10．（2023·廣東佛山·高一佛山市三水區(qū)三水中學(xué)校考階段練習(xí)）若函數(shù)為奇函數(shù)，則__．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋液瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，，解得.故答案為：.例11．（2023·上海寶山·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)是偶函數(shù)，且定義域是，則______．【答案】2【解析】是偶函數(shù)，且定義域是，且，則，又，，故，.故答案為：2.例12．（2023·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期中）若是奇函數(shù)，則__________【答案】3【解析】因?yàn)椋裕獾们遥瑒t的定義域?yàn)椋驗(yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故，則，當(dāng)時(shí)，，所以，滿(mǎn)足題意，所以.故答案為：3.變式10．（2023·重慶璧山·高一重慶市璧山來(lái)鳳中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知是定義在上的偶函數(shù)，則________.【答案】【解析】由于是定義在上的偶函數(shù)，所以，，所以，不恒為，所以，所以.故答案為：變式11．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，（且）是偶函數(shù)，則的值為_(kāi)_________．【答案】【解析】由題意可得：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，解得，故.故答案為：.變式12．（2023·上海·高一專(zhuān)題練習(xí)）如果為奇函數(shù)，那么__．【答案】【解析】由題意知：的定義域?yàn)椋譃槠婧瘮?shù)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，，，滿(mǎn)足為奇函數(shù)，.故答案為：.變式13．（2023·上海寶山·高一上海交大附中校考階段練習(xí)）已知.若是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值是____________.【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)榍遥驗(yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，則當(dāng)且時(shí)，恒成立，因此，整理得，即，于是得，解得，所以實(shí)數(shù)a的值是.故答案為：變式14．（2023·北京·高一校考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，且函數(shù)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)___________【答案】4【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，且函數(shù)是偶函數(shù)，所以所以圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，即，即恒成立，化簡(jiǎn)為當(dāng)時(shí)，，不可能恒成立，舍去；當(dāng)時(shí)，恒成立，，解得.故答案為：4.題型五：已知奇函數(shù)+M例13．（2023·安徽蕪湖·高一蕪湖一中校考期中），若，則__________.【答案】4【解析】令，則，為奇函數(shù)，由，解得，所以.所以.故答案為：4.例14．（2023·山東濱州·高一校考期中）已知函數(shù)，且，則________________.【答案】【解析】由，令且定義域?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，故，則.故答案為：例15．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為N，則的值為_(kāi)_____.【答案】1【解析】由題意知，（），設(shè)，則，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，在區(qū)間上的最大值與最小值的和為0，故，所以.故答案為：1變式15．（2023·江西宜春·高一校聯(lián)考期末）已知，且，那么________．【答案】【解析】令，，是奇函數(shù).,,..故答案為：變式16．（2023·湖北武漢·高一武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，可令，則，為定義在上的奇函數(shù)，，則，.故選：D.變式17．（2023·河南鄭州·高一鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中）若定義上的函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意有，若的最大值和最小值分別為，，則的值為（

）A．2022 B．2018 C．4036 D．4044【答案】D【解析】任意有，取，則即，令，則，故，令，則，故，故為上的奇函數(shù)，故即，故，故選：D.題型六：抽象函數(shù)的奇偶性問(wèn)題例16．（2023·寧夏銀川·高一銀川唐徠回民中學(xué)校考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覍?duì)任意x，，都有；(1)求的值；(2)判斷的奇偶性并證明你的結(jié)論：(3)若時(shí)，，求證：在單調(diào)遞減.【解析】（1）令，得，即．（2）函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，證明如下：令,則，即，∴函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)．（3）設(shè)，則，∵，∴，則，∴，即，即函數(shù)在單調(diào)遞減．例17．（2023·山西太原·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，對(duì)于任意都有．(1)證明是奇函數(shù)；(2)解不等式．【解析】（1）證明：令，則由，得，即；令，則由，得，即得，故是奇函數(shù)．（2），所以，則，即，

因?yàn)椋裕裕?/p>

又因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以，所以或．所以x的解集為．例18．（2023·河南鄭州·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域均為R，對(duì)任意x，y恒有，且．(1)求的值；(2)判斷的奇偶性，并證明．【解析】（1）令得，，所以，又，所以．（2）是奇函數(shù)，證明：又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以是奇函數(shù)．變式18．（2023·安徽合肥·高一校考期中）已知滿(mǎn)足，且時(shí)，(1)判斷的單調(diào)性并證明；(2)證明：；(3)若，解不等式．【解析】（1）是定義在上的減函數(shù)，證明如下：，且，則，，又，即，，是定義在上的減函數(shù)；（2）由，令，得，令可得，，，，即；（3），，，即，又是定義在上的減函數(shù)，，解得或，不等式的解集為或．題型七：奇偶性與單調(diào)性的綜合運(yùn)用例19．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）偶函數(shù)滿(mǎn)足：，且在區(qū)間與上分別遞減和遞增，使的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題目條件，想象函數(shù)圖象如下:因?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，所以，所以當(dāng)和時(shí)，，故選：B.例20．（2023·河北保定·高一河北省唐縣第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以不等式可化為，又在上單調(diào)遞增，所以，且，解得，所以不等式的解集為.故選：C.例21．（2023·浙江杭州·高一杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué)校考期末）若是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，又，則的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)為奇函數(shù)，，，函數(shù)在上是增函數(shù)，函數(shù)在上是增函數(shù)，所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)或時(shí)，對(duì)于，則或，解得或的取值范圍是．故選：D．變式19．（2023·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期末）若偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以由，當(dāng)時(shí)，由，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，或，而，所以；當(dāng)時(shí)，由，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以或，而，所以，故選：A變式20．（2023·海南·高一農(nóng)墾中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且f(x)在(－∞,0]上單調(diào)遞減，則滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，為偶函數(shù)，，∴不等式可變?yōu)椋己瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，解得.故選：B.變式21．（2023·新疆·高一烏魯木齊市第70中校考期中）設(shè)函數(shù)是定義域在上的偶函數(shù)，且在上遞減，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，則.且是定義域在上的偶函數(shù)，在上遞減.所以，，.由在上遞減，可得，即.故選：C．變式22．（2023·山東青島·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意的，，滿(mǎn)足，且，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】構(gòu)建，則，故在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，∵任意的，，滿(mǎn)足，則在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞減，對(duì)于不等式，則有：當(dāng)時(shí)，可得，即，∵在上單調(diào)遞增，且，∴的解集為；當(dāng)時(shí)，可得，即，∵在上單調(diào)遞減，且，∴的解集為；綜上所述：不等式的解集為.故選：A.變式23．（2023·上海寶山·高一上海交大附中校考階段練習(xí)）定義在R上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足，且在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【解析】由已知可得.當(dāng)時(shí)，有.由，且在上單調(diào)遞減，可知；當(dāng)時(shí)，有.根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可推得，且在上單調(diào)遞減，所以.綜上所述，不等式的解集為或.故選：B.變式24．（2023·全國(guó)·高一階段練習(xí)）若定義在R的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿(mǎn)足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槎x在R的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，所以由可得，故選：D題型八：利用函數(shù)奇偶性識(shí)別圖像例22．（2023·云南昆明·高一昆明一中統(tǒng)考期末）函數(shù)的圖像可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋涠x域都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，即函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故AC錯(cuò)誤；由選項(xiàng)圖可知，都是討論的情況，當(dāng)時(shí)，，對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，故B正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由圖可知，.函數(shù)在和上單調(diào)遞增，若，在和上單調(diào)遞減，若，在和上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤；故選：B例23．（2023·江蘇南京·高一金陵中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則它的部分圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，而，且，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故C，D錯(cuò)誤，排除；當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤，故選：A.例24．（2023·安徽合肥·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)的大致圖像為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋礊槠婧瘮?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，排除A；當(dāng)時(shí)，，，即，當(dāng)時(shí)，，，即，排除C；而當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，趨近于0，排除D，選項(xiàng)B符合題意.故選：B變式25．（2023·廣東揭陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的部分圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋虼耸巧系呐己瘮?shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，選項(xiàng)C，D不滿(mǎn)足；又，所以選項(xiàng)B不滿(mǎn)足，選項(xiàng)A符合題意.故選：A變式26．（2023·江蘇南京·高一南京市中華中學(xué)校考期中）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：”數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究過(guò)程中，常用函數(shù)圖像來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也經(jīng)常用函數(shù)解析式來(lái)分析函數(shù)的圖像特征，函數(shù)在[﹣2，2]上的圖像大致是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】定義域?yàn)镽，，則是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸軸對(duì)稱(chēng)，排除選項(xiàng)CD；又因?yàn)椋瑒t排除選項(xiàng)A，選B.故選：B．題型九：對(duì)稱(chēng)性與奇偶性的綜合應(yīng)用例25．（2023·云南保山·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象對(duì)稱(chēng)軸是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】是偶函數(shù)，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，又的圖象是的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到，的對(duì)稱(chēng)軸為，故選：B.例26．（2023·北京·高一北京市第五中學(xué)校考期中）若定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿(mǎn)足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為的奇函數(shù)，所以，又滿(mǎn)足，所以，即，所以，即，因?yàn)椋裕怨蔬x：D例27．（2023·浙江紹興·高一浙江省新昌中學(xué)校考期末）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的偶函數(shù)，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，又，所以，即，函數(shù)的周期為4，取，則，所以，則D選項(xiàng)正確，B、C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由已知條件不能確定的值，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D.變式27．（2023·云南昆明·高一昆明一中校考期中）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由是奇函數(shù)，得，即，由是偶函數(shù)，得，令，得：，，而，于是，解得，令，得，即，則，解得，因此，又，于是，所以.故選：C變式28．（2023·河北石家莊·高一石家莊精英中學(xué)校考階段練習(xí)）若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且函數(shù)在上有最大值12，則函數(shù)在上有（

）A．最小值12 B．最大值12 C．最小值3 D．最小值2【答案】D【解析】為奇函數(shù)，則也為奇函數(shù)，在上有最大值，則在上有最大值在上有最小值可得在上有最小值故選：D.【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）對(duì)于定義在上的函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則函數(shù)是增函數(shù)B．若，則函數(shù)不是減函數(shù)C．若，則函數(shù)是偶函數(shù)D．若，則函數(shù)不是奇函數(shù)【答案】B【解析】函數(shù)單調(diào)遞增，需要變量大小關(guān)系恒成立，故A錯(cuò)誤，若，則函數(shù)一定不是減函數(shù)，故B正確，若恒成立，則是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，也有可能是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤，故選：B．2．（2023·北京·高一校考期中）函數(shù)滿(mǎn)足，且在區(qū)間上的值域是，則坐標(biāo)所表示的點(diǎn)在圖中的（）.

A．線(xiàn)段AD和線(xiàn)段BC上 B．線(xiàn)段AD和線(xiàn)段DC上C．線(xiàn)段AB和線(xiàn)段DC上 D．線(xiàn)段AC和線(xiàn)段BD上【答案】B【解析】函數(shù)滿(mǎn)足，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且開(kāi)口向上下，所以，，.再根據(jù)，，畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖所示：

故有，.且當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，故坐標(biāo)所表示的點(diǎn)在圖中的線(xiàn)段AD和線(xiàn)段DC上，故選：B.3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的奇偶性是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既奇又偶函數(shù)【答案】A【解析】若，則，則；若，則，則.又，滿(mǎn)足.所以，又函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因此，函數(shù)為奇函數(shù).故選：A.4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知是上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．1.4 B．3.4 C．1.6 D．3.6【答案】C【解析】因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，所以，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：C.5．（2023·廣東深圳·高一深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中）定義在上的偶函數(shù)在單調(diào)遞減，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)在單調(diào)遞減，不等式等價(jià)于，等價(jià)于，即，解得，即不等式的解集是.故選：D6．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則它在區(qū)間上是（

）A．增函數(shù)且最大值是 B．增函數(shù)且最小值是C．減函數(shù)且最大值是 D．減函數(shù)且最小值是【答案】A【解析】由題意，奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間也為增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.故選：A.7．（2023·安徽蕪湖·高一蕪湖一中校考強(qiáng)基計(jì)劃）若直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)M、N滿(mǎn)足條件①M(fèi)、N都在函數(shù)y的圖象上②M、N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)點(diǎn)對(duì)是函數(shù)y的一個(gè)“共生點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)與看作同一個(gè)”共生點(diǎn)對(duì)”），已知函數(shù)，則函數(shù)y的“共生點(diǎn)對(duì)”有（

）個(gè)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】根據(jù)“共生點(diǎn)對(duì)”的概念知，作出函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖象與函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知它們的交點(diǎn)有兩個(gè)，所以函數(shù)y的“共生點(diǎn)對(duì)”有2對(duì).故選：C.8．（2023·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，則＝（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，即，且，故，所以，所以，則.故選：B.二、多選題9．（2023·云南普洱·高一校考階段練習(xí)）設(shè)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是偶函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】ABD【解析】因?yàn)闈M(mǎn)足，所以是偶函數(shù)；因?yàn)闈M(mǎn)足，所以是偶函數(shù)，因?yàn)闈M(mǎn)足，所以是奇函數(shù)；因?yàn)闈M(mǎn)足，所以是偶函數(shù)；故選：ABD．10．（2023·高一單元測(cè)試）下列函數(shù)中，即是奇函數(shù)，又是（0，+∞）增函數(shù)的有（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】選項(xiàng)A不具有奇偶性；選項(xiàng)B是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增；選項(xiàng)C，記，則，，，函數(shù)在上不是增函數(shù)；選項(xiàng)D，函數(shù)是奇函數(shù)，在上是增函數(shù)，故選：BD．11．（2023·山西朔州·高一懷仁市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．的最大值為C．在上是單調(diào)遞增 D．的解集為【答案】AB【解析】是定義在上的偶函數(shù)，，A正確；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，最大值為，又偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性和最值相同，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B正確，C錯(cuò)誤；，為，D錯(cuò)誤；故選：AB12．（2023·江蘇揚(yáng)州·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋鋱D象如圖所示.函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，.給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（

）A． B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C．不等式的解集為R D．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，所以，又，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，所以，又，所以，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故B正確；對(duì)于C，由題意知，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意知，在上單調(diào)遞減，又為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以在上單調(diào)遞增.又，所以周期為2，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ABD三、填空題13．（2023·福建泉州·高一福建省南安第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知有偶函數(shù)，奇函數(shù)，且有，則的值域?yàn)開(kāi)___________.【答案】【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，且有，所以，兩式相加得到，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的值域?yàn)?故答案為：.14．（2023·北京·高一校考期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是______.【答案】【解析】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，解得.又，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，解得，故答案為：.15．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，則不等式的解集為_(kāi)_________.

【答案】【解析】觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)，即函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，所以不等式的解集為.故答案為：16．（2023·福建泉州·高一福建省南安第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，比較，，大小關(guān)系_____.【答案】/【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以,則函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).又因?yàn)榍以谏蠁握{(diào)遞增.所以.故答案為:四、解答題17．（2023·廣東深圳·高一深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.(1)求函數(shù)的解析式并畫(huà)出其圖像；

(2)設(shè)函數(shù)在上的最大值為，求.【解析】（1）由是定義在上的奇函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，那么，則，所以函數(shù)的解析式為，圖象如下：

（2）由圖象可知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，；時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以.18．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，其中c為常數(shù).(1)求c的值；(2)若時(shí)，均有，求m的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)是偶函數(shù)