標準學術能力診斷性測試2024年10月測試數學試卷本試卷共150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A B. C. D.2.若，則（）A. B. C.1 D.3.已知單位向量和，若，則（）A.2 B.1 C. D.4.已知圓柱的底面半徑和球的半徑相等，圓柱的高與球的半徑相等，則圓柱與球的表面積之比為（）A.1：2 B.1：1 C.3：4 D.2：35.已知，，則（）A. B. C. D.6.已知函數，則函數的零點個數為（）A.2 B.0 C.3 D.無窮7.將的圖象變換為的圖象，下列變換正確的是（）A.將圖象上點的橫坐標變為原來的倍，再將圖象向右平移個單位B.將圖象上點的橫坐標變為原來的3倍，再將圖象向右平移個單位C.將圖象向右平移個單位，再將圖象上點的橫坐標變為原來的倍D.將圖象向右平移個單位，再將圖象上點橫坐標變為原來的3倍8.定義在R上的函數滿足：，且，當時，，則的最小值為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對但不全得3分，有錯選的得0分．9.從中隨機取一個數記為a，從中隨機取一個數記為b，則下列說法正確是（）A.事件“為偶數”的概率為B.事件“ab為偶數”的概率為C.設，則X的數學期望為D.設，則在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是1210.在直棱柱中，底面為正方形，，為線段上動點，，分別為和的中點，則下列說法正確的是（）A.若，則經過，，三點的直棱柱的截面為四邊形B.直線與所成角的余弦值為C.三棱錐的體積為定值D.的最小值為11.一條動直線與圓相切，并與圓相交于點A，B，點P為定直線上動點，則下列說法正確的是（）A.存在直線，使得以AB為直徑的圓與相切B.的最小值為C.的最大值為D.的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若的展開式中存在項，則由滿足條件的所有正整數m從小到大排列構成的數列的通項公式為__________．13.設雙曲線（）的右頂點為F，且F是拋物線的焦點．過點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，滿足，若點A也在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為__________．14.已知，則的最小值為__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.記的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足．（1）若，，求的面積；（2）記BC邊的中點為D，，若A為鈍角，求x的取值范圍．16.如圖所示，在四棱錐中，，，．（1）若平面，證明：平面；（2）若底面，，二面角的正弦值為，求的長．17.已知橢圓，的下頂點為，左、右焦點分別為和，離心率為，過的直線與橢圓相交于，兩點．若直線垂直于，則的周長為．（1）求橢圓方程；（2）若直線與坐標軸不垂直，點關于軸的對稱點為，試判斷直線是否過定點，并說明理由．18.已知函數，．（1）若，證明：；（2）若，求a的取值范圍；（3）若，記，討論函數的零點個數．19.乒乓球比賽有兩種賽制，其中就有“5局3勝制”和“7局4勝制”，“5局3勝制”指5局中勝3局的一方取得勝利，“7局4勝制”指7局中勝4局的一方取得勝利．（1）甲、乙兩人進行乒乓球比賽，若采用5局3勝制，比賽結束算一場比賽，甲獲勝的概率為0.8；若采用7局4勝制，比賽結束算一場比賽，甲獲勝的概率為0.9．已知甲、乙兩人共進行了場比賽，請根據小概率值的獨立性檢驗，來推斷賽制是否對甲獲勝的場數有影響．（2）若甲、乙兩人采用5局3勝制比賽，設甲每局比賽的勝率均為p，沒有平局．記事件“甲只要取得3局比賽的勝利比賽結束且甲獲勝”為A，事件“兩人賽滿5局，甲至少取得3局比賽勝利且甲獲勝”為B，試證明：．（3）甲、乙兩人進行乒乓球比賽，每局比賽甲的勝率都是，沒有平局．若采用“賽滿局，勝方至少取得